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人教版高中数学必修2 全册教案


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人教版数学必修二 第一章 空间几何体 重难点解析 第一章 课文目录 1.1 空间几何体的结构 1.2 空间几何体的三视图和直观图 1.3 空间几何体的表面积与体积 重难点: 1、让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 2、画出简单组合体的三视图。 3、用斜二测画法画空间几何值的直观图。 4、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算,台体体积公式的推导。 5、了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。 知识结构: 表面积 度 量 空间几何体 柱体 球体 锥体 台体 中心投影 平行投影 体积

棱柱

圆柱

棱锥

圆锥 棱台

圆台

三视图

直观图

一、空间几何体的结构、三视图和直观图 1.柱、锥、台、球的结构特征 (1)柱 棱柱:一般的,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公 共边都互相平行, 由这些面所围成的几何体叫做棱柱; 棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的 底面,简称为底;其余各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底 面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 底面是三角形、四边形、五边形??的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱?? 圆柱: 以矩形的一边所在的直线为旋转轴, 其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做 圆柱;旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什 么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 棱柱与圆柱统称为柱体; (2)锥 棱锥:一般的有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所 围成的几何体叫做棱锥; 这个多边形面叫做棱锥的底面或底; 有公共顶点的各个三角形面叫 做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

底面是三角锥、四边锥、五边锥??的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥?? 圆锥: 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的曲面所围 成的几何体叫做圆锥;旋转轴为圆锥的轴;垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面;斜 边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。 棱锥与圆锥统称为锥体。 (3)台 棱台:用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台;原棱锥的 底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面;棱台也有侧面、侧棱、顶点。 圆台:用一个平行于底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分叫做圆台;原圆锥的 底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面;圆台也有侧面、母线、轴。 圆台和棱台统称为台体。 (4)球 以半圆的直径所在的直线为旋转轴, 半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体, 简称为球; 半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径。 (5)组合体 由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。 几种常凸多面体间的关系

一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质: 名称 棱柱 直棱柱 正棱柱









有两个面互相平 行,而其余每相 邻两个面的交线 都互相平行的多 面体 平行且相等 平行四边形

侧棱垂直于底面 的棱柱

底面是正多边形的 直棱柱

侧棱 侧面的形状

平行且相等 矩形

平行且相等 全等的矩形

对角面的形状 平行于底面的截面 的形状 名称 棱锥

平行四边形 与底面全等的多 边形 正棱锥

矩形 与底面全等的多 边形 棱台

矩形 与底面全等的正多 边形 正棱台

图形

定义

有一个面是多 边形,其余各面 是有一个公共 顶点的三角形 的多面体 相交于一点但 不一定相等 三角形 三角形 与底面相似的 多边形

底面是正多边 形,且顶点在底 面的射影是底 面的射影是底 面和截面之间 的部分 相交于一点且 相等 全等的等腰三 角形 等腰三角形 与底面相似的 正多边形 高过底面中心; 侧棱与底面、侧 面与底面、相邻 两侧面所成角 都相等

用一个平行于 棱锥底面的平 面去截棱锥,底 面和截面之间 的部分 延长线交于一 点 梯形 梯形 与底面相似的 多边形

由正棱锥截得 的棱台

侧棱 侧面的 形状 对角面 的形状 平行于 底的截 面形状

相等且延长线 交于一点 全等的等腰梯 形 等腰梯形 与底面相似的 正多边形 两底中心连线 即高;侧棱与底 面、侧面与底 面、相邻两侧面 所成角都相等

其他性 质

几种特殊四棱柱的特殊性质: 名称 平行六面体 直平行六面体 长方体 正方体 特殊性质 底面和侧面都是平行四边行; 四条对角线交于一点, 且被该点平分 侧棱垂直于底面,各侧面都是矩形;四条对角线交 于一点,且被该点平分 底面和侧面都是矩形; 四条对角线相等, 交于一点, 且被该点平分 棱长都相等,各面都是正方形四条对角线相等,交 于一点,且被该点平分

2.空间几何体的三视图 三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体,画出的空间几何体的图形。 他具体包括: (1)正视图:物体前后方向投影所得到的投影图; 它能反映物体的高度和长度; (2)侧视图:物体左右方向投影所得到的投影图; 它能反映物体的高度和宽度; (3)俯视图:物体上下方向投影所得到的投影图; 它能反映物体的长度和宽度; 三视图画法规则: 高平齐:主视图与左视图的高要保持平齐 长对正:主视图与俯视图的长应对正 宽相等:俯视图与左视图的宽度应相等

3.空间几何体的直观图 (1)斜二测画法 ①建立直角坐标系,在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 OX,OY,建立直角坐 标系; ②画出斜坐标系,在画直观图的纸上(平面上)画出对应的 O X ,O Y ,使 ?X 'O'Y ' =45 0 (或 135 ) ,它们确定的平面表示水平平面; ‘ ③画对应图形,在已知图形平行于 X 轴的线段,在直观图中画成平行于 X 轴,且长度 ‘ 保持不变;在已知图形平行于 Y 轴的线段,在直观图中画成平行于 Y 轴,且长度变为原来 的一半; ④擦去辅助线,图画好后,要擦去 X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线(虚线) 。 (2)平行投影与中心投影 平行投影的投影线是互相平行的,中心投影的投影线相交于一点。 注意: 画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置, 因为多边形顶点 的位置一旦确定,依次连结这些顶点就可画出多边形来,因此平面多边形水平放置时,直观 图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。
’ ’ ’ ’ 0

例题讲解:

[例 1]将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示 A,B,C 分别是 △GHI 三边的中点) 得到几何体如图 2,则该几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为( )
H B A I C G 侧视 B A C B B B B

E F 图1

D

E F 图2

D

E A.

E B.

E C.

E D.

