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3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式(2)


3.1两角和与差的 3.1两角和与差的 正弦、余弦、正切公式 正弦、余弦、 (2)

一、课题导入
某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上。如图3.1-1所 示,小山高BC约为30米,在地平面上有一点A,测得A,C两点 间距离约为67米,从A观测电视发射塔的视角( CAD ) ∠ D 约为 45 。求这座电视发射塔的高度。

解:设电视塔高CD= x 米,∠CAB = α 则 sin α = 30 在 Rt ABD 中,
67

tan(45

x + 30 +α) ≈ 60

x
45

能否用 sin α 把 tan(45 + α ) 表示出来呢? A

α

67

3.1-1

C 30 B

β 一般地说,对于任意角 α , ,能不能 α β 用 α , 的三角函数值把 + β 或者 α
的三角函数值表示出来呢?

β

下面我们来研究如何用任意角 α ,β 的正弦、 的正弦、余弦值来表示 cos(α β ) 的问 题。

二、新课讲解

cos(α β ) = cos α cos β

吗?

很明显:cos(60 cos 30 ) ≠ cos 60 cos 30

β 所以对任意的 α 、 , cos(α β ) = cos α cos β
不成立。
思考:

证法一、 证法一、用单位圆上的三角函数线证明

α 的终边与 如右图:设角 ∠ 单位圆的交点为 p1 , pop1 =
则 ∠pox = α β 过点P作PM垂直于x轴,垂 足为M,那么OM是角α β

y
p1

β
O

A
α

β

C
α β

p
x

B M

的余弦线。 β 思考:如何用角 α , 的正弦线、余 弦线来表示OM? 过点P作PA垂直于O p1 ,垂足为A,过点A作AB垂 直于x轴,垂足为B,过点P作PC垂直于AB,垂足为 C。则OA= cos α ,AP= sin β 并且∠pac = ∠p1ox = α 于是 OM=OB+BM =OB+CP =OAcos α +AP sin α = cos β cos α + sin β sin α

即 cos(α β ) = cos β cos α + sin β sin α

y A O
α

证法二、 证法二、用向量的方法证明
如右图:则

B
β

1

OA = (cosα, α ),OB = (cosβ , sin β ) sin
由向量数量积的定义,有

OA OB = OA OB cos(α β ) = cos(α β )
由向量数量积的坐标表示,有

(1)

OA OB = (cos α , sin α ) (cos β , sin β ) = cos α cos β + sin α sin β (2)

由(1)和(2)得

cos(α β ) = cos β cos α + sin β sin α
由向量数量积概念知: ≤ α 0

β ≤π

但 α β 都是任意角, β 也是任意角, α 那么证法二正确吗?

当 α β 是任意角时,由诱导公式, 总可以找到一个角 θ ∈ [0,2π ) ,使

cos θ = cos(α β ) 则

当θ∈

[0, π ]

OA OB = cos( 2π θ ) = cos θ = cos( α β )
(一)两角差的余弦公式
对于任意角 α ,β 都有

当θ ∈ [π ,2π ) 时,则 2π θ ∈ [0, π ) 且

时,则 OA OB = cos θ

= cos(α β )



cos(α β ) = cos β cos α + sin β sin α





( β ))

sin 作用:知 cos α , β ,sin α , β 的值可 cos 求 cos(α β )

的值。 例1 利用差角余弦公式求 cos 15 的值。
想一想: 有几种拆 分方法?

解法一: 解法一:

cos15 = cos(45 30 ) = cos 45 cos 30 + sin 45 sin 30 2 3 2 1 = × + × 2 2 2 2

6+ 2 = 4

解法二: 解法二:

cos15 = cos(60 45 )

= cos 60 cos 45 + sin 60 sin 45
1 2 3 2 = × + × 2 2 2 2 2+ 6 = 4

思考: 的值吗? 思考:你会求 sin 75 的值吗?

sin 75 = sin(90 15 ) = cos15
4 5 π 例2、已知 sin α = , α ∈ , π , cos β = , β 、 5 13 2 是第三象限角, 的值。 是第三象限角,求cos(α β ) 的值。

联系公式 (α β ) 和本题的条 件,要计算 cos(α β ) ,应作 哪些准备?

c

4 π 解:由 sin α = 5 , α ∈ 2 , π , 得

cos α = 1 sin α
2

5 又由cos β = , β 是第三象限角,得 13 2 12 5 2 sin β = 1 cos β = 1 = 13 13

3 4 = 1 = 5 5

2

cos(α β ) = cos α cos β + sin α sin β

3 5 4 12 = × + × 5 13 5 13

33 = 65

(二)练习:P142 1、2、3、4 练习: 、 、 、 (三)总结: 总结: 两角差的余弦公式
对于任意角 α ,β 都有

cos(α β ) = cos β cos α + sin β sin α





( β ))

sin 作用:知 cos α , β ,sin α , β 的值可 cos 求 cos(α β )


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