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高中数学人教A版必修五基本不等式教案


人教A版数学 2016届复习资料



名:

沈金鹏 数学学院 数学与应用数学

院 、 系: 专 业:

2015 年 12 月 10 日


1

人教 A 版数学《数学(必修五) 》P97—100

a 2 ? b2

b

a

成都七中万达学校

乔建龙

2012 年 3 月 27 日

课题:基本不等式 课型:新课(第一课时)
2

授课人: (高一数学组) 授课班级:高 2014 级 5 班 授课时间:2012 年 3 月 27 日 一、教材分析:
本节课选自《普通高中课程标准实验教科书·数学 5·必修》 (人教 A 版)中第三章第 四节。本节课主要研究基本不等式的几何背景、代数证明和实际生活中的应用。 基本不等式在现实生活中运用比较广泛。本节课通过从生活与几何背景中得到基本不 等式、证明不等式与回归生活解决实际问题的思路,体现新课标“数学有用”的理念。同 时,运用基本不等式求最值也是数列研究的基本问题。通过对本节的研究,培养学生数形 结合的思想方法。

二、学情分析:
在本节课之前学生已经学习了不等关系与不等式和一元二次不等式及其解法,对不等 关系的一般性质和不等式的求解证明有了一定的理解,为基本不等式的学习提供了基础。 授课班级为高 2014 级 5 班(平行班) ,我班学生整体基础知识一般、部分学生思维较 活跃,能够较好的掌握教材上的内容,但处理、分析问题的能力还有待提高。

三、设计思想:
本课为新授课,积极践行新课程“数学有用”理念,倡导积极主动、勇于探索的学习 精神和合作探究式的学习方式;注重提高数学思维能力,在教与学的和谐统一中体现数学 思想和文化价值;注重信息技术与数学课程的整合。

四、教学目标:
1、知识与技能:
(1) 师生共同探究基本不等式; (2) 了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明; (3) 会简单运用基本不等式。

2、过程与方法:
通过基本不等式的探索、发现,在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联 想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力;遵循从特殊到一般的认知规律,让学生在实践 中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出基本不等式,培养学生数形结合的思维能力。

3、情感、态度与价值观:
(1)培养学生举一反三的逻辑推理能力,并通过不等式的几何解释,丰富学生数形结合 的想象力; (2) 通过具体的现实问题提出、分析与解决,激发学生探究的兴趣和欲望,树立学生求 真的勇气和自信心,增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数学的情感,体验在学习中 获得成功的快乐。

五、教学重点:
3

(1)用数形结合的思想理解并探索基本不等式的证明; (2)运用基本不等式解决实际问题。

教学难点:基本不等式的运用。 重、难点解决的方法策略:
本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体图形到抽象代数的教学策略.利用数形结 合思想,层层深入,通过学生自主活动探究,分析、整理出推导公式的不同思路,同时, 借助多媒体的直观演示,帮助学生理解,并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导,师 生互动、讲练结合,从而突出重点、突破教学难点。

六、教学方法:
1、教法:根据对教材和学生的分析,针对学校实际情况,采用启发引导式及多媒体
辅助教学方法。

2、学法:学生自主探索,创造机会让学生合作、探究,交流。
这体现一种“给学生一杯水然后教给学生寻找水的方法, 使学生能找到一桶水乃至更多 活水”的求知、学习方式。

七、过程设计:
结合教材知识内容和教学目标,本课的教学环节及时间分配如下: 创设情景 提出问题 (2 分钟)
拼图游戏 新课引入 前后呼应

由图形得出重 要不等式 (7 分钟)

数形结合 类比化归

探究基本不 等式
(6 分钟)

解决问题

归纳总结 (5 分钟)

公式应用 解决问题 (10 分钟)
知识回顾

课堂练习 例一分析 (10 分钟)

