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高考总复习——导数及其应用(题目含答案全解全析


【考点阐释】 《考试说明》要求:了解导数概念的实际背景,理解导数的几何意义,能根据定义求几个简单函数的导数,能利用导 数公式表及导数的四则运算法则求简单函数的导数。本节的能级要求为导数的概念 A 级,其余为 B 级。 【高考体验】 一、课前热身 (1) (2009 江苏卷)在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 在曲线 C : y ? x ? 10 x ? 3 上,且在第二象限内,已知曲线 C 在点 P
3

处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为
x

(-2,15) ,

.

(2) (2009 宁夏海南卷文)曲线 y ? xe ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为 (3) (2009 全国卷Ⅰ理) 已知直线 y=x+1 与曲线 y ? ln( x ? a) 相切,则α 的值为
2

y ? 3x ? 1
2 .



(4) (2009 江西卷理) 设函数 f ( x) ? g ( x) ? x , 曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 , 则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处切线的斜率为

4

.
3

(5) (2009 福建卷理)若曲线 f ( x) ? ax ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 取值范围是_______ (??,0) ______. (6)(2009 陕西卷理)设曲线 y ? x
n ?1

(n ? N * ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,令 an ? lg xn ,则
.

a1 ? a2 ? ? ? a99 的值为
二、教材回归二 1.函数的平均变化率

-2

一般地,函数 f (x) 在区间 ?x1 , x2 ? 上的平均变化率为 2.函数 f (x) 在 x ? x0 处的导数

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1

(1)定义:设函数 y ? f (x) 在区间 (a, b) 上有定义, x0 ? (a, b) ,若 ?x 无限趋于 0 时,比值 无限趋于一个常数 A,则称 f (x) 在 (2)几何意义 函数 f (x) 在点 x 0 处的导数 f ( x) 的几何意义是过曲线 y ? f (x) 上的点
'

?y ? ?x

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x
的导数,记作 f ( x0 )
'

x ? x0

处可导,并称该常数 A 为函数 f (x) 在点处点 x ? x0

直线

的切线的斜率。

3.基本初等函数的导数公式 (C ; ; C ' ? 0 为常数) ( x a ) ' ? ax a ?1 (a 为常数) (sin x) ' ? cosx;(cos x) ' ? -sinx;(e x ) ' ? e x ; (a x ) ' ? a x ln a ;

(ln x) ' ?

1 1 ' ; (log a x) ? . x x ln a
'
' '

? f ( x) ? ? 4.导数的四则运算法则:1) f ( x) ? g ( x) ? =(2) f ( x) ? g ( x)? = (3) ( ? ? g ( x) ? = ? ?
三、同步导学 例 1:已知质点 M 按规律 s ? 2t ? 3 做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s) 。
2

f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x)

?g ( x)?2

, ( x) ? 0 。 g

1 / 39

?s ; ?t ?s (2) 当 t=2, ?t ? 0.001 时,求 ; ?t
(1) 当 t=2, ?t ? 0.01 时,求 (3) 求质点 M 在 t=2 时的瞬时速度。 例 2:求下列各函数的导数: (1) y ?
x ? x5 ? sin x x
2

;

(2) y ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3);

x x (3) y ? ? sin ?1 ? 2 cos2 ?; ? ? 2? 4?

(4) y ?

1 1? x

?

1 1? x

.

例 3:已知曲线 y= x3 ? . ? (1)求曲线在 x=2 处的切线方程;? (2)求曲线过点(2,4)的切线方程.

1 3

4 3

四、高考定位 1.了解导数概念的实际背景,理解导数的几何意义,主要以填空题形式来考查; 2.能根据导数定义求最基本函数的导数,能利用导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数; 3.会求切线的方程,区分在点处与过点的切线方程; 4.导数运算每年必考,常与导数的应用交汇,考查导数的运算能力。 【课堂互动】 1. (2008 江苏卷)直线 y ?

1 x ? b 是曲线 y ? ln x ? x ? 0 ? 的一条切线,则实数 b= 2
2



2. (2009 安徽卷理)已知函数 f ( x) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x ? 8 x ? 8 ,则曲线

y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是
3. 设 f(x)=x(x+1)(x+2)?(x+n),则 f′(0)=_________
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4. (2009 安徽卷文)设函数 __________ 5. (2009 江西卷)若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y ? x 和 y ? ax 2 ?
3

,其中

,则导数

的取值范围是

15 x ? 9 都相切,则 a 等于__________ 4

6.(2008 海南、宁夏卷)设函数 f ( x) ? ax ?

1 (a,b∈Z),曲线 y ? f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y=3. x?b

(1)求 f (x) 的解析式; (2)证明:曲线 y ? f (x) 上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定值,并求出此定值.

【好题精练】 1.一个物体的运动方程为 y ? 1 ? t ? t , 其中 y 的单位:m,t 的单位:s,那么物体在 3s 末的瞬时速度是_______ m
2

s.

2. 已知 f(x)=sinx(cosx+1),则 f ?(x) 等于_______. 3. 设 P 为曲线 C: +2x+3 上的点, y=x 且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围是 ?0, ? , 则点 P 横坐标的取值范围为_______. 4
? ?
2

? ??

2 / 39

4. 若点 P 在曲线 y=x -3x +(3- 3 )x+ 上移动,经过点 P 的切线的倾斜角为 ? ,则角 ? 的取值范围是_______. 5.(2008 南通调研)给出下列的命题:①若函数 f ( x) ? x , 则f (0) ? 0 ;②若函数 f ( x) ? 2 x ? 1 图像上 P(1,3)及邻近
3 ' 2

3

2

3 4

点 Q(1+ ?x,3 ? ?y ), 则

?y ? 4 ? 2?x ; ③ 加 速 度 是 动 点 ( 速 度 ) 位 移 函 数 s(t ) 对 时 间 t 的 导 数 ; ④ ?x
,其中正确的命题是_______.

y?

x2 2x ? 2 x ? x 2 ? 2 x 1 ? lg x, 则y ' ? ? x 2x 22x

6. (2009 南通调研)曲线 C: f ( x) ? sin x ? e x ? 2 在 x=0 处的切线方程为_______. 7. (2009 徐州调研).已知函数 f(x)= f ?( ) sinx+cosx,则 f ( ) =

?

?

2

4

.

8. 已知 f1 ( x) ? e sin x , f n ( x) ? f n??1 ( x), n ? 2 ,则
x

2008 i ?1

? f (0) ?
i

.

9. 已知函数 f ? x ? 的导函数为 f ' ? x ? ,且满足 f ?x ? ? 3x ? 2 xf ' ?2? ,则 f ' ?5? ?
2
?

. .

10. 设 f 0 ( x) ? cos x, f1 ( x) ? f 0 '( x), f 2 ( x) ? f1 '( x),?, f n ?1 ( x) ? f n '( x) , n ? N , 则 f 2008 ( x) ? 11. 求下列函数在 x=x0 处的导数.? (1)f(x)=
ex 1? x ? ex 1? x , x0 ? 2; (2) f ( x) ?

x ? x3 ? x 2 ln x x2

, x0 ? 1.

12. 设函数 f ( x) ? ax ?

b ,曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程为 7 x ? 4 y ? 12 ? 0 . x

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)证明:曲线 y ? f ( x) 上任一点处的切线与直线 x ? 0 和直线 y ? x 所围成的三角形面积为定值,并求此定值.

13. 已知曲线 C

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y=x3-3x2+2x,直线 l:y=kx,且 l 与 C 切于点(x0,y0)(x0≠0),求直线 l 的方程及切点坐标

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14.球半径以 2 cm s 的速度膨胀(1)半径为 5cm 时,表面积的变化率是多少? (2)半径为 8cm 时,体积的变化率是多少?

第 34 课:导数在研究函数中的应用 【考点阐释】
《考试说明》要求:了解函数的单调性和导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间;了解 函数在某点取得极值的必要条件和充分条件,会利用导数求函数的极大值和极小值(对多形式一般不超过三次) 。本节的能 级要求为 B 级。

【高考体验】 一、课前热身 3 2 (1) (2009 江苏卷)函数 f ( x) ? x ? 15 x ? 33x ? 6 的单调减区间为

.

3 / 39

(2) (2009 苏北四市调研)函数 y ? x ? 2 sin x在区间[?

2? 2? , ] 上的最大值为 3 3

.

( 3 ) 2009 盐 城 调 研 ) 已 知 函 数 f ( x) ? e? x ? ln x ( e 是 自 然 对 数 的 底 数 ), 若 实 数 x0 是 方 程 f ( x) ? 0 的 解 , 且 (
0 ? x1 ? x0 ? x2 ,则 f ( x1 )
▲ , , , f ( x2 ) (填“>”“≥”“<”“≤”).

( 4 ) 2009 苏 、 锡 、 常 、 镇 调 研 ) 若 函 数 f ? x ? ? mx 2 ? ln x ? 2 x 在 定 义 域 内 是 增 函 数 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 (
是 .

(5) (2009 通州调研)f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf ?( x) ? f ( x) ? 0 ,对任意正数 a、b,若 a
<b,则 af (a),bf (b) 的大小关系为
3

. .

(6) 2008 江苏卷)f(x)=ax -3x+1 对于 x∈[-1,1]总有 f(x)≥0 成立,则 a= ( 二、教材回归 1.函数的单调性与导数 (1) 设函数在某区间内可导, 如果 如果 ,那么函数 y ? f (x) 在这个区间上为增函数; ,那么函数 y ? f (x) 在这个区间上为减函数;
条件;

(2) f ' ( x) ? 0 函数 y ? f (x) 为增函数的 2.函数的极值 解方程 f ' ( x) ? 0 ,当 f ' ( x0 ) ? 0 时, (1)如果在 x 0 附近的左侧 (2)如果在 x 0 附近的左侧 3.求函数 y ? f (x) 在 ?a, b ? 上的最值 (1)求函数 y ? f (x) 在
内的极值;

,右侧 ,右侧

,那么 f ( x0 ) 是极大值; ,那么 f ( x0 ) 是极小值;

(2)将函数 y ? f (x) 得各极值与
小值。

的函数值

比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个为最

三、同步导学 例 1: (2009 通州调研)已知函数 y ? f ( x) ?
(1)求函数 y ? f (x) 的图像在 x ? (2)求 y ? f (x) 的最大值;

ln x . x

1 处的切线方程; e

(3) 设实数 a ? 0 ,求函数 F ( x) ? af ( x) 在 ?a,2a ?上的最小值.

例2: (2009南通调研)设a为实数,已知函数 f ( x) ? 1 x3 ? ax2 ? (a2 ? 1) x .
3
(1)当a=1时,求函数 f ( x) 的极值.
4 / 39

(2)若方程 f ( x) =0有三个不等实数根,求a的取值范围.
1 sin ? ? x m ?1 ? ln x , x

例 3: (2009 南通调研)已知函数 g ( x) ?
m∈R.

, ? ln x 在[1,+∞)上为增函数,且θ ∈(0,π ) f ( x) ? mx ?

(1)求θ 的值; (2)若 f ( x) ? g ( x) 在[1,+∞)上为单调函数,求 m 的取值范围; (3)设 h( x) ?
2e ,若在[1,e]上至少存在一个 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? h( x0 ) 成立,求 m 的取值范围. x

四、高考定位 1.以解答题的形式考查应用导数研究函数的单调性和极值(最值) ; 2.利用函数的单调性求参数的范围; 3.利用数形结合思想,及函数的单调性判断方程的根。 【课堂互动】
1. (2009 南京师大附中期中)函数 y ? x ? 2sin x 在(0, 2? )内的单调增区间为 . k k 2. (2009 苏州中学期中) 若函数 h( x) ? 2 x ? ? 在 (1, ? ?) 上是增函数,则实数 k 的取值范围是 x 3

3.(2009 通州调研)函数 f ( x) ? 1 ax3 ? 1 ax2 ? 2ax ? 2a ? 1 的图像经过四个象限的充要条件是
3 2

4. (2009 镇江调研)方程 x 3 ? 3x ? m ? 0 在[0,1]上有实数根,则 m 的最大值是
1 5. (2009 扬州调研) 若函数 f ? x ? ? x3 ? a 2 x 满足:对于任意的 x1 , x2 ? ? 0,1? 都有 | f ? x1 ? ? f ? x2 ? |? 1 恒成立,则 a 的 3
取值范围是

6. (2009 苏北四市调研)
已知函数 f ( x) ? ax ? 3, g ( x) ? bx ? cx (a, b ? R)且g (? ) ? g (1) ? f (0). (1)试求 b, c 所满足的关系式; (2)若 b ? 0 ,方程 f ( x) ? g ( x)在(0, ?) 有唯一解,求 a 的取值范围; ? (3)若 b ? 1,集合 A ? x f ( x) ? g ( x), 且g ( x) ? 0 ,试求集合 A 。
?1 ?2

1 2

?