[例 2]在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AA1,CC1 的中点,则在空间中与 三条直线 A1D1,EF,CD 都相交的直线( A.不存在 B.有且只有两条 ) C.有且只有三条 D.有无数条

[例 3]正方体 ABCD_A1B1C1D1 的棱长为 2, M 是 BC 的中点, P 是平面 ABCD 内的一 点 点
个动点,且满足 PM=2,P 到直线 A1D1 的距离为 5 ,则点 P 的轨迹是( A.圆 B.双曲线 C.两个点 D.直线



解析: 点 P 到 A1D1 的距离为 5 ,则点 P 到 AD 的距离为 1,满足此条件的 P 的轨迹 是到直线 AD 的距离为 1 的两条平行直线, 又? PM ? 2 ,?满足此条件的 P 的轨迹是以 M 为圆心,半径为 2 的圆,这两种轨迹 只有两个交点. 故点 P 的轨迹是两个点。选项为 C。 点评:该题考察空间内平面轨迹的形成过程,考察了空间想象能力。

[例 4]两相同的正四棱锥组成如图 1 所示的几何体,可放棱长为 1 的正方体内,使正四棱
锥的底面 ABCD 与正方体的某一个平面平行,且各顶点均在正方体的面上,则这样的几何 ... 体体积的可能值有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.无穷多个

解析:由于两个正四棱锥相同,所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形 ABCD 中心, 有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半, 影响几何体体积的只能是正四棱锥底 面正方形 ABCD 的面积,问题转化为边长为 1 的正方形的内接正方形有多少种,所以选 D。 点评: 本题主要考查空间想象能力, 以及正四棱锥的体积。 正方体是大家熟悉的几何体, 它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力,要学会将空间问题向平面问题转化。 题型 2:空间几何体的定义

[例 5]长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的 8 个顶点在同一个球面上,且 AB=2,AD= 3 ,
AA1 ? 1,则顶点 A、B 间的球面距离是(
A. )

D1 A1 B1 D O

C1

2? 4

B.

2? 2

C. 2?

D.2 2?

解析:? BD1 ? AC1 ? 2 R ? 2 2, ? R ?

2, 设

C

BD1 ? AC1 ? O, 则 OA ? OB ? R ? 2,

? ?AOB ?

?
2

, ? l ? R? ? 2 ?

?
2

, 故 选

A

B

B.

点评:抓住本质的东西来进行判断,对于信息要进行加工再利用。

[例 6]已知直线 m,n 和平面 ? , ? 满足 m ? n, m ? a, ? ? ? ,则(
A. n ? ?

)

B.n // ? , 或 n ? ?

C.n ? ?

D.n // ? , 或 n ? ?

解析:易知 D 正确. 点评:对于空间几何体的定义要有深刻的认识,掌握它们并能判断它们的性质。 题型 3:空间几何体中的想象能力

[例 7]如图所示,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, ?BCD ? 60 0 ,
E 是 CD 的中点,PA ? 底面 ABCD, PA ? (I)证明:平面 PBE ? 平面 PAB; (II)求二面角 A—BE—P 和的大小。

3。

P

D

E

C

A

B
0

解析:解法一(I)如图所示, 连结 BD , 由 ABCD 是菱形且 ?BCD ? 60 知,

△BCD 是等边三角形. 因为 E 是 CD 的中点,所以
BE ⊥ CD, 又 AB / /CD, 所以 BE ⊥ AB,
又因为 PA ? 平面 ABCD, BE ? 平面 ABCD, 所以 PA ⊥ BE, 而 PA ? AB ? A, 因此 BE ⊥平面 PAB. 又 BE ? 平面 PBE,所以平面 PBE ? 平面 PAB. (II)由(I)知, BE ⊥平面 PAB, PB ? 平面 PAB, 所以 PB ? BE. 又 AB⊥ BE, 所以 ?PBA 是二面角 A ? BE ? P 的平面角. 在 Rt△PAB 中, tan ?PBA ?

PA ? 3, ?PBA ? 60?. . AB
?

故二面角 A ? BE ? P 的大小为 60 . 解法二:如图所示,以 A 为原点,建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是

3 3 1 3 3 0, 0), 0), 0). A(0,0), B(1,0), C ( , , D( , , P (0, 3), E (1, , 0, 0, 2 2 2 2 2
(I)因为 BE ? (0,

??? ?

?? ? ? ??? ?? ? 3 1, , 平面 PAB 的一个法向量是 n0 ? (0,0), 所以 BE 和 n0 共线. 0), 2

从而 BE ⊥平面 PAB. 又因为 BE ? 平面 PBE,所以平面 PBE ? 平面 PAB.

0, (II) 易知 PB ? (1, ? 3), BE ? (0,

??? ?

??? ?

?? 3 , 设 n1 ? ( x1,y1,z1 ) 是平面 PBE 的一个法向量, 0), 2

?? ??? ? ? ?n1 ? PB ? 0, ? x1 ? 0 ? y1 ? 3 z1 ? 0, ? 则由 ? ?? ??? 得? 所以 y1 =0,x1 ? 3 z1 . ? 3 y1 ? 0 ? z1 ? 0 ?n1 ? BE ? 0 ?0 ? x1 ? ? ? 2 ?? ?? ? 0, 0, 故可取 n1 ? ( 3,1). 而平面 ABE 的一个法向量是 n2 ? (0,1).
?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 1 ? 于是, cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? . . | n1 |? n2 | 2 |
故二面角 A ? BE ? P 的大小为 60 .
?

点评:解决此类题目的关键是将平面图形恢复成空间图形,较强的考察了空间想象能力。

[例 8]如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 90? , AP ? BP ? AB ,
PC ? AC .
(Ⅰ)求证: PC ? AB ; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的大小. 解析: 解法一: (Ⅰ)取 AB 中点 D ,连结 PD,CD . ? AP ? BP , ? PD ? AB . ? AC ? BC , ?CD ? AB . ? PD ? CD ? D , P

A C

B

P

? AB ? 平面 PCD . ? PC ? 平面 PCD , ? PC ? AB . (Ⅱ)? AC ? BC , AP ? BP , ? APC ≌△BPC . △ 又 PC ? AC , ? PC ? BC .
又 ?ACB ? 90 ,即 AC ? BC ,且 AC ? PC ? C ,
?

D A C

B

P E A C B

? BC ? 平面 PAC . 取 AP 中点 E .连结 BE,CE . ? AB ? BP ,? BE ? AP . ? EC 是 BE 在平面 PAC 内的射影, ?CE ? AP .

??BEC 是二面角 B ? AP ? C 的平面角.
在 △BCE 中, ?BCE ? 90 , BC ? 2 , BE ?
?

3 AB ? 6 , 2

? sin ?BEC ?

BC 6 ? . BE 3 6 . 3
z P E y A C B x

?二面角 B ? AP ? C 的大小为 arcsin
解法二: (Ⅰ)? AC ? BC , AP ? BP , ? APC ≌△BPC . △ 又 PC ? AC , ? PC ? BC . ? AC ? BC ? C ,

? PC ? 平面 ABC . ? AB ? 平面 ABC , ? PC ? AB .
(Ⅱ)如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 C ? xyz . 则 C (0,0) A(0, 0) B(2,0) . 0,, 2,, 0, 设 P(0, t ) . 0,

? PB ? AB ? 2 2 ,

0, ?t ? 2 , P(0, 2) .
取 AP 中点 E ,连结 BE,CE .