八、教学过程:
教学 环节 师生活动 学生 活动 设计 意图

4

一、 课 题 引 入

情景 1: (生活中实际问题引入) 师:买一辆新车,使用多少年最合算,这是实际生活中必须考虑的现实问题。 情景 2: (展示 24 届国际数学家大会会标) 上图是在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学 家赵爽的弦图设计的,该图不仅代表了古代中国曾经为世界数学的发展做出了重要 的贡献,更体现了数学的简洁之美,其中还蕴含着一个重要不等关系。 观 察

设计 意图 :数 学文 化为 教学 背景 ,引入 新课, 有效 调动 学生 的学 习兴 趣。 设计 意图 :通 过拼 图, 调动 学生 兴趣 ,感 受弦 图的 内在 意义 .

1.能用四个全等的直角三角形拼成一幅弦图吗? 师:请同学们以前后排四人为一小组,利用四个全等的直角三角板,拼成一个会 标图案——勾股弦图,并请两位同学上讲台来完成拼图。 预案:若学生在拼图时,发现用四个全等的等腰直角三角板拼图,弦图会有很大不 同。若学生未发现则引导学生用四个全等的等腰直角三角板拼图,发现不同之处。 2.请观察拼图,图中大正方形的面积与着红色部分的图形有何大小关系? 由拼图(1)可知: S正 ? S? 设直角三角形的两条边长为 a,b,那么正方形 的边长为 a 2 ? b 2 .这样,4 个直角三角形的 面积和为 2ab,正方形面积为 a ? b .由于 4
2 2

学 生 动 手, 感 受 弦 图 的 变 化

个直角三角形的面积和小于正方形 ABCD 的面积,我们就得到了一个不等式

a 2 ? b 2 ? 2ab
二、 讲 解 新 课 由拼图(2)得到等式 a ? b ? 2ab ,
2 2

综上可得重要不等式:

观 察 , 思 考

a 2 ? b 2 ? 2ab ,当 a ? b 时等号成立。
哪么,是否仅当 a ? b 时等号成立呢???我们来观察一组动画,找到其中的答案.
2 2 由动画可知:重要不等式: a ? b ? 2ab ,当且仅当 a ? b 时等号成立。

3.探讨不等式 a ? b ? 2ab 成立的条件?
2 2

拼图中 a,b 表示线段的长度,因此 y 要求 a, b ? 0 时重要不等式 a ? b ? 2ab 成
2 2

立。提问:是否可以由特殊的 a, b ? 0 ,推广到对任意实数 a,b 都成立呢?如果可 以,请证明;如果不可,请举一个反例说明。
5

设计 意图: 从形 和数 两个 方面 探讨 重要 不等 式. 渗透 数形 结合 的思 想.

证明:? a2 ? b2 ? 2ab ? (a ? b)2 ? 0,? a2 ? b2 ? 2ab . 由证明过程可知: (1) a, b ? R ,不等式 a ? b ? 2ab 恒成立.
2 2

(2) a ? b 时取等号. 4.换元法探索与证明基本不等式

a?b ? ab 2

(a ? 0, b ? 0) .

特别地,如果 a ? 0, b ? 0 ,我们用 a 、 b 分别代替 a、b,可得:

( a )2 ? ( b ) 2 ? 2 a ? b
得到基本不等式: a ? b ? 2 ab 通常我们把上式写作: ab ?

(a ? 0, b ? 0) .
(a ? 0, b ? 0) .
观 察 , 思 考

a?b 2

设计 意图 :利 用重 要不 等式 ;由 换元 法得 到基 本不 等式 设计 意图 :比 较异 同, 此处 旨在 让学 生对 两个 不等 式加 以区 别. 设计 意图 :并 明确 基本 不等 式求 最值 时应 注意 的条 件。

提问:等号何时成立呢? 答:当且仅当 a=b 时取等号. 5.熟悉基本不等式 提问:比较它们成立的条件,有什么不同点? 答:重要不等式 a ? b ? 2ab 成立条件: a ? R, b ? R ;
2 2