?

【好题精练】 1. (2007 年广东文)函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是____________. 2. (2009 福建卷理)若曲线 f ( x) ? ax3 ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 取值范围是_____________.
1 3. 若 f ( x) ? ? x 2 ? b ln( x ? 2)在(-1,+?)上是减函数,则 b 的取值范围是 2 4 4. 若函数 y ? ? x3 ? bx 有三个单调区间,则 b 的取值范围是 3
2 5. (2007 年江苏 9) 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的导数为 f '( x) , f '(0) ? 0 , 对于任意实数 x 都有 f ( x) ? 0 , 则

f (1) f '(0)

5 / 39

的最小值为________ 6. (2007 年江苏 13)已知函数 f ( x) ? x ? 12 x ? 8 在区间 [?3,3] 上的最大值与最小值分别
3

为 M , m ,则 M ? m ? 7. 函数 f(x)=x +ax +bx+a 在 x=1 处有极值 10,则 a=
3 2 2 3 2 2

,b=

8.已知函数 f(x)=x +ax +bx+a 在 x=1 处有极值为 10,则 f(2)=___________ 9. 若 f(x)=x +3ax +3(a+2)x+1 没有极值,则 a 的取值范围为 10. f (x) , g (x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x ? 0 时, f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ? 0 ,且 g (?3) ? 0 ,则不等 式 f ( x) g ( x) ? 0 的解集是____
3 2

11. (2009 全国Ⅱ卷)设函数
(1)讨论 f(x)的单调性;

f ( x) ?

1 3 x ? (1 ? a ) x 2 ? 4ax ? 24 a 3 ,其中常数 a>1

(2)若当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围。

12. (2009 辽宁卷)设 f ( x) ? e x (ax 2 ? x ? 1) ,且曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线与 x 轴平行。
(I) (II) 求 a 的值,并讨论 f(x)的单调性; 证明:当 ? ? [0,

?
2

]时, cos ? ) ? f(sin? ) ? 2 f(

w.w. w.k.s .5.u. c.o.m

13.设函数 f ? x ? ? ax ? ln x , g ? x ? ? a 2 x 2 .
⑴当 a ? ?1 时,求函数 y ? f ? x ? 图象上的点到直线 x ? y ? 3 ? 0 距离的最小值; ⑵是否存在正实数 a ,使 f ? x ? ? g ? x ? 对一切正实数 x 都成立?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

14. (2009 南京调研) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? a ln x (a ? R) 2

(1)若函数 f (x) 在 x ? 2 处的切线方程为 y ? x ? b ,求 a, b 的值; (2)若函数 f (x) 在 (1,??) 为增函数,求 a 的取值范围; (3)讨论方程 f ( x) ? 0 解的个数,并说明理由。

第 35 课:简单复合函数的导数 【考点阐释】
《考试说明》要求:会求简单复合函数的导数,高考一般不单独考查,为附加题部分知识。本节的能级要求为 B 级。

【高考体验】 一、课前热身
6 / 39

(1)函数 y ? 2 sin 3x 的导数是 (2)函数 y ? xe 的导数是
2x

.

(3)函数 log 2 ( x ? 2 x) 的导数是
2

(4)如 y=f(x)是可导函数,且 f (1) ? 2, 则当 x=1 时函数 f ( ) 的导数值为
'

(5)设函数 f ( x) ? sin(?x ? (6)已知 f ( x) ? ( x ?

?
6

1 x

) ? 1(? ? 0)的导数f ?( x) 的最大值为 3,则 f(x)的图象的一条对称轴的方程是
f ' ( 0) ? f ( 0)
.

.

x 2 ? 1)10 , 则

二、教材回归 若 y ? f (u) , u ? ax ? b ,则 y ' x ? 三、同步导学 例 1:求函数的导数
(1) y ? 1? x (1 ? x 2 ) cos x

,即 y ' x ?

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( 2) y ? (ax ? b sin 2 ?x ) 3 (3) y ? f ( x 2 ? 1)

例 2: 有一个长度为 5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上,假设其下端沿地板以 3 m/s ?的速度离开墙脚滑动,求当其下
端离开墙脚 1
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4 m 时,梯子上端下滑的速度

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例 3: (2009 南通调研)已知函数 g ( x) = x 2 - 2( x≥2) 记函数 f ( x) = x - kg ( x) ( x≥2, k 为常数).
(1)若函数 f(x)在区间 ? 2, ? ? ? 上为减函数,求 k 的取值范围; (2)求函数 f(x)的值域.

四、高考定位 1. 对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则,求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求
导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误 2. 复合函数求导法则,像链条一样,必须一环一环套下去,而不能丢掉其中的一环 必须正确分析复合函数是由哪些基 本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的复合关系
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【课堂互动】 1. y=esinxcos(sinx),则 y′(0)等于 1 2.函数 y ? (e x ? e ? x ) 的导数是 2

.

x2 ? a (a ? 0) 的导数为 0,则 x 的值是 3.如函数 y ? x

4.若 f ( x) ? (2 x ? a) 2 ,且 f ' (2) ? 20 ,则 a ?
x 5.如果函数 y ? f ?c o s ) 是可导函数,则 y 对 x 的导数是

6. (2009 南通调研)
已知等式 ( x2 ? 2 x ? 2)5 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1)2 ? ? ? a9 ( x ? 1)9 ? a10 ( x ? 1)10 ,其中

ai(i=0,1,2,?,10)为实常数.求:
7 / 39

(1) ? an 的值;
n ?1 10

10

(2) ? nan 的值.
n ?1

【好题精练】 1.函数 y ? (5 x ? 3) 4 的导数是 2. 函数 y ? sin n cos nx 的导数是 3. 函数 y ?
1 的导数是 (1 ? 3x) 4

4. 函数 y ? ln

1 在 x=1 处的导数值是 x

5. 函数 fn(x)=n2x2(1-x)n(n 为正整数),则 fn(x)在[0,1]上的最大值为 6.曲线 y ? cos 2( x ? ) 在点 P( ? ,0) 处的切线方程为 4 3 7.函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 的值域为 1 ? 8.如函数 f ( x) ? a sin x ? sin 3x 在 x= 处有最值,则 a ? 3 3 9. 在半径为 R 的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为_______时它的面积最大

?

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? ? ?? 10.函数 f ( x) ? sin 2 x ? x 在 ?? , ? 上的最大值为______,最小值为______。 ? 2 2?

11. 求函数的导数
(1)y=(x2-2x+3)e2x; (2) y ? 2
x2 ? x

;

(3)y= 3

x 1? x

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12. 在甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸 40 km 的 B 处,乙厂
到河岸的垂足 D 与 A 相距 50 km,两厂要在此岸边合建一个供水站 C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a 元和 5a 元,问供水站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省?
3 2 ?x 13. (2009 宁夏海南卷理)已知函数 f ( x) ? ( x ? 3x ? ax ? b)e

(I) (II)

如 a ? b ? ?3 ,求 f ( x) 的单调区间; 若 f ( x) 在 (??, ? ),(2, ? ) 单调增加,在 (? , 2),( ? , ??) 单调减少,证明

? ? ? <6.

w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

14. 利用导数求和
(1)Sn=1+2x+3x2+?+n x
n ?1

(x≠0,n∈N*)

(2)Sn=C 1 +2C 2 +3C 3 +?+nC n ,(n∈N*) n n n n

8 / 39

第 36 课:导数的综合运用 【考点阐释】
《考试说明》要求:会用导数解决某些实际问题,利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸,这 种解决问题的方法使复杂问题变得简单化,因而已逐渐成为新高考的又一热点 本节的能级要求为 B 级。
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【高考体验】 一、课前热身 (1)(2009 南通调研) 水波的半径以 50 cm s 的速度向外扩张,当半径 250cm 时,圆面积的膨胀率是 (2)已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax(a ? R) ,若直线 x ? y ? m ? 0 对任意的 m ? R 都不是曲线 y ? f (x) 的切线,则 a 的取值
范围为
3 (3) (2009 通州调研)设函数 f ( x) ? x ? x ,若 0 ? ? ?

?
2

时, f ( m c o? ?) f ? 1 m ? )恒成立,则实数的取值范围是 s ( 0

_

.

(4)(2009 盐城调研)已知关于 x 的方程

| x| ? kx 3 有三个不同的实数解,则实数 k 的取值范围是 x?3 5 的一个公共 2

3 ) (5)(2009 南京调研)在平面直角坐标系 xOy 中,设 A 是曲线 C1 : y ? a x ?1 ( a? 0与曲线 C2 : x 2 ? y 2 ?

点,若 C1 在 A 处的切线与 C2 在 A 处的切线互相垂直,则实数 a 的值是

(6) (2009 南通调研)设函数 f ( x) ? x3 ? 2ex 2 ? mx ? ln x ,记 g ( x) ?
值范围是

f ( x) ,若函数 g ( x) 至少存在一个零点,则实数 m 的取 x

二、教材回归 导数在实际生活中的应用主要是解决有关最大(小)值问题,一般应 题,解题中应该注意 。 三、同步导学 例 1:(2009 淮安调研) 已知函数 f ? x? ? l n x? x? 1 x ? ?0, ? ? . , ?
(1)求 f ? x ? 的单调区间和极值;

,则问题转化为导数问

1? 1? (2)设 a ≥1,函数 g ? x ? ? x 2 ? 3ax ? 2a 2 ? 5 ,若对于任意 x0 ? ? 0, ,总存在 x1 ? ? 0, ,使得 f ? x1 ? ? g ? x0 ? 成立,求 a 的

取值范围;

? (3)对任意 x ? ?0, ? ? ,求证:

1 x? 1 1 ? ln ? . x ?1 x x

例 2:(2009 南京调研)设 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x 2 ? a | ln x ? 1 | .
(1) 当 a ? 1 时,求曲线 y ? f (x) 在 x ? 1处的切线方程; (2) 当 x ? [1,??) 时,求函数 f (x) 的最小值.

例 3: (2008 年江苏卷)某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点 A,B 及 CD 的中点 P 处,已知 AB=20km,
CB =10km ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的区域上(含边界) ,且 A,B 与等距离的一点 O 处建造一个污 水处理厂,并铺设排污管道 AO,BO,OP ,设排污管道的总长为 y km.
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(Ⅰ)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO= ? (rad),将 y 表示成 ? 的函数关系式; ②设 OP ? x (km) ,将 y 表示成 x x 的函数关系式. (Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,确定 条排污管道总长度最短

D O

P

C

A

B

污水处理厂的位置,使三

思考题: 四、高考定位 1.以解答题的形式考查导数与三角函数,解析几何,不等式等知识相结合的问题。会构造函数来求导。 2. 解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数 把“问题情景”译为数学语言,找出问题的主要关系,并
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把问题的主要关系近似化,形式化,抽象成数学问题,再划归为常规问题,选择合适的数学方法求解

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【课堂互动】 1.(2009 淮安调研)已知 f1 ( x) ? sin x ? cos x ,记 f 2 ( x) ? f1' ( x) , f3 ( x) ? f 2' ( x) ,?, f n ( x) ? f n'?1 ( x) (n ? N *, n ? 2) ,
则 f1 ( ) ? f 2 ( ) ? ?? ? f 2009 ( ) ? ____ 4 4 4

?

?

?

2. 已知函数 f(x)的定义域为 [?2,??) ,部分对应值如下表y
x f(x) -2 1 0 -1 4 1 -2 O x

f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,函数 y ? f ? ? x ? 的图象如图所示,若两正数 a,b 满足 f(2a+b)<1,则

b?3 的取值范围是 a?3

? 3. (2009 苏北四市调研)设曲线 y ? ? a x 1? x e 在点 A ? x0 , y1 ? 处的切线为 l1 ,曲线 y ? ?1 ? x ? x 在点 B ? x0 , y2 ? 处的切线为 l2 , ? e

3 若存在 0 ≤ x0 ≤ ,使得 l1 ? l2 ,则实数 a 的取值范围是 2



? a ? 4.对正整数 n,设曲线 y ? x n (1 ? x) 在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n , 则数列 ? n ? 的前 n 项和的公式是 ? n ? 1?