? AC ? PC , AB ? BP ,

?CE ? AP , BE ? AP . ??BEC 是二面角 B ? AP ? C 的平面角. ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? E (0, , EC ? (0, 1, 1) , EB ? (2, 1, 1) , 11) , ??? ??? ? ? EC ?EB 2 3 . ? cos ?BEC ? ??? ??? ? ? ? ? 3 2? 6 EC ?EB

?二面角 B ? AP ? C 的大小为 arccos

3 . 3

点评:在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键。通过识图、想图、画图的角度考查了 空间想象能力。 而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志, 是高考从深层上考查空

间想象能力的主要方向。

[例 9]画正五棱柱的直观图,使底面边长为 3cm 侧棱长为 5cm。
解析:先作底面正五边形的直观图,再沿平行于 Z 轴方向平移即可得。 作法: (1)画轴:画 X′,Y′,Z′轴,使∠X′O′Y′=45°(或 135°) ,∠X′O′Z′ =90°。 (2)画底面:按 X′轴,Y′轴画正五边形的直观图 ABCDE。 (3)画侧棱:过 A、B、C、D、E 各点分别作 Z′轴的平行线,并在这些平行线上分 别截取 AA′,BB′,CC′,DD′,EE。′ (4)成图:顺次连结 A′,B′,C′,D′,F′,加以整理,去掉辅助线,改被遮 挡的部分为虚线。 点评:用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图。

[例 10] ?A?B?C ? 是正△ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图,若 ?A?B?C ? 的面积
为 3 ,那么△ABC 的面积为_______________。 解析: 2 6 。 点评: 该题属于斜二测画法的应用, 解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间 的对应关系。特别底和高的对应关系。

[例 11] 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A? B?C?D? 中,AP=BQ=b(0<b<1) ,截面 PQEF∥ A?D ,截面 PQGH∥ AD? .
(Ⅰ)证明:平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直; (Ⅱ)证明:截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和是定值, 并求出这个值; (Ⅲ)若 D?E 与平面 PQEF 所成的角为 45 ,求 D?E 与平
?

D?

H

G

C?

A?
P D F

B?
Q E C

A 面 PQGH 所成角的正弦值. B 本小题主要考查空间中的线面关系,面面关系,解三角形等基础知识,考查空间想象能力与 逻辑思维能力。 解析: 解法一: (Ⅰ)证明:在正方体中, AD? ? A?D , AD? ? AB ,又由已知可得

PF ∥ A?D , PH ∥ AD? , PQ ∥ AB ,
所以 PH ? PF , PH ? PQ , 所以 PH ? 平面 PQEF . 所以平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直. (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知

D?
H

C?

A?
P N D A F

B?

G

QM B E

C

PF ? 2 AP,PH ? 2PA? ,又截面 PQEF 和截面 PQGH 都是矩形,且 PQ=1,所以截面
PQEF 和截面 PQGH 面积之和是

( 2 AP ? 2 PA?) ? PQ ? 2 ,是定值.
(III)解:连结 BC′交 EQ 于点 M. 因为 PH ∥ AD? , PQ ∥ AB , 所以平面 ABC?D? 和平面 PQGH 互相平行,因此 D?E 与平面 PQGH 所成角与 D?E 与平面 ABC?D? 所成角相等. 与(Ⅰ)同理可证 EQ⊥平面 PQGH,可知 EM⊥平面 ABC ?D? ,因此 EM 与 D?E 的比值就 是所求的正弦值. 设 AD? 交 PF 于点 N,连结 EN,由 FD ? 1 ? b 知

D?E ? (1 ? b) 2 ? 2,ND? ?

2 2 ? (1 ? b) . 2 2
?

因为 AD? ⊥平面 PQEF,又已知 D?E 与平面 PQEF 成 45 角, 所以 D?E ? 解得 b ?

2 ND? ,即

? 2 ? 2 2? ? (1 ? b) ? ? (1 ? b) 2 ? 2 , 2 ? 2 ?

1 ,可知 E 为 BC 中点. 2
3 2 2 ,又 D?E ? (1 ? b) ? 2 ? , 4 2
EM 2 ? . D?E 6

所以 EM=

故 D?E 与平面 PQCH 所成角的正弦值为

解法二: 以 D 为原点,射线 DA,DC,DD′分别为 x,y,z 轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系 D-xyz 由已知得 DF ? 1 ? b ,故

A(1, 0) , A?(1,1) , D(0,0) , D?(0,1) , 0, 0, 0, 0,
z

P(1, b) , Q(11,b) , E (1 ? b,0) , 0, , 1, F (1 ? b,0) , G (b, , H (b,1) . 0, 11) , 0,
(Ⅰ)证明:在所建立的坐标系中,可得

D?
A?
P A x H

C?

B?
D F

G

Q C B E y

??? ? ??? ? PQ ? (0,0) PF ? (?b, ? b) , 1,, 0, ???? PH ? (b ? 1,1 ? b) , 0, ???? ? ???? ? AD? ? (?1,1) A?D ? (?1, ? 1) . 0,, 0,

AD 因为 AD??PQ ? 0, ??PF ? 0 ,所以 AD? 是平面 PQEF 的法向量.

???? ??? ? ?

???? ??? ? ?

???? ?

A 因为 A?D?PQ ? 0,?D?PH ? 0 ,所以 A?D 是平面 PQGH 的法向量.
因为 AD??A?D ? 0 ,所以 A?D ? AD? , 所以平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直.

???? ??? ? ?

???? ???? ?

???? ?

???? ???? ? ?

???? ?

???? ?

EF ?, (Ⅱ) 证明:因为 EF ? (0, 1 0) ,所以 EF ∥ PQ, ? PQ ,又 PF ?PQ ,所以 PQEF
为矩形,同理 PQGH 为矩形. 在所建立的坐标系中可求得 PH ? 所以 PH ? PF ?

??? ?

??? ?

??? ???? ? ?

???? ?

?? ?? ? ? ? ?

?????

???? ? 2(1 ? b) , PF ? 2b ,

????? ???? ?

???? ? 2 ,又 PQ ? 1 ,

所以截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和为 2 ,是定值.
? 1, AD 0, (Ⅲ)解:由已知得 D ?E 与 AD? 成 45 角,又 D?E ? (1 ? b, ? 1), ? ? (?1,1) 可得

???? ?

???? ?

???? ?

???? ?

