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数学北京市西城区2017-2018学年度高三上学期期末理科数学试卷


北京市西城区 2017 — 2018 学年度第一学期期末试卷

高三数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题
共 40 分)

2018.1

一、 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.若集合 A ? {x | 0 ? x ? 3} , B ? {x | ?1 ? x ? 2} ,则 A ? B ? (A) {x | ?1 ? x ? 3} (C) {x | 0 ? x ? 2} (B) {x | ?1 ? x ? 0} (D) {x | 2 ? x ? 3}

2.下列函数中,在区间 (0, ??) 上单调递增的是 (A) y ? ? x ? 1 (B) y ? | x ? 1| (C) y ? sin x (D) y ? x 2
1

3.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 (A) 2 (B) 6 (C) 30 (D) 270

? x ? 3 ? cos? , 4.已知 M 为曲线 C : ? ( ? 为参数)上的动点.设 O 为原点,则 OM 的最 ? y ? sin ?
大值是 (A) 1 (C) 3 (B) 2 (D) 4

? x ? 1≥ 0, ? 5.实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1≥ 0, 则 2 x ? y 的取值范围是 ? x ? y ? 1≥ 0, ?
(A) [0, 2] (C) [?1,2] (B) (? ?,0] (D) [0, ? ?)

6.设 a , b 是非零向量,且 a , b 不共线.则“ | a | ? | b | ”是“ | a ? 2b | ? | 2a ? b | ”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件
x

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

7.已知 A , B 是函数 y ? 2 的图象上的相异两点.若点 A , B 到直线 y ? 则点 A , B 的横坐标之和的取值范围是 (A) (??, ?1) (B) (? ?, ? 2) (C) (?1, ? ?)

1 的距离相等, 2

(D) (? 2, ? ?)

8. 在标准温度和大气压下, 人体血液中氢离子的物质的量的浓度 (单位 mol/L, 记作 [H? ] ) 和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位 mol/L,记作 [OH? ] )的乘积等于常数 10?14 .已 知 pH 值的定义为 pH ? ? lg[H? ] ,健康人体血液的 pH 值保持在 7.35~7.45 之间,那么

健康人体血液中的

[H ? ] 可以为 [OH ? ]

(参考数据: lg 2 ? 0.30 , lg3 ? 0.48 ) (A)

1 2

(B)

1 3

(C)

1 6

(D)

1 10

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.在复平面内,复数

2i 对应的点的坐标为____. 1? i

10.数列 {an } 是公比为 2 的等比数列,其前 n 项和为 Sn .若 a2 ?

1 ,则 an ? ____; S5 ? ____. 2

11.在△ ABC 中, a ? 3 , ?C ?

?? 3 3 ,△ ABC 的面积为 ,则 c ? ____. 4 3

12.把 4 件不同的产品摆成一排.若其中的产品 A 与产品 B 都摆在产品 C 的左侧,则不同的 摆法有____种. (用数字作答)

13.从一个长方体中截取部分几何体,得到一个以原长方体的 部分顶点为顶点的凸多面体,其三视图如图所示.该几何 体的表面积是____.

? x 2 ? x, ? 2 ≤ x ≤ c, ? 14.已知函数 f ( x) ? ? 1 若 c ? 0 ,则 f ( x) 的值域是____;若 f ( x) 的值域 c ? x ≤ 3. ? , ?x
是 [? ,2] ,则实数 c 的取值范围是____.

1 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分)

π 已知函数 f ( x) ? 2sin 2 x ? cos(2 x ? ) . 3 (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期;
(Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值.

π 2

16. (本小题满分 13 分) 已知表 1 和表 2 是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表. 表 1:某年部分日期的天安门广场升旗时刻表
日期 1月1日 1 月 21 日 2 月 10 日 3月2日 3 月 22 日 升旗时刻 7:36 7:31 7:14 6:47 6:15 日期 4月9日 4 月 28 日 5 月 16 日 6月3日 6 月 22 日 升旗时刻 5:46 5:19 4:59 4:47 4:46 日期 7月9日 7 月 27 日 8 月 14 日 9月2日 9 月 20 日 升旗时刻 4:53 5:07 5:24 5:42 5:59 日期 10 月 8 日 10 月 26 日 11 月 13 日 12 月 1 日 12 月 20 日 升旗时刻 6:17 6:36 6:56 7:16 7:31