基本不等式

a?b ? ab 成立条件: a ? 0, b ? 0 . 2
探索

课堂练习: 练习:下列不等式成立的是( B ) 三 、 例 题 讲 解

a 2 ? b2 A. ? ab 2

a 2 ? b2 B. ? ab 2

a?b C. ? ab 2

基本

D.a ? b ? 2 ab

不等 式的 证明 法, 学生 以小 组为 单位 展开 讨论

例题分析: 例 1:下列说法正确的是____(1)____

b a (1)a, b ? (0, ?), 则 ? 的最小值为2; a b 4 (2)a ? R, a ? 0, 则 ? a的最小值为4; a 2 (3)函数 f ( x) ? sin x ? (0 ? x ? ? )的最小值为2 2; sin x

(4)函数 f ( x) ? x ?
例题提炼口诀: 一正: a ? 0, b ? 0; 四. 拓 展 练

1 x ( x ? ?1)的最小值为2 . x ?1 x ?1

二定: a ? b为定值(或a+b为定值); 三相等:当且仅当 a=b 时,等号成立. 基本不等式解决实际问题:
6



五、 课 堂 小 结

例 2:近年随着我国国民经济的迅速发展,人们的经济收入明显提高,生活状 况越来越好, 据有关部门抽样调查的结果显示, 我国城乡居民拥有量比 2005 年初翻 了一番.某种汽车,购车费是 1O 万元,每年支付的保险费、养路费、汽油费约为 0.9 万元,年维修费第一年是 0.2 万元,以后逐年递增 0.2 万元,这种汽车使用多少年 时最合算?我们有以下几种方案: 1.使用 n 年时,总费用最少; 2.使用 n 年后,年平均费用最少; 3.使用 n 年后,总花费超过购车费用 10 万元. 以上方案中,你认为选择哪种方案最合理,并请用你认为最合理的方案算出使用多 少年时最合算. 本题难点突破: 以列表法体现使用 n 年时,总费用、年平均费用、除去购车后总花费与使用 n 年的函数关系。学生通过分析表格的数据,理解方案 2 最合理. 解:设 n 年时,年平均费用为 y 万元,则:

年平均费用=

购车费+消耗费+维修费 , 年数

设计 意图 :拓 展学 生思 维, 渗透 数学 建模 思想 。照 应引 入情 景, 首尾 呼应 。

y?
?

10 ? 0.9 x ?

0.2 ? 0.2 ? ( x ? 1)0.2 ?x 2 , x

10 ? x ? 0.1x 2 10 x ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ? 3. x x 10
10 x ? , 即 x ? 10 时,它的平均费用最少. x 10
设计 意图 :学 生小 结整 理, 发现 疑问, 当堂 消化, 有利 于形 成知 识体 系。

六、 课 后 思 考

当且仅当

拓展:如果你想到了新的方案来衡量使用多少年最合算这个问题,也可以利用本题 列表的方法来判断方案时候合理. 课堂小结: 重要不等式 a ? b ? 2ab 成立条件: a ? R, b ? R ;
2 2

基本不等式

a?b ? ab 成立条件: a ? 0, b ? 0 . 2

请大家以两个不等式为线索,整理今天所学的知识。若有疑问,可以与同学讨论或 举手提问. 课后作业: 1.仔细阅读教材 97 页至 100 页,找出你困惑的地方,与同学或老师交流; 2.课时训练 3.4 基本不等式.

板书设计:

§3.4 基本不等式
基本不等式: a ? b ? 2 ab , a?b ? 2 ab 2 (a ? 0, b ? 0)
7

当且仅当a ? b时,等号成立

(电子白板)

(主板书)

(副板书) 开始上课

教学流程图:

课件

引入课题

参与思考

课件

探索重要不等式 与基本不等式

活动、思 考、记录

课件

课堂练习

练习

课件

例题讲解

课堂小结,学生 整理笔记

教师补充

作业布置

结束

教学反思:

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