???? ???? ? ? D?E ?AD? ????? ????? ? ? ? D?E AD?


b?2 2 (1 ? b) ? 2
2

?

2 , 2

2?b (1 ? b) ? 2
2

? 1 ,解得 b ?

1 . 2

,? 所以 D?E ? ? , ? 1? ,又 A?D ? (?10,1) ,所以 D?E 与平面 PQGH 所成角的正弦值为 1,

???? ?

?1 ?2

? ?

???? ?

1 ? ?1 ???? ???? ? ? 2 . | cos ? D?E,?D ?|? 2 A ? 3 6 ? 2 2
点评:考查知识立足课本,对空间想象能力、分析问题的能力、操作能力和思维的灵活 性等方面要求较高,体现了加强能力考查的方向。

[例 12]多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正方体的一个顶点 A 在平
面 ? 内,其余顶点在 ? 的同侧,正方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到 ? 的距离分别为 1,2 和 4,P 是正方体的其余四个顶点中的一个,则 P 到平面 ? 的距离可能是: ①3; ②4; ③5; ④6; ⑤7 以上结论正确的为________________________(写出所有正确结论的编号) 解析:如图,B、D、A1 到平面 ? 的距离分别为 1、 C1 2、4,则 D、A1 的中点到平面 ? 的距离为 3,所以 D1 D1 到平面 ? 的距离为 6;B、A1 的中点到平面 ? 的距离为 A1 B1

5 ,所以 B1 到平面 ? 的距离为 5;则 D、B 的中点到 2 3 平面 ? 的距离为 ,所以 C 到平面 ? 的距离为 3;C、 2

D

C B A

?
A1

A1 的中点到平面 ? 的距离为

7 ,所以 C1 到平面 ? 的距离为 7;而 P 为 C、C1、B1、D1 中的一 2

点,所以选①③④⑤。 点评:该题将计算蕴涵于射影知识中,属于难得的综合题目。 [例 13](1)画出下列几何体的三视图

解析:这二个几何体的三视图如下

(2)如图,设所给的方向为物体的正前方,试画出它的三视图(单位:cm)

点评:画三视图之前,应把几何体的结构弄清楚,选择一个合适的主视方向。一般先画 主视图,其次画俯视图,最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来,被遮住的轮廓线要画 成虚线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。 [例 14]某物体的三视图如下,试判断该几何体的形状

解析: 该几何体为一个正四棱锥分析: 三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三 个视图。 点评:主视图反映物体的主要形状特征,主要体现物体的长和高,不反映物体的宽。而 俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。左视图和 俯视图共同反映物体的宽要相等。据 此就不难得出该几何体的形状。

二、空间几何体的表面积和体积 1.多面体的面积和体积公式: 名称 棱 柱 棱 锥 棱柱 直棱柱 棱锥 正棱锥 棱台 棱 台 正棱台 侧面积(S 侧) 直截面周长×l ch 各侧面积之和 全面积(S 全) S 侧+2S 底 体 积(V) S 底·h=S 直截面·h S 底·h

1 ch′ 2
各侧面面积之和

S 侧+S 底

1 S 底·h 3

1 (c+c′)h′ 2

S 侧+S 上底+S 下底

1 h(S 上底+S 下底 3
+ S下底 ? S下底 )

表中 S 表示面积,c′、c 分别表示上、下底面周长,h 表斜高,h′表示斜高,l 表示 侧棱长。 2.旋转体的面积和体积公式: 名称 S侧 S全 V 圆柱 2π rl 2π r(l+r) π r h(即π r l)
2 2

圆锥 π rl π r(l+r)

圆台 π (r1+r2)l π (r1+r2)l+π (r 1+r 2)
2 2

球 4π R
2

1 2 πrh 3

1 2 2 π h(r 1+r1r2+r 2) 3

4 3 πR 3

表中 l、h 分别表示母线、高,r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,r1、r2 分别表示圆台 上、下底面半径,R 表示半径。 3.探究柱、锥、台的体积公式: 1、棱柱(圆柱)可由多边形(圆)沿某一方向平移得到,因此,两个底面积相等、高 也相等的棱柱(圆柱)应该具有相等的体积. 柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积 S 和高 h 的积,即 V柱体 ? Sh . 2、类似于柱体,底面积相等、高也相等的两个锥体,它们的体积也相等.棱锥的体积 公式可把一个棱柱分成三个全等的棱锥得到,由于底面积为 S ,高为 h 的棱柱的体积

1 V棱锥 ? Sh ,所以 V锥体 ? Sh . 3
3、台体(棱台、圆台)的体积可以转化为锥体的体积来计算.如果台体的上、下底面 面积分别为 S ?,S ,高为 h ,可以推得它的体积是 V台体 ? 4、柱体、锥体、台体的体积公式之间关系如下:

1 h( S ? SS ? ? S ?) . 3

1 1 V柱体 ? Sh ? ( S ? ? S )V台体 ? h(S ? SS ? ? S ?)(S ? ? 0) ? V锥体 ? Sh . 3 3
4.探究球的体积与面积公式: 1.球的体积: (1)比较半球的体积与其等底等高的旋转体的体积 结论:

V圆 锥 ? V半球 ? V圆 柱

(2)利用“倒沙实验” ,探索底面半径和高都为球半径的圆柱、圆锥与半球三者体积之 间的关系(课件演示) 结论:
1 2

V球 ? V圆柱 ? V圆锥 ? ?R 2 ? R ? 1 ?R 2 ? R ? 2 ?R 3 3 3

(3)得到半径是R的球的体积公式: 结论:

V球 ? 4 ?R 3 3

2.球的表面积: 由于球的表面是曲面,不是平面,所以球的表面积无法利用展开图来求.该如何求球 的表面积公式?是否也可借助分割思想来推导呢?(课件演示)

?Si
O
?Vi

O
图1

(1)若将球表面平均分割成 n 个小块,则每小块表面可近似看作一个平面,这 n 小 块平面面积之和可近似看作球的表面积.当 n 趋近于无穷大时,这 n 小块平面面积之和接 近于甚至等于球的表面积. (2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到 n 个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当 n 越大,越接近于球的体积,当 n 趋近于无 穷大时就精确到等于球的体积. (3)半径为 R 的球的表面积公式: 结论:

S 球 ? 4?R 2

例题讲解: [例 1]一个长方体全面积是 20cm2,所有棱长的和是 24cm,求长方体的对角线长. 解析:设长方体的长、宽、高、对角线长分别为 xcm、ycm、zcm、lcm 依题意得: ?