表 2:某年 2 月部分日期的天安门广场升旗时刻表
日期 2月1日 2月3日 2月5日 2月7日 2月9日 升旗时刻 7:23 7:22 7:20 7:17 7:15 日期 2 月 11 日 2 月 13 日 2 月 15 日 2 月 17 日 2 月 19 日 升旗时刻 7:13 7:11 7:08 7:05 7:02 日期 2 月 21 日 2 月 23 日 2 月 25 日 2 月 27 日 2 月 28 日 升旗时刻 6:59 6:57 6:55 6:52 6:49

(Ⅰ)从表 1 的日期中随机选出一天,试估计这一天的升旗时刻早于 7:00 的概率; (Ⅱ) 甲, 乙二人各自从表 2 的日期中随机选择一天观看升旗, 且两人的选择相互独立. 记X 为这两人中观看升旗的时刻早于 7:00 的人数,求 X 的分布列和数学期望 E ( X ) . (Ⅲ)将表 1 和表 2 中的升旗时刻化为分数后作为样本数据(如 7:31 化为 7

31 ) .记表 2 中 60

所有升旗时刻对应数据的方差为 s 2 ,表 1 和表 2 中所有升旗时刻对应数据的方差为
2 2 ,判断 s 2 与 s* 的大小. (只需写出结论) s*

17. (本小题满分 14 分)
? 如图, 三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AB ? 平面 AA1C1C ,AA1 ? AB ? AC ? 2 , . ?A 1 AC ? 60

过 AA1 的平面交 B1C1 于点 E ,交 BC 于点 F . (Ⅰ)求证: A1C ? 平面 ABC1 ; (Ⅱ)求证:四边形 AA1 EF 为平行四边形; (Ⅲ)若
BF 2 ? ,求二面角 B ? AC1 ? F 的大小. BC 3

18. (本小题满分 13 分)
ax 已知函数 f ( x) ? e ? sin x ? 1 ,其中 a ? 0 .

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)证明: f ( x) 在区间 [0, π] 上恰有 2 个零点.

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :
3 x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 A(2, 0) ,且离心率为 . 2 a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y ? kx ? 3 与椭圆 C 交于 M , N 两点.若直线 x ? 3 上存在点 P ,使得四边形
PAMN 是平行四边形,求 k 的值.

20. (本小题满分 13 分) 数 列 An : a1 , a2 , ?, an (n ≥ 4) 满 足 : a1 ? 1 , an ? m , ak ?1 ? ak ? 0 或
1 ( k ? 1, 2, ?, n ? 1) .

对任意 i , j ,都存在 s , t ,使得 ai ? a j ? as ? at ,其中 i, j , s, t ?{1, 2,?, n} 且两两不相等. (Ⅰ)若 m ? 2 ,写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号; ① 1,1,1, 2, 2, 2 ; ② 1,1,1,1, 2, 2, 2, 2 ; ③ 1,1,1,1,1, 2, 2, 2, 2

(Ⅱ)记 S ? a1 ? a2 ? ? ? an .若 m ? 3 ,证明: S ≥ 20 ; (Ⅲ)若 m ? 2018 ,求 n 的最小值.

北京市西城区 2017 — 2018 学年度第一学期期末

高三数学(理科)参考答案及评分标准
2018.1 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.A 5.D 2.D 6.C 3.C 7.B 4.D 8.C

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ( ? 1,1) 12. 8 10. 2 n ? 3 , 13. 36

31 4

11. 13 14. [? , ??) ; [ ,1]

1 4

1 2

注:第 10,14 题第一空 2 分,第二空 3 分.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分)

π 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 2sin 2 x ? cos(2 x ? ) 3 ? 1 ? cos 2 x ? (cos 2 x ? cos π π ? sin 2 x ? sin ) 3 3
[ 4 分]

?

3 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 2

[ 5 分] [ 7 分] [ 8 分]

π ? 3sin(2x ? ) ? 1 , 3
所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? (Ⅱ)因为 0 ≤ x ≤

2π ?π. 2

π , 2 π 2π . ≤ 3 3
[10 分] [11 [13

所以 ? ≤ 2 x ? 当 2x ?

π 3

π π 5π 时, ? ,即 x ? 3 2 12

分] f ( x) 取得最大值为 3 ? 1 .

分]

16. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)记事件 A 为“从表 1 的日期中随机选出一天,这一天的升旗时刻早于 7:00”, [ 1 分] 在表 1 的 20 个日期中,有 15 个日期的升旗时刻早于 7:00, 所以 P(A) ?

15 3 ? . 20 4

[ 3 分] [ 4 分]

(Ⅱ)X 可能的取值为 0,1, 2 .

记事件 B 为“从表 2 的日期中随机选出一天,这一天的升旗时刻早于 7:00”, 则 P(B) ?

