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专转本数学模拟试题与解析5

23.证明



b

a

dx ∫ f ( y ) dy = ∫ ( b ? x ) f ( x ) dx
a a

x

b

证:画出左式积分区域 D

∫ ∫

b

a b
a

dx ∫ f ( y )dy交换积分次序
dy ∫ ( y )dx = ∫ f ( y ) ? dx ∫ dy =
y a y

x'

a b

b

b

∫ ( b ? y ) f ( y ) dy = ∫ (b ? x ) f ( x ) dx
a a

b

b

=右式 24.设 f ( x, y ) 为连续函数且

f ( x, y ) = xy + ∫∫ f ( u, v ) dσ ,其中 D:
D

y = 0, y = x 2 , x = 1 所围闭区域,证明: 1 ∫∫ f ( x, y ) dxdy = 8 D
解:(1)画出积分区域 D

(2)∵ 二重积分是一个确定常数

f ∫∫ f ( x, y)dxdy = A 故有(x,y)= xy + A
D

(3)A= = =

∫∫ ( xy + A)dσ = ∫ dx∫ ( xy + A)dy
0

1

x2

σ

D

∫∫ x ?
D
1

y2 2

x2 0

dx + A∫ y
σ

1

x2 0

dx

x5 x3 1 1 A dx + A ∫ = + 移项 ∫0 2 3 0 12 3 1 1 得 A= 故 ∫∫ f ( x, y ) dxdy = 8 8 D

第十七讲:数项级数的敛散性的强化练习题答案
一、单项选择题(每小题 4 分,共 24 分)


1.若 lim U n = 0 则常数项级数
n →∞

∑U
n =1

n

( D )

A.发散

B.条件收敛

C.绝对收敛


D .不一定收敛 选D

解: lim


∞ 1 1 1 1 = 0 ,但 ∑ 发散; lim 2 = 0 ,但 ∑ 2 收敛 n →∞ n n →∞ n n =1 n n =1 n

2.设 A. C.

∑U
n =1

n

收敛,则下列级数一定收敛的是( B )




∑ Un
n =1 ∞

B.

∑ ( 2008U )
n n =1 ∞

∑ (U
n =1


n

+ 0.001)
n

D.


∑U
n =1 n

1
u

解:


∑ ( 2008U ) =2008 ∑U
n =1 n =1


∵ ∑U n收敛 ∴ 由性质 ∑ ( 2008U n ) 收敛
n =1 n =1

3.下列级数中一定收敛的是…( A ) A.

1 ∑ n2 ? 4 n =10




B.
n

2n ? 4n ∑ 4n n =10


1 1 1 ? n ? ∑ ? 1 + n ? D. 2 + 3 + … n + … ? n =10 ? 1 1 解:∵U n = 2 n ≥ 0 ,取 n = 2 n ?4 n ∞ ∞ U 1 1 收敛 ∵ lim n = 1 ,且 ∑ 2 收敛,由比较法 ∑ 2 n →∞ V n =10 n n =10 n ? 4 n
C. 4.下列级数条件收敛的是……( C )

n A. ∑ (-1) n +1 n =1
n






B.


n =1


( ?1)
n2

n

C.


n =1

( ?1)
n


n

D.

n?3? ∑ ( ?1) ? 2 ? ? ? n =1

n

解: (1)


n =1

∞ 1 ( ?1) 为莱布尼兹级数收敛,选 C ( ?1) n ∞ 1 发散( p = < 1 ) (2) ∑ =∑ 2 n n=1 n n n =1

n



5.级数

∑ ( ?1)
n =1

n

k? ? …( B ) ?1 ? cos ? (k>0) n? ?
B.绝对收敛 D.敛散性与 K 相关

A.发散 C.条件收敛


∞ k k? ? (?1) n (1 ? cos ) = ∑ ?1 ? cos ? ∑ n n? n ?1 n =1 ? 2 ∞ U k k U n = 1 ? cos 取 n = 2 ∵ lim n = 1 且 ∑ Vn 收敛,故选 B n →∞ V n 2n n =1 n ∞ U 6.设正项极数 ∑ U n 若 lim n +! = p 则(D) n →∞ U n =1 n A..当 0<p<+ ∞ 时,级数收敛 B.当 p<1 时级数收敛,p ≥ 1 时级数发散

解:

C.当 p ≤ 1 时级数收敛,p>1 时级数发散 D.当 p<1 时级数收敛,p>1 时级数发散 解:当 P<1 时级数收敛,当 P>1 时级数发散,当 P=1 时失效。故选 D 二、填空题(每小题 4 分,共 24 分)


7.若 lim U n ≠ 0 则常数项级数
n →∞

∑U
n =1

n

一定是 (发散)




解:若 8.当

n= x ∞
n =1

∑U

n 收敛,则 lim U n = 0 。由逆否命题知:若 lim U n ≠ 0 则
n →∞ n →∞

∑U
n =1

n

发散

∑n


1
p ?3

收敛时,则 P>4

解:由 p 一级数的敛散性知,当 P–3 >1 时级数收敛,故 P>4 9.级数
9

∑ n ( n + 1) 的前 9 项的和 S
n =1

1

9



9 10

解:

9 1 1 ? ?1 = ∑? ? ∑ n ( n + 1) n=1 ? n n + 1 ? = ? n =1

1 9 ? 1? ? 1 1? ?1 1 ? ?1 ? ? + ? ? ? + ??? + ? ? ? = 1 ? = 10 10 ? 2 ? ? 2 3? ? 9 10 ? ∞ 1 1 10. ∑ n 的和 S= 2 n =1 3 1 q 1 解: S = = 3 = 1? q 1? 1 2 3 ∞ ?1 n? 11.若数项级数 ∑ ? n + r ? 收敛,则 r 的取值范围是 -1<r< 1 ? n =1 ? 2 ∞ 1 解: ∑ n 收敛,∴ 当 r < 1 时 n =1 2 ∞ ?1 ? ∑ ? 2n + r n ? 收敛 ? n =1 ? ∞ n 12.若 ∑ n 收敛(a>0) ,则 a 的取值范围是 a > 1 n =1 a U n + 1 an 1 解: lim n +1 = lim n +1 × = <1 n →∞ U n →∞ a a a n 收敛故a > 1
三、计算题(每小题 8 分,共 64 分) 13.判别 取 vn =

∑(
n= 2



n 4 + 1 ? n 4 ? 1 的敛散性解: U n =

)

(

n4 + 1 ? n4 ?1 =

)

2

n + 1 + n4 ? 1

4

∞ U 1 1 ∵ lim n = 1 且 ∑ 2 收敛 2 n →∞ V n n =1 n n

∴ 由比较法的极限形式知

∑(
n= 2



n 4 + 1 ? n 4 ? 1 也收敛

)

1 ? 的敛散性 3 ? ? n =1 1 1 解: (1)当 n → ∞ 时, arctan 3 ~ 3 2n 2n 1 1 Vn = 2 n arctan 2 ∞ U 1 2n 2n =1,且 (2) lim n lim ∑ 2n2 收敛(p=2>1)∴由比较法的极限 n →∞ V n →∞ 1 n =1 n 2 2n ∞ 1 ? ? 形式知, ∑ ? n arctan 3 ? 也收敛 2n ? n =1 ? n ∞ ? 2 + ( ?1) ? 15.判别 ∑ ? ? 的敛散性 4n n =1 ? ?
14.判别



∑ ? n arctan 2n ?