5.质点 P 在半径为 10cm 的圆上逆时针作匀速圆周远动,角速度为 2 r a ds ,设 A(10,0)为起始点,则时刻 t 时,点 P
在 y 轴上的射影点 M 的速度是

6. (2009 湖南卷理)某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩,
经预测,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 (2 ? 分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为 y 万元。 (Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)当 m =640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小?

x ) x 万元。假设桥墩等距离

【好题精练】 1.已知函数 y=a(x3-3x)的递增区间为(-1,1) ,则 a 的取值范围是 2.
(2007 年江西理)设

p : f ( x) ? e x ? ln x ? 2 x 2 ? mx ? 1 在 (0, ?) 内单调递增, q : m ≥ ?5 ,则 p 是 q 的 ?

条件

3.函数 y ? x sin x 在 x ? ? 处取得极值,则 (1 ? ? 2 )(1 ? cos 2? ) =
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?? 4. 已知函数 f ( x) ? sin x cos x ? m(sin x ? cos x) 是区间 ? , ? ? 上单调递减函数,则实数 m 的取值范围是 ?2

1 5. (2009 南京调研) 已知函数 f ( x) ? ax ? x 4 , x ? [ ,1] , A, B 是其图象上不同的两点.若直线 AB 的斜率 k 总满足 2 1 ? k ? 4 ,则实数 a 的值是 2 6.曲线 y=x(x+1)(2-x)有两条平行于直线 y=x 的切线,则两切线之间的距离是

7. (2009 盐城三模) 已知定义在 R 上的函数 F (x) 满足 F ( x ? y) ? F ( x) ? F ( y) ,当 x ? 0 时, F ( x) ? 0 . 若对任意的
? F (2kx ? x 2 ) ? F (k ? 4) ? 均成立,则实数 k 的取值范围是 x ? [0,1] ,不等式组 ? 2 ? F ( x ? kx ) ? F ( k ? 3) ?
.

8.酒杯的现状为倒立的圆锥,杯深 8cm,上口宽 6cm,水以 20 cm3 s 的流量倒入杯中,当水深为 4cm 时,则水升高的瞬时
速度是

9. (08 年天津卷)已知 x ? 3 是函数 f ? x ? ? a ln ?1 ? x ? ? x2 ? 10 x 的一个极值点,若直线 y ? b 与函数 y ? f ? x ? 的图象
有 3 个交点,则 b 的取值范围

1 10. 设函数 f ( x) ? ? x 3 ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b,0 ? a ? 1. 当 x ? [a ? 1, a ? 2] 时,恒有 | f ?( x) |? a ,则确定 a 的取值范围是 3

11. (2009 通州调研)如图所示,一条直角走廊宽为 2 米。现有一转动灵活的平板车,其平板面为矩形 ABEF,它的宽为 1
米。直线 EF 分别交直线 AC、BC 于 M、N,过墙角 D 作 DP⊥AC 于 P,DQ⊥BC 于 Q; ⑴若平板车卡在直角走廊内,且∠ CAB ? ? ,试求平板面的长 (用表示); ⑵若平板车要想顺利通过直角走廊,其长度不能超过多少米? 2m N E D 2m F M AP l C Q B

12. (2009 北京理)
设函数 f ( x) ? xe (k ? 0)
kx

(1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 内单调递增,求 k 的取值范围.

13. (2009 通州调研)函数 f ( x) ? ln x ?
(1)试求 f(x)的单调区间;

a( x ? 1) ( x ? 0, a ? R) . x

(2)当 a>0 时,求证:函数 f(x)的图像存在唯一零点的充要条件是 a=1;
11 / 39

(3)求证:不等式

1 1 1 ? ? 对于 x ? (1, 2) 恒成立. ln x x ? 1 2

14. (2009 扬州调研) 已知函数 f ( x) ? e x ? 2 x 2 ? 3x.


高考 资源网

(I)求曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线方程;

高 考资源 网

(Ⅱ) 求证函数 f (x) 在区间[0, 1]上存在唯一的极值点, 并用二分法求函数取得极值时相应 x 的近似值 (误差不超过 0.2) ; (参考数据 e≈2.7, e ≈1.6,e ≈1.3) (III)当 x ?
0.3

高考资 源网

1 5 时, 若关于x的不等式f ( x) ? x 2 ? (a ? 3) x ? 1恒成立, 试求实数 a 的取值范围。 2 2

高考 资源网

第 37 课:定积分 【考点阐释】
《考试说明》要求:了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念,会用微积分基本定理求定 积分。高考时为附加题部分内容。本节的能级要求为 A 级

【高考体验】 一、课前热身 (1) (2)

?

2

1

1 (2 x ? )dx ? x

. . .

?

?

2 0

(3x ? sin x)dx ?
t 2t 0 0

(3) 若 ? 2 xdx ? ? dx <3,则 t 的取值范围 (4)若 a ? ? x 2 dx, b ? ? x 3 dx,c ? ? sin xdx ,
0 0 0 2 2 2

y?x?4

则 a,b,c 的大小关系是 (5)由曲线 y ?


1 , y ? 1 , y ? 2 , x ? 1所围成的面积 x
.

y 2 ? 2x

(6)图中,阴影部分的面积是 二、教材回归 1.求曲边梯形面积的步骤 ① ② ; ③ 2.定积分的定义







一般地,设函数 f (x) 在区间 ?a, b ? 上有定义,将区间 ?a, b ? 等分成 n 个小区间,每个小区间长度为
?x ? b?a ,在每个小区间上取一点,依次为 x1 , x2 ,? xi ,? xn n

作和 S n ? f ( x1 )?x ? f ( x2 )?x ? ? ? f ( xi )?x ? ? ? f ( xn )?x, 如果 ?x 无限趋近于 0 时,S n 无限趋近于常数 S, 那 么称 S 为函数 f (x) 在区间 ?a, b ? 上的 其中,f(x)称为 , ?a, b ? ,a 称为 记为 S= ,b 称为
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3.定积分的几何意义 在区间 ?a, b ? 上 4.微积分基本定理 对于被积函数 f(x) ,如果 F ' ( x) ? f ( x) ,则 ? f ( x)dx =
a b

的代数和(即 x 轴上方的面积减去 x 下方的面积) 。

三、同步导学 例 2:计算下列定积分: (1) ? x ? 2 dx ;
?4 3

(2) ?

e ?1

2

1 dx ; x ?1

(3) ?

2

?2

4 ? x 2 dx

例 3:(苏州市 2009 届高三三校联考)已知二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c, 直线l1 : y ? ?t 2 ? 8t (其中0 ? t ? 2.t 为常数) ;
l 2 : x ? 2 .若直线 l 1、 l 2 与函数 f(x)的图象以及 l 1,y 轴与函数 f(x)的图象所围成的封闭图形如阴影所示.
(1)求 a 、b、c 的值 (2)求阴影面积 S 关于 t 的函数 S(t)的解析式;

1 1 例 4: 2009 盐城调研) 如图所示,已知曲线 C1 : y ? x 2 ,曲线 C2 与 C1 关于点 ( , ) 对称,且曲线 C2 与 C1 交于点 O、 ( 2 2 A,直线 x ? t (0 ? t ? 1) 与曲线 C1 、 C2 、 x 轴分别交于点 D 、 B 、 E ,连结 AB . (Ⅰ)求曲边三角形 BOD (阴影部分)的面积 S1 ; ..
y (Ⅱ)求曲边三角形 ABD (阴影部分)的面积 S 2 . ..

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四、高考定位 1.“分割、近似求和、取极限”的数学思想,弄清定积分的几何意义,会求曲线围成的面积; 2.定积分在物理中的应用。 3.微积分基本定理公式 ? f ( x)dx ? F (b) ? F (a)
a b

【课堂互动】
1.已知自由落体的运动速度 v=gt(g 为常数) ,则当 t ? ?1, 2?时,物体下落的距离是 2.曲线 y ? cos x(0 ? x ? 3.

? ?1 ?
1 0

3 ? ) 与两坐标轴所围成图形的面积为 2

1 ? ( x ? 1) 2 ?dx =

4. (2009 苏州中学期中)由 y ? x ?2 x ?3 , y ? x ?3 所围成的封闭图形的面积为
2

5.下列积分的值等于 1 的是 ①

?

1

0

xdx ; ②

?

1

0

( x ? 1)dx ; ③

11 1dx ; ④ ? dx ?0 0 2

1

6.(2008 盐城一模)过点 A(6,4)作曲线 f ( x) ? (1)求切线 l 的方程;

4 x ? 8 的切线 l

(2)求切线 l 与 x 轴以及曲线所围成的封闭图形的面积 S

【好题精练】 1. ? (2 x ? 3x 2 )dx =
0 1

?10, (0 ? x ? 2) 2.一物体在力 F(x) ? (单位:N)的作用下沿与力 F 相同的方向,从 x=0 处运动到 x=4(单位:m) ?3 x ? 4, ( x ? 2)

处,则力 F(x)做的功为 3.抛物线 y ? ? x 2 ? 4 x ? 3 及其在点 A(1,0)和点 B(3,0)处的切线所围成的图像面积是 4.已知 f (x) 是一次函数,其图象过点(3,4) ,且 ? f ( x)dx ? 1 ,则 f (x) 的解析式为
0 1

5. a ? ? 4 xdx,b ? ? 4 sin xdx, c ? ? 4 tan xdx ,则三者大小关系式
0 0 0

?

?

?

6. 由 y ? cos x 及 x 轴围成的介于 0 与 2? 之间的平面图形的面积,利用定积分应表达为 7. 如果 1N 力能拉长弹簧 1cm ,为将弹簧拉长 6cm,所耗费的功是 8. 由曲线 y ? x , y ? x 2 所围成图形的面积是____________ 9. 计算 ? x2 ? x dx =
?1 2

10. 在 曲 线 y ? x 2 ( x ? 0) 上 的 某 点 A 处 做 一 切 线 使 之 与 曲 线 以 及 x 轴 所 围 成 的 面 积 为
为 ,切线方程为 .
14 / 39

1 .切点 A 的坐标 12

11. 已知 f ( x) ? ?

3 ?2 x ? 1, x ? [?2, 2] 40 ,求 k 值, 使 ? f ( x)dx ? . 2 k 1 ? x , x ? (2, 4] 3 ?

12. 设直线 y ? ax (a ? 1) 与抛物线 y ? x 2 所围成的图形面积为 S,它们与直线 x ? 1 围成的面积为 T, 若 U=S+T 达到最小值,求
a 值;并求此时平面图形绕 x 轴一周所得旋转体的体积.

13.(2009 南京师范附中调研) 设 y ? f (x) 是二次函数,方程 f ( x) ? 0 有两个相等的实根,且 f ?( x) ? 2 x ? 2 。 (1)求 y ? f (x) 的表达式;
(2)求 y ? f (x) 的图象与两坐标轴所围成图形的面积; (3)若直线 x ? ?t ( 0 ? t ? 1把 y ? f (x) )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求 t 的值。

14. (2009 南通调研)先阅读:如图,设梯形 ABCD 的上、下底边的长分别是 a,b(a<b) ,高为 h,求梯形的面积.
A B

D

C

方法一:延长 DA、CB 交于点 O,过点 O 作 CD 的垂线分别交 AB、CD 于 E,F,则 EF ? h . 设 OE ? x,? ?OAB∽?ODC,?
x a ah . ? ,即x? x?h b b?a

1 1 1 1 1 ? S梯形ABCD ? S?ODC ? S?OAB ? b( x ? h) ? ax ? (b ? a) x ? bh ? (a ? b)h . 2 2 2 2 2 方法二: AB 的平行线 MN 分别交 AD、 于 M、 , 作 BC N 过点 A 作 BC 的平行线 AQ 分别交 MN、DC 于 P、Q,则 ?AMP∽?ADQ .

