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初中数学竞赛辅导资料(23)递推公式

初中数学竞赛辅导资料(23)
递推公式
甲内容提要 1. 先看一例: 1=b,a2= a

2 2 2 ,a3= …… an+1= a1 a2 an

这里a1,a2,a3……an,an+1

是对应于正整数1,2,3……n,n+1 的有序的一列数(右下标的数字表示 第几项) ,这一列数只要给出某一项数值,就可以推出其他各项数值。 例如: 若 a1=10, 则a2=

2 1 1 = ,a3=10,a4= ,a5=10…… 10 5 5

2. 为了计算的方便,通常把递推公式写成以a1和n表示an的形式,这可用经 验归纳法。 例如:把递推公式an+1=an+5改为用a1 和n来表示 ∵a2=a1+5, ∴a3=a2+5=(a1+5)+5=a1+2×5, a4=a3+5=(a1+2×5)+5=a1+3×5 …… ∴an=a1+(n-1)5 如果 已知a1=10, 求a20,显然代入这一公式方便。A20=10+19×5=105 3.有一类问题它与正整数的顺序有关,可寻找递推公式求解,这叫递推法。 乙例题 例1.已知:a1=2, an=an-1+2(n-1) (n≥2) 求:a100的值 解:a100=a99+2×99 =a98+2×98+2×99 =…… =a1+2×1+2×2+2×3+……+2×98+2×99 =2+2×

(1 + 99) × 99 =9902 2

又解:a2=a1+2×1 a3=a2+2 ×2=(a1+2×1)+2×2 a4=a3+2×3=(a1+2×1+2×2)+2×3 …… a100=a1+2×1+2×2+2×3+……+2×99 =2+2(1+2+3+……+99)=9902 例2.已知:x1=97, 对于自然数n>1, xn=

n x n ?1

求:x1x2x3·……·x8的值

解:由递推公式xn=

n x n ?1

可知

x1x2=x1

2 =2 x1

x3x4=x3

4 =4 x3

60

x5x6=x5

6 =6 x5

x7x8=x7

8 =8 x7

∴x1x2x3·……·x8=2×4×6 ×8=384

例3.已知:100个自然数a1,a2,a3……a100满足等式 (n-2)an-(n-1)an-1+1=0 (2≤n≤100)并且a100=199 求:a1+a2+a3+……+a100 分析:已知等式是一个递推公式,用后项表示前项:an-1= 可由a100求a99,a98…… 解:a99=

( n ? 2) a n + 1 n ?1

(100 ? 2)a100 + 1 98 × 199 + 1 = =197 99 99

a98=

(99 ? 2)a 99 + 1 97 × 197 + 1 = =195 98 98

用同样方法求得a97=193, a96=191,……a1=1 ∴a1+a2+a3+……+a100=1+3+5+……+195+197+199 =

(1 + 199) × 100 =104 2

丙练习23 丙练习 1. 已知 a1=1, a2=1, 且an+2=an+1+an 那么 a3=___,a4=____,a5=_____,a6=_____,a7=_____ 2. 若a1=2m, an=

2 a n ?1

则a2=__,a3=__,a4=__,a5=__,a1989×a1990=___

3. n为正整数,有递推公式an+1=an-3,试用a1,n表示第n项an 4. 已知 a1=10, an+1=2an 求a10 5. 已知 f(2)=1, f(n+1)=f(n)+n, 求 f(10) 2 2 n n 6. 设x+y=a1, x +y =a2, …… x +y =an, xy=6, 则a2=a12-2b, 有递推公式an+1=a1an-ban-1, 试按本公式求出:用a,b表示a3, a4, a5, a6 根据下列数据的特点,写出递推公式: ① a1=1, a2=4, a3=7, a4=10……an=____,an+1________ ② a1=1, a2=3, a3=6, a4=10……an=______,an+1_________ 7. n名象棋选手进行单循环比赛(每人对其他各人各赛一场)试用递推公 式表示比赛的场数。 8. 平面内n条的直线两两相交,最多有几个交点?试用递推公式表示。 参考答案
61

练习 23
1. 2,3,5,8,13 2.

1 1 ,2m, ,2m, 2 m m

3. an=a1-3((n-1) 4. a10=29×10=5120 5 f(10)=1+2+3+……+9=45 6. a3=a13-3a1b, ……a6=a16-6a14b+9a12b2-2b3 7. ①a n=a n-1+3, an+1=a1+3 ②a n=a n-1+n , a n-1=a n+(n+1) 8. f(n+1)=f(n)+n, 5. 同上, f(1)=0,f(2)=1,f(3)=f(2)+2,f(4)=f(3)+3,……f(n)=f(n-1)+n-1

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