?

解法: (1)这是正项级数 ∵


∞ 3 1 2 + ( ?1) n 3 < n 且 ∑ n ,收敛 q = < 1 ∴ 由比较法非极限 n 4 4 4 n =1 4

2 + (?1)n ∑ 4n 收敛 n =1 ∞ ∞ 2 (?1)n 解法(2)∵ ∑ n 收敛, ∑ 收敛 n n =1 4 n =1 4
形式知

2 + (?1)n 也收敛 ∴ 由性质知 ∑ 4n n =1 ∞ 1? 3 ? 5 ??? (2n ? 1) 16.判别 ∑ 的敛散性 3n n! n =1


解:这是正项级数

∵ lim

U n +1 1 ? 3 ??? (2n ? 1)(2n + 1) 3n n ! 2 2n + 1 = lim = <1 × = lim n +1 n →∞ U n →∞ 1? 3 ??? (2n ? 1) n→∞ 3( n + 1) 3 3 ( n + 1) ! n

∞ 1? 3? 5??? (2n ?1) ∴ 由此值判别法知 ∑ 也收敛 3n n! n=1

?2? ∑ ? n ? n ! 的敛散性 ? n =1 ? 解: (1)这是正项级数且含有 n ! , 2 n , n n 用比值法 2n ? 2 ( n + 1) ? n ! U (2)∵ lim n+1 = lim n →∞ U n →∞ (n + 1)(n + 1) n n
17.判别
∞ nn 1 2 nn ?2? ? n = lim ? 2 = 2 lim = < 1 ∴ 由比值法知 ∑ ? ? n ! 收敛 n →∞ (n + 1) n n →∞ 1 2 n! n =1 ? n ? ( + 1) n e n 2 ∞ n arctan n 18.判别 ∑ 的敛散性 3n n =1 π n2 π n2 π n2 解: (1)∵ arctan n < ∴ n arctan n = U n < 取 Vn = 2 3 2 3n 2 3n



n

n



(2)判别

∑23
n =1

π n2
n

的收敛性
2

V ( n + 1) 3n ∵ ρ = lim n+1 = lim n +1 × 2 <1 n →∞ V n →∞ 3 n n


∴ ∑ Vn 收敛
n =1


(3)综合(1) (2)有 U n < Vn且


∑V
n=1

n

收敛,故原级数收敛

nπ 的敛散性 ,若收敛,是绝对收敛或条件收敛 3 n =1 ∞ 1 nπ 解: (1)这是任意项极数 ∑ 2 sin 3 n=1 n 1 nπ 1 nπ < 2 ( sin ≤ 1) (2)∵ 2 sin n 3 n 3 nπ ∞ ∞ sin 1 3 收敛 且 ∑ 2 收敛∴ ∑ 2 n n =1 n n =1
19.判别

∑n

1

2

sin



sin




n =1


n

nπ 3 绝对收敛 2
n-1

1? ? ln ? 1+ ?的敛散性 ,若收敛,是绝对收敛或条件收敛 n? ? n =1 ∞ 1? ? n-1 解: (1) ∑ (?1) ln ? 1+ ? n? ? n =1 1 ln(1 + ) ∞ 1? ? n =1 且 = ∑ ln ?1+ ? ∵ lim n →∞ 1 n? ? n =1 n ∞ ∞ 1 1? ? ∑ n 发散 ∴ ∑ (?1)n-1ln ? 1+ n ? 发散 ? ? n =1 n =1 ∞ 1? ? ∵ ∑ (?1)n-1ln ? 1+ ? 为交错级数 n? ? n =1
20.

∑ (?1)

1? 1 ? U n = ln(1 + ) ∵ lim ln ? 1+ ? = 0 n →∞ n? n ? 1 1 1 令 y = ln(1 + x), y’= > 0 ( x > 1 ) → y ↗ 即有 U n = ln(1 + ) > ln(1 + ) x +1 n n +1
故原级数条件收敛
四、综合题(每小题 10 分,共 20 分)


21.讨论级数

∑1+ a
n =1

1

n

(a > 0) 在 0<a<1;a=1;a>1 三种条件下的敛散性

解: (1)当 0<a<1 时,∵ lim U n = lim
n →∞

1 n →∞ a + 1
n

1 发散 n n =1 1 + a 1 1 1 (2)当 a=1 时∵ lim U n = lim n = = ≠ 0 ∴ 级数发散 n →∞ a + 1 n →∞ 1+1 2 n 1 1 ?1? (3)当 a > 1 时 U n = ≤ n =? ? n 1+ a a ?a? 0 < a < 1 1 ≠ 0 ∴ 级数 ∑
∞ ?1? ∵ ∑ ? ? 收敛 ( a > 1) n =1 ? a ? ∞ 1 ∴ 由比较法 ∑ 也收敛 n n =1 1 + a



n



22.讨论级数

∑n
n =1

an
2

(a > 0) 在 0<a<1;a=1;a>1 三种条件下的敛散性
∞ ∞ an an 1 1 且 ∑ 2 收敛(p=2>1)∴ 由比较法知 ∑ 2 也收敛 < n 2 n 2 n =1 n n =1 n

解: (1)当 0<a<1 时∵


∞ an 1 = ∑ 2 收敛(p=2>1) ∑ n 2 n =1 n n =1 U a n+1 (3)当 a>1 时, ρ = lim n +1 = lim 2 n →∞ U n →∞ ( n + 1) n

(2)当 a=1 时,

×

∞ an n2 n2 = lim a = a > 1 ∴ 由此值判别法知 ∑ 2 发散 a n n→∞ ( n + 1) n =1 n

综合:当 0 ≤ a ≤ 1时

an ∑ n 2 收敛,当 a > 1时 n =1
∞ ∞

an ∑ n 2 发散 n =1
∞ ∞

五、证明题(每小题 9 分,共 18 分) 23.若正项极数 证明: (1)∵


∑U n 收敛,证明: ∑U n2 也收敛(反之不成立)
n =1 n =1
n

∑U
n =1

收敛∴ lim U n = 0
n →∞

2 当 n 充分大时,有:0< U n <1 故有 U n > U n (n 充分大时) 2 (2)∵ U n > U n 且





n =1 ∞

∑ U n 收敛∴ 由比较法 ∑U n2 也收敛
n =1

注:反之不成立如


∑n
n =1

1
2



收敛但
2 n

∑n
n =1

1

发散


∞ 2 n

24.若

∑U
n =1

收敛,

∑V
n =1

收敛,证明:
2

∑U
n =1

n

?Vn 也收敛

证: (1)∵

(U

n

? Vn
n

)

≥ 0

∴U

2 n

+ V n2 ? 2 U
2 2

Vn ≥ 0

(2)∵ U n + V n ≥ 2 U n V n 且

∑ (U n2 + Vn2 )收敛 ∴ 由此比较法知 2∑ U n ?Vn 也收敛 即 ∑ U n ?Vn 也收敛
n =1 n =1 n =1








选作题:设 U n >0 证:反证法:设 lim

∑U
n =1

n

收敛,且 lim nun 存在。证明 lim nun =0(提示:用反证法)
n →∞ n →∞

Un ≠ 0 且 lim nun 存在 n →∞ 1 n →∞ n
∞ ∞

又∵



∑ n 发散,∴ 由此比较法的极限形式知: ∑ U
n =1 n =1 n →∞

1

n 也发散

这与

∑U
n =1

n

的题设矛盾

故有 lim nun =0

第十八讲:幂级数收敛域把函数展成幂级数 的强化练习题参考答案
一、单项选择题(每小题 4 分,共 24 分) 1若

∑ an x n 收敛半径为 R1 , ∑ bn x n 的收敛半径为 R2 ( R1 < R2 )则 ∑ ( an + bn )x n 的收敛
n =0 n=0 n=0