设梯形 AMNB 的高为 x, MN ? y,
? S梯形ABCD ? ? (a ?
0 h

x y?a b?a ? ? y?a? x, h b?a h
h

b?a b?a 2 b?a 2 1 x)dx ? (ax ? x ) ? ah ? ? h ? ( a ? b) h . h 2h 2h 2 0

再解下面的问题: 已知四棱台 ABCD-A′B′C′D′的上、下底面的面积分别是 S1 , S2 (S1 ? S2 ) ,棱台的高为 h,类比以上两种方法,分别

1 求出棱台的体积(棱锥的体积= ? 底面积 ? 高) . 3

模块整合六:导数及其应用
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第 33 课:导数的概念及运算 一、课前热身 (1) (-2,15)(2) y ? 3x ? 1 , , (3)2, (4) 4 , (5) (??,0) , (6)-2 二、教材回归 (1)

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ; x 2 ? x1

(2)

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ' ; x ? x0 ;点 x ? x0 ; f ( x0 ) ; ?x
a ?1

(3)0; ax
'

;cosx;-sinx; e ; a ln a ;
' ' '

x

x

1 1 ; ; x x ln a

(4) f ( x) ? g ( x) ; f ( x) g ( x) ? f ( x) g ( x) ;

f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x)

?g ( x)?2
s

三、同步导学 例 2(1)8.02 cm (2)8.002 cm ; (3)8 cm

s

s

1

例 3:(1)∵ y ?
? 3

x 2 ? x5 ? sin x x2

?x

?

3 2

? x3 ?
?

sin x x2

,

∴y′ ? ( x 2 )? ? ( x3 )? ? ( x ?2 sin x)? ? ? x (2)
2 3

3 2

5 2
2

? 3x 2 ? 2 x ?3 sin x ? x ? 2 cos x.
2

y=(x +3x+2) (x+3)=x +6x +11x+6,∴y′=3x +12x+11.
2? 2? 2

x x 1 (3)∵y= ? sin ? ? cos ? ? sin x, ? ?
? ? ?

∴ y? ? ? sin x ? ? (sin x)? ? cos x. (4) y ?
1 1? x ? 1 1? x ? 1? x ?1? x (1 ? x )(1 ? x ) ? 2 , 1? x

?1 ?2

1 2

1 2

∴ y? ? ?

? 2 ? 2 ? ? 2(1 ? x)? ? . ? ? 2 (1 ? x) (1 ? x)2 ?1? x ?
2

例 4: (1)∵y′=x ,∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k= y? |x=2=4. 曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0. (2)设曲线 y= x3 ?
1 3
1 3 4 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A? x0 , x0 ? ? 3 ? 3 4? ?, 3?

?



则切线的斜率 k=

y? | x? x
4? 3?

0

x02 . =
2 0

3 2 ∴切线方程为 y ? ? x0 ? ? ? x0 ( x ? x0 ), 即 y ? x ? x ? x ? .
3 0

?1 ?3

2 3

4 3

2 3 ∵点 P(2,4)在切线上,∴4= 2 x0 ? x0 ? ,

2 3

4 3

3 2 3 2 2 2 即 x0 ? 3x0 ? 4 ? 0,? x0 ? x0 ? 4 x0 ? 4 ? 0, ∴ x0 ( x0 ? 1) ? 4( x0 ? 1)( x0 ? 1) ? 0,

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∴(x0+1)(x0-2) =0,解得 x0=-1 或 x0=2, 故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0. 【课堂互动】 1. ln2-1,2. y ? 2 x ? 1 ,3. 解析
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设 g(x)=(x+1)(x+2)??(x+n),则 f(x)=xg(x),

于是 f′(x)=g(x)+xg′(x),f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·?n=n! 答案
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n!, 4.

, 5. ?1 或 -

25 ,已知点(1,0)不在曲线 y=x3 上,容易求出过点(1,0)的直线与曲线 64

y=x3 相切的切点的坐标,进而求出切线所在的方程;再利用切线与 y=ax2+ 15 4 x-9 相切,只有一个公共点,两个方程联系,得到二元一次方程,利用判别式为 0,解出 a 的值. 6(1)
f ?( x) ? a ? 1 , ( x ? b) 2

1 ? 9 ? ?2 a ? 2 ? b ? 3, ?a ? 4 , ?a ? 1, ? ? 于是 ? 解得 ? 或? 1 ?b ? ?1, ?a ? ?b ? ? 8 . ? 0, 2 ? ? (2 ? b) 3 ? ?

因为 a,b ? Z,故 f ( x) ? x ? (2)

1 . x ?1
? ?
0 0

在曲线上任取一点 ? x , x ? ?

1 ? ?. x0 ? 1 ? ?

1 由 f ?( x0 ) ? 1 ? 知,过此点的切线方程为 ( x0 ? 1) 2
y? x02 ? x0 ? 1 ? 1 ? ? ?1 ? ? ( x ? x0 ) . x0 ? 1 ( x0 ? 1) 2 ? ?

令 x=1,得 y ?

? x ?1 ? x0 ? 1 ,切线与直线 x=1 交点为 ?1, 0 ? . ? x ?1 ? x0 ? 1 ? 0 ?
0 0 0

令 y=x,得 y ? 2 x ?1 ,切线与直线 y=x 的交点为 (2x ?1,2x ?1) . 直线 x=1 与直线 y=x 的交点为(1,1). 从而所围三角形的面积为
1 x0 ? 1 1 2 ? 1 2 x0 ? 1 ? 1 ? 2 x0 ? 2 ? 2 . 2 x0 ? 1 2 x0 ? 1

所以,所围三角形的面积为定值 2. 【好题精练】 1.5,
1 2. cos2x+cosx, 3. ??1,? ? , ? ? ? 2?

? 2? 4. ?0, ? ? ? , ? ? , 5. ①②, ? ? ? ?
? 2? ? 3 ?

6. y=2x+3,7. 0,8. 1? 4

502

,利用乘积的 9. 6, 10.

导数的运算法则求出前几个 fn (0) 值, 观察归纳得到一个等比数列, 利用等比数列的前 n 项和公式求出值. cosx. 11. (1)∵ f ?( x) ? ?
? 3 2

? ? 2e x ? (2e x )?(1 ? x) ? 2e x (1 ? x)? 2(2 ? x)e x ? , ∴ f ?(2) =0. ? ? (1 ? x) 2 (1 ? x) 2 ? 1? x ?

(2)∵ f ?( x) ? ( x )? ? x? ? (ln x)? ? ? x ? 1 ? , ∴ f ?(1) ? ? . 12. (Ⅰ)方程 7 x ? 4 y ? 12 ? 0 可化为 y ?

3 2

?

5 2

1 x

3 2

7 x ? 3. 4

17 / 39

b 1 ? ?2a ? 2 ? 2 , ?a ? 1, 1 b ? 当 x ? 2 时, y ? ,又 f ?( x) ? a ? 2 ,于是 ? 解得 ? b 7 2 x ?b ? 3. ?a ? ? , ? ? 4 4
故 f ( x) ? x ?

3 . x
3 知曲线在点 P( x0,y0 ) 处的切线方程为 x2

(Ⅱ)设 P( x0,y0 ) 为曲线上任一点,由 y? ? 1 ?

? ? 3 ? 3? ? 3? y ? y0 ? ? 1 ? 2 ? ( x ? x0 ) ,即 y ? ? x0 ? ? ? ? 1 ? 2 ? ( x ? x0 ) . x0 ? ? x0 ? ? x0 ? ?
令 x ? 0得 y ? ?

? 6? 6 ? ?. ,从而得切线与直线 x ? 0 的交点坐标为 ? 0, x0 ? x0 ?

2 令 y ? x 得 y ? x ? 2 x0 ,从而得切线与直线 y ? x 的交点坐标为 (2 x0,x0 ) .
所以点 P( x0,y0 ) 处的切线与直线 x ? 0 , y ? x 所围成的三角形面积为

1 6 ? 2 x0 ? 6 . 2 x

故曲线 y ? f ( x) 上任一点处的切线与直线 x ? 0 , y ? x 所围成的三角形的面积为定值,此定值为 6 .

13. 由 l 过原点,知 k=

y0 3 2 (x0≠0),点(x0,y0)在曲线 C 上,y0=x0 -3x0 +2x0, x0



y0 2 =x0 -3x0+2 x0

y′=3x2-6x+2,k=3x02-6x0+2
又 k=

y0 2 2 ,∴3x0 -6x0+2=x0 -3x0+2 x0

2x0 -3x0=0,∴x0=0 或 x0= 由 x≠0,知 x0=

2

3 2

3 2 3 3 3 2 3 3 ∴y0=( ) -3( ) +2· =- 2 2 2 8
∴k=

y0 1 =- x0 4

∴l 方程 y=-

1 3 3 x 切点( ,- ) 4 2 8
3 s; (2) 512? cm s

14.(1) 80? cm

2

第 34 课:导数在研究函数中的应用
18 / 39

一、课前热身 (1) ( ?1,11) (2) 3 ? 二、教材回归 1.(1) f ( x) ? 0, f ( x) ? 0 ; (2)必要不充分条件 2.(1) f ( x) ? 0, f ( x) ? 0 ; (2) f ( x) ?,0, f ( x) ? 0
' ' ' ' ' '

?

1 , (3)<, (4) m≥ , (5) af (a) ? bf (b) , (6) 4 2 3

3.(1) ?a, b ? ;(2)端点处; f (a), f (b) 。

三、同步导学

例 1(Ⅰ)? f (x) 定义域为 ?0,???

? f / (x) ?

1 - lnx x2
又 ? k ? f ( ) ? 2e
/

1 ? f ( ) ? ?e e

1 e

2

?函数 y ? f (x) 的在 x ?

1 处的切线方程为: e

1 y ? e ? 2e 2 ( x ? ) ,即 y ? 2e 2 x ? 3e e
(Ⅱ)令 f ( x) ? 0 得 x ? e
/

?当 x ? (0, e) 时, f / ( x) ? 0 , f (x) 在 (0, e) 上为增函数
当 x ? (e,??) 时, f ( x) ? 0 ,在 (e,??) 上为减函数
/

? f max ( x) ? f (e) ?

(Ⅲ)? a ? 0 ,由(2)知:

1 e

F (x) 在 (0, e) 上单调递增,在 (e,??) 上单调递减.

? F (x) 在 ?a,2a ?上的最小值 f min ( x) ? min{ F (a), F (2a)}
? F ( a ) ? F ( 2a ) ? 1 a ln 2 2

?当 0 ? a ? 2 时, F (a) ? F (2a) ? 0, f min ( x) ? F (a) ? ln a
当 2 ? a 时 F (a) ? F (2a) ? 0 , f min ( x) ? F (2a) ?

1 ln 2a 2

例2 (1)依题有 f ( x) ? 1 x3 ? x2 , 3 故 f ' ? x ? ? x2 ? 2x ? x ? x ? 2? . 由

x
f ' ? x? f ? x?

? ??, 0?
+ ↗

0 0 极 大

? 0, 2 ?
- ↘

2 0 极小值

? 2,

? ??

+ ↗

19 / 39

值 得 f ? x ? 在 x ? 0 时取得极大值 f ? 0 ? ? 0 , f ? x ? 在 x ? 2 时取得极小值 f ? 2? ? ? 4 . 3 (2) 因为 f ' ? x ? ? x 2 ? 2ax ? (a 2 ? 1) ? ? x ? (a ? 1)?? x ? (a ? 1)? , 所以方程 f ' ? x ? ? 0 的两根为a-1和a+1, 显然,函数 f ( x) 在x= a-1取得极大值,在x=a+1是取得极小值. 因为方程 f ( x) =0有三个不等实根,
? 1 (a ? 2)(a ? 1) 2 ? 0, ? f (a ? 1) ? 0, ?3 所以 ? 即? 解得 ?2 ? a ? 2 且 a ? ?1 . f (a ? 1) ? 0, ? ? 1 (a ? 2)(a ? 1) 2 ? 0, ?3

故 a 的取值范围是 (?2, ? 1) ? (?1, 1) ? (1, 2) . 例 3(1)由题意, g ?( x) ? ?
1 1 sin ? ? x ? 1 ? ≥0 在 ?1, ?? ? 上恒成立,即 ≥0 . sin ? ? x2 x sin ? ? x 2

∵θ ∈(0,π ) ,∴ sin ? ? 0 .故 sin? ? x ? 1≥ 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立, 只须 sin? ?1 ? 1≥ 0 ,即 sin ? ≥1 ,只有 sin? ? 1 .结合θ ∈(0,π ) ,得 ? ? (2)由(1) ,得 f ( x) ? g ( x) ? mx ?
π . 2

mx2 ? 2 x ? m m . ? 2ln x .? ? f ( x) ? g ( x) ?? ? x2 x ∵ f ( x) ? g ( x) 在其定义域内为单调函数,

∴ mx2 ? 2x ? m ≥ 0 或者 mx2 ? 2x ? m ≤ 0 在[1,+∞)恒成立. mx2 ? 2x ? m ≥ 0 等价于 m(1 ? x2 ) ≥ 2 x ,即
m≥ 2x , 1 ? x2



2x 2 2 ? , ( )max=1,∴ m≥1 . 1 x ?1 x ? 1 x? x x
2

mx2 ? 2x ? m ≤ 0 等价于 m(1 ? x2 ) ≤ 2 x ,即 m ≤

2x 在[1,+∞)恒成立, 1 ? x2



2x ∈(0,1], m≤ 0 . x2 ? 1

综上,m 的取值范围是 ? ??,0? ? ?1, ?? ? . (3)构造 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? h( x) , F ( x) ? mx ? 当 m≤ 0 时, x ?[1, e] , mx ? 成立. 当 m ? 0 时, ( F ( x))' ? m ?
( F ( x))' ? 0 在 x ?[1, e] 恒成立.
m 2 2e mx2 ? 2 x ? m ? 2e .因为 x ?[1, e] ,所以 2e ? 2 x ≥ 0 , mx2 ? m ? 0 ,所以 ? ? 2 ? 2 2 x x x x

m 2e ? 2ln x ? . x x

m 2e ≤ 0 ,?2ln x ? <0 ,所以在[1,e]上不存在一个 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? h( x0 ) x x

故 F ( x) 在 [1, e] 上单调递增, F ( x)max ? F (e) ? me ? 解得 m ?
4e . e ?1
2

m m ? 4 ,只要 me ? ? 4 ? 0 , e e

20 / 39

故 m 的取值范围是 (

4e , ??) . e ?1
2

【课堂互动】 1. ( 3 , 3 ) , 2. [?2 , ? ?)

