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高中数学 3.2.2立体几何中的向量方法—平行关系课件 新人教A版选修2-2_图文

3.2.2 立体几何中的向量方法

——平行关系

一、知识回顾
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则

(1) l / / m ? a / / b ? a ? ? b ;

a
l
m

b

设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则

(2) l / /? ? ①

a ? u ? a?u ? 0 ;

u
α

a

? ② a∥AC

? ③ a ? xAB ? y AD

设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则

(3) ? / / ? ? ① u / / v ? u ? ? v.
u
α

? ②u ? ?

v
β

二、典型例题
例1 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形, PD⊥底面ABCD,PD=DC=6, E是PB的
中点,DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证:AE//FG. 证 :如图所示, 建立 Z E(3,3,3), 空间直角坐标系. A(6,0,0), P

F(2,2,0),

G(0,4,2),

几何法呢?

AE =(-3, 3, 3), FG =(-2, 2, 2)
3 AE = FG AE // FG 2 AE与FG不共线

E
D

G
C Y

AE//FG

A X

F

B

例2 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正 方形,PD⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的 中点, 求证:PA//平面EDB.
解1 立体几何法
Z

P E

D A X
G

C B

Y

解2:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1
(1)证明:连结AC,AC交BD于点G,连结EG

依题意得A(1, 0, 0), P(0, 0,1), 1 1 1 1 E (0, , ) G( , ,0) 2 2 2 2 1 1 PA ? (1, 0, ?1), EG ? ( , 0, ? ) 2 2

Z

P E

所以PA ? 2EG ,即PA// EG

而EG ? 平面EDB, 且PA ? 平面EDB
所以,PA // 平面EDB
A X D
G

C B

Y

解3:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1

1 1 1,0) 依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), E (0, , ), B(1, (1)证明: 2 2 1 1 PA ? (1,0, ?1), DE ? (0, , ) Z DB =(1, 1,0) 2 2
设平面EDB的法向量为 n ? ( x, y,1)

P E

则n ? DE, n ? DB
1 ?1 ? y? ?0 于是 ? 2 ? n ? ?1, ? 1, 1? 2 ? ?x ? y ? 0

? PA n ? 0 ? PA ? n

而PA ? 平面EDB
所以,PA // 平面EDB

D A X B

C

Y

解4:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1

1 1 1,0) 依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), E (0, , ), B(1, (1)证明: 2 2 1 1 PA ? (1,0, ?1), DE ? (0, , ) Z DB =(1, 1,0) 2 2

设PA ? xDE ? yDB
解得 x=-2,y=1

P E

即PA ? ?2DE ? DB
于是PA 、 DE、 DB共面

而PA ? 平面EDB
所以,PA // 平面EDB
A X

D B

C

Y

例题3 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方
形, PD⊥底面ABCD,PD=DC=6,
Z

E是PB的

中点,PF=FG=GC . 求证:面AEF//面BDG.

P F

E
D
A X B

G
C Y

三、课堂总结
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则
(1) l / / m ? a / / b ? a ? ? b ;

(2) l / /? ? ①

a ? u ? a?u ? 0 ;

? ② a∥AC ? ③ a ? xAB ? y AD (3) ? / / ? ? ① u / / v ? u ? ? v.
? ②u ? ?

四、课堂练习
练习1 、已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面相交于AD,点 1 1 M , N 分别在对角线 BD, AE 上,且 BM ? BD , AN ? AE, 3 3 求证: MN // 平面CDE
F
N A M C E

证明 MN ? MD ? DE ? EN
2 2 ? ? DB ? DE ? EA 3 3
2 2 ? ? ( DA ? DC ) ? DE ? ( DA ? DE ) B 3 3

D

2 1 ? ? DC ? DE 3 3

所以MN、DC、DE共面

但MN ? 平面CDE

故MN // 平面CDE

选做题
三棱柱ABC-A1B1C1中,D是A1C1中点

求证:BC1∥面AB1D.

AB1 ? AB ? AA1
1 AD ? AC ? AA1 2

BC1 ? ? AB ? AA1 ? AC BC1 ? ? AB ? 2 AD


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