半径为……( D) A、 R1 + R2 解: B、 R1 + R2 C、 R2


D R1


∑(a
n=0




n n n 的收敛半径为 R2 中较小 1 n + bn )x 的收敛半径是 ∑ an x 收敛半径为 R , ∑ bn x n =0 n=0

的 即 R2


2.若

∑ an x n 在 x = x0 ≠ 0 收敛,则在 x < x0 内, ∑ an x n ……(A)
n =0 n =0

A、绝对收敛 C、发散 解:由定理知,若 3.把 f ( x ) =

B、条件收敛 D、可能收敛也可能发散
∞ ∞

∑ an x n 在 x = x0 ≠ 0 收敛则 ∑ an x n 在 x < x0 内绝对收敛
n =0 n =0

选A

1 展成x的幂级数 (其中 a ? b ≠ 0 )时,其收敛半径 R=(A) a + bx a b b b A. B. C. D. b a a+b a-b 1 1 1 解:∵ = a + bx a 1 + b x a n n 1 ∞ ?b ? = ∑ ( ?1) ? x ? a n =0 ?a ? b a a ∴ x <1 x < R= 选A a b b


n



n

4.

∑ ( 2 x ) + ∑ ( ?1)
n =0 n =0

x n 的收敛区间(考虑端点)是 (C)
B.[-1,1]

A. (-1,1)

? 1 1? , ? ? 2 2? n n ∞ ∞ 1 1 解: (1) ∑ ( 2 x ) 的半径 R1= ; ∑ ( ?1) x n 的半径 R2= 故 R= ; 1 2 2 n =0 n =0 ∞ ∞ 1 1 n (2)在 x = ± 处 ∑ (2 x) 发散, ∑(?1)n xn 收敛 故原级数在 x = ± 处 发散 选 C 2 n =0 2 n=0
C. ? ? D. ? ?

? 1 1? , ? ? 2 2?

a n x 2n 5.设 f ( x ) = ∑ ( a ≠ 0, ?1) ,则 f " ( x ) =(A) n = 0 ( 2n ) !


A. af ( x ) C.

B. a f ( x ) D. f ( x )

2

1 f ( x) a


解: (1) f ’x ) = (


an ∑ ( 2n ? 1)!x2 n?1 n =1 a m+1 2 m ∑0 ( 2m )!x = af ( x ) m=


an f "( x ) = ∑ x 2n? 2 n ? 1 = m n =1 ( 2n ? 2 ) !


故选 A

xn ( =( ∑ n 在 x < 1 的和函数 S x) B) n =1 A. ln (1 ? x ) B. ? ln(1 ? x ) 1 1 C. D. 1? x x ?1 n ∞ x 解:令 S ( x ) = ∑ x <1 n =1 n ∞ 1 S ' ( x ) = ∑ x n?1 = 1? x n =1 x 1 S ( x) = ∫ dx = ? ln (1 ? x ) 故选 B 0 1? x
6.幂级数 二、填空题(每小题 4 分,共 24 分)

?x? ∑ ? 3 ? 的收敛半径R为 ? n =0 ? a 3n 1 解:∵ ρ = lim n +1 = lim n +1 = n →∞ a n →∞ 3 3 n 1 收敛半径 R= = 3 ρ
7.幂级数




n

8.幂级数

∑a x
n n =0


n

在 x=-3 处条件收敛,则该级数的收敛半径 R=

解:∵ 级数在 x=-3 条件收敛,∴ 当 x < 3级数 绝对收敛当 x > 3 级数发散 故 R=3 9.幂级数

∑3
n =1

( ?1)
n

n

n

x 2 n ?1 的收敛半径 R=

解:∵ ρ ( x ) = lim

U n +1 ( x ) n →∞ U ( x ) n

= lim

3n n 3
n +1

n →∞

n +1

x <1

2

1 2 2 x < 1 , x <3 x < 3 故 R= 3 3 ∞ xn 10.幂级数 ∑ 在 (-∞,∞ )的和函数 n =1 n ! S ( x) =

xn 解:∵ ∑ = ex n =0 n ! n ∞ ∞ x xn ∴ ∑ = ∑ ? 1 = ex ?1 n =1 n ! n =0 n ! 故 S ( x ) = ex ?1


11. ln ( x +1) )展成 x 的幂级数,则 ln( x +1) =

(?1) n n +1 ∑ (n + 1) x 收敛域 ?1 < x ≤ 1 n =0 1 1 12.将 展成 ( x ? 1) 幂级数,则 = 2? x 2? x


解: ln ( x +1) =

∞ 1 1 解: (1) = = ∑ ( x ? 1) 2 ? x 1 ? ( x ? 1) n =0 (2)收敛区间 x ? 1 < 1即0 < x < 2

n

三、计算题(每小题 8 分,共 64 分)

(?1)n n ∑ n ? 2n x 的收敛半径与收敛域 n =1 a 2n n 解: (1)∵ ρ = lim n +1 = lim n →∞ a n →∞ n +1 2 n +1 n 1 ∴ 收敛半径 R=2 = 2 ∞ 1 1 (2)当 x =-2 时, ∑ 发散 p = <1) ( 2 n n =1 ∞ ( ?1) 收敛(莱布尼兹级数) 当 x =2 时, ∑ n n =1 (3)收敛域为 (-2,] 2


13.求

14.求

( x ? 2) n ∑ (n + 1) ? 3n 的收敛半径与收敛域 n =0


解: (1)∵ ρ = lim
n→∞

n an+1 3(n+1 ) 1 = lim n+1 = an n→∞ 3 (n + 2) 3

∴ 收敛半径 R=3 有 ?3< x?2<3 即 ?1< x < 5 ∞ 1 (2)当 x =5 时, ∑ 发散(调和级数) 1 n =1 n+


当 x = ?1 时,

n+1 (3)级数的收敛域为 [ ?1,) 5
n =1




(-1)

n

收敛(莱布尼兹级数)

(?1) n 2 n ?1 ∑ 4n x 的收敛半径与收敛域 n =1 U ( x) 4n 2 解: (1)∵ ρ = lim n +1 = lim n +1 x n →∞ U ( x ) n →∞ 4 n
15.求

1 2 2 x < 1 ∴ x < 4 , x < 2 , R=2 4 ∞ n ? ?1 ? (2)当 x = ±2 时 ∑ (?1) ? ? ? 发散 (U n → 0, n → ∞ ) ? 2? n =0 =
(3)级数的收敛域(-2,2) 16.将 f ( x ) = 解: (1)变形

1 展成( x ? b )幂级数( a ≠ b ) x?a

f ( x) =

1 1 1 = b ? a + ( x ? b) b ? a 1 + x ? b b?a
n n

1 ∞ ? x?b ? (2)展开 f ( x ) = ∑ ( ?1) ? b ? a ? b ? a n =0 ? ?