? 5?

, 3. ? 5 ? a ? ? 16 , 4. 0,

6

3

5. . ? ? 3 3, 3 3 ? ? ?

? 2

2

?

6. 1)由 g (? 2 ) ? g (1) ? f (0) ,得 (?2b ? 4c) ? (b ? c) ? ?3 ∴b、c 所满足的关系式为 b ? c ? 1 ? 0 . (2)由 b ? 0 , b ? c ? 1 ? 0 ,可得 c ? ?1 . 方程 f ( x) ? g ( x) ,即 ax ? 3 ? ? x ?2 ,可化为 a ? 3x ?1 ? x ?3 , 令 x ?1 ? t ,则由题意可得, a ? 3t ? t 3 在 (0,??) 上有唯一解,令 h(t ) ? 3t ? t 3 (t ? 0) ,由 h?(t ) ? 3 ? 3t 2 ? 0 ,可得 t ? 1 , 当 0 ? t ? 1 时,由 h ?(t ) ? 0 ,可知 h(t ) 是增函数; 当 t ? 1 时,由 h ?(t ) ? 0 ,可知 h(t ) 是减函数.故当 t ? 1 时, h(t ) 取极大值 2 .由函数 h(t ) 的图象可知,当 a ? 2 或 a ? 0 时, 方程 f ( x) ? g ( x) 有且仅有一个正实数解. 故所求 a 的取值范围是 {a | a ? 2 或 a ? 0} . (3)由 b ? 1, b ? c ? 1 ? 0 ,可得 c ? 0 .由 A ? {x | f ( x) ? g ( x) 且 g ( x) ? 0} ? {x | ax ? 3 ? 且 x ? 0} .当 a ? 0 时, A ? (

1

1 且 x ? 0} ? {x | ax 2 ? 3x ? 1 ? 0 x

1 3 ? 9 ? 4a ,0) ;当 a ? 0 时, A ? (? ,0) ; 2a 3

当a??

2 9 9 时( ? ? 9 ? 4a ? 0 ) A ? (??,0) ;当 a ? ? 时, A ? {x | x ? 0 且 x ? ? } ; , 4 4 3

当?

9 3 ? 9 ? 4a 3 ? 9 ? 4a ? a ? 0 时, A ? (??, ) ∪( ,0) . 2a 2a 4

注:可直接通过研究函数 y ? ax ? 3 与 y ? 【好题精练】 1. ? e , ?? ? , ? ? 5. 2 ,

1 的图象来解决问题. x

?1

?

2.

(?? , 0, 3. b ? ?1 , )
7. a=4,b=-11,

4. (0, ??) , 8. 11 或 18,

6. 32,

9. [-1,2],
2

10. (-∞,-3)∪(0,3),
w.w.w.k.s.5.u. c. o.m

? 11. (1) f ( x) ? x ? 2(1 ? a) x ? 4a ? ( x ? 2)( x ? 2a)

由 a ? 1 知,当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,故 f (x) 在区间 (??,2) 是增函数;
21 / 39

当 2 ? x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,故 f (x) 在区间 (2,2a) 是减函数; 当 x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,故 f (x) 在区间 (2a,??) 是增函数。 综上,当 a ? 1 时, f (x) 在区间 (??,2) 和 (2a,??) 是增函数,在区间 (2,2a) 是减函数。 (2)由(I)知,当 x ? 0 时, f (x) 在 x ? 2a 或 x ? 0 处取得最小值。

1 4 f (2a) ? (2a) 3 ? (1 ? a)( 2a) 2 ? 4a ? 2a ? 24 a ? ? a 3 ? 4a 2 ? 24 a 3 3
f (0) ? 24a

由假设知

w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

?a ? 1 ? ? f (2a) ? 0, ? f (0) ? 0, ?

?a ? 1, ? 4 ? 即 ?? a ( a ? 3)( a ? 6) ? 0, ? 3 ?24 a ? 0. ?

解得

1<a<6

故 a 的取值范围是(1,6)
12. (Ⅰ) f '( x) ? e (ax ? x ? 1 ? 2ax ? 1) .有条件知,
x 2

f '(1) ? 0 ,故 a ? 3 ? 2a ? 0 ? a ? ?1.
于是 f '( x) ? e (? x ? x ? 2) ? ?e ( x ? 2)( x ? 1) .
x 2 x

故当 x ? (??, ?2) ? (1, ??) 时, f '( x) <0; 当 x ? (?2,1) 时, f '( x) >0.

w.w .w.k. s.5.u .c.o. m

从而 f ( x) 在 (??, ?2) , (1, ??) 单调减少,在 (?2,1) 单调增加. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) 在 [0,1] 单调增加,故 f ( x) 在 [0,1] 的最大值为 f (1) ? e , 最小值为 f (0) ? 1 .

w.w. w.k.s .5.u. c.o.m

从而对任意 x1 , x2 ?[0,1] ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ? 1 ? 2 . 而当 ? ? [0, 从而

?
2

] 时, cos ? ,sin ? ? [0,1] .

f (cos ? ) ? f (sin ? ) ? 2
1

f x ? ? x ? ln x 得 f ? ? x ? ? ?1 ? ,令 f ? ? x ? ? 1 得 x ? 13. ⑴ 由 ? ? x 2
∴所求距离的最小值即为 P ? , f ? ? ? 到直线 x ? y ? 3 ? 0 的距离

1

?1 ?2

? 1 ?? ? 2 ??

22 / 39

d?

1 ? 1 ? ? ? ? ? ln 2 ? ? 3 2 ? 2 ? 2

?

1 ? 4 ? ln 2 ? 2 2

⑵假设存在正数 a ,令 F ? x? ? f? ?x? 由 F?? x? ? a ? ∵当 x ?

?g ? x? x ? 0 ? 则 F ? x ?max ? 0

1 1 ? 2a 2 x ? 0 得: x ? x a

1 时, F ? ? x ? ? 0 ,∴ F ? x ? 为减函数; a 1 当 0 ? x ? 时, F ? ? x ? ? 0 ,∴ F ? x ? 为增函数. a
1 ?1? ? ? ln a ?a?
∴l n ? 0

∴ F ? x ?m a x? F ?

1 a

∴a ?e

∴ a 的取值范围为 ? e, ?? ? 14. (1)因为: f ?( x) ? x ?

a x

( x ? 0) ,又 f (x) 在 x ? 2 处的切线方程为

y ? x?b
所以

?2 ? a ln 2 ? 2 ? b ? ? 2? a ?1 ? 2 ?

解得: a ? 2, b ? ?2 ln 2

(2)若函数 f (x) 在 (1,??) 上恒成立。则 f ?( x) ? x ? 即: a ? x 在 (1,??) 上恒成立。所以有 a ? 1
2

a ? 0 在 (1,??) 上恒成立, x

(3)当 a ? 0 时, f (x) 在定义域 (0,??) 上恒大于 0 ,此时方程无解; 当 a ? 0 时, f ?( x) ? x ?
1

a ? 0 在 (0,??) 上恒成立,所以 f (x) 在定义域 (0,??) 上为增函数。 x
2

1 1 ? f (1) ? ? 0 , f (e 2 ) ? e a ? 1 ? 0 ,所以方程有惟一解。 2 2
当 a ? 0 时, f ?( x) ? x ?

a x 2 ? a ( x ? a )( x ? a) ? ? x x x

因为当 x ? (0, a ) 时, f ?( x) ? 0 , f (x) 在 (0, a ) 内为减函数; 当 x ? ( a ,??) 时, f (x) 在 ( a ,??) 内为增函数。 所以当事人 x ?

a 时,有极小值即为最小值 f ( a ) ?

1 1 a ? a ln a ? a(1 ? ln a) 。 2 2

当 a ? (0, e) 时, f ( a ) ? 当 a ? e 时, f ( a ) ?

1 a(1 ? ln a) ? 0 ,此方程无解; 2

1 a(1 ? ln a) ? 0. 此方程有惟一解 x ? a 。 2 1 当 a ? (e,??) 时, f ( a ) ? a(1 ? ln a) ? 0 2
23 / 39

因为 f ( ) ?

1 2

1 ? 0 且 1 ? a ,所以方程 f ( x) ? 0 在区间 (0, a ) 上有惟一解, 2

因为当 x ? 1时, ( x ? ln x)? ? 0 ,所以 所以 因为 所以 所以

x ? ln x ? 1

1 2 1 x ? a ln x ? x 2 ? ax 2 2 1 2a ? a ? 1 ,所以 f ( x) ? (2a) 2 ? 2a 2 ? 0 2 x ? ln x, f ( x) ?
方程 f ( x) ? 0 在区间 ( a ,??) 上有惟一解。 方程 f ( x) ? 0 在区间 (e,??) 上有惟两解。

综上所述:当 a ? [0, e) 时,方程无解;当 a ? 0或a ? e 时,方程有惟一解; 当 a ? e 时方程有两解。

第 35 课:简单复合函数的导数
一、课前热身 (1) (2) e (1 ? 2 x) , (3) 2 , (4)—2, (5) x ? , 6cos3x 3 (6)10 ( x ? 2 x) ln 2
2x

2( x ? 1)

?

二、教材回归
' ' ' yu ? uu ; yu ? a

三、同步导学 例1

(1)解 : y? ?

(1 ? x)?(1 ? x 2 ) cos x ? (1 ? x)[(1 ? x 2 ) cos x]? (1 ? x 2 ) 2 ? cos 2 x

? ? ?

?(1 ? x 2 ) cos x ? (1 ? x)[(1 ? x 2 )? cos x ? (1 ? x 2 )(cos x)?] (1 ? x 2 ) 2 cos 2 x ?(1 ? x 2 ) cos x ? (1 ? x)[2 x cos x ? (1 ? x 2 ) sin x] (1 ? x 2 ) 2 cos 2 x ( x 2 ? 2 x ? 1) cos x ? (1 ? x)(1 ? x 2 ) sin x (1 ? x 2 ) 2 cos 2 x
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(2)解 y=μ 3,μ =ax-bsin2ω x,μ =av-by v=x,y=sinγ γ =ω x y′=(μ 3)′=3μ 2·μ ′=3μ 2(av-by)′ =3μ 2(av′-by′)=3μ 2(av′-by′γ ′) =3(ax-bsin2ω x)2(a-bω sin2ω x)
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(3)解法一

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设 y=f(μ ),μ = v ,v=x2+1,则

y′x=y′μ μ ′v·v′x=f′(μ )· =f′( x 2 ? 1 )·

1 1 - v 2 ·2x 2

1 2

1 x ?1
2

·2x

=

x x ?1
2

f ?( x 2 ? 1),
24 / 39

解法二

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y′=[f( x 2 ? 1 )]′=f′( x 2 ? 1 )·( x 2 ? 1 )′
1

? 1 =f′( x ? 1 )· (x2+1) 2 ·(x2+1)′ 2

2

=f′( x 2 ? 1 )·

1 2 (x +1) 2

?

