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【创新方案】2015高考数学(文)一轮演练知能检测:第3章 第2节 同角3角函数的基本关系与诱导公式]

第二节

同角三角函数的基本关系与诱导公式

[全盘巩固] π π 3 ? 1.α∈? ) ?-2,2?,sin α=-5,则 cos(-α)的值为( 4 4 3 3 A.- B. C. D.- 5 5 5 5 π π 3 4 4 ? 解析:选 B 因为 α∈? ?-2,2?,sin α=-5,所以 cos α=5,即 cos(-α)=5. 2.已知 tan x=2,则 sin2x+1=( ) 9 4 5 A.0 B. C. D. 5 3 3 2 2 2sin x+cos x 2tan2x+1 9 解析:选 B sin2x+1= 2 = = . sin x+cos2x tan2x+1 5 3. 1-2sin?π+2?cos?π+2?等于( ) A.sin 2-cos 2 B.cos 2-sin 2 C.± (sin 2-cos 2) D.sin 2+cos 2 解析:选 A 1-2sin?π+2?cos?π+2?= 1-2sin 2· cos 2= π sin22-2sin 2· cos 2+cos22=|sin 2-cos 2|.又∵ <2<π,∴sin 2>0,cos 2<0.∴|sin 2 2 -cos 2|=sin 2-cos 2. π ? sin? ?2-α?cos?π+α? 4.(2014· 绍兴模拟)设 α 是第二象限角,且 tan α=-3,则 =( 3π ? ? sin? 2 +α? A. 10 10 B.- 10 10 C. 10 5 D.- sin α
2

)

10 5

解析:选 B

? ?tan α=cos α=-3, -cos α 原式= =cos α,又?sin α+cos α=1, -cos α ?cos α<0, ?
2 2

?cos α=-

10 . 10

5.若 sin α 是 5x2-7x-6=0 的根,则 3π? ?3π ? 2 sin? ?-α- 2 ?sin? 2 -α?tan ?2π-α? =( π ? ?π -α cos +α?sin?π+α? cos? ?2 ? ?2 ? 3 5 4 A. B. C. 5 3 5

) 5 D. 4

3 解析:选 B 由 5x2-7x-6=0,得 x=- 或 x=2. 5 3 则 sin α=- . 5 cos α?-cos α?· tan2α 1 5 故原式= = = . sin α· ?-sin α?· ?-sin α? -sin α 3 6. (2014· 哈尔滨模拟)若 sin θ, cos θ 是方程 4x2+2mx+m=0 的两根, 则 m 的值为( A.1+ 5 B.1- 5 C.1± 5 D.-1- 5

)

m m 解析:选 B 由题意知:sin θ+cos θ=- ,sin θcos θ= . 2 4 ∵(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ, m2 m ∴ =1+ ,解得 m=1± 5,又 Δ=4m2-16m≥0, 4 2 ∴m≤0 或 m≥4,∴m=1- 5. π 7π 1 α+ ?= ,则 cos?α+ ?的值为________. 7.(2014· 南昌模拟)已知 sin? ? 12? 3 ? 12? π 7π π? π 1 ? ? ?? ? ? 解析:cos? ?α+12?=cos?2+?α+12??=-sin?α+12?=-3. 1 答案:- 3 π π ? cos?π-α? sin?π-α?· ? sin? cos? ?2+α?· ?2 ? ?2+α? 8.化简 + =________. cos?π+α? sin?π+α? cos α· sin α sin α?-sin α? 解析:原式= + =-sin α+sin α=0. -cos α -sin α 答案:0 9.f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4(a,b,α,β 均为非零实数),若 f(2 012)=6,则 f(2 013)=________. 解析:f(2 012)=asin(2 012π+α)+bcos(2 012π+β)+4=asin α+bcos β+4=6, ∴asin α+bcos β=2, ∴f(2 013)=asin(2 013π+α)+bcos(2 013π+β)+4=-asin α-bcos β+4=2. 答案:2 cos?π+θ? cos?θ-2π? 1 10.已知 sin(3π+θ)= ,求 + 的值. 3 3π 3π cos θ[cos?π-θ?-1] θ- ?cos?θ-π?-sin? +θ? sin? 2? ? ?2 ? 1 解:∵sin(3π+θ)=-sin θ= , 3 1 ∴sin θ=- . 3 -cos θ cos θ ∴原式= + cos θ?-cos θ-1? cos θ· ?-cos θ?+cos θ 1 cos θ = + 1+cos θ -cos2θ+cos θ 1 1 2 = + = 1+cos θ 1-cos θ 1-cos2θ 2 2 = 2 = =18. sin θ ? 1?2 - ? 3? 11.已知关于 x 的方程 2x2-( 3+1)x+m=0 的两根 sin θ 和 cos θ,θ∈(0,2π),求: sin2θ cos θ (1) + 的值; sin θ-cos θ 1-tan θ (2)m 的值; (3)方程的两根及此时 θ 的值. sin2θ cos θ 解:(1)原式= + sin θ sin θ-cos θ 1- cos θ sin2θ cos2θ = + sin θ-cos θ cos θ-sin θ sin2θ-cos2θ = =sin θ+cos θ. sin θ-cos θ