=∑
n =0

( ?1)( x ? b )
(b ? a) n +1

n

(3)收敛域(即收敛区间)

x ?b <1 b?a

? b?a < x ?b < b?a
17.将 f ( x ) = 解:解法(1)

x 展开成 x 的幂级数 x ? 3x + 2
2

? ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 ? f ( x) = x? ? = x? + ? ? x ? 2 x ?1? ? ?2?1? x ? 1? x ? ? ? 2? ? ? ? ? ? n ∞ ∞ ∞ ? ? x 1 ? ? = x ? ∑ n +1 + ∑ x n ? = ∑ ? 1 ? n +1 ?x n +1 n =0 ? n = 0 ?2 ? n =0 ? 2 ?
收敛域:

x < 1 x < 1 → x < 1即 ? 1 < x < 1 2

? 2(x ?1) ? (x ? 2) ? 2 1 ? ?= ? ( x ? 2) (x ?1) ? x ? 2 x ?1 ? ? ∞ 1 1 ? 1? =? + = ∑?1 ? n ?xn ( ?1 < x < 1 ) x 1 ? x n =0 ? 2 ? 1? 2 18.将 f ( x ) = ln (1 ? x ? 2 x 2 ) 展开成 x 的幂级数
解法(2) f ( x) = ? 解: (1)变形 f ( x ) = ln (1 + x ) + ln (1 ? 2 x ) (2)展开:


f ( x) = ∑
n =0 n


( ?1)

n



n +1

x

n +1

+∑
n =0

( ?1)

n

n +1
? x n +1 ?

( ?2 x )

n +1

=∑
n =0

( ?1)

x n +1 ?1 + ( ?2 ) ? n +1

n +1

(3)收敛区间 ?1 < x ≤ 1, ? 故有收敛区间 ? ?

1 1 ≤x< 2 2

? 1 1? , ? ? 2 2? π? ? 19.将 cos x展开成 ? x ? ?的幂级数 4? ?
解: (1)变形

?π ? π ?? f ( x ) = cos x = cos ? + ? x ? ? ? 4 ?? ?4 ? 2 π? 2 π? ? ? = cos ? x ? ? ? sin ? x ? ? 2 4? 2 4? ? ?
(2)展开
n n 2 ? ∞ ( ?1) 2n ∞ ( ?1) 2n+1 ? f ( x) = x ?∑ x ? ?∑ 2 ? n=0 ( 2n) ! n=0 ( 2n + ) ! ? ? ?

(3)收敛域(即收敛区间) ?∞ < x < ∞ 20 利用逐项积分将 f ( x )=arc tan x 展开成麦克劳林级数,并求其收敛域 解: (1) f ( x ) =
x



0

1 dt 1+ t2

x? ∞ ? n = ∫ ? ∑ ( ?1) t 2 n ?dt 0 ? n =0 ?




∑ ( ?1)
n =0

n



t dt = ∑


2n

x 2 n +1 n = 0 2n + 1

( ?1)

n

(2)当 x = ?1 时


∑ 2n + 1 收敛(莱布尼兹级数)
n=0 n

( ?1)

n

当 x = 1 时,

∑ 2n + 1 收敛 故有收敛域 [ ?1,1]
n=0

( ?1)

四、证明题(本题 8 分)

21.利用 ln ( 2 + x ) 的麦克劳林展开式,证明:


∑ n + 1 = ln 2
n =0

( ?1)

n

证: (1)令 f ( x ) = ln ( 2 + x ) = ln 2 ? 1 +

? ?

x? ? 2?

? x? = ln 2 + ln ? 1 + ? ? 2?


(2) f ( x ) = ln 2 + 收敛区间: ?1 <


n =0

( ?1)

? x? ? ? n +1 ? 2 ?

2

n +1

x ≤ 1, ?2 < x ≤ 2 2


(3)令 x = 2, f ( 2 ) = ln 4 = ln 2 +


∑ n +1
n=0

( ?1)

n

移项:

∑ n + 1 = ln 4 ? ln 2 = ln 2
n =0


( ?1)

n

证毕

五、综合题(每小题 10 分,共 30 分)

? ( ?1) n n n n ? ∑ ? 2n x + 3 x ? 的收敛域 n=1 ? ? ? ? n ∞ ( ?1) + 6n x n 解: (1)变形:原式= ∑ 2n n =1
22.求幂级数 (2)∵ ρ = lim
n→∞

an+1 an
× 2n

= lim
n→∞

( ?1)

n +1

+ 6n+1

2n+1

( ?1)

n

+ 6n

? ?1 ? 1+ 1 6n+1 ? 6 ? ? ? = 6 =3 = lim n n 2 n→∞ 6 2 ? ?1 ? 1+ ? ? ? 6 ? 1 ∴R = 3 n ∞ 1 + ( ?6 ) 1 (3)当 x = ? 时, ∑ 发散 ( un → 0, n → ∞ ) / 3 6n n =1
∞ 1 ( ?1) + 6n 发散 u → 0, n → ∞ 当 x = 时, ∑ ( n / ) 3 6n n =1 ? 1 1? 故级数的收敛区间: ? ? , ? ? 3 3? 1 23.将 f ( x ) = 2 的幂级数 展开成(x-1) x ? x?2

n +1

n

解: (1)变形: f ( x ) =

1

( x ? 3)( x + 2 )

=

( x + 2 ) ? ( x ? 3) ? 1 = 1 ? 1 ? 1 ? ( x ? 3)( x + 2 ) 5 5 ? x ? 3 x + 2 ? ? ?

(2)展开:

? 1? 1 1 f ( x) = ? ? ? 5 ? ?2 + ( x ? 1) 3 + ( x ? 1) ? ? ? 1? 1 1 1 1 ? = ?? ? ? 5 ? 2 1 ? x ?1 3 1 + x ?1 ? 2 3 ? ? n n 1 ? 1 ∞ ? x ?1 ? 1 ∞ n ? x ?1 ? ? = ?? ∑ ? ? ? ∑ ( ?1) ? ? ? 5 ? 2 n =0 ? 2 ? 3 n =0 ? 3 ? ? ? ? n 1 ∞ ? 1 ( ?1) ? n = ? ∑ ? n+1 + n+1 ? ( x ? 1) 5 n =0 ? 2 3 ? ? ? x ?1 x ?1 < 1, <1 (3)收敛区间:∵ 2 3 ∴ 收敛区间 ?1 < x < 3 ∞ n d ? ex ?1 ? 24.将 f ( x ) = 展开成 x 的幂级数,并由此求 ∑ 之值 ? ? dx ? x ? n =1 ( n + 1)!

xn ∑ n! ( ?∞ < x < +∞ ) n=0 ∞ ? ? xn ? ∑ ? 1 ? d ? ∞ x n?1 ? d n! ? ∴ 原式= ? n=0 = ?∑ ? dx ? x ? dx ? n=1 n ! ? ? ? ? ? n?1 ∞ ∞ ?x ? ( n?1) xn?2 = ∞ n xn?1 = ∑? ' =∑ ? ∑( n +1)! n=1 ? n! ? n=2 n! n=1
解: (1)∵ e =
x


收敛区间为 ( ?∞, +∞ )


(2)求

∑ (n + 1)! 之值
n =1

n

令 x =1,

n d ? ex ?1 ? = ∑ (n + 1)! dx ? x ? n =1 ? ?