1 2

·2x

=

x x ?1
2

f′( x 2 ? 1 )

例2

设经时间 t 秒梯子上端下滑 s 米,则 s=5- 25 ? 9t 2 ,
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当下端移开 1

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4 m 时,t0=
1

1? 4 7 ? , 3 15

? 1 1 又 s′=- (25-9t2) 2 ·(-9·2t)=9t , 2 25 ? 9t 2

所以 s′(t0)=9×

7 ? 15

1 7 25 ? 9 ? ( ) 2 15

=0

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875(m/s)

例 3 (1)因为 f(x)在区间 ? 2, ? ? ? 上为减函数, 所以对任意的 x1 , x2 ? ? 2, ? ? ? , 且 x1 ? x2 恒有 f ( x1 ) - f ( x2 ) > 0 成立. 即 f ( x1 ) - f ( x2 ) = ( x1 - x2 ) +
k ( x2 - x1 )( x2 + x1 )
2 x2 - 2 +
2 x2 - 2 +

x12 - 2

> 0 恒成立.

因为 x2 - x1 > 0 ,所以 k >

x12 - 2

x1 + x2

对 x1 , x2 ? ? 2, ? ? ? , 且 x1 ? x2 时,恒成立. 又
2 x2 - 2 +

x12 - 2

x1 + x2

<1,所以 k≥1.

(2) f ?( x) ? 1 ?

kx ? 1 ? k ( x≥2) . x2 ? 2 1 ? 22 x

下面分两种情况讨论: (1)当 k≤0 时, f ( x) = x - k x 2 - 2 是关于 x 的增函数,值域为 [2 ? 2k , ? ?) (2)当 k > 0 时,又分三种情况: ①当 k > 1时,因为 x >
x 2 - 2 ,所以 1 -

kx x2 - 2

< 0, 即 f ?( x) ? 0 .

所以 f(x)是减函数, f ( x)≤f (2) ? 2 ? 2k . 又 f ( x) = x - k x 2 - 2 =
(1 - k 2 ) x 2 + 2k 2
2 (1 - k 2 ) x + 2k x , = 2 x + k x2 - 2 1 + k 1- 2 x

当 x ? ??, f ( x) ? ?? ,所以 f(x)值域为 (??, 2 ? 2k ] .

25 / 39

②当 k=1 时, f ( x) = x -

x2 - 2 =

2 x2 + x2 - 2

> 0,

且 f(x)是减函数,故 f(x)值域是 (0, 2 ?

2

?

③当 0 < k < 1时, f ?( x) 是增函数, f (2) = 2 2

2k ,

f ( x) = x - k x - 2 =

(1 - k 2 ) x 2 + 2k 2

2 (1 - k 2 ) x + 2k x . = 2 x + k x2 - 2 1 + k 1- 2 x

下面再分两种情况: (a)当 0 < k≤ 2 时, f ?( x) ? 0 的唯一实根 x = 2
2 ≤2 ,故 f ?( x) ? 0( x≥2) , 1- k 2

f ( x) = x - k x 2 - 2 是关于 x 的增函数,值域为 [2 ? 2k , ? ?) ;

(b)当 2 < k < 1 时, f ?( x) ? 0 的唯一实根 x = 2 当2 ? x ?

2 > 2, 1- k 2

2 2 时, f ?( x) ? 0 ,当 x > 时, f ?( x) ? 0 ; 2 1- k 2 1? k

.故 f(x)的值域为 [ 2(1 ? k 2 ), ? ?) .
? ? 综上所述,f(x)的值域为 [2 ? 2k , ? ?) ? k≤ 2 ? ; [ 2(1 ? k 2 ), ? ?) ( 2 < k < 1 ) ; 2 ? 2 ?

(0, 2 ? 2 ( k = 1 ) (??, 2 ? 2k ] ( k > 1). ;
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y′=esinx[cosxcos(sinx)-cosxsin(sinx)],y′(0)=e0(1-0)=1
?x
'

2. 2 (e ? e ) ,3. ? a ,4.1,5.— f (cos x) sin x ,
x
2 5 2 9 10 6. (1)在 ( x ? 2 x ? 2) ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) ? ? ? a9 ( x ? 1) ? a10 ( x ? 1) 中,

1

令 x ? ?1 ,得 a0 ? 1 . 令 x ? 0 ,得 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a9 ? a10 ? 25 ? 32 . 所以 ? an ? a1 ? a2 ? ? ? a10 ? 31 .
n ?1 10

(2)等式 ( x2 ? 2 x ? 2)5 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1)2 ? ? ? a9 ( x ? 1)9 ? a10 ( x ? 1)10 两边对 x 求导,得 5( x2 ? 2 x ? 2)4 ? (2 x ? 2) ? a1 ? 2a2 ( x ? 1) ? ? ? 9a9 ( x ? 1)8 ? 10a10 ( x ? 1)9 . 在 5( x2 ? 2 x ? 2)4 ? (2 x ? 2) ? a1 ? 2a2 ( x ? 1) ? ? ? 9a9 ( x ? 1)8 ? 10a10 ( x ? 1)9 中, 令 x=0,整理,得 ? nan ? a1 ? 2a2 ? ? ? 9a9 ? 10a10 ? 5 ? 25 ? 160 .
n ?1 10

【好题精练】 1. y ? 20(5 x ? 3) ,2. n(sin x)
' 4 n ?1

cos(n ? 1) x ,3.

12 (1 ? 3 x) 5 ,4.-1,
26 / 39

5. 解析

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∵f′n(x)=2xn2(1-x)n-n3x2(1-x)n-1 ?

=n2x(1-x)n-1[2(1-x)-nx], 2 令 f′n(x)=0,得 x1=0,x2=1,x3= , 2?n 2 易知 fn(x)在 x= 时取得最大值, 2?n 2 2 2 2 n n n+1 最大值 fn( )=n2( ) (1- ) =4·( ) ? 2?n 2?n 2?n 2?n 6. y ? 2( x ? ? ) , 9. 解析
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7. ?? 3, 3? ,

8.2 ,

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设圆内接等腰三角形的底边长为 2x,高为 h,

那么 h=AO+BO=R+ R 2 ? x 2 ,解得 x2=h(2R-h),于是内接三角形的面积为 S=x·h= (2 Rh ? h 2 ) ? h ? (2 Rh 3 ? h 4 ) , 从而 S ? ?
? 1 (2 Rh 3 ? h 4 ) 2 (2 Rh 3 ? h 4 )? 2
1

A

1

O B D C

?

? 1 h 2 (3R ? 2h) (2 Rh 3 ? h 4 ) 2 (6 Rh 2 ? 4h 3 ) ? 2 ( 2 R ? h) h 3

3 R,由于不考虑不存在的情况,所在区间(0,2R)上列表如下 2 3 3 3 (0, R) R ( ,2R) h 2 2 2 S′ - + 0 增函数 最大值 减函数 S 3 由此表可知,当 x= R 时,等腰三角形面积最大 2 3 答案 R 2
令 S′=0,解得 h=
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10. 2 ,? 2 , 11. (1) 2( x ? x ? 2)e
2 2x

?

?

(2) (2 x ? 1)2

x2 ? x

ln 2

(3) 12. 解法一

1 x 3 3x(1 ? x) 1 ? x
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根据题意知,只有点 C 在线段 AD 上某一适当位置,才能使总运费最省,设 C 点距 D 点 x km,则

∵BD=40,AC=50-x, ∴BC= BD 2 ? CD 2 ? x 2 ? 402
27 / 39

又设总的水管费用为 y 元,依题意有

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y=30(5a-x)+5a x 2 ? 402 (0<x<50) y′=-3a+

5ax x ? 402
2

,令 y′=0,解得 x=30

在(0,50)上,y 只有一个极值点,根据实际问题的意义, 函数在 x=30(km)处取得最小值,此时 AC=50-x=20(km) ∴供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处,可使水管费用最省 40 ? 解法二 设∠BCD=Q,则 BC= ,CD=40cotθ ,(0<θ < ), sin ? 2
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∴AC=50-40cotθ 设总的水管费用为 f(θ ),依题意,有 40 f(θ )=3a(50-40·cotθ )+5a· sin ? 5 ? 3cos? =150a+40a· sin? (5 ? 3cos? )? ? sin? ? (5 ? 3cos? ) ? (sin? )? 3 ? 5 cos? ∴f′(θ )=40a· ? 40a ? 2 sin ? sin 2 ? 3 令 f′(θ )=0,得 cosθ = 5 3 根据问题的实际意义,当 cosθ = 时,函数取得最小值, 5 4 3 此时 sinθ = ,∴cotθ = , 5 4 ∴AC=50-40cotθ =20(km),即供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处,可使水管费用最省 13. (Ⅰ)当 a ? b ? ?3 时, f ( x) ? ( x ? 3x ? 3x ? 3)e ,故
3 2 ?x
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f '( x) ? ?( x3 ? 3x 2 ? 3x ? 3)e? x ? (3x 2 ? 6 x ? 3)e? x
? ? ?e? x ( x 3 ? 9 x) x ? ?x( x ?3 ) (x ? 3?e )

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当 x ? ?3或 0 ? x ? 3时,f '( x) ? 0; 当 ?3 ? x ? 0或x ? 3时,f '( x) ? 0.

0),(3, ?) ? 单调减少. 从而 f ( x)在(??, ?3),(0,3)单调增加,在(? 3,
(Ⅱ) f '( x) ? ?( x ? 3x ? ax ? b)e
3 2 3 ?x

? (3x 2 ? 6 x ? a)e? x ? ?e? x [ x3 ? (a ? 6) x ? b ? a].

由条件得: f '(2) ? 0, 即2 ? 2(a ? 6) ? b ? a ? 0, 故b ? 4 ? a, 从而

f '( x) ? ?e? x [ x3 ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a].
因为 f '(? ) ? f '( ? ) ? 0, 所以

x3 ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a ? ( x ? 2)( x ? ? )( x ? ? )
28 / 39

? ( x ? 2)( x 2 ? (? ? ? ) x ? ?? ).
将右边展开,与左边比较系数得, ? ? ? ? ?2, ?? ? a ? 2. 故

? ? ? ? ( ? ? ? ) 2 ? 4?? ? 12 ? 4a .
又 ( ? ? 2)(? ? 2) ? 0,即?? ? 2(? ? ? ) ? 4 ? 0. 由此可得 a ? ?6. 于是 ? ? ? ? 6.

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14. (1)当 x=1 时 Sn=1+2+3+?+n= 当 x≠1 时,

1 n(n+1); 2

x ? x n ?1 , 1? x 两边都是关于 x 的函数,求导得 x ? x n ?1 (x+x2+x3+?+xn)′=( )′ 1? x
∵x+x2+x3+?+xn= 即 Sn=1+2x+3x2+?+nxn 1=


1 ? ( n ? 1) x n ? nx n ?1 (1 ? x ) 2

(2)∵(1+x)n=1+C 1 x+C 2 x2+?+C n xn, n n n 两边都是关于 x 的可导函数,求导得 n(1+ x )
n ?1

=C 1 +2C 2 x+3C 3 x2+?+nC n x n n n n
n ?1

n ?1

,

令 x=1 得,n· 2

=C 1 +2C 2 +3C 3 +?+nC n , n n n n
n ?1

即 Sn=C 1 +2C 2 +?+nC n = n· 2 n n n

?

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第 36 课:导数的综合运用
一、课前热身

1 1 2 (1) 2500? cm s , (2) a ? , (3)(-∞,1), (4) k ? 0 或 k ? ? , 3 4
(5)设 A ? x0 , y0 ? ,所以 C1 在 A 处的切线斜率为 f' ? x0 ? ? 3ax0 , C2 在 A 处的切线的斜率为 ?
2

x 1 ? ? 0 ,又 C1 在 A 处 kOA y0

的切线与 C2 在 A 处的切线互相垂直, 所以

x0 2 3 5 3 3 3 x 0 ? 1 ,即 y0 ? 3ax0 ,又 ax0 ? y0 ? 1 ,所以 y0 ? ,代入 C2 : x 2 ? y 2 ? 得 y0 2 2

1 1 3 x0 ? ? ,将 x0 ? ? , y0 ? 代入 y ? ax3 ? 1(a ? 0) 得 a ? 4 ,故答案填写 4. 2 2 2
1 2 (6) (??, e ? e ]
29 / 39

二、教材回归 建立好目标函数;实际意义 三、同步导学 例 1(1) ∵ f ?( x) ?
1 1? x ?1 ? x x

∴当 x >1时, f ?( x) <0,当0< x <1时, f ?( x) >0.

