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福建省德化一中2015届高三上学期第三次月考数学(文)


德化一中 2014 年秋季第三次质检高三数学(文)试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.已知集合 A={-1,0,1},B={x|-1 ? x ? 1},则 A∩B=( ) A.{0} B.{-1,0} C.{0,1} D.{-1,0,1} 2.复数 z ?

1 (i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( 1? i

)

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.命题“?x0∈R,x2 ) 0+2x0+2 ? 0”的否定是( 2 A.?x0∈R,x0 +2x0+2>0 B.?x0∈R,x2 0+2x0+2 ? 0 2 2 C.?x∈R,x +2x+2>0 D.?x∈R,x +2x+2 ? 0 4. 对于平面 ? 、 ? 和直线 a 、 b ,若 a ? ? , b ? ? , ? / / ? ,则直线 a 、 b 不可能是(

)

A. 相交
A.y=ln(x+2)

B. 平行
B.y=- x+1

C. 异面
) C.y= ? )

D. 垂直

5.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是(

6. 函数 f ( x) ? sin x sin( x ?

?
2

?1? ? ?2?

x

1 D.y=x+x

)是 (

A.最小正周期为 2π 的奇函数 C.最小正周期为π 的奇函数 7.函数 y=log5(1-x)的大致图像是(

B.最小正周期为 2π 的偶函数 D.最小正周期为π 的偶函数 )
2 正视图

2 1 4 侧视图

8.某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是( ) 第 8 题图 俯视图 20 16 10 A. π B. 6 π C. π D. π 3 3 3 9.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a=1,c=4 2,B=45° ,则 sinC 等于( ) 4 4 4 4 41 A. B. C. D. 41 5 25 41 10.设 OA =(1,2), OB =(a,3), OC =(-b,4),a>0,b>0,O 为坐标原点,若 A,B,C 三点共线, 1 2 则a+b的最小值是( ) A.2 B.4 C.4 2 D.8 ?log3x,x>0, ? 11.函数 f(x)=? 的图像上关于 y 轴对称的点共有( ) ?cos πx,x<0 ? A.0 对 B.1 对 C.2 对 D.3 对 12.若 a , b ? R ,定义运算“ 若正数

b, a ? b, ? ”和“ ? ”如下: a ? b ? ?b, a ? b, , a ? b ? ? ?

?a, a ? b, ?

a, b, c, d 满足: ab ? 4, c ? d ? 4 ,则( ) A. a ? b ? 2, c ? d ? 2 B. a ? b ? 2, c ? d ? 2
C. a ? b ? 2, c ? d ? 2 D. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.直线 x+ 3y+1=0 的倾斜角是 . ?x ? y ? 0 ? 14. 设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?y ?1 ?

?a, a ? b.

a ? b ? 2, c ? d ? 2

.

15.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2(an ? 1) ,则 a2 =

.

16.如图,半圆的直径 AB=4,O 为圆心,C 为半圆上不同于 A、B 的任意一点, 若 P 为半径 OC 上的动点,则 PA · . PC + PB · PC 的最小值是 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、 (12 分)已知等差数列{an}的公差 d=1,前 n 项和为 Sn. (Ⅰ)若 1,a1,a3 成等比数列,求 a1; (Ⅱ)若 S5 ? a1a9,求 a1 的取值范围.

18、 (12 分) 已知直线 l 与直线 x ? y ? 2 ? 0 垂直,且过点 (2,1) . (Ⅰ)求直线 l 的方程; (Ⅱ)若圆 C 过点 ( 1 , 0,且圆心在 ) x 轴的正半轴上,直线 l 被该圆所截得的弦长 为 2 2 ,求圆 C 的标准方程.

19、 (12 分)如图,以 Ox 为始边作角 α 与 β(0<β<α<π),它们终边分别与单位圆相交于点 P、Q,已知点 P sin 2α+cos 2α+1 3 4? 的坐标为? (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)若 OP · OQ =0,求 sin(α+β). ?-5,5?. 1+tan α

20. (12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 为正方形, BC ? PD ? 2 , (Ⅰ)求证: PC ? BC; (Ⅱ)求三棱锥 C ? D E G 的体积; E 为 PC 的中点, CB ? 3CG (Ⅲ) AD 边上是否存在一点 M ,使得 PA // 平面 M E G .若存在,求 AM 的长;若不存在,说明理由.

21. (12 分)某玩具厂生产一种儿童智力玩具,每个玩具的材料成本为 20 元,加工费为 t 元(t 为常数,且 2 ? t ? 5),出厂价为 x 元(25 ? x ? 40),根据市场调查知,日销售量 q(单位:个)与 ex 成反比,且当每个玩具的 出厂价为 30 元时,日销售量为 100 个. (Ⅰ)求该玩具厂的日利润 y 元与每个玩具的出厂价 x 元之间的函数关系式; (Ⅱ)若 t=5,则每个玩具的出厂价 x 为多少元时,该工厂的日利润 y 最大?并求最大值.

22、 (14 分)已知函数 f(x)=ln x,g(x)=ex. x+1 (Ⅰ)若函数 φ(x)=f(x)- ,求函数 φ(x)的单调区间; x-1 (Ⅱ)设直线 l 为函数 f(x)的图像上一点 A(x0,f(x0))处的切线.证明:在区间(1,+∞)上存在唯一的 x0,使 得直线 l 与曲线 y=g(x)相切.

德化一中 2014 年秋季第三次质检高三数学(文)参考答案 1—12: BDCAA,CCDBD,DC 13.