x =1

=

xe x ? ( e x ? 1) x2


x =1

= e ? e +1 = 1

故有

∑ (n + 1)! =1
n =1

n

选作题 :将 f ( x ) =

1

(2 ? x)

2

展开成 x 的幂级数

? ? ? 1 ? 1? 1 ? 解: f ( x ) = ? ?' ?' = ? ? 2 ? x ? 2 ? 1? x ? ? 2? n ∞ 1? ?x? ? = ?∑ ? ? ? ' 2 ? n =0 ? 2 ? ? ? ?
∞ 1 ∞ ? xn ? n = ∑ ? n ? = ∑ n +1 x n ?1 2 n =0 ? 2 ? n =0 2 '

收敛区间:

x < 1 ,故收敛区间: ?2 < x < 2 2

第十九讲:一阶微分方程、可降阶微分方程 的强化练习题答案
一 、单项选择题(每小题 4 分,共 24 分) 1.微分方程 y ( x + y )dx = x dy 是 (B) A.一阶线性方程 B.一阶齐次方程 C.可分离变量方程 D.二阶微分方程
2

dy xy + y 2 y ? y ? 解:变形 ∵ = = +? ? dx x ? x? x2 ∴ 原方程是一阶齐次方程,选 B
A. y +
'

2

2.下列微分方程中,是可分离变量的方程是

(C)

y ' B. y ? sin y = x = ex x 2 2 C. y ' = y + x y + 1 + x ' 2 x D. y + xy = y e dy 解:∵ = y (1 + x 2 ) + (1 + x 2 ) dx = (1 + x 2 ) (1 + y ) ∴ y ′ = y + x 2 y + 1 + x 2
是可分离变量方程,选 C

dy cos 2 y 的通解是 = dx x 1 A. sec y ? tan y = + c x 1 B. tan y = ? + c x 1 C. ln cos y = ? + c x 1 1 D. = +c cos y x dy 1 解:∵ ∫ = ∫ 2 dx 2 cos y x
3.

(B)

1 选B ∴ tan y = ? + c x ' ? x2 4. y + 2 xy = e 满足 y (0) = 0 的特解是(A)
A. y = xe C. y = e
? x2

B. y = xe D. y = e

x2

? x2

x2

2 ? 2 xdx ? 2 xdx 解: y = e ∫ e? x e ∫ dx + c ?

?∫ ?

? ?

= e ? x ? ∫ e ? x e x dx + c ? ? ?

2

2

2

= ce? x + xe? x 由 y ( 0) = 0 得 c = 0 ,
故 y = xe
2
? x2

2

2

选A
'

5. 3x + 5 x ? 5 y = 0 满足 y 是 A. y = ( B )

x=0

= 1 的特解

1 3 1 2 x + x 5 2 1 3 1 2 B. y = x + x + 1 5 2 1 3 C. y = x + 1 5 1 2 D. x + 1 2 1? 3 5 2 ? 解: y = ? x + x ? + c 5? 2 ? 由 y ( 0 ) = 1 ,知 c = 1
1 3 x2 选B x + +1 5 2 '' ' 6.可降阶微分方程 xy = y 的通解是 (D)
故特解为 y =

x2 +c 2 2 C. y = c1 x + c2 D. y = c1 x + c2 解:(1)方程不显含 y :令 y ' = p , dp dp ,x y '' = = p. dx dx dp 1 ∫ p = ∫ x dx , ln p = ln c3 x, p = c3 x, x2 选D y = c1 ? + c2 = c1 x 2 + c2 2
A. y = x + c B. y =
2

二、 填空题 7. y ' =

y y2 的通解是 ? x x2

y du 1 = u.∫ = ∫ dx 2 x x u?u ?u x 1 x = ln cx, = ln cx , y = ln cx u y 8. y ln xdx = x ln ydy 满足 y x =1 = 1 的特解
解:令 是 解:(1)



ln y ln x dy = ∫ dx y x

ln 2 y = ln 2 x + c (2)由 y (1) = 1, 0 = 0 + c → c = 0
特解 ln y = ln x 9. y = 2 xy + 6 x 满足 y (0) = ?2 的特解是
+ 2 xdx ? ? 2 xdx 解:(1) y = e ∫ 6 xe ∫ dx + c ?

2

2

'

? ?

? ?

= e x ? ?3∫ e ? x d ( ? x 2 ) + c ? ? ?

2

2

= ce x ? 3 (2)∵ y ( 0 ) = ?2 ∴ c = 1
特解 y = e
x
x2

2

?3
y

10.求 e dy + e dx = 0 的通解为 解:

?dy dx =∫ x y e e ?y ?x ∫ e d (? y ) = ?∫ e d (? x)



1 1 + =c e y ex ' 11. xy + y = 3 的通解 y = 1 3 解: y ′ + y = , x x 1 1 ? ∫ dx ? 3 ∫ dx ? y = e x ?∫ e x + c ? ? x ? 1? 3 ? = ? ∫ ? xdx + c ? x? x ? 1 c = ( 3x + c ) = + 3 (可用可分离变量做) x x ''' ?x 12. y = e 的通解 y =

e ? y = ?e ? x + c ,通解

解: y '' = ?e
?x

?x

+ c1

y ' = e + c1 x + c2
y = c1 ? x2 + c2 x + c3 + ( ?e ? x ) 2

三、计算题 13. 求曲线 y = sin ( x + c ) 所满足的微分方程.

解: 通过求导,设法消去任意常数 c ,

∵ y = sin ( x + c ) ∴ y ' = cos( x + c ) ∵ sin 2 ( x + c ) + cos 2 ( x + c ) = 1
∴ y 2 + ( y ') = 1
这是所求的微分方程 14.求
2

dy = 1 ? x + y 2 ? xy 2 的通解. dx

解:(1)判别方程的类型:

dy = (1 ? x ) + y 2 (1 ? x ) dx = (1 ? x ) (1 + y 2 )
可分离变量方程 (2)

dy dy = (1? x) dx∫ = (1? x) dx 2 1+ y 1+ y2 ∫

arctan y =

(1 ? x )
?2

2

+ c .即: ? ? ? ?

2 ? (1 ? x ) y = tan ? c ? ? 2 ?

15.求 xydx + 1 ? x 2 dy = 0 满足

y ( ?1) = 2 的特解. 1 ? xdx 解:(1) dy = y 1 ? x2
可分离变量方程 (2)

∫ y dy = ∫

1

? xdx 1 ? x2

1 d (1 ? x 2 ) 1 2 ∫ y dy = ∫ 1 ? x2 1 1 1 ln y = ? 1 ? x 2 ) 2 + c1 ( 2 1 ? +1 2 ln y = 1 ? x 2 + c1
(3) ∵ y = ce
1? x 2

,又∵ y ( ?1) = 2
2

∴ c = 2 .特解 y = 2e 1? x dy 1 y 16.求 ? y = tan 的通解. dx x x dy y y 解:(1) = + tan .一阶齐次方程 dx x x y (2)令 = u, f ( u ) = u + tan u x

∫ u + tan u ? u = ∫ xdx
ln ( sin u ) = ln cx

du

1

y = cx x 或 y = x arcsin ( cx ) 为通解.
sin u = cx,sin
17.求 x x 2 + 1 dy + x 2 + 1 ydx = dx 满足 y |x =1 =

(

)

(

)

π 的特解. 2

解:(1)变形:

dy 1 1 .一阶线性方程 + y= dx x x (1 + x 2 )
(2) y = e
? 1 1 ? dx 1 ∫ x dx ? ?∫ e ∫ x dx + c ? ? x (1 + x 2 ) ? ? ?