∴ f ( x) 的单调递增区间为 ? 0,1? ,单调递减区间为 ?1, ?? ? ,极大值为 f (1) ? 0 . (2) ∵ g ?( x) ? 2x ? 3a ( a ≥1)∴当 x ? (0,1) 时, g ?( x) ? 2 x ? 3a ? 0 , g (x) 单调递减, 此时 g ( x) 值域为 (2a 2 ? 3a ? 4, 2a 2 ? 5) . 由(1)得,当 x ? (0,1) 时, f (x) 值域为 ? ??, ?1? , 由题意可得: 2a2 ? 5 ≤-1,所以1≤ a ≤ 2 . (3)令
x ?1 1 1 ,∵ x ? 0 ,∴ t ? 1 ,原不等式等价于 1 ? ? ln t ? t ? 1 ? t ,则 x ? x t ?1 t

由(1)知 f ? t ? ? ln t ? t ? 1 在 ?1, ?? ? 上单调递减,∴ f ? t ? ? f ?1? ? 0 ,即 ln t ? t ? 1
1 1 1 t ?1 令 h ? t ? ? ln t ? 1 ? ,∵ h? ? t ? ? ? 2 ? 2 ,当 t ? ?1, ?? ? 时, h? ? t ? ? 0 , t t t t 1 1 ∴ h ? t ? ? ln t ? 1 ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,∴ h ? t ? ? h ?1? ? 0 ,即 1 ? ? ln t t t

综上所述,对任意 x ? ?0, ? ? ,恒有 ?

1 x ?1 1 ? ln ? 成立. x ?1 x x

例 2(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? | ln x ? 1 |
2

令 x ?1

得 f (1) ? 2, f ?(1) ? 1, 所以切点为(1,2) ,切线的斜率为 1,

所以曲线 y ? f (x) 在 x ? 1处的切线方程为: x ? y ? 1 ? 0 。 (2)①当 x ? e 时, f ( x) ? x ? a ln x ? a , f ?( x) ? 2 x ?
2

a ( x ? e) x

? a ? 0 ,? f ( x) ? 0 恒成立。 ? f (x) 在 [e,??) 上增函数。
故当 x ? e 时, y min ? f (e) ? e ②
2 2

当 1 ? x ? e 时, f ( x) ? x ? a ln x ? 1 ,

f ?( x) ? 2 x ?

a 2 a a ? (x ? )( x ? ) (1 ? x ? e ) x x 2 2

(i)当

a ? 1, 即 0 ? a ? 2 时, f ?(x) 在 x ? (1, e) 时为正数,所以 f (x) 在区间 [1, e) 上为增函数。故当 x ? 1 时, 2

y min ? 1 ? a ,且此时 f (1) ? f (e)

30 / 39

(ii)当 1 ?

a a a ? e ,即 2 ? a ? 2e 2 时, f ?(x) 在 x ? (1, ) 时为负数,在间 x ? ( , e ) 时为正数。所以 f (x) 在区间 2 2 2 a a ) 上为减函数,在 ( , e] 上为增函数 2 2 a a 3a a a 时, y min ? ? ln ,且此时 f ( ) ? f (e) 2 2 2 2 2

[1,

故当 x ?

(iii)当

a ? e ;即 a ? 2e 2 时, f ?(x) 在 x ? (1, e) 时为负数,所以 f (x) 在区间[1,e]上为减函数,故当 x ? e 时, 2
y min ? f (e) ? e 2 。

综上所述,当 a ? 2e 时, f (x) 在 x ? e 时和 1 ? x ? e 时的最小值都是 e 。
2 2

所以此时 f (x) 的最小值为 f (e) ? e ;当 2 ? a ? 2e 时, f (x) 在 x ? e 时的最小值为
2

2

f(

a 3a a a a )? ? ln ,而 f ( ) ? f (e) , 2 2 2 2 2
所以此时 f (x) 的最小值为 f (

a 3a a a )? ? ln 。 2 2 2 2
2

当 0 ? a ? 2 时,在 x ? e 时最小值为 e ,在 1 ? x ? e 时的最小值为 f (1) ? 1 ? a , 而 f (1) ? f (e) ,所以此时 f (x) 的最小值为 f (1) ? 1 ? a

所以函数 y ? f (x) 的最小值为 y min

? 1 ? a,0 ? a ? 2 ? 3a a a ? ? ? ln ,2 ? a ? 2e 2 ?2 22 2 e , a ? 2e 2 ?

例 3(Ⅰ)①由条件知 PQ 垂直平分 AB, 若∠BAO= ? (rad) ,则 OA ? 故 OB ?

AQ 10 , ? cos ? cos ?

10 ,又 OP= 10 ?10 tan ? 10-10ta ? , cos ? 10 10 所以 y ? OA ? OB ? OP ? ? ? 10 ? 10 tan ? , cos ? cos ?
所求函数关系式为 y ?

?? 20 ? 10sin ? ? ? 10 ? 0 ? ? ? ? 4? cos ? ?

②若 OP= x (km) ,则 OQ=10- x ,所以 OA =OB=

?10 ? x ?

2

? 102 ? x2 ? 20 x ? 200

2 所求函数关系式为 y ? x ? 2 x ? 20 x ? 200 ? 0 ? x ? 10 ?

(Ⅱ)选择函数模型①, y ?
'

?10 cos ? ? ? ? ? 20 ? 10sin? ?? ? sin ? ? cos cos ?
2

?

10 ? 2sin ? ? 1? cos 2 ?

31 / 39

令 y ? 0 得 sin ? ?
'

1 ? ? ,因为 0 ? ? ? ,所以 ? = , 4 6 2

当 ? ? ? 0,

? ?

??

? ?? ? ? ' ' ? 时, y ? 0 , y 是 ? 的减函数;当 ? ?? , ? 时, y ? 0 , y 是 ? 的增函数,所以当 ? = 时, 6? 6 ?6 4?

ymin ? 10 ? 10 3 。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上,且距离 AB 边

10 3 km 处。 3

【课堂互动】 1.

3 7 ? 3? n 2 ,2. ( , ) ,3. ?1, ? ,4. 2 ? 1 ? 2 ,5.20cos2t(cm/s), 5 3 ? 2?
m

6.(Ⅰ)设需要新建 n 个桥墩, (n ? 1) x ? m,即n= x ? 1 所以

y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x )x=256( ? 256 x ? m x ? 2m ? 256. x
256m x
3
2

m m -1)+ (2 ? x ) x x x

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知, f '( x) ? ?

3 1 3 m ? mx 2 ? 2 ( x 2 ? 512). 2 2x

令 f '( ) x ?

,得 x 2 ? 512 ,所以 x =64 0

当 0< x <64 时 f '( x) <0,

f ( x) 在区间(0,64)内为减函数;

w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

当 64 ? x ? 640 时, f '( x) >0. f ( x) 在区间(64,640)内为增函数, 所以 f ( x) 在 x =64 处取得最小值,此时, n ? 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小。 【好题精练】 1. a<0, 2.充要条件 , 3.2, 4. m ? ?1 ,

m 640 ?1 ? ? 1 ? 9. x 64

9
5. 2 ,

16 2 2 3 6. 27 2 。提示:y=-x +x +2x,∴y′=-3x +2x+2.所求直线与直线 y=x 平行.

∴k=1.令 y′=1,即 3x 2 -2x-1=0,(3x+1)(x-1)=0,x=- 1 或 1,x=- 1 时, 3 3

y=(- 1 )+ 1 - 2 =- 14 ,x=1 时, y=-1+1+2×1=2.
27 9 3 27

故切点为 A ? ? ?
?

1 14 ? ,? ? ,B(1,2)。 3 27 ?

切线方程为:l 1 :y+ 14 =x+ 1 ,即 x-y- 5 =0,l 2 :y-1=x-2,即 x-y+1=0, 27 3 27

32 / 39

两切线间的距离为:d= 1 ? ? ? 5 ? = 16 . ? ? 2 ? 27 ? 27 2
80
9. [0,??) , 10. 5 ? a ? 1. , (0 ?? ?

7.(-3,2) ;

8. 9? cm s ,

4

11. (1)EF=DM+DN-MF-EN=

2(sin ? ? cos? ) ? 1 sin ? cos?

?

2



(2)“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角( 0 ? ? ?

?
2

) ,平板车的长度不能超过,即平板车的长度 ? l min ;记

sin? ? cos? ? t , 1 ? t ? 2 ,有 sin? cos? =

t 2 ?1 , 2

=

2(sin ? ? cos? ) ? 1 4t ? 2 = 2 =, sin ? cos? t ?1
此后研究函数的最小值,方法很多;如换元(记 4t ? 2 ? m ,则 t ?

m?2 )或直接求导,以确定函数在 [1, 2 ] 上的单 4

调性;当 t ?

2 时取得最小值 4 2 ? 2 。

12.解析

本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查

综合分析和解决问题的能力. (Ⅰ) f
'

? x ? ? ?1 ? kx ? ekx , f ' ? 0 ? ? 1, f ? 0 ? ? 0 ,

曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? x . (Ⅱ)由 f
'

? x ? ? ?1 ? kx ? ekx ? 0 ,得 x ? ? ? k ? 0 ? ,
? ? 1? ' ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减, k?

1 k

若 k ? 0 ,则当 x ? ? ??, ?

当 x ?? ?

? 1 ? , ??, ? 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增, ? k ? ? ? 1? ' ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增, k?

若 k ? 0 ,则当 x ? ? ??, ?

当 x ?? ?

? 1 ? , ??, ? 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减, ? k ?

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,若 k ? 0 ,则当且仅当 ? 即 k ? 1 时,函数 f ? x ? ? ?1,1? 内单调递增, 若 k ? 0 ,则当且仅当 ?

1 ? ?1 , k

1 ?1, k
33 / 39

即 k ? ?1 时,函数 f ? x ? ? ?1,1? 内单调递增, 综上可知,函数 f ? x ? ? ?1,1? 内单调递增时, k 的取值范围是 ? ?1, 0 ? ? ? 0,1? .2.,
/ 13. (1) f ( x) ? x ? x 2 ? x 2 ( x ? 0) .

1

a

x?a

当时, f ( x) ? 0 ,在 (0, ??) 上单调递增;
/

当时, x ? (0, a) 时, f ( x) ? 0 ,在上单调递减;
/

x ? (a, ??) 时, f / ( x) ? 0 ,在 (a, ??) 上单调递增.
综上所述,当时,的单调递增区间为 (0, ??) ;当时,的单调递增区间为 (a, ??) ,单调递减区间为. (2)充分性:a=1 时,由(1)知,在 x=1 处有极小值也是最小值, 即 f min ( x) ? f (1) ? 0 。而在上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增, 在 (0, ??) 上由唯一的一个零点 x=1. 必要性: =0 在 (0, ??) 上有唯一解, a>0, 由 且 (1) 在 x=a 处有极小值也是最小值 f(a), f(a)=0,即 ln a ? a ? 1 ? 0 . 知, 令 g (a) ? ln a ? a ? 1 , g (a) ?
/
/

1 1? a . ?1 ? a a
/

当 0 ? a ? 1时, g (a) ? 0 ,在上单调递增;当 a>1 时, g (a) ? 0 , 在 (1, ??) 上单调递减。 g max (a) ? g (1) ? 0 , =0 只有唯一解 a=1. =0 在 (0, ??) 上有唯一解时必有 a=1. 综上:在 a>0 时, =0 在 (0, ??) 上有唯一解的充要条件是 a=1. (3)证明:∵1<x<2,∴

1 1 1 ? ? ? ( x ? 1) ln x ? 2( x ? 1) ? 0 . ln x x ? 1 2 x ?1 1 / 令 F ( x) ? ( x ? 1) ln x ? 2( x ? 1) ,∴ F ( x) ? ln x ? ? 2 ? ln x ? ? 1 , x x 1 由(1)知,当 a=1 时, f min ( x) ? f (1) ? 0 ,∴ f ( x) ? f (1) ? 0 ,∴ ln x ? ? 1 ? 0 . x
∴ F ( x) ? 0 ,∴F(x)在(1,2)上单调递增,∴ F ( x) ? F (1) ? 0 ,
/

∴ ( x ? 1) ln x ? 2( x ? 1) ? 0 。∴
x

1 1 1 ? ? (1 ? x ? 2) . ln x x ? 1 2

? ? 14. (Ⅰ) f ?x ? ? e ? 4 x ? 3, 则f ?1? ? e ? 1 ,
又 f ?1? ? e ? 1 ,

?曲线y ? f ?x ?在点?1, f ?1?? 处的切线方程为 y ? e ? 1 ? ?e ? 1??x ? 1?,即?e ? 1?x ? y ? 2 ? 0
34 / 39

(Ⅱ)? f ??0? ? e ? 3 ? ?2 ? 0, f ??1? ? e ? 1 ? 0 ,
0

? f ??0? ? f ??1? ? 0, 令 h?x ? ? f ??x ? ? e x ? 4 x ? 3 ,
则 h??x ? ? e ? 4 x ? 0,? f ??x ?在?0,1? 上单调递增,
x

? f ??x ?在?0, 上存在唯一零点,? f ?x ?在?0,1? 上存在唯一的极值点 1?
取区间 ?0,1? 作为起始区间,用二分法逐次计算如下 区间中点坐标 中点对应导数值 取区间 ?an , bn ?

a n ? bn
1 0.6 0.3

?0,1?
0 ?1 ? 0.5 2 0 ? 0.6 x1 ? ? 0.3 2 0.3 ? 0.6 x2 ? ? 0.45 2 xo ?
f ??xo ? ? 0.6 ? 0

?0,0.6?

f ??x1 ? ? ?0.5 ? 0

?0.3,0.6?

