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浙江省台州市书生中学2014届高三数学起始考试试题 文 新人教A版


书生中学 2014 届高三起始考试数学(文)试题
(满分:150 分 考试时间:120 分钟) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.已知集合 M ? {x | ?2 ? x ? 2}, N ? {x | y ? log 2 ( x ? 1)}, 则M ? N = ( ) A. {x | ?2 ? x ? 0} B. {x | ?1 ? x ? 0} C. {x | 1 ? x ? 2} D.{—2,0} 2.若函数 f (x) (x∈R)是奇函数,函数 g (x) (x∈R)是偶函数,则 ( ) A.函数 f (x) ? g(x)是偶函数 B.函数 f (x) ? g(x)是奇函数 C.函数 f (x)+g(x)是偶函数 D.函数 f (x)+g(x)是奇函数 3.已知 ? , ? 的终边在第一象限,则“ ? ? ? ”是“ sin ? ? sin ? ” A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 件 4.已知 a ? b ? 0 ,则下列不等式中总成立的是 ( ) A a? ( )

D.既不充分也不必要条

1 1 1 1 ? b? Ba? ? b? b a a b
4 2

C

b b ?1 1 1 ? . Db ? ? a ? a a ?1 b a


, 5. 已知曲线 y ? x ? ax ? 1在点 ? -1 a ? 2 ? 处切线的斜率为8,a = (
A. 9 B. 6 C. -9 D. -6 ) D.2

6.已知 | a |?| b |?| a ? 2b |? 1 ,则 | a ? 2b | =( A.9 B.3 C.1

?

?

?

?

?

?

?y ? 0 ? 7.若实数 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,且目标函数 z ? x ? y 的最大值等于 ( ?x ? 2 y ? 4 ?
A.2
2

)

B.3
2

C.4

D.1

8.若方程 x ? 5x ? m ? 0 与 x ? 10 x ? n ? 0 的四个根适当排列后,恰好组成一个首项 1 的等比数列,则 m : n 值为 A、 ( C、2 D、4 ) )

1 4

B、

1 2

9. 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c ,下列结论中错误的是( A. ?x0 ? R, f ( x0 ) ? 0

B.函数 y ? f ( x ) 的图像是中心对称图形

C.若 x0 是 f ( x) 的极小值点,则 f ( x) 在区间 (??, x0 ) 上单调递减 D.若 x0 是 f ( x) 的极值点,则 f '( x0 ) ? 0 10.函数 y ? 于 A、2 B、3 C、4 D、6 ( )
1

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横坐标之和等 x ?1

二、填空题 (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.将答案直接答在答题卷上指定的位 置.) 11. 已知 i 为虚数单位,复数 12.函数 f ( x) ? 1 ? 2 x ?

5i 的虚部是______. 2?i 1

x?3
x ? 0,

的定义域为______. .

? 2 x, 13.已知 f ( x) ? ? ? f ( x ? 1),

4 则 f ( ? ) 的值等于 x ? 0. 3

14.定义:区间 [ x1 , x 2 ]( x1 ? x 2 ) 长度为 x 2 ? x1 .已知函数 y ?| log 0.5 x | 定义域为 [a, b] ,值 域为

[0,2] ,则区间 [a, b] 长度的最小值为

.

15.函数 y ? sin( x ? 10?) ? cos( x ? 40?)( x ? R) 的最大值=______________ 16.已知 O 是 ?ABC 的外心, AB ? 2, AC ? 3 ,若 AO ? x AB ? y AC 且 x ? 2 y ? 1 ,则

????

??? ?

????

cos ?BAC ?
17. 若至少存在一个 x ? 0 ,使得关于 x 的不等式 x ? 2? | x ? a | 成立,则实数 a 的取值
2

范围为

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

2

18.(本小题满分 14 分) .已知 a ? 0, a ? 1 ,设 P :函数 y ? log a ? x ? 1? 在 x ? ? 0, ?? ? 上 单调递减, q :曲线 y ? x 2 ? (2a ? 3) x ? 1 与 x 轴交于不同的两点。若“ p ? q ”为假命 题,且“ p ? q ”为真命题,求 a 的取值范围。

19.(本题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? cos 2 x ? 3 sin x cos x ? 1 . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)若 f (? ) ?
5 π 2π , ? ? ( , ) ,求 sin 2? 的值. 3 3 6

20. (本小题满分 14 分) .定义域为 R 的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1),且当

x ? (0,1)时, f ( x) ?

2x ?1 . 2x ? 1

(Ⅰ)求 f ( x) 在 [?1,1] 上的解析式; (Ⅱ)当 m 取何值时,方程 f ( x) ? m 在 (0,1) 上有解?

21.(本小题满分 15 分)等差数列 ? an ? 中, 2a1 ? 3a2 ? 11 , 2a3 ? a2 ? a6 ? 4 ,其前 n 项 和为 S n . (1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)设数列 ?bn ? 满足 bn ?

1 Sn ?1 ? 1

,其前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ?