1? 1 ? ∫ 1 + x2 dx + c ? ? x? ? 1 = ( arctan x + c ) x π π π (3)∵ y (1) = , = arctan1 + c, c = 2 2 4 1? π? ∴ 特解: y = ? arctan x + ? x? 4? 2 18.求 ( 2 x ? y ) dy ? ydx = 0 的通解. =
dx 2 ? x = ? y .一阶线性方程. dy y 2 ?2 ? ∫ dy ? ∫ dy (2) x = e y ? ∫ ? ye y dy + c ? ? ? ? ? ? ? 1 = y 2 ? ∫ ? y 2 dy + c ? ?y ? ?
解:(1)变形:

= y 2 ( ? ln y + c )
故 x = cy ? y ln y 为所求的通解. 19.求 1 + x 2 y '' = 2 xy ' 的通解. 解(1)降阶法:方程不显含 y . 令 y ' = p, y '' = (2) 1 + x
2 2

(

)

dp dx

(

2

) dp = 2 xp .一阶可分离变量方程 dx



2x dp dx =∫ p 1 + x2

ln p = ln (1 + x 2 ) c1 , p = c1 (1 + x 2 )

dy = c1 (1 + x 2 ) dx 3 ? x ? ∴ y = c1 ? x + ? + c2 3 ? ?
(3)∵ 20.求 yy '' = 2 ?( y ') ? y '? 满足
2

? ? y |x=0 = 1, y ' |x=0 = 2 的特解.

解:(1)降阶法,方程不显含 x . 令 y ' = p , y '' = p

dp dy

dp = 2 p ( p ? 1) dy (2)当 p = 0 时,∵ 初始条件 p ( 0 ) = 2 ∴ p = 0 舍去 dp 2 当 p ≠ 0 时, ∫ = ∫ dy p ?1 y 2 ln ( p ? 1) = ln y ? c1 py

p ? 1 = c1 y 2 , p = 1 + c1 y 2
∵ p ( 0 ) = 0, y ( 0 ) = 1. ∴ c = 1

dy = 1 + y2 dx dy ∫ 1 + y 2 = ∫ dx, arctan y = x + c2 π ∵ y ( 0 ) = 1∴ c2 = 4 π 特解 y = tan( x + ) 4
四、证明题 21.设曲线上任一点 M ( x, y ) 处切线与 OM 直线垂直,且曲线过点 1, 3 ,证明曲线是以原 点为圆心,半径为 2 的圆. 证:(1)列出微分方程,设曲线 y = f ( x ) ,画出示意图.

(

)

∵直线 OM: y = kx 的斜率为 k = ∴依题意:

y dy ,曲线 y = f ( x ) 切线斜率为 . x dx

dy x = ? , y |x =1 = 3 dx y

(2)解微分方程: ydy = ? xdx

x2 + y 2 = c ,由 y |x =1 = 3 1+ 3 = c 2 2 2 故有曲线: x + y = 2 证毕
五、综合题 22.有连接 A ( 0,1) , B (1, 0 ) 两点的一条凸曲线,它位于 AB 弦的上方, P ( x, y ) 为该曲线上的 任一点,已知该曲线弧与 AP 之间的面积(如图阴影部分)为 x 3 ,求该曲线方程.

解:(1)列出方程,设阴影部分面积为 S S=曲边梯形 OADPC 面积-梯形 OAPC 面积

f ( x) + 1 ? x = x3 2 1 1 → f ( x ) ? f ( x ) = ?6 x ? x x
x = ∫ 0 f ( t ) dt ?

一阶线性方程 (2) f ( x ) = e
1 1 ? 1 ? ? ∫ dx ∫ x dx ?? ?6 x ? ? e x dx + c ? ?? x? ?? ?

1 ? ? = x ? ?6 x + + c ? = cx + 1 ? 6 x 2 通解 x ? ? (3) ∵ f (1) = 0, 0 = 1 ( ?6 + 1 + c )

∴c = 5
故所求的曲线方程为

f ( x ) = ?6 x 2 + 5 x + 1
23.设 ? ( x ) 可导,且满足

? ( x ) cos x + 2 ∫ ? ( t ) sin tdt = x + 1
0

x

求 ?( x) . 解:(1)把积分方程化为微分方程.

? ' ( x ) cos x + ? ( x )( ? sin x ) + 2? ( x ) sin x =1 ? ' ( x ) + tan x? ( x ) = sec x 且 ? ( 0 ) = 1
(2)解微分方程
sin x sin x ? ∫ cos x dx ? ∫ cos x dx ?( x) = e dx + c ? ? ∫ sec xe ? ? ? ln ( sin x ) ln cos x ? sec xe =e dx + c ? ?∫ ? = cos x ? ∫ sec2 xdx + c ? ? ? = cos x ( tan x + c ) ?

(3)由 ? ( 0 ) = 1 得 c = 1 故有特解 ? ( x ) = cos x + sin x 24.设 u = f ( r ) , r =

x 2 + y 2 ,且

? 2u ? 2u + = 0 ,求 f ( r ) 的具体表达式 ?x 2 ?y 2
解(1)把偏微分方程化为常微分方程



?u x ?u y = f ′(r ) ∴ = f ′(r ) ?x r ?y r

x r ? x? ? 2u x x r = f ′′ ( r ) ? + f ′ ( r ) r ?x 2 r r2 x2 r 2 ? x2 = 2 f ′′ ( r ) + r r3 ?2u y2 r 2 ? y2 由轮换对称性知: 2 = 2 + ?y r r3
? 2u ? 2u x2 + y 2 r 2 ? x2 + r 2 ? y2 + 2 = f ′′ ( r ) + f ′(r ) ?x 2 ?y r2 r3 1 = f ′′ ( r ) + f ′ ( r ) r 1 即有 f ′′ ( r ) + f ′ ( r ) = 0 r
这是可降阶的二阶微分方程. (2)令 f ′ ( r ) = p , f ′′ ( r ) =

dp dr

dp 1 dp 1 + p = 0,∫ = ∫ ? dr dr r p r c c df ( r ) c1 = ln p = ln 1 , p = 1 , r r dr r f ( r ) = c1 ln r + c2

第二十讲:二阶线性微分方程的强化练习题 答案
一、单项选择题

+ c2 e?3 x 为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 A. y ′′ ? y ′ ? 6 y = 0 B. y ′′ + y ′ + 6 y = 0 C. y ′′ ? y ′ + 6 y = 0 D. y ′′ + y ′ ? 6 y = 0 解: ∵ r1 = 2, r2 = ?3
1.以 y = c1e

2x

(

)

∴ ( r ? 2 )( r + 3) = 0, r 2 + r ? 6 = 0. 故有 y ′′ + y ′ ? 6 y = 0 选 D

2. y ′′ ? y = 0 的通解为 A. y = ( c1 + c2 x ) e B. y = c1 + c2 e D. y = c1e
2 ?x

(

)

x

x

C. y = c1 cos x + c2 sin x

+ c2 e x
2

解: ∵ r ? 1 = 0, r = 1, r1,2 = ±1

∴ y = c1e ? x + c2 e x
2

选D

3. y ′′ + 4 y ′ = x + 1 的待定特解 y? = ( ) A. Ax 2 + Bx + c C. Ax + B
2
2

B. x Ax 2 + Bx + c D.
2

( x ( Ax

)

+ B)

解:(1)∵ r + 4r = 0 , r1 = 0, r2 = ?4 (2) ∵ λ = 0 是特征单根

∴ y? = x ( Ax 2 + Bx + c )
x

选B )

4. 2 y ′′ + y ′ ? y = 2e 的待定特解 y? = ( A.

