2010新课标全国卷数学理

2010 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理科）

一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1． 已知集合 A＝{x||x|≤2， x∈R}， B＝{x| x≤4， x∈Z}， 则 A∩B＝( A．(0,2) 2．已知复数 z＝ 1 4 1 2 B．[0,2] 3＋i 1－ 3i
2

)

C．{0,2}

D．{0,1,2} )

， z 是 z 的共轭复数，则 z· z ＝(

A.

B.

C．1

D．2 ) D．y＝－2x－2

3．曲线 y＝

x x＋2

在点(－1，－1)处的切线方程为( C．y＝－2x－3

A．y＝2x＋1

B．y＝2x－1

4．如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 P0( 2， － 2)， 角速度为 1， 那么点 P 到 x 轴的距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为( )

5．已知命题 p1：函数 y＝2x－2－x 在 R 为增函数．

p2：函数 y＝2x＋2－x 在 R 为减函数．
则在命题 q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈 p1)∨p2 和 q4：p1∧(綈 p2)中，真 命题是( ) B．q2，q3 D．q2，q4

A．q1，q3 C．q1，q4

6．某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1 000 粒，对于没有发芽 的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为( A．100 B．200 C．300 D．400 )

7．如果执行如图的框图，输入 N＝5，则输出的数等于(

)

A.

5 4

B.

4 5

C.

6 5

D.

5 6 ) D．{x|x<

8．设偶函数 f(x)满足 f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝( A．{x|x<－2 或 x>4} －2 或 x>2} 4 9．若 cosα＝－ ，α是第三象限的角，则 5 1 2 1 2 1＋tan 1－tan B．{x|x<0 或 x>4} C．{x|x<0 或 x>6}

α
2

α
2

＝(

)

A．－

B.

C．2

D．－2

10． 设三棱柱的侧棱垂直于底面， 所有棱的长都为 a， 顶点都在一个球面上， 则该球的表面积为( A．πa2 ) 7 B. πa2 3 C. 11 πa2 3 D．5πa2

?|lgx|，0<x≤10， 11．已知函数 f(x)＝? 1 ?－2x＋6，x>10.
( ) A．(1,10) B．(5,6)

若 a，b，

c 互不相等，且 f(a)＝f(b)＝f(c)，则 abc 的取值范围是

C．(10,12)

D．(20,24)

12．已知双曲线 E 的中心为原点，F(3,0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且 AB 的中点为 N(－12，－15)，则 E 的方程为( )

A. － ＝1 3 6 D. － ＝1 5 4

x2 y2

B. － ＝1 4 5

x2 y2

C. － ＝1 6 3

x2 y2

x2 y2

二（填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分） 13．设 y＝f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有 0≤f(x)≤1，可以用随 机模拟方法近似计算积分 ?
1 0

f(x)dx.先产生两组(每组 N 个)区间[0,1]上的均匀

随机数 x1，x2，…，xN 和 y1，y2，…，yN，由此得到 N 个点(xi，yi)(i＝1,2，…，

N)．再数出其中满足 yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的点数 N1，那么由随机模拟方法
可得积分 ?
1 0

f(x)dx 的近似值为________．

14．正视图为一个三角形的几何体可以是________．(写出三种) 15．过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x－y－1＝0 相切于点 B(2，1)，则圆 C 的方 程为________________． 1 16．在△ABC 中，D 为边 BC 上一点，BD＝ CD，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ 2

ADC 的面积为 3－ 3，则∠BAC＝________.
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分 12 分)设数列{an}满足 a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令 bn＝nan，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

18．(本小题满分 12 分)如图，已知四棱锥 P－ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD，AC⊥BD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点． (1)证明：PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线 PA 与平面 PEH 所成 角的正弦值．

19．(本小题满分 12 分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用 简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人，结果如下：

性别 是否需要志愿者 需要 不需要

男 40 160

女 30 270

(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； (2)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别 有关？ (3)根据(2)的结论， 能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需 要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由． 附：

P(K2≥k) k K2＝ a＋b n ad－bc 2 c＋d a＋c

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

b＋d

x2 y2 20．(本小题满分 12 分)设 F1，F2 分别是椭圆 E： 2＋ 2＝1(a>b>0)的左、右 a b
焦点，过 F1 斜率为 1 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成 等差数列． (1)求 E 的离心率； (2)设点 P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求 E 的方程．

21．(本小题满分 12 分)设函数 f(x)＝ex－1－x－ax2. (1)若 a＝0，求 f(x)的单调区间； (2)若当 x≥0 时 f(x)≥0，求 a 的取值 范围．

23．(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程 ?x＝1＋tcosα， 已知直线 C1：? ?y＝tsinα， 为参数)． ?x＝cosθ (t 为参数)，圆 C2：? ?y＝sinθ， (θ

(1)当α＝

π 时，求 C1 与 C2 的交点坐标； 3

(2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线，垂足为 A，P 为 OA 的中点．当α变化时，求

P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
24．(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲 设函数 f(x)＝|2x－4|＋1. (1)画出函数 y＝f(x)的图象； (2)若不等式 f(x)≤ax 的解集非空，求 a 的取值范围．

2010 年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷） 数学（理科）答案 一、选择题 1．D 7．D 2． A 8． B 3．A 9．A 4．C 10．B 5．C 11．C 6．B 12．B

二、填空题

13．

N1 14． 三棱锥、四棱锥、圆锥(其他正确答案同样给分) N
16. 60°

15． (x－3)2＋y2＝2 三、解答题 17．(1)

an＝22n－1
(2) 2 . 4

1 (2) Sn＝ [(3n－1)22n＋1＋2] 9

18．(1) 略 19. (1) 14%.

(2)K2≈9.967.由于 9.967>6.635， 99%

(3)由(2)的结论知， 该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数 据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异， 因此在 调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采 用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好． 20.(1) e＝ ＝

c a

a2－b2 2 ＝ a 2

(2)

＋ ＝1. 18 9

x2

y2

1 21.(1) f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加．(2) (－∞， ]． 2 22 (1)略 (2) BC ＝BE×CD.
2

1 3 23 (1) (1,0)，( ，－ ) 2 2 1 ? ?x＝2sin α， ? 1 y＝－ sinαcosα， ? 2 ?
2

(2)

1 (α为参数)． P 点轨迹是圆心为( ，0)， 4

1 半径为 的圆． 4

24.(1)

1 (2) (－∞，－2)∪[ ，＋∞)． 2