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2013届高考数学压轴题练习4


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高考数学压轴题练习 4
5. (本题满分 14 分)

x2 y2 2 已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,直线 l : y ? x ? 2 2 与以原点为圆心、 2 a b 以椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆相切。
(Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)设椭圆 C1 的左焦点为 F1,右焦点为 F2,直线 l1 过点 F1,且垂直于椭圆的长轴,动直线 l 2 垂直 l1 于 点 P,线段 PF2 的垂直平分线交 l 2 于点 M,求点 M 的轨迹 C2 的方程; (Ⅲ)若 AC、BD 为椭圆 C1 的两条相互垂直的弦,垂足为右焦点 F2,求四边形 ABCD 的面积的最小值.

2 c2 a 2 ? b2 1 ,? e2 ? 2 ? ? ,? a 2 ? 2b 2 2 2 a a 2 2 2 ? b,? b ? 2, b 2 ? 4,? a 2 ? 8, ? 直线l : x ? y ? 2 ? 0与圆x 2 ? y 2 ? b 2 相切? 2 x2 y 2 ∴椭圆 C1 的方程是 …………3 分 ? ? 1. 8 4 (Ⅱ)∵MP=MF2,∴动点 M 到定直线 l1 : x ? ?2 的距离等于它到定点 F2(2,0)的距离,∴动点 M 的轨
5.解: (Ⅰ)? e ? 迹 C 是以 l1 为准线,F2 为焦点的抛物线 ∴点 M 的轨迹 C2 的方程为 y ? 8 x …………6 分 (Ⅲ)当直线 AC 的斜率存在且不为零时,设直线 AC 的斜率为 k, A( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) ,则直线 AC 的方程为 y ? k ( x ? 2).
2

x2 y 2 ? ? 1及y ? k ( x ? 2)得(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 8 ? 0. 8 4 8k 2 8k 2 ? 8 , x1 x2 ? . 所以 x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 32(k 2 ? 1) 2 2 2 2 ….9 分 | AC |? (1 ? k )( x1 ? x2 ) ? (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ? 1 ? 2k 2 32(1 ? k 2 ) 1 1 由于直线 BD 的斜率为 ? , 用 ? 代换上式中的 k 可得 | BD |? k2 ? 2 k k ∵ AC ? BD , 1 16(1 ? k 2 ) 2 ∴四边形 ABCD 的面积为 S ? | AC | ? | BD |? 2 ……. .12 分 2 (k ? 2)(1 ? 2k 2 )
联立 由 (1 ? 2k )(k ? 2) ? [
2 2

(1 ? 2k 2 ) ? (k 2 ? 2) 2 3(k 2 ? 1) 2 ] ?[ ] 2 2
…………13 分

所以 S ?

易知,当直线 AC 的斜率不存在或斜率为零时,四边形 ABCD 的面积 S ? 8

64 ,当1 ? 2k 2 ? k 2 ? 2时,即k ? ?1 时取等号. 9


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