( Ax + B ) e
2

?x

B. Ax e D. Axe x

2 +x

C. Ae x

解:(1)∵ 2r + r ? 1 = 0, ( 2r ?1)( r +1) = 0,

1 r1 = , r2 = ?1. 2 x (2)∵ λ = 1 不是特征根,∴ y? = Ae 5. y ′′ + y ′ = cos x 的待定特解 y? = ( ) A. Ax cos x B. x( A cos x + B sin x) C. A cos x D. A cos x + B sin x 2 解:(1)∵ r + 1 = 0 , r1,2 = ±i (2)∵ λ + iw = i 是特征单根, 选B ∴ y? = x ( A cos x + B sin x )
6.若 y1 和 y2 是 y ′′ + py ′ + qy = 0 ( p, q 为常数)的两个特解,则 y = c1 y1 + c2 y2 ( c1 , c2 为任意常数)是 ( ) A. 方程的通解 B. 方程的特解 C. 方程的解 D. 不一定是方程的解 解:∵ y = c1 y1 + c2 y2 是方程的解,选 C (注:若 y1 , y2 线性无关,则 y = c1 y1 + c2 y2 是方程通解) 二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 7.以 y = ( c1 + c2 x ) e 为通解的二阶线性常系数齐次微分方程是 解:∵ r1 = 1, r2 = 1 重根∴ ( r ? 1) = 0
2

x

r 2 ? 2r + 1 = 0 ,故方程为: y ′′ ? 2 y ′ + y = 0 8. y ′′ ? 10 y ′ + 34 y = 0 的通解

解: r ? 10r + 34 = 0

2

10 ± 100 ? 4 × 34 2 6 = 5 ± i = 5 ± 3i 2 5x 通解 y = e ( A cos 3 x + B sin 3 x )

r1,2 =

9. y′′ + 6 y′ + 9 y = xe

?3 x

的待定特解

y? =
解:(1) r + 6r + 9 = 0 .
2

( r + 3)

2

= 0 , r1,2 = ?3

(2)∵ λ = ?3 是特征重根,

∴ y? = ( c1 + c2 x ) e ?3 x
10. y ′′ ? y ′ = xe + x + 1 的待定特解
x

y? =
解:(1)∵ r 2 ? r = 0 ,∴ r1 = 0, r2 = 1
x (2) y ′′ ? y ′ = xe ,∵ λ1 = 1 是特征单根,∴ y ?1 = x ( Ax + B ) e

x

(3) y ′′ ? y ′ = x + 1 ,∵ λ 2 = 0 是特征单根,∴ y ?2 = x ( Cx + D ) 故:

y? = x ( Ax + B ) e x + x ( Cx + D )
11. y ′′ ? 2 y ′ + 2 y = e cos x 的待定特解
x

y? =
解:(1) r 2 ? 2r + 2 = 0

2± 4?8 = 1± i 2 (2) λ + iw = 1 + i 是特征单根,故 y? = e x x ( A cos x + B sin x )

r1,2 =

12.设 y1 = x 为 y ′′ + y = x 的解, y2 =
x x

1 x e 2

为 y ′′ + y = e 的解,则 y ′′ + y = x + e 的通解 y = 解:(1)∵ r 2 + 1 = 0 , r1,2 = ±i

y = c1 cos x + c2 sin x
(2) y ?1 = x , y ?2 =

ex 2

→ y? = x +

ex 2
1 x e 2

(3)通解 y = c1 cos x + c2 sin x + x + 三、计算题 13.求 16 y ′′ ? 8 y ′ + y = 0 的通解.

解: 16r 2 ? 8r + 1 = 0

( 4r ? 1)

2

= 0 , r1,2 =

1 4
1 x 4

方程的通解: y = ( c1 + c2 x ) e
2 2

14.求 y ′′ + ky = 0 的通解( k 为常数) 解:∵ r + k = 0 ∴ r = ? k (1)当 k = 0 时, y ′′ = 0, y ′ = c

y = c1 x + c2
(2)当 k < 0 时, r 2 = ? k , r1,2 = ± ? k

y = c1e ?

?k x

+ c2 e

?k x

(3)当 k > 0 时, r1,2 = ± ki

y = c1 cos k x + c2 sin k x 15.求 y ′′ + 6 y ′ + 13 y = 0 满足 y ( 0 ) = 3 , y ′ ( 0 ) = ?1 的特解.
解:(1)∵ r 2 + 6r + 13 = 0

?6 ± 36 ? 52 = ?3 ± 2i 2 ?3 x (2)通解 y = e ( c1 cos 2 x + c2 sin 2 x )

r1,2 = ±

(3)特解:∵ y ( 0 ) = 3 ,∴ 3 = c1

y ′ = ?3e ?3 x ( c1 cos 2 x + c2 sin 2 x )
+e?3 x ( ?2c1 sin 2 x + 2c2 cos 2 x ) ∵ y ′ ( 0 ) = ?1 , ?1 = ?9 + 2c2 ,∴ c2 = 4
特解: y = e?3 x ( 3cos 2 x + 4sin 2 x ) 16.已知二阶线性常系数齐次方程的特征方程的根为 r1,2 = 1 ± 2i ,求此微分方程. 解:(1)特征方程:

( r ? 1 ? 2i )( r ? 1 + 2i ) = 0 2 2 2 ( r ? 1) ? ( 2i ) = 0 , ( r ? 1) ? 4i 2 = 0 ( i 2
r 2 ? 2r + 5 = 0 (2)微分方程: y ′′ ? 2 y ′ + 5 y = 0 2 17.求 y ′′ + 3 y ′ = 9 x 的通解.
解:(1) r 2 + 3r = 0 , r1 = ?3, r2 = 0

= ?1) , r 2 ? 2r + 1 + 4 = 0

y ( x ) = c1 + c2 e ?3 x
(2)∵ λ = 0 是特征单根.

∴ y? = x ( Ax 2 + Bx + C ) = Ax 3 + Bx 2 + Cx

y ?′ = 3 Ax 2 + 2 Bx + c1

y ?′′ = 6 Ax + 2 B 代入原方程: 6 Ax + 2 B + 9 Ax 2 + 6 Bx + 3c = 9 x 2
比较系数,得

2 , 3 2 y? = x 3 ? x 2 + x 3 (3)通解: y = y ( x ) + y ?
A=1,B=-1,C=

= c1 + c2 e?3 x + x3 ? x 2 +

2 x 3

18.求 y ′′ + y ′ ? 2 y = xe 的通解. 解:(1) r 2 + r ? 2 = 0 , r1 = ?2, r2 = 1.

