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云南省曲靖市麒麟区第七中学高中数学 2-1椭圆的标准方程学案 新人教A版选修1-1


云南省曲靖市麒麟区第七中学高中数学 2-1 椭圆的标准方程学案 新人教 A 版 选修 1-1
【学习目标】会根据椭圆的定义导出椭圆的标准方程. 理解并掌握椭圆的标准方程及其分类情况. 【学习重点】椭圆的标准方程及简单的应用 【学习难点】椭圆标准方程的推导 【问题导学】 1、 (作一作)取一条定长的细绳,把它的两端固定在画图板上的 F1F2 两点(参照课本 38 页) ,当绳长大于 两点间的距离 时,用铅笔把绳子拉紧,使笔尖在图板上慢慢移动,画出的轨迹是什么曲线?: (1)在上面过程中,你能说出移动的笔尖(动点)满足的几何条件吗? 在这个运动过程中,什么是不变的? (3)观察其他同学画的图形,你认为椭圆的形状与什么量有关?

根据以上所作,说一说椭圆的定义是什么?

3、你能说出求轨迹方程的一般步骤吗?

4、试根据椭圆的定义推导椭圆的标准方程。 (思考:如何选择坐标系才能使椭圆的方程简单?)

5、椭圆中参数 的关系及几何意义分别是什么?

6、椭圆的标准方程有两种形式,可以归纳为一种形式吗?

x2 y2 ? ?1 y B 7、方程 A 在什么情况下表示椭圆(分焦点在 x 轴或 轴)?什么情况下表示圆?

1

【典型例题】 例 1、下列方程是否表示椭圆?焦点在什么轴上?对应的 a , b, c 是多少?

x2 y2 ? ?1 2 2
2

x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 2 2 (2) 4 (3) 4
2 2 2 2

(4) 4 x ? 9 y ? 36
2 2

(5) 16x ? 9 y ? 144

(6) 9 x ? y ? 81 (7) x ? 4 y ? 16
2

例 2、.写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点坐标分别是 (4,0), (?4,0) ,椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于 10;

3 5 (? , ) 两个焦点坐标分别是 (0,?2) 和 (0,2) 且过点 2 2

a ? 4, b ? 3 ,焦点在 x 轴上,焦点在 y 轴上。
(4) a ? 6, c ? 1,焦点在 x 轴上,焦点在 y 轴上。 例 3、已知三角形Δ ABC 的一边长为 6,周长为 16,求顶点 A 的轨迹方程。

【基础题组】 x2 y2 1.设 P 是椭圆 + =1 上的点,若 F1,F2 是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于( 25 16 A.4 B.5 C.8 D.10 2.已知 F1,F2 是定点,|F1F2|=8,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=8,则动点 M 的轨迹是( A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 x2 y2 3.如果方程 + =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a 的取值范围是( a2 a+6 A.a>3 B.a<-2 C.a>3 或 a<-2 D.a>3 或-6<a< -2 ). ).

).

4.已知椭圆的焦点在 y 轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为 8,焦距为 2 15,则此椭圆的标准方程 为________. x2 y2 5.已知椭圆 + =1 的焦距为 6,则 k 的值为________. 20 k 6.已知两椭圆 ax ? y ? 8 与 9 x ? 25y ? 100的焦距相等,则 a 的值是
2 2

2

2



7.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点在 y 轴上,焦距是 4,且经过点 M(3,2);

2

(2)焦距是 10,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为 26. 【拓展题组】 8.已知椭圆的焦点是 F1,F2,P 是椭圆上的一动点,如果延长 F1P 到 Q,使 得|PQ|=|PF2|,那么动点 Q 的轨迹是( ). A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 x2 y2 9.设 F1,F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△F1PF2 的面积 9 4 等于( A.5 ). B.4 C.3 D .1

π 9.若 α∈(0, ),方程 x2sin α +y2cos α =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 α 的取值范围是________. 2 10.椭圆 mx2+ny2+mn=0(m<n<0)的焦点坐标是( A.(0,± m-n) B.(± m-n,0) ) C.(0,± n-m) D.(± n-m,0)

x2 y2 ? ?1 11.若方程 3 ? k 2 ? k 表示椭圆,则 k 的取值范围________. 。
x2 y2 12.椭圆 + =1 的两个焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上,线段 PF1 的中点在 y 轴上,那么|PF1|是|PF2| 12 3 的________倍. 13.已知椭圆的中心在原点,两焦点 F1,F2 在 x 轴上,且过点 A(-4,3 ).若 F1A⊥F2A,求椭圆的标准 方程.

【创新题组】 x2 y2 → → 13.已 知 F1、F2 是椭圆 C: + =1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上一点,且PF1⊥PF2.若△PF1F2 a2 b2 的面积为 9,则 b=________. 14.如图,在圆 C:(x+1)2+y2=25 内有一点 A(1,0),Q 为圆 C 上一点,AQ 的垂直平分线与 C,Q 的 连线交于点 M,求点 M 的轨迹方程.

3

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 15.已知椭圆 a 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,当 a , b 满足什么关系时,椭圆上存在一点
0 P ,使得 ?F1PF2 ? 90 ? 这样的 Rt?F1PF2 有几个?

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