17. (1)因为数列{an}的公差 d=1,且 1,a1,a3 成等比数列,所以 a2 1=1×(a1+2), 即 a2 - a - 2 = 0 ,解得 a =- 1 或 a = 2. ??????????? 6分 1 1 1 1 2 (2)因为数列{an}的公差 d=1,且 S5>a1a9,所以 5a1+10>a1+8a1, 即 a2 1+3a1-10<0,解得-5<a1<2. ???????????12 分 18.解: (Ⅰ)∵ l 与 x ? y ? 2 ? 0 垂直 ∴ kl ? 1 ∵ l 过点 (2,1) ∴ l 的方程 y ? 1 ? ( x ? 2) 即 y ? x ? 1
2 2 2

5? 6

14.7

15.4

16.-2

????4 分

(Ⅱ)设圆的标准方程为 ( x ? a) ? y ? r

??????????12 分 3 4 19.解:(1)由三角函数定义得 cos α=- ,sin α= . 5 5 2sin αcos α+2cos2α 2cos α?sin α+cos α? ?-3?2=18. ????6 分 ∴原式= = =2cos2α=2· ? 5? 25 sin α sin α+cos α 1+ cos α cos α π? π π 3 (2)∵ OP · OQ =0,∴α-β=2.∴β=α-2,∴sin β=sin? ?α-2 ?=-cos α=5, π 4 α- ?=sin α= . cos β=cos? ? 2? 5 3 3 7 4 4 - ?× = . ???????????12 分 ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β= × +? 5 5 ? 5? 5 25 20.(Ⅰ)证明:? PD ? 平面 ABCD ,? PD ? BC 又∵ ABCD 是正方形 ∴ BC ? CD ∵ PD CD ? D ∴ BC ? 平面 PCD ???????????3 分 又∵ PC ? 面 PBC ∴ P C ? B C ???????????4 分 (Ⅱ)解:∵ BC ? 平面 P C D , ∴ GC 是三棱锥 G ? D E C 的高 ???????????5 分 ∵ E 是 PC 的中点

? (1 ? a)2 ? r 2 ??? 分 ? 2 ?? a ? 1 ? 2 ? ? 2 ? r ???8分 ?? ?? 2 ? 2 2 ∴圆的标准方程为 ( x ? 3) ? y ? 4

解得: a ? 3, r ? 2

????????10 分

? S ?E D C?

1 1 1 1 S ?E D C? S ?P D C? ? ( ? 2 ? 2) ? 1 2 2 2 2 1 1 2 2 ?VC ? D E G? VG ? D E C? GC ? S ?D E C? ? ? 1 ? 3 3 3 9

???????????6 分 ???????????8 分

, GO (Ⅲ)连结 AC ,取 AC 中点 O ,连结 E O ,延长 GO 交 AD 于点 M , 则 PA //平面 M E G ???????????9 分 下面证明之 ∵ E 为 PC 的中点, O 是 AC 的中点,∴ EO // PA , ?????10 分 M E G 又? EO ? 平面MEG, PA ? 平面M E G ∴ PA //平面 ??????????11 分 在正方形 A B C D 中, ∵ O 是 AC 的中点, ? ?O C G≌ ?O A M

2 ? AM ? CG ? , 3

∴所求 AM 的长为 .

2 3

???????????12 分

k k 21.解:(1)设日销量 q= x(k≠0),则由题意得 q= 30=100,解得 k=100e30. e e 100e30 ∴日销量 q = x . ∴该玩具厂的日利润 y 元与每个玩具的出厂价 x 元之间的函数关系式为 y = e

100e30?x-20-t? (25≤x≤40).???????????6 分 ex 100e30?x-25? 100e30?26-x? (2)当 t=5 时,y= (25 ≤ x ≤ 40) ,∴ y ′ = (25≤x≤40). ex ex 由 y′>0,得 25≤x<26,由 y′<0,得 26<x≤40. ∴函数在区间[25,26)上单调递增,在区间(26,40]上单调递减. ∴当 x=26 时,函数取得最大值,ymax=100e4. ???????????12 分 x+1 x+1 =ln x- , x-1 x-1 x2+1 1 2 ∴φ′(x)=x+ = .∵x>0 且 x≠1, ?x-1?2 x?x-1?2 ∴φ′(x)>0, ∴函数 φ(x)的单调递增区间为(0,1)和(1,+∞).???????????4 分 1 1 1 (2)证明:∵f′(x)=x,∴f′(x0)= .∴切线 l 的方程为 y-ln x0= (x-x0). x0 x0 1 即 y= x+ln x0-1.①???????????6 分 x0 设直线 l 与曲线 y=g(x)相切于点(x1,ex1), 1 ∵g′(x)=ex,∴ex1= ,∴x1=-ln x0. x0 1 1 ∴直线 l 的方程为 y- = (x+ln x0). x0 x0 ln x0 1 1 即 y= x+ + .②???????????8 分 x0 x0 x0 x0+1 ln x0 1 ①-②,得 ln x0-1= + ,∴ln x0= . ???????????10 分 x0 x0 x0-1 下证:在区间(1,+∞)上 x0 存在且唯一. x+1 由(1)可知,φ(x)=ln x- 在区间(1,+∞)上递增. x-1 e+1 -2 又 φ(e)=ln e- = <0, e-1 e-1 e2+1 e2-3 φ(e2)=ln e2- 2 = >0, e -1 e2-1 结合零点存在性定理,说明方程 φ(x)=0 必在区间(e,e2)上有唯一的根,这个根就是所求的唯一的 x0, 故结论成立. ???????????14 分 22.解:(1)∵φ(x)=f(x)-


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