?x

y ( x ) = c1e ?2 x + c2 e x
(2) ∵ λ = ?1 不是特征根,

y? = ( Ax + B)e? x y?′ = ( A ? Ax ? B)e? x y?′′ = ( Ax ? A + B ? A)e? x
代入原方程:

1 1 1 ( Ax ? 2 A + B + A ? Ax ? B ? 2 Ax ? 2 B ) = x 比较系数,A= ? ,-A-2B=0, =2B,B= 2 2 4 1 x y? = ( ? )e ? x 4 2 (3)通解: y = y ( x ) + y ? 1 x = c1e ?2 x + c2 e x + ( ? )e ? x 4 2 ?x 19.求 y ′′ + 2 y ′ + y = 3e 的通解. 2 解:(1) r + 2r + 1 = 0, r1,2 = ?1

y ( x ) = ( c1 + c2 x ) e ? x
(2)∵ λ = ?1 是特征重根,∴ y? = Αx e
2 ?x

y?′ = Α ( 2 x ? x 2 ) e ? x y?′′ = Α ( x 2 ? 2 x + 2 ? 2 x ) e ? x
代入原方程:

A ? x2 ? 4 x + 2 + 4 x ? 2 x2 + x2 ? = 3 ? ?
2 A = 3, A =
故有 y? =

3 2

3 2 ?x xe 2 (3) 通解: y = y ( x ) + y ? 3 2 ?x xe 2 20.求 y ′′ ? y ′ = sin x 的通解. 解:(1) r 2 ? r = 0 . r1 = 0, r2 = 1 (2)∵ λ + iw = 0 + i 不是特征根, = ( c1 + c2 x ) e ? x +

∴ y? = A cos x + B sin x

y ?′ = A sin x + B cos x y ?′′ = ? A cos x ? B sin x
代入原方程:

? A ? B = 1...... (1) ? ? A cos x ? B sin x + A sin x ? B cos x = sin x 比较系数: ? ? ? A ? B = 0...... ( 2 ) ? 1 1 (1) + ( 2 ) : B = ? , 代入(2) A = 2 2 1 y? = (cos x ? sin x) 2 (3)通解: y = y ( x ) + y ?

1 = c1 + c2 x + (cos x ? sin x) 2
四、 证明题(本题 8 分) 21. 设 y1 ( x ) , y2 ( x ) 是 y′′ + py′ + qy = f ( x ) ( p, q 为常数)的两个不同的解,证明:

y = y2 ( x ) ? y1 ( x ) 是方程 y ′′ + py ′ + qy = 0 的解. ′′ ′ 证:(1)∵ y1 ( x ) 是 y ′′ + py ′ + qy = f ( x ) 的解,∴ y1 + py1 + qy1 = f ( x ) ...... (1)
′′ ′ (2)∵ y2 ( x ) 是 y ′′ + py ′ + qy = f ( x ) 的另一个解.∴ y2 + py2 + qy2 = f ( x ) ...... ( 2 )
(3) ( 2 ) ? (1) 得:

′′ ′ y2 ? y1′′ + py2 ? py1′ + qy2 ? qy1 = f ( x ) ? f ( x )

( y2 ? y1 )′′ + p ( y2 ? y1 )′ + q ( y2 ? y1 ) = 0 故 y = y2 ? y1 是 y ′′ + py ′ + qy = 0 的解
证毕 五、综合题(每小题 10 分,共 30 分) 22.设函数 y = y ( x )由y ′′ + 4 y′ + 4 y = 0 及 y ( 0 ) = 2 ,
+∞ y ′ ( 0) = ?4 所确定。求广义积分 ∫ 0 y ( x ) dx

解:(1)∵ r 2 + 4r + 4 = 0

∴ ( r + 2 ) = 0, r1,2 = ?2
故方程的通解: y = ( c1 + c2 x ) e ?2 x (2)求特解:

2

∵ y ( 0 ) = 2,∴ 2 = ( c1 + 0 ) e0 得 c1 = 2
又∵ y ′ = ?2(2 + c2 x )e
?2 x

+ c2 e ?2 x
0

又∵ y ′ ( 0 ) = ?4 ,∴ ?4 = ?2(2 + 0)e + c2 故 c2 = 0 ,特解 y = 2e (3)∵
?2 x
+∞ 0



y ( x ) dx = ∫ +∞ 2e?2 x dx 0

+∞ + = ∫ 0 e ?2 x d ( ?2 x ) = ? e ?2 x?0 ∞

= ? lim e ?2 x + e 0 = 0 + 1 = 1
x →∞

∴∫

+∞ 0

y ( x )dx = 1

23. f ( x ) = e x ? x

∫ f ( t ) dt + ∫ tf ( t ) dt ∫ f (t ) dt + xf ( x)
x 0

x 0

x 0

其 f 连续,求 f ( x ) 的具体表达式. 解:(1) f ′ ( x) = ex ? xf ( x) ?

f ′′ ( x ) = e x ? f ( x ) , f ′′ ( x ) + f ( x ) = e x f ( 0 ) = 1, f ′ ( 0 ) = 1
(2) 10 r 2 + 1 = 0 . r1,2 = ±i

( )

f ( x ) = c1 cos x + c2 sin x

(2 )
0

∵ λ = 1 不是特征根,

∴ f ? ( x ) = Ae x , f ?′ ( x ) = Ae x

f ?′′ ( x ) = Ae x 代入 f ′′ ( x ) + f ( x ) = e x 1 1 Ae x + Ae x = e x , A = , f ? ( x ) = e x 2 2 0 ( 3 ) 通解: y = f ( x ) + f ? ( x )
1 = c1 cos x + c2 sin x + e x 2
(3)求特解:

1 1 ∵ f ( 0 ) = 1.1 = c1 + ∴ c1 = 2 2 1 1 y ′ = ?c1 sin x + c2 cos x + sin x + e x 2 2 1 ∵ f ′ ( 0 ) = 1,∴1 = c2 + 2 1 故: c2 = 2 1 1 1 f ( x ) = cos x + sin x + e x 2 2 2 1 x 答: f ( x ) = ( cos x + sin x + e ) 2 24.一潜水艇质量为 m ,从水面由静止开始下沉,所受阻力与下沉速度成正比(比例系数为 k ) 求下沉深度与时间函数关系 s = s ( t )
解:(1) 列出微分方程:下沉过程中,作用力为重力 mg ,阻力为 ?kv .由牛顿第二定律

F = ma , ms ′′ = mg ? ks ′ ? ′′ k ′ ?s + s = g m ? ? s = 0, s ? = 0 ′ t =0 t ? ?= 0
(2)解微分方程

(1 ) ∵ r
0 0

2

+

k k r = 0.r1 = 0, r2 = ? m m
k ? t m

∴ s = c1 + c2 e

( 2 ) ∵ λ = 0 是特征单根,∴ s? = At
s?′ = A , s?′′ = 0
代入微分方程,得 0 +

k A= g m

A=

mg mg , s? = t k k
k ? t m

( 30 ) 通解: s = c1 + c2 e
(3)求特解:

+

mg t k

∵ s ( 0 ) = 0,∴ c1 + c2 = 0...... (1)
k c2 k ? m t mg e + m k 2 m g ∵ s ′ ( 0 ) = 0 ∴ c2 = 2 k k 2 ? t m g mg s ( t ) = ? 2 (e m ? 1) + t k k

s′ ( t ) = ?


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