?2( xy ? yz ? zx) ? 20 ?4( x ? y ? z ) ? 24

(1) ( 2)

由(2)2 得:x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36(3) 由(3)-(1)得 x2+y2+z2=16 即 l2=16 所以 l=4(cm)。 点评:涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主,而直棱柱中又以正方体、长方体的表 面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素(对角线、内切)与面积、 体积之间的关系。 [例 2]如图 1 所示,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB=5,AD=4,AA1=3,AB

⊥AD,∠A1AB=∠A1AD=

? 。 3

(1)求证:顶点 A1 在底面 ABCD 上的射影 O 在∠BAD 的平分线上; (2)求这个平行六面体的体积。

图1 图2 解析: (1)如图 2,连结 A1O,则 A1O⊥底面 ABCD。作 OM⊥AB 交 AB 于 M,作 ON ⊥AD 交 AD 于 N,连结 A1M,A1N。由三垂线定得得 A1M⊥AB,A1N⊥AD。∵∠A1AM= ∠A1AN, ∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N, 从而 OM=ON。 ∴点 O 在∠BAD 的平分线上。 (2)∵AM=AA1cos

1 3 ? =3× = 2 2 3 AM 3 ∴AO= = 2。 ? 2 cos 4
又在 Rt△AOA1 中,A1O2=AA12 – AO2=9-

9 9 = , 2 2

∴A1O=

3 2 3 2 ? 30 2 。 ,平行六面体的体积为 V ? 5 ? 4 ? 2 2

[例 3]一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 , 3 , 6 ,这个长方体对角线的长是 ( A.2 )

3

B.3

2

C.6

D.

6

解析:设长方体共一顶点的三边长分别为 a=1,b= l= a ? b ? c ?
2 2 2

2 ,c= 3 ,则对角线 l 的长为

6 ;答案 D。

点评:解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。 [例 4]如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 E、F 分别为 AB、AC 的中点,平面 EB1C1 将三棱柱分 成体积为 V1、V2 的两部分,那么 V1∶V2= ____ _。 解析:设三棱柱的高为 h,上下底的面积为 S, 体积为 V, 则 V=V1+V2=Sh。 ∵E、F 分别为 AB、AC 的中点,

∴S△AEF=

1 S, 4

V1=

1 1 1 7 h(S+ S+ S ? )= Sh 4 12 3 4

V2=Sh-V1=

5 Sh, 12

∴V1∶V2=7∶5。 点评:解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系,建立起求解体积的几何元素之间的对应 关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。 题型 3:锥体的体积和表面积 [例 5](2006 上海,19)在四棱锥 P-ABCD 中,底 P 面是边长为 2 的菱形,∠DAB=60 ? ,对角线 AC 与 BD 相交于点 O, PO⊥平面 ABCD, 与平面 ABCD PB 所成的角为 60 ? ,求四棱锥 P-ABCD 的体积? 解析: (1)在四棱锥 P-ABCD 中,由 PO⊥平面 ABCD,得∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角, ∠PBO=60° 。 在 Rt△ AOB 中 BO=ABsin30° 由 PO⊥BO, =1, A B E O D C

于是 PO=BOtan60° 3 ,而底面菱形的面积为 2 3 。 = ∴四棱锥 P-ABCD 的体积 V=

1 × 3 × 3 =2。 2 3

点评:本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力 方面主要考查空间想象能力。 [例 6] 2002 京皖春文, 在三棱锥 S—ABC 中, ( 19) ∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°, AC=BC=5, 且 SB=5

5。 (如图所示)

(Ⅰ)证明:SC⊥BC; (Ⅱ)求侧面 SBC 与底面 ABC 所成二面角的大小; (Ⅲ)求三棱锥的体积 VS-ABC。 解析: (Ⅰ)证明:∵∠SAB=∠SAC=90°, ∴SA⊥AB,SA⊥AC。 又 AB∩AC=A, ∴SA⊥平面 ABC。 由于∠ACB=90°,即 BC⊥AC,由三垂线定理,得 SC⊥BC。 (Ⅱ)∵BC⊥AC,SC⊥BC。 ∴∠SCA 是侧面 SCB 与底面 ABC 所成二面角的平面角。 在 Rt△SCB 中,BC=5,SB=5



5 ,得 SC= SB 2 ? BC 2 =10。

在 Rt△SAC 中 AC=5,SC=10,cosSCA=

AC 5 1 ? ? , SC 10 2

∴∠SCA=60°,即侧面 SBC 与底面 ABC 所成的二面角的大小为 60°。 (Ⅲ)解:在 Rt△SAC 中, ∵SA= SC ? AC ? 10 ? 5 ?
2 2 2 2

75 ,

S△ABC=

25 1 1 ·AC·BC= ×5×5= , 2 2 2 1 1 25 125 3 ? 75 ? ·S△ACB·SA= ? 。 3 2 6 3

∴VS-ABC=

点评:本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。要求对图形必须具备一定的 洞察力,并进行一定的逻辑推理。 题型 4:锥体体积、表面积综合问题 [例 7]ABCD 是边长为 4 的正方形,E、F 分别是 AB、AD 的中点,GB 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,且 GC=2,求点 B 到平面 EFC 的距离? 解析:如图,取 EF 的中点 O,连接 GB、GO、CD、FB 构造三棱锥 B-EFG。

设点 B 到平面 EFG 的距离为 h,BD= 4 2 ,EF ? 2 2 ,CO=

3 ×4 2 ? 3 2 。 4

GO ? CO 2 ? GC 2 ? (3 2 ) 2 ? 2 2 ? 18 ? 4 ? 22 。
而 GC⊥平面 ABCD,且 GC=2。 由 VB ? EFG ? VG ? EFB ,得

1 1 EF·GO·h ? S △EFB · 6 3

点评:该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点 B 为顶点,△EFG 为底面的三棱锥是解此题的关键,利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方 程是解这类题的方法,从而简化了运算。 A [例 8](2006 江西理,12)如图,在四面体 ABCD 中,截面 AEF 经过四面体的内切球(与四个面都 相切的球)球心 O,且与 BC,DC 分别截于 E、F, O D 如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四 F 棱锥 A-BEFD 与三棱锥 A-EFC 的表面积分别是 S1, S2,则必有( ) B E A.S1?S2 B.S1?S2 C C.S1=S2 D.S1,S2 的大小关系不能确定 解析:连 OA、OB、OC、OD, 则 VA-BEFD=VO-ABD+VO-ABE+VO-BEFD VA-EFC=VO-ADC+VO-AEC+VO-EFC 又 VA-BEFD=VA-EFC,