由上表可知区间 ?0.3,0.6? 的长度为 0.3,所以该区间的中点 x2 ? 0.45 ,到区间端点距离小于 0.2,因此可作为误差不 超过 0.2 的一个极值点的相应 x 的值。

?函数y ? f ?x ? 取得极值时,相应 x ? 0.45

5 2 5 x ? ?a ? 3?x ? 1得e x ? 2 x 2 ? 3x ? x 2 ? ?a ? 3?x ? 1 , 2 2 1 2 1 x 即 ax ? e ? x ? 1,? x ? , 2 2 1 ex ? x2 ?1 2 , ?a ? x 1 1 ex ? x2 ?1 e x ?x ? 1? ? x 2 ? 1 2 2 令 g ?x ? ? , 则g ??x ? ? x x2 1 2 x x 令 ? ?x ? ? e ?x ? 1? ? x ? 1, 则? ??x ? ? x e ? 1 2

(Ⅲ)由 f ?x ? ?

?

?

?x ?

1 ?1 ? ,? ? ??x ? ? 0,? ? ?x ?在? , ? ? 上单调递增, ? 2 ?2 ?

?1? 7 1 ?? ?x ? ? ? ? ? ? ? e ? 0, ?2? 8 2
因此 g ?? x ? ? 0, 故g ? x ?在? ,?? ? 上单调递增,

?1 ?2

? ?

35 / 39

1 e 2 ? ?1 9 ?1? 8 则 g ?x ? ? g ? ? ? ?2 e? , 1 4 ? 2? 2

1

?a 的取值范围是 a ? 2 e ?
第 37 课:定积分
一、课前热身 (1) 3 ? ln 2 (5) S ?

9 4

(2) ? 2 ? 1 , (3) ?0, 3? , (4) c ? a ? b ,

3 8

?

1 1 2

1? ? ? 2 ? ? dx ? ? 2 x ? ln x ? x? ?

1 1 2

? 1 ? ln 2 ,

(6)18 二、教材回归 1.分割;以直代曲;求和;逼近 2.定积分;定积分;

?

b

a

f ( x)dx ;被积函数;积分区间;积分下限;积分上限;

3.曲线与 x 轴所围成图形面积 4.

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a)

三、同步导学 例 1 (1)

29 ;(2)1; (3) 2? 2

例 2(1)由图形可知二次函数的图象过点(0,0)(8,0) , ,并且 f(x)的最大值为 16

? ?c ? 0 ? ? ?a ? ?1 2 ? 则 ? a ? 8 ? b ? 8 ? c ? 0 解之得:b ? 8 , 2 ?c ? 0 ? 4ac ? b ? ? 16, ? 4a ?
∴函数 f(x)的解析式为 f ( x) ? ? x ? 8 x
2
2 ? ? y ? ?t ? 8t 2 (2)由 ? 得 x ? 8 x ? t (t ? 8) ? 0,? x1 ? t , x2 ? 8 ? t , ? y ? ? x 2 ? 8x ?

∵0≤t≤2,∴直线 l1 与 f(x)的图象的交点坐标为( t ,?t ? 8t )
2

由定积分的几何意义知: S (t ) ? ? [(?t 2 ? 8t ) ? (? x2 ? 8x)]dx ? ? [(? x2 ? 8x) ? (?t 2 ? 8t ]dx
0 t

t

2

? [(?t 2 ? 8t ) x ? (?

x3 x3 ? 4 x 2 )] t0 ?[(? ? 4 x 2 ) ? (?t 2 ? 8t ) ? x] 3 3

2

t

4 40 ? ? t 3 ? 10t 2 ? 16t ? 3 3

例 3(Ⅰ)易得曲线 C 2 的方程为 y ? ? x ? 2 x
2

由?

?y ? x2 ? 2 2 ,得点 O(0,0), A(1,1) ,又由已知得 B(t ,?t ? 2t ), D(t , t ) 2 ? y ? ?x ? 2x ?
36 / 39

1 2 (? x 2 ? 2 x)dx ? ? x 2 dx ? ? t 3 ? t 2 ?0 0 3 1 1 5 3 1 1 (Ⅱ) S 2 ? ?2t ? t 2 ? 1??1 ? t ? ? ? x 2 dx ? t 3 ? t 2 ? t ? t 2 6 2 2 6

故 S1 ?

1

【课堂互动】 1. 2 g ,

3

2.3,

3. 1 ? 4 ,

?

4. S ? 2 ,

9

5.③,

6.(1)切线的方程 y ? 2 x ? 1 【好题精练】

1

16
; (2)面积 3

2
1.0, 2.46, 7. 0.18, 3. 3 ,
2 ? 0? cos x dx

4. y ? 5 x ? 5 , 5. b ? a ? c ,

6

2

1
8. 3 ,

6. 11.

,

9. 6 , 10. A(1,1), y ? 2 x ? 1,

11

解:分2 ? k ? 3和 ? 2 ? k ? 2两种情况讨论: (1)当2 ? k ? 3时

?k

3

f ( x)dx ? ? (1 ? x 2 )dx ? ( x ?
k

3

整理得, k 3 ? 3k ? 4 ? 0 又? 2 ? k ? 3

x3 3 k3 40 ) k ? (3 ? 9) ? (k ? ) ? 3 3 3 3 2 2 即k ? k ? k ? 3k ? 4 ? 0

? (k ? 1)(k 2 ? k ? 4) ? 0 ? k ? ?1 ? k ? ?1舍去
3

(2)当 ? 2 ? k ? 2时

?k

3

f ( x)dx ? ? (2 x ? 1)dx ? ? (1 ? x 2 )dx ? ( x 2 ? x) 2 ? ( x ? k
k 2

2

x3 ) 3

3 2

8 40 40 ? (4 ? 2) ? ( k 2 ? k ) ? (3 ? 9) ? (2 ? ) ? ? (k 2 ? k ) ? 3 3 3 2 ? k ? k ? 0, 即k ? 0或k ? ?1. 综上所述, k ? 0或k ? ?1
12.,

解:(1)当0 ? a ? 1时,如图1 ? y ? ax 由? 得交点(0, 0)和(a, a 2 ) 2 ?y ? x ax 2 x3 a a 3 a 3 a 3 ? )0? ? ? 0 2 3 2 3 6 3 2 1 x ax 1 1 a a3 a3 1 a a3 T ? ? ( x 2 ? ax)dx ?( ? ) a ? ( ? )?( ? ) ? ? ? a 3 2 3 2 3 2 3 2 6 3 a a 1 ?U ? S ? T ? ? ? 3 2 3 S ? ? (ax ? x 2 )dx ? (
a

1 U ' ? a2 ? . 2

令U ' ? 0, 得a ?

2 . 2

37 / 39

当a ? (0, 当a ? (

2 )时,U ' ? 0 2

y=x2 y=ax

2 ,1)时,U ' ? 0 2 2 2? 2 故,当a ? 时, U 最小值为 . 2 6 (2)当a ? 0时,如图2

? y ? ax 由? 得交点(0, 0)和( a, a 2 ) 2 ?y ? x S ? ? (ax ? x 2 )dx ? (
a 0

a 1
图 1

ax 2 x 3 ? ) 2 3

0 a

y=x2

??

a3 a3 a3 ? ?? 2 3 6
1 0

T ? ? ( x 2 ? ax) dx ?(

x 3 ax 2 ? ) 3 2

1 0

1 a 1 a ?( ? )? ? 3 2 3 2 a3 a 1 ?U ? S ? T ? ? ? ? . 6 2 3 2 a 1 U '?? ? ?0 3 2 所以函数U ( a )在 ? ??, 0 ? 上单调递减.
故函数 U (a) 无最小值。 当 a ? 0 时,显然无最小值。

a y=ax
图2

1

V?

2 ?1 ? 30
2

f ( x) ? ax ? bx ? c ,则 f ?( x) ? 2ax ? b 13. (1)设
又已知 f ?( x) ? 2 x ? 2 故 f ( x) ? x ? 2 x ? 1
2

∴ a ? 1, b ? 2

∴ f ( x) ? x ? 2 x ? c
2

又方程 f ( x) ? 0 有两个相等实根

∴ 判别式 ? ? 4 ? 4c ? 0 ,即 c ? 1

1 1 ? ? 01 ( x 2 ? 2 x ? 1)dx ? ( x 3 ? x 2 ? x) |01 ? ? ? 3 3 (2)依题意,有所求面积
?t 2 0 2 (3)依题意,有 ? ?1 ( x ? 2 x ? 1)dx ? ? ?t ( x ? 2 x ? 1)dx

1 1 t ( x 3 ? x 2 ? x) | ?1 ? ( x 3 ? x 2 ? x) |0 t ? ? 3 ∴ 3 1 1 1 ? t3 ? t2 ? t ? ? t3 ? t2 ? t 3 2 3 3 3 , 2t ? 6t ? 6t ? 1 ? 0 1 t ? 1? 3 3 2 ∴ 2(t ? 1) ? ?1 ,于是
14. 解 法 一 : 将 四 棱 台 ABCD - A′B′C′D′ 补 为 四 棱 锥 V - ABCD , 设 点 V 到 面 A′B′C′D′ 的 距 离 为 h′ . 由
38 / 39

S S1 S1 h' 2 h' h' ?( ) ,? 1 ? ,即 ? . S2 h ? h' h ? h' S2 S2 ? S1 h

1 1 1 1 所以 V台 ? S2 (h '? h) ? S1h ' ? (S2 ? S1 )h '? S2 h 3 3 3 3 1 1 1 ? ( S1 ? S2 ) S1 h ? S2 h ? (S1 ? S1S2 ? S2 )h , 3 3 3 1 所以四棱台 ABCD-A′B′C′D′的体积为 (S1 ? S1S2 ? S2 )h . 3 解法二:作一与上下底面平行的平面截得四边形的面积为 S,它与上底面的距离为 x,
x ? h S ? S1 S 2 ? S1

, S?

S2 ? S1 h

x ? S1

?S ?

x ? S1 . h h ( S ? S1 )2 2 2 S1 ( S2 ? S1 ) 2 V ?? ( x ? x ? S1 )dx , 0 h2 h h
2

( S2 ? S1 )2

x2 ?

2 S1 ( S2 ? S1 )

? ( S2 ? S1 ) 2 1 3 ? S ( S2 ? S1 ) 2 F ( x) ? ? ? x ? 1 x ? S1 x ? , 2 h 3 h ? ? ? ?

V ? F (h) ? F (0) ?

( S2 ? S1 )2 1 3 S ( S2 ? S1 ) 2 ? h ? 1 h ? S1h 2 h 3 h

1 ? h(S1 ? S1S2 ? S2 ) . 3

39 / 39


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