5 1 2 ? , P(B) ? 1 ? P(B) ? . 15 3 3 1 1 4 4 ; ; P( X ? 1) ? C1 P( X ? 0 )? P ( B? )P ( B ?) 2 ( )(1 ? ) ? 3 3 9 9 1 P( X ? 2) ? P(B) ? P(B) ? . 9
X P 0
4 9

[ 5 分]

[ 8 分]

所以 X 的分布列为: 1
4 9

2
1 9

4 4 1 2 E ( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? . 9 9 9 3 1 2 1 注:学生得到 X ~ B(2, ) ,所以 E ( X ) ? 2 ? ? ,同样给分. 3 3 3
2 (Ⅲ)s 2 ? s* .

[10 分]

[13 分]

17. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)因为 AB ? 平面 AA1C1C ,所以 A1C ? AB . 因为 三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? AC ,所以 四边形 AA1C1C 为菱形, 所以 A1C ? AC1 . 所以 A1C ? 平面 ABC1 . (Ⅱ)因为 A1 A//B1B , A1 A ? 平面 BB1C1C ,所以 A1 A// 平面 BB1C1C . 因为 平面 AA1EF ? 平面 BB1C1C ? EF ,所以 A1 A//EF . 因为 平面 ABC // 平面 A1B1C1 , 平面 AA1 EF ? 平面 ABC ? AF ,平面 AA1 EF ? 平面 A1B1C1 ? A1E , 所以 A1E //AF . 所以 四边形 AA1 EF 为平行四边形. [ 7 分] [ 8 分] [ 3 分] [ 4 分] [ 5 分] [ 6 分] [ 1 分]

(Ⅲ)在平面 AA1C1C 内,过 A 作 Az ? AC . 因为 AB ? 平面 AA1C1C , 如图建立空间直角坐标系 A - xyz . 由题意得, A(0,0,0) , B(2,0,0) , C (0, 2,0) , A1 (0,1, 3) , C1 (0,3, 3) . 因为
?? ? ? 2 ?? 4 4 BF 2 ? ,所以 BF ? BC ? (? , , 0) , 3 3 3 BC 3

[ 9 分]

2 4 所以 F ( , ,0) . 3 3

由(Ⅰ)得平面 ABC1 的法向量为 A1C ? (0,1, ? 3) . 设平面 AC1 F 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,
? ? ?? ?n ? AC1 ? 0, 则? ? ? n ? ?? ? AF ? 0,

?? ?

?3 y ? 3z ? 0, ? 即?2 4 ? x ? y ? 0. 3 ?3
[11 分]

令 y ? 1 ,则 x ? ?2 , z ? ? 3 ,所以 n ? (?2,1, ? 3) . 所以 | cos? n, A1C? | ?
?? ?

| n ? A1C | | n || A1C |
?? ?

?? ?

?

2 . 2

[13 分]

由图知 二面角 B ? AC1 ? F 的平面角是锐角, 所以 二面角 B ? AC1 ? F 的大小为 45? . [14 分]

18. (本小题满分 13 分)
x 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? e ? sin x ? 1 , x 所以 f ?( x) ? e (sin x ? cos x) .

[ 2 分] [ 4 分] [ 5 分] [ 6 分] [ 7 分] [ 8 分]

因为 f ?(0) ? 1 , f (0) ? ?1 , 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? x ? 1 .
ax (Ⅱ) f ?( x) ? e (a sin x ? cos x) .

由 f ?( x) ? 0 ,得 a sin x ? cos x ? 0 . 因为 a ? 0 ,所以 f ?( ) ? 0 .

π 2

当 x ? (0, ) ? ( ,π) 时, 由 a sin x ? cos x ? 0 , 得 tan x ? ? 所以 存在唯一的 x0 ? ( , π) , 使得 tan x0 ? ? .
f ( x) 与 f ?( x) 在区间 (0, π ) 上的情况如下:

π 2

π 2

1 . a
[ 9 分]

π 2

1 a

x
f ?( x)
f ( x)

(0, x0 )

x0
0

( x0 , π)

+


?