而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径,故 SABD+SABE+SBEFD=SADC+SAEC +SEFC 又面 AEF 公共,故选 C 点评:该题通过复合平面图形的分割过程,增加了题目处理的难度,求解棱锥的体积、 表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。 [例 9](2002 北京理,18)如图 9—24,在多面体 ABCD—A1B1C1D1 中,上、下底面平行且 均为矩形,相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等,侧棱延长后相交于 E,F 两点, 上、下底面矩形的长、宽分别为 c,d 与 a,b,且 a>c,b>d,两底面间的距离为 h。 (Ⅰ)求侧面 ABB1A1 与底面 ABCD 所成二面角的大小; (Ⅱ)证明:EF∥面 ABCD; (Ⅲ)在估测该多面体的体积时,经常运用近似公式 V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体 积公式是 V=

h (S 上底面+4S 中截面+S 下底面) ,试判断 V 估与 V 的大小关系,并加以证明。 6

(注:与两个底面平行,且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面) (Ⅰ)解:过 B1C1 作底面 ABCD 的垂直平面,交底面于 PQ, 过 B1 作 B1G⊥PQ,垂足为 G。 如图所示:∵平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1,∠A1B1C1=90°, ∴AB⊥PQ,AB⊥B1P. ∴∠B1PG 为所求二面角的平面角.过 C1 作 C1H⊥PQ, 垂足为 H.由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等, 故四边形 B1PQC1 图 为等腰梯形。 ∴PG=

2h 1 (b-d) ,又 B1G=h,∴tanB1PG= (b>d) , b?d 2 2h 2h ,即所求二面角的大小为 arctan . b?d b?d

∴∠B1PG=arctan

(Ⅱ)证明:∵AB,CD 是矩形 ABCD 的一组对边,有 AB∥CD, 又 CD 是面 ABCD 与面 CDEF 的交线, ∴AB∥面 CDEF。 ∵EF 是面 ABFE 与面 CDEF 的交线, ∴AB∥EF。 ∵AB 是平面 ABCD 内的一条直线,EF 在平面 ABCD 外, ∴EF∥面 ABCD。 (Ⅲ)V 估<V。 证明:∵a>c,b>d, ∴V-V 估=

h a?c b?d a?c b?d (cd ? ab ? 4 ? ? )? ? h 6 2 2 2 2

=

h [2cd+2ab+2(a+c) (b+d)-3(a+c) (b+d) ] 12 h (a-c) (b-d)>0。 12

=

∴V 估<V。 点评:该题背景较新颖,把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则 几何体(拟柱体)中,能考查考生的应变能力和适应能力,而第三步研究拟柱体的近似计算 公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题, 是极具实际意义的问题。 考查了 考生继续学习的潜能。 [例 10](1) (1998 全国,9)如果棱台的两底面积分别是 S、S′,中截面的面积是 S0,那么 ( ) A. 2

S0 ? S ? S ?

B. S 0

? S ?S

C.2S0=S+S′ D.S02=2S′S

(2) (1994 全国,7)已知正六棱台的上、下底面边长分别为 2 和 4,高为 2,则其体 积为( ) A.32

3

B.28

3

C.24

3

D.20

3

解析: (1)解析:设该棱台为正棱台来解即可,答案为 A; (2) 正六棱台上下底面面积分别为: 上=6· S

3 2 3 2 · =6 3 , 下=6· 2 S · =24 3 , 4 4 4

V 台= h( S 上 ? S 上 ? S 下 ? S 下 ) ? 28 3 ,答案 B。 点评:本题考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用“特例法”来解,此种 解法在解选择题时很普遍,如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。 题型 6:圆柱的体积、表面积及其综合问题 [例 11](2000 全国理,9)一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧 面积的比是( ) A.

1 3

1? 2? 2?

B.

1? 4? 4?

C.

1? 2?

?

D.

1? 4? 2?

解析:设圆柱的底面半径为 r,高为 h,则由题设知 h=2π r. ∴S 全=2π r2+(2π r)2=2π r2(1+2π ).S 侧=h2=4π 2r2, ∴

S 全 1? 2? ? 。答案为 A。 S侧 2?

点评:本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识。 [例 12](2003 京春理 13,文 14)如图 9—9,一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的 水.若放入一个半径为 r 的实心铁球,水面高度恰好升高 r,则

R = r



解析:水面高度升高 r,则圆柱体积增加π R2·r。恰好是半径为 r 的实心铁球的体积, 因此有

R 2 3 4 3 2 3 π r =π R2r。故 ? 。答案为 。 3 r 3 3

点评:本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。 [例 13](1) (2002 京皖春,7)在△ABC 中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°(如图所示) , 若将△ABC 绕直线 BC 旋转一周,则所形成的旋转体的体积是( ) A.

9 π 2

B.

7 π 2

C.

5 π 2

D.

3 π 2
3 ,则这个圆锥的

(2) (2001 全国文,3)若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 全面积是( A.3π ) B.3



C.6π

D.9π B —

解析: (1)如图所示,该旋转体的体积为圆锥 C—ADE 与圆锥 ADE 体积之差,又∵求得 AB=1。 ∴ V ? VC ? ADE ? VB ? ADE ? (2)∵S=

1 5 1 3? ,答案 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? 3 ?1 ? 3 2 3 2

D。

1 1 absinθ ,∴ a2sin60°= 3 , 2 2


∴a2=4,a=2,a=2r, ∴r=1,S 全=2π r+π r2=2π +π =3π ,答案 A。

点评:通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是 空间想象力深化的标志,是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。 [例 14](2000 全国文,12)如图所示,OA 是圆锥底面中心 O 到母线的垂线,OA 绕轴旋转 一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分,则母线与轴的夹角的余弦值为( ) A.

1 3 2

B.

1 2

C.

1 2

D.

1 4 2

解析:如图所示,由题意知,

1 2 1 π r h= π R2h, 3 6

∴r=

R . 又△ABO∽△CAO, 2

R2 R r OA 2 , OA ? 4 , ? ∴ ,∴OA =r·R= OA R 2 2
∴cosθ =



OA 1 ? 4 ,答案为 D。 R 2

点评:本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。

[ 例 15] 已 知 过 球 面 上 A, B, C 三 点 的 截 面 和 球 心 的 距 离 为 球 半 径 的 一 半 , 且

AB ? BC ? CA ? 2 ,求球的表面积。 解析:设截面圆心为 O? ,连结 O?A ,设球半径为 R ,
则 O?A ?