3 (n ? N* ). 4

22.(本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ax ? 1nx, x ? (0, e] ,其中 e 是自然对数的底数,
2

a?R 。
(1)当 a ? 1 时,求函数 f (x) 的单调区间与极值; (2)对于任意的 x ? (0, e] , f ( x) ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围。 台州市书生中学
2013 学年 第一学期

起始考高三数学(文)答卷 5 6 7 8 9 10

一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 题号 1 2 3

4

3

答案 二、填空题(每题 4 分,共 28 分) 11 、 _______________ ___ __________________ 14 、 __________________ __________________ 17、 三、 解答题(本大题共 5 小题, 72 分.解答应写出文字说明、 共 证明过程或演算步骤.) 18. (本小题满分 14 分) .已知 a ? 0, a ? 1 , P : 设 函数 y ? log a ? x ? 1? 在 x ? ? 0, ?? ? 上单调递减, q :曲线 y ? x 2 ? (2a ? 3) x ? 1 与 x 轴交于不同的两点。若“ p ? q ” 为假命题,且“ p ? q ”为真命题,求 a 的取值范围。 15 、 __________________ 16 、 12 、 __________________ 13 、

19.(本题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? cos 2 x ? 3 sin x cos x ? 1 . (1)求函数 f ( x ) 的单调递增区间;
4

(2)若 f (? ) ?

5 π 2π , ? ? ( , ) ,求 sin 2? 的值. 3 3 6

20. (本小题满分 14 分) .定义域为 R 的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,且当

x ? (0,1) 时, f ( x) ?

2x ?1 . 2x ? 1

(1)求 f ( x) 在 [?1,1] 上的解析式; (2)当 m 取何值时,方程 f ( x) ? m 在 (0,1) 上有解?

21.(本小题满分 15 分)等差数列 ? an ? 中, 2a1 ? 3a2 ? 11 , 2a3 ? a2 ? a6 ? 4 ,其前 n 项 和为 S n . (1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)设数列 ?bn ? 满足 bn ?

1 Sn ?1 ? 1

,其前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ?

3 (n ? N* ). 4

5

22.(本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ax ? 1nx, x ? (0, e] ,其中 e 是自然对数的底数,
2

a?R 。
(1)当 a ? 1 时,求函数 f (x) 的单调区间与极值; (2)对于任意的 x ? (0, e] , f ( x) ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围。

6

7

19.解: (Ⅰ) f ( x ) ? cos2 x ? 3 sin x cos x ? 1
?

? 3 1 ? cos 2 x 3 ? sin2 x ? 1 ? cos(2 x ? ) ? . 2 2 3 2

?4 分

由 2k? ? ? ? 2 x ?

?
3

? 2k? ? 2? ,得 k? ?

?
3

? x ? k? ?

5? (k?Z ) . 6

∴函数 f ( x ) 的单调递增区间是 [k? ? (Ⅱ)∵ f (? ) ?

?
3

, k? ?

5? . ]( k ? Z ) 6

?6 分 ?8 分

5 ? 3 5 ? 2 ,∴ cos(2 x ? ) ? ? , cos(2? ? ) ? ? . 3 2 6 3 3 6

? 5? ? ? 2? ? ∵ ? ? ? , ? ,∴ 2? ? ? (? , ) , 3 3 ?3 3 ?
sin( 2? ?

?
3

) ? ? 1 ? cos2 ( 2? ?

?
3

)??

5 . 3

?11 分

∴ sin2? ? sin(2? ?

?
3

?

?
3

)?

2 3? 5 1 ? 3 ? . sin(2? ? ) ? cos(2? ? ) ? 2 3 2 3 6

?14 分

8

x 1 (Ⅱ)当 x ? (0,1) m ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 ,2 x ? (1,2),1 ? 2 ? ? 0, 1 ? 即 m ? ? 0, ? ???14 分 ? ? ? ? x x x ? 3? 2 ?1 2 ?1 2 ?1 ? 3 ?

21.(本小题满分 15 分)等差数列 ? an ? 中, 2a1 ? 3a2 ? 11 , 2a3 ? a2 ? a6 ? 4 ,其前 n 项 和为 S n . (1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)设数列 ?bn ? 满足 bn ?

1 Sn ?1 ? 1

,其前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ?

3 (n ? N* ). 4

21.解: (1) 2a1 ? 3a2 ? 2a1 ? 3(a1 ? d ) ? 5a1 ? 3d ? 11 ,

2a3 ? a2 ? a6 ? 4 ,即 2(a1 ? 2d ) ? a1 ? d ? a1 ? 5d ? 4 ,
得 d ? 2 , a1 ? 1 , (5分)

an ? a1 ? (n ? 1)d ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 . (7分) 1 1 2 ⑵ Sn ? na1 ? n(n ? 1)d ? n ?1 ? n(n ? 1) ? 2 ? n (9分) 2 2 1 1 1 1 1 1 1 bn ? ? ? 2 ? ? ( ? ), 2 Sn ?1 ? 1 (n ? 1) ? 1 n ? 2n n(n ? 2) 2 n n ? 2
(11分)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? ( ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ? ) 2 1 3 2 4 3 5 n ?1 n ? 1 n n ? 2 1 1 1 1 1 3 (n ? N * ) . (15分) ? ( ? ? ? )? 2 1 2 n ?1 n ? 2 4
22.(本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ax ? 1nx, x ? (0, e] ,其中 e 是自然对数的底数,
2

a?R 。

9

(1)当 a ? 1 时,求函数 f (x) 的单调区间与极值; (2)对于任意的 x ? (0, e] , f ( x) ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围。



1 1 ? e,即a ? 2 ,则 f '( x) ? 0, f ( x)在(0,e]递减 , f min ( x) ? f (e) 2a 2e

f (e) ? ae2 ? 1 ? 3 ? a ?

4 e2

,所以 a 无解。

(12 分)



1 1 1 1 ? e,即a ? 2 时,当 x ? (0, ) 时 f ( x) 单调递减;当 x ? ( , e) 时 f ( x ) 单 2a 2e 2a 2a 1 1 1 1 1 e5 ) ? ? ln 2a , ? ln 2a ? 3, 解得a ? 2a 2 2 2 2 2
(15 分)

调递增。 f min ( x) ? f (

?a ?

e5 2

10


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