3+1 , 2 3+1 sin2θ cos θ 故 + = . 2 sin θ-cos θ 1-tan θ (2)由 sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=1+2sin θcos θ= 3 (sin θ+cos θ)2,得 m= . 2 由条件知 sin θ+cos θ= 3+1 ? ?sin θ+cos θ= 2 , (3)由? 3 cos θ= ? ?sin θ· 4



?sin θ= 23, ? 1 ?cos θ=2,

?sin θ=2, 或? 3 ?cos θ= 2 .

1

π π 又 θ∈(0,2π),故 θ= 或 θ= . 6 3 1 12.已知在△ABC 中,sin A+cos A= . 5 (1)求 sin Acos A 的值; (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求 tan A 的值. 1 解:(1)∵sin A+cos A= ,① 5 1 ∴两边平方得 1+2sin Acos A= , 25 12 ∴sin Acos A=- . 25 12 (2)由 sin Acos A=- <0,且 0<A<π, 25 可知 cos A<0,∴A 为钝角, ∴△ABC 是钝角三角形. 24 49 (3)∵(sin A-cos A)2=1-2sin Acos A=1+ = , 25 25 又 sin A>0,cos A<0,∴sin A-cos A>0, 7 ∴sin A-cos A= .② 5 4 3 ∴由①②可得 sin A= ,cos A=- , 5 5 4 5 sin A 4 ∴tan A= = =- . cos A 3 3 - 5 [冲击名校] π 1.已知 2tan α· sin α=3,- <α<0,则 sin α=( ) 2 3 3 1 1 A. B.- C. D.- 2 2 2 2 2sin2α 解析:选 B 由 2tan α· sin α=3,得 =3, cos α

π 即 2cos2α+3cos α-2=0,又- <α<0, 2 1 3 解得 cos α= (cos α=-2 舍去),故 sin α=- . 2 2 π π? ?π ? 2.是否存在 α∈? ?-2,2?,β∈(0,π),使等式 sin(3π-α)= 2cos?2-β?, =- 2cos(π+β)同时成立? 若存在,求出 α,β 的值;若不存在,请说明理由. 解:假设存在 α、β 使得等式成立,即有 π ? ? ?sin?3π-α?= 2cos? ① ?2-β?, ?

3cos(-α)

? 3cos?-α?=- 2cos?π+β?, ② ?
由诱导公式可得

?sin α= 2sin β, ? ? 3cos α= 2cos β, ④
1 ③2+④2 得 sin2α+3cos2α=2,解得 cos2α= . 2 π π π π ? 又∵α∈? ?-2,2?,∴α=4或 α=-4. π 3 将 α= 代入④,得 cos β= . 4 2



π 又 β∈(0,π),∴β= ,代入③可知符合. 6 π 3 将 α=- 代入④,得 cos β= . 4 2 π 又 β∈(0,π).∴β= ,代入③可知不符合. 6 π π 综上可知,存在 α= ,β= 满足条件. 4 6 [高频滚动] 3π 3π ? 1.已知点 P? ) ?sin 4 ,cos 4 ?在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 θ 的值为( π 3π 5π 7π A. B. C. D. 4 4 4 4 7π 2 2 解析:选 D 由已知得 P? ,- ?,∴tan θ=-1 且 θ 是第四象限角,∴θ= . 4 2? ?2 5 2.已知角 α 的终边经过点 P(-x,-6),且 cos α=- ,则 x 的值为________. 13 -x -x 5 解析:∵cos α= = 2 =- , 13 ?-x?2+?-6?2 x +36 x>0, ? ? 2 5 ∴? x 解得 x= . 25 2 = , 2 ? ?x +36 169 5 答案: 2


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