极大值

↘ [11 分] [12 分]

所以 f ( x) 在区间 (0, x0 ) 上单调递增,在区间 ( x0 , π) 上单调递减.
aπ π 因为 f ( x0 ) ? f ( ) ? e 2 ? 1 ? e 0 ? 1 ? 0 , 2

且 f (0) ? f ( π) ? ?1 ? 0 , 所以 f ( x) 在区间 [0, π] 上恰有 2 个零点. [13 分]

19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由题意得 a ? 2 , e ? 因为 a 2 ? b 2 ? c 2 , 所以 b ? 1 , 所以 椭圆 C 的方程为
x2 ? y2 ? 1 . 4 c 3 ? , 所以 c ? 3 . a 2

[ 2 分] [ 3 分] [ 4 分] [ 5 分]

(Ⅱ)若四边形 PAMN 是平行四边形, 则 PA //MN ,且 | PA | ? | MN | . 所以 直线 PA 的方程为 y ? k ( x ? 2) , 所以 P(3, k ) ,| PA | ? k 2 ? 1 . 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) . [ 7 分] [ 6 分]

? ? y ? kx ? 3, 由 ? 2 2 ? ? x ? 4 y ? 4,

得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8 3kx ? 8 ? 0 ,

[ 8 分]

由 ? ? 0 ,得 k 2 ? 且 x1 ? x2 ? ?

1 . 2

8 3k 8 , x1 x2 ? 2 . 4k 2 ? 1 4k ? 1

[ 9 分]

所以 | MN | ? (k 2 ? 1)[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] .

? (k 2 ? 1)

64k 2 ? 32 . (4k 2 ? 1)2 (k 2 ? 1) 64k 2 ? 32 ? k2 ?1 . 2 2 (4k ? 1)

[10 分]

因为 | PA | ? | MN | , 所以

4 2 整理得 16k ? 56k ? 33 ? 0 ,

[12 分] [13 分]

解得 k ? ?

11 3 , 或 k?? . 2 2
3 时不满足 PAMN 是平行四边形,舍去. 2

经检验均符合 ? ? 0 ,但 k ? ? 所以 k ?

11 3 , 或 k?? . 2 2

[14 分]

20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)②③. 注:只得到 ② 或只得到 ③ 给[ 1 分],有错解不给分. (Ⅱ)当 m ? 3 时,设数列 An 中 1, 2,3 出现频数依次为 q1 , q2 , q3 ,由题意 qi ≥1 (i ? 1, 2,3) . ① 假设 q1 ? 4 ,则有 a1 ? a2 ? as ? at (对任意 s ? t ? 2 ) , 与已知矛盾,所以 q1 ≥ 4 . 同理可证: q3 ≥ 4 . ② 假设 q2 ? 1 ,则存在唯一的 k ? {1, 2,?, n} ,使得 ak ? 2 . 那么,对 ?s, t ,有 a1 ? ak ? 1 ? 2 ? as ? at ( k , s, t 两两不相等) , 与已知矛盾,所以 q2 ≥ 2 . 综上: q1 ≥ 4, q3 ≥ 4, q2 ≥ 2 , [ 7 分] [ 5 分] [ 3 分]

所以 S ? ? iqi ≥ 20 .
i ?1

3

[ 8 分]

(Ⅲ)设 1, 2, ?, 2018 出现频数依次为 q1 , q2 ,..., q2018 . 同(Ⅱ)的证明,可得 q1 ≥ 4, q2018 ≥ 4 , q2 ≥ 2, q2017 ≥ 2 ,则 n ≥ 2026 . 取 q1 ? q2018 ? 4, q2 ? q2017 ? 2 , qi ? 1, i ? 3, 4,5,?, 2016 ,得到的数列为:
Bn :1,1,1,1, 2, 2,3, 4,??, 2015, 2016, 2017, 2017, 2018, 2018, 2018, 2018 .

[10 分]

下面证明 Bn 满足题目要求.对 ?i, j ?{1, 2,?, 2026} ,不妨令 ai ≤ a j , ① 如果 ai ? a j ? 1 或 ai ? a j ? 2018 ,由于 q1 = 4, q2018 = 4 ,所以符合条件; ② 如果 ai ? 1, a j ? 2 或 ai ? 2017, a j ? 2018 ,由于 q1 = 4, q2018 = 4 , q2 = 2, q2017 = 2 , 所以也成立; ③ 如果 ai ? 1, a j ? 2 , 则可选取 as ? 2, at ? a j ? 1 ; 同样的, 如果 ai ? 2017, a j ? 2018 , 则可选取 as ? ai ? 1, at ? 2017 ,使得 ai ? a j ? as ? at ,且 i, j, s, t 两两不相等; ④ 如果 1 ? ai ≤ a j ? 2018 ,则可选取 as ? ai ? 1, at ? a j ? 1 ,注意到这种情况每个数 最多被选取了一次,因此也成立. 综上,对任意 i, j ,总存在 s, t ,使得 ai ? a j ? as ? at ,其中 i, j, s, t ?{1, 2,?, n} 且两 两不相等.因此 Bn 满足题目要求,所以 n 的最小值为 2026 . [13 分]


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