2 3 2 3 ? ?2 ? , 3 2 3
2 2 2

在 Rt ?O?OA 中, OA ? O?A ? O?O , ∴R ?(
2

2 3 2 1 2 ) ? R , 3 4

∴R ?

4 , 3
2

∴ S ? 4? R ?

64 ?。 9

点评:正确应用球的表面积公式,建立平面圆与球的半径之间的关系。 [例 16]如图所示,球面上有四个点 P、A、B、C,如果 PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=a,求这个球的表面积。

解析:如图,设过 A、B、C 三点的球的截面圆半径为 r,圆心为 O′,球心到该圆面 的距离为 d。 在三棱锥 P—ABC 中,∵PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=a, ∴AB=BC=CA= 2 a,且 P 在△ABC 内的射影即是△ABC 的中心 O′。

由正弦定理,得

2a 6 =2r,∴r= a。 sin 60 ? 3

又根据球的截面的性质,有 OO′⊥平面 ABC,而 PO′⊥平面 ABC,
2 2 2 ∴P、 O′共线, O、 球的半径 R= r ? d 。 PO′= PA ? r = a ? 又
2 2

3 2 2 a = a, 3 3

∴OO′=R -

3 3

a=d= R ? r ,(R-
2 2

3 3

a)2=R2 – (

6 2 3 a) ,解得 R= a, 3 2

∴S 球=4π R2=3π a2。 点评:本题也可用补形法求解。将 P—ABC 补成一个正方体,由对称性可知,正方体 内接于球,则球的直径就是正方体的对角线,易得球半径 R=

3 a,下略。 2

[例 17] (2006 四川文, 10) 如图, 正四棱锥 P ? ABCD 底面的四个顶点 A, B, C, D 在球 O 的 同一个大圆上,点 P 在球面上,如果 VP ? ABCD ? A. 4? B. 8? C. 12?

16 ,则球 O 的表面积是( 3 D. 16?



(2)半球内有一个内接正方体,正方体的一个面在半球的底面圆内,若正方体棱长为 6 , 求球的表面积和体积。 解析: (1)如图,正四棱锥 P ? ABCD底面的四个顶点

A, B, C, D 在球 O 的同一个大圆上,点 P 在球面上,PO⊥底面
ABCD , PO=R , S ABCD ? 2 R
2

, VP ? ABCD ?

16 , 所 以 3

1 1 6 ? 2 R 2 ? R ? ,R=2,球 O 的表面积是 16? ,选 D。 3 3
(2)作轴截面如图所示,

CC? ? 6 , AC ? 2 ? 6 ? 2 3 ,
设球半径为 R , 则 R ? OC ? CC ?
2 2 2

? ( 6)2 ? ( 3)2 ? 9
∴ R ? 3, ∴ S球 ? 4? R ? 36? , V球 ?
2

4 3 ? R ? 36? 。 3

点评: 本题重点考查球截面的性质以及球面积公式, 解题的关键是将多面体的几何要素 转化成球的几何要素。 [例 18](1)表面积为 324? 的球,其内接正四棱柱的高是 14 ,求这个正四棱柱的表面积。 (2)正四面体 ABCD 的棱长为 a,球 O 是内切球,球 O1 是与正四面体的三个面和球 O 都 相切的一个小球,求球 O1 的体积。 解析: (1)设球半径为 R ,正四棱柱底面边长为 a ,

则作轴截面如图, AA? ? 14 , AC ? 又∵ 4? R ? 324? ,∴ R ? 9 ,
2

2a ,

∴ AC ?

AC ?2 ? CC ?2 ? 8 2 ,∴ a ? 8 ,
王新敞
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∴ S表 ? 64 ? 2 ? 32 ?14 ? 576

(2) 如图, 设球 O 半径为 R, O1 的半径为 r, 为 CD 中点, O 与平面 ACD、 球 E 球 BCD 切于点 F、G,球 O1 与平面 ACD 切于点 H
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由题设

AG ?

AE 2 ? GE 2 ?

6 a 3

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△AOF∽△AEG



6 a?R 6 ? 3 a ,得 R ? 12 3 3 a a 6 2 R

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△AO1H∽△AOF



6 a ? 2R ? r r 6 3 a ? ,得 r ? 24 R 6 a?R 3
3

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V球O1

4 4 ? 6 ? 6 3 ? ? ?r 3 ? ? ? ? 24 a ? ? 1728 a 3 3 ? ?

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点评:正四面体的内切球与各面的切点是面的中心,球心到各面的距离相等。 [例 19](1)我国首都靠近北纬 40 纬线,求北纬 40 纬线的长度等于多少 km ?(地球半径 大约为 6370km ) (2)在半径为 13cm 的球面上有 A, B, C 三点, AB ? BC ? AC ? 12cm ,求球心到经过 这三点的截面的距离。 解析: (1)如图, A 是北纬 40 上一点, AK 是它的半 ∴ OK ? AK , 设 C 是北纬 40 的纬线长, ∵ ?AOB ? ?OAK ? 40 ,
? ? ? ? ?

径,

∴ C ? 2? ? AK ? 2? ? OA ? cos ?OAK ? 2? ? OA ? cos 40

?

? 2 ? 3.14 ? 6370 ? 0.7660 ? 3.066 ?104 (km)
答:北纬 40 纬线长约等于 3.066 ?10 km .
? 4

(2)解:设经过 A, B, C 三点的截面为⊙ O? , 设球心为 O ,连结 OO? ,则 OO? ? 平面 ABC , ∵ AO? ?

3 2 ?12 ? ? 4 3 , 2 3
2 2

∴ OO? ? OA ? OA? ? 11 , 所以,球心到截面距离为 11cm . [例 20]在北纬 45 圈上有 A, B 两点,设该纬度圈上 A, B 两
?

点的劣弧长为 球面距离。

2 ? R ( R 为地球半径) A, B 两点间的 ,求 4

解 析 : 设 北 纬 45 圈 的 半 径 为 r , 则 r ?
?

2 R , 设 O? 为 北 纬 45? 圈 的 圆 心 , 4

?AO' B ? ? ,
∴?r ? ∴? ?

2 2 2 R? ? ?R, ? R ,∴ 2 4 4
,∴ AB ?

?
2

2r ? R ,

∴ ?ABC 中, ?AOB ?

