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2.2.1直线与平面平行的判定(1)定稿


2.2.1直线与平面 平行的判定

复习引入
直线与平面有什么样的位置关系?

复习引入
直线与平面有什么样的位置关系? (1)直线在平面内——有无数个公共点;

记为a ? ?

?

a

复习引入
直线与平面有什么样的位置关系? (1)直线在平面内——有无数个公共点; (2)直线与平面相交——有且只有一个 公共点;

记为a ? ?

?

a

?

a

A

记为a∩?=A

复习引入
直线与平面有什么样的位置关系? (1)直线在平面内——有无数个公共点; (2)直线与平面相交——有且只有一个 公共点; (3)直线与平面平行——没有公共点.

a
?
a

?

a

A

?
记为a//?

记为a ? ?

记为a∩?=A

问题: 如何判定一条直线

和一个平面平行呢?
线面平行的定义是什么?用定 义好判断吗?

定义:一条直线和一个平面没有公共点, 叫做直线与平面平行.
a

?

动手试验:
观察 问题1、观察开门与关门, 门的两 边是什么位置关系.当门绕着一边 转动时,此时门转动的一边与门框 所在的平面是什么位置关系?

动手 体验
l

问题2、请同学们将一本书平放 在桌面上,翻动书的封面,观察 封面边缘所在直线l与桌面所在的 平面具有怎样的位置关系?桌面 内有与l 平行的直线吗?
讨论:能否用平面外一条直 线平行于平面内一条直线, 来判断这条直线与这个平面 平行呢?

?

b

探究问题,归纳结论
如图,平面 ? 外的直线 a平行于平面 ? 内的直线b。 (1)这两条直线共面吗? 共面 (2)直线

a与平面 ? 相交吗? 不相交

?

a
b

?

直线与平面平行的判定定理: 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平 行,则该直线与此平面平行.

a
?

线线平行?线面平行
化归与转化的思想: (1)化线面平行为线线平行

b

符号表示:

a ??? (2)化空间问题为平面问题 ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? 三个条件不能少 ?

感受校园生活中线面平行的例子:
天花板平面

感受校园生活中线面平行的例子:

球场地面

定理的应用
例1. 如图,长方体的六个面都是矩形,则 (1)与直线AB平行的平面是:
平面A1B1 C1D1和平面DCC1 D1

(2)与直线AD平行的平面是:
平面BCC1 B1和平面A1B1 C1D1

(3)与直线AA1平行的 A 平面是:
平面BCC1 B1和 平面DCC1 D1
A

D
1

1

C

1

B1

D B

C

定理的应用
例1. 如图,空间四边形ABCD中,
E、F分别是 AB,AD的中点.
E B

A
F D C

求证:EF∥平面BCD.

分析:要证明线面平行只需证明线线平行, 即在平面BCD内找一条直线 平行于EF,由已 知的条件怎样找这条直线?

定理的应用
例1. 如图,空间四边形ABCD中,
E、F分别是 AB,AD的中点.
E B

A
F D

求证:EF∥平面BCD.

证明:连结BD.

∵AE=EB,AF=FD
∴EF∥BD(三角形中位线性质) EF ? 平面BCD ? ? BD ? 平面BCD ? ? EF// 平面BCD ? FE//BD ?

反思~领悟:
1.判定直线与平面平行的方法: (1)定义法:直线与平面没有公共点则线面平行; “一线面内、 a // ? b?? 一线面外、 b // a 两线平行” 2.运用定理的关键找平行线;找平行线又经常会用到 三角形中位线、梯形的中位线、平行四边形、平行线 的判定定理,平行公理.(一般题中有中点再找中点,有 分点再找分点得平行关系.) 3.数学思想方法: (1)化线面平行为线线平行 转化化归的思想方法:(2)化空间问题为平面问题 (2)判定定理:(线线平行 a ??

? 线面平行);

巩固练习:
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点, 求证:BD1//平面AEC. 分析:要证BD1//平面 AEC即要在平面AEC内找 一条直线与BD1平行.根据 已知条件应该怎样考虑辅 助线?
D1 A1 B1 E D C O B C1

A

巩固练习:
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点, 求证:BD1//平面AEC.
证明:连结BD交AC于O,连结EO. ∵O 为矩形ABCD对角线的交点, ∴DO=OB,
又∵DE=ED1, A1 B1 E D O B C D1 C1

∴BD1//EO. A BD1 ? 平面 AEC ? ? EO ? 平面 AEC ? ? BD1 // 平面 AEC ? BD1 // EO ?

变式1:
2.如图,四棱锥A—DBCE中,O 为底面正方形DBCE对角线的交 点,F为AE的中点. 求证:AB//平面 DCF.(04年天津高考)
B

A

F
D

E O
C

分析:连结OF, 可知OF为 △ABE的中位线,所以得到AB//OF.

A

如图,四棱锥A—DBCE中,O为 底面正方形DBCE对角线的交点,F 为AE的中点. 求证:AB//平面DCF.
证明:连结OF, ∵ O为正方形DBCE 对角线的交点, ∴BO=OE, 又AF=FE, ∴AB//OF, B

F
D

E
O
C

AB ? 平面DC F? ? O F ? 平面DC F? ? AB //平面DC F ? AB //O F ?

作业:
课本P62第3题


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