?
3



所以, A, B 两点的球面距离等于

? R. 3

点评:要求两点的球面距离,必须先求出两点的直线距离,再求出这两点的球心角,进 而求出这两点的球面距离。

第一章 检测题
1.长方体 ABCD-A1B1C1D1 的 AB=3,AD=2,CC1=1,一条绳子从 A 沿着表面拉到点 C1,绳子的最 短长度是( ) A. 13 +1 B. 26 C. 18 D. 14

2.若球的半径为 R,则这个球的内接正方体的全面积等于( ) 2 2 2 2 A.8R B. 9R C.10R D.12R 3. 边长为 5cm 的正方形 EFGH 是圆柱的轴截面, 则从 E 点沿圆柱的侧面到相对顶点 G 的最短 距离是( ) A. 10cm B. 5 2 cm C. 5 ? 2 ? 1 cm D.
5 2

? ? 4 cm
2

4.球的大圆面积扩大为原大圆面积的 4 倍,则球的表面积扩大成原球面积的( ) A.2 倍 B. 4 倍 C. 8 倍 D.16 倍 5. 三个球的半径之比为 1: 3, 2: 那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的 ( A.1 倍
2



B.2 倍

C.1

4 倍 5

D.1

3 倍 4

6.正方体的全面积是 a ,它的顶点都在球面上,这个球的表面积是( A.



?a
3

2

B.

?a
2

2

C.

D.

7.两个球的表面积之差为 48 ? ,它们的大圆周长之和为 12 ? ,这两个球的半径之差为 ( ) A.4 B. 3 C. 2 D. 1 8.已知正方体的棱长为 a,过有公共顶点的三条棱的中点的截面分别截去 8 个角,则剩余 部分的体积是( ) A.
1 3 a 2

B.

2 3 a 3

C.

5 3 a 6

D.

11 3 a 12

9.正方形 ABCD 的边长为 1,E、F 分别为 BC、CD 的中点,沿 AE,EF,AF 折成一个三棱锥, 使 B,C,D 三点重合,那么这个三棱锥的体积为( )
2 5 1 1 B. C. D. 24 48 8 24 10.棱锥 V-ABC 的中截面是 ? A1B1C1, 则三棱锥 V-A1B1C1 与三棱锥 A-A1BC 的体积之比是 (

A.



A.1:2 B. 1:4 C.1:6 11. 两个球的表面积之比是 1:16,这两个球的体积之比为( ) A.1:32 B.1:24 C.1:64 12.两个球的体积之比为 8:27,那么,这两个球的表面积之比为( A.2:3 B.4:9 C. 2 : 3

D.1:8 D. 1:256 ) D. 8 : 27

13.棱长为 a 的正方体内有一个球,与这个正方体的 12 条棱都相切,则这个球的体积应为 ( ) A. 4 ?a
3

B.

?
4

a3

C.

2 3

?a

3

D.

2 4

?a

3

14.半径为 R 的球的外切圆柱的表面积是______________. 15.E 是边长为 2 的正方形 ABCD 边 AD 的中点,将图形沿 EB、EC 折成三棱锥 A-BCE(A,D 重合) 则此三棱锥的体积为____________. , 16.直三棱柱 ABC ? A?B?C ? 的体积是 V, E 分别在 AA? 、 B? 上, D、 线段 DE 经过矩形 ABB?A? B 的中心,则四棱锥 C-ABED 的体积是________________. 17. 一个直角三角形的两条直角边的长分别为 3cm 和 4cm, 将这个直角三角形以斜边为轴旋 转一周,所得旋转体的体积是________________. 18. 圆锥的底面半径为 5cm, 高为 12cm, 当它的内接圆柱的底面半径为何值时, 圆锥的内接 圆柱的全面积有最大值?最大值是多少?

19.A、B、C 是球面上三点,已知弦 AB=18cm,BC=24cm,AC=30cm,平面 ABC 与球心 O 的距 离恰好为球半径的一半,求球的面积.
A B O1 C

O

20. 圆锥轴截面为顶角等于 120 的等腰三角形, 且过顶点的最大截面面积为 8, 求这圆锥的 全面积 S 和体积 V.

0

21.已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体, E、F 分别为棱 AA1 与 CC1 的中点,求四棱锥 A1-EBFD1 的体积.

答案: 1.C; 2.A; 3.D; 4.B; 5.C; 6.B; 7.C; 8.C; 9.B; 10.B; 11.C; 12.B; 13.C; 14. 6 ? R2; 15.
V 3 ; 16. ; 3 3

17.

48 5

? cm ;
3

18. 如图 ,SAB 是圆锥的轴截面, 其中 SO=12, OB=5.设圆锥内接圆柱底面半径为 O1C=x , 由 ?SO1C 与 ?SOB 相似, 则
? OO1=SO-SO1=12SO1 O1C ? SO OB , SO1 ? SO OB , O1C ? 12 5 x.

12 x ,则圆柱的全面积 S=S 侧+2S 底 5
7 5
2 x ). 则当 x ?

=2 ? (12 ?

12 5

x) x ? 2? x ? 2? (12 x ?
2

20 7

cm 时,S 取到最大值

360 7

? cm .
2

19. 解: AB2+BC2=AC2,? ? ABC 为直角三角形, ? ? ABC 的外接圆 O1 的半径 r=15cm, ? 因圆 O1 即为平面 ABC 截球 O 所得的圆面,因此有 R2=(
R 2

)2+152,

?R2=300,?S 球=4 ? R2=1200 ? (cm2).
1 2 ? ? 8,? ? ? 4, 2

20. 解 : 设 母 线 长 为 ? , 当 截 面 的 两 条 母 线 互 相 垂 直 时 , 有 最 大 的 截 面 面 积 . 此 时 ,

底面半径 r ? 2 3 ,高 h ? 2. 则 S 全= ?r 2 ? ?r? ? 4(3 ? 2 3 )? , V ? ?r 2 h ? 8? .
a 2 5 2 a ?( ) ? a , ?四棱锥 A1-EBFD1 的底面是菱形,连接 2 2

1 3

21. 解:? EB ? BF ? FD1 ? D1 E ?

EF,则 ?EFB ? ?EFD1 ,?V A ? EFB ? V A ? EFD ,? CC1 || 平面 ABB1A1,
1 1 1

? 三棱锥 F-EBA1 的高是 CC1 到平面 AB1 的距离,即棱长 a,
1 1 1 S ?EBA ? 1 A1 E ? AB ? 1 ? a ? a ? 1 a 2 . ? V A ? EFB ? VF ? EBA ? ? a 2 ? a ? a 3 . 3 4 12 2 2 2 4
1

1

1

?V A ? EBFD ? 2V A ? EFB ?
1 1 1

1 3 a . 6

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