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立体几何线面垂直知识要点以及典型题型


线面垂直问题

1 直线和平面的位置关系 (1) 直线在平面内 a ? α (无数个公共点) ; 直线和平面相交 a I α = A (2)
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(有且只有一个公共点)(3)直线和平面平行 a // α (没有公共点) ; 2 线面平行的判定定理: 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,
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β
l m

那么这条直线和这个平面平行 推理模式: l ? α , m ? α , l // m ? l // α
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α

3 线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这 条直线和交线平行 推理模式: l // α , l ? β , α I β = m ? l // m
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4 线面垂直定义:如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直线都垂直,我们 就说这条直线和这个平面互相垂直 其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面 交点叫做垂足 直线与平面垂直简称线面垂直,记作:a⊥α 5 直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线 垂直于这个平面 A B B B B A 6 直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个 A A 平面,那麽这两条直线平行 B 7.平面几何中,点、线段在直线上射影的概念及性质: A A B0 A A B0 B0 A (B ) A A(A0 ) B0 A 8 斜线,垂线,射影 A ⑴垂线 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点 到这个平面的垂线段. ⑵斜线 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线 斜线和平 面的交点叫斜足;斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段 A ⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个 平面内的射影 垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影 O α B 直线与平面平行, 直线在平面由射影是一条直线 直线与平面垂直射影是点 斜 线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上 9.射影长相等定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中⑴射影相交两条斜线 A 相 交;射影较长的斜线段也较长 ⑵相等的斜线段射影相等,较长的斜线段射影较长;⑶垂 α 线段比任何一条斜线段都短 O B C 10.直线和平面所成角(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐
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角叫做这条斜线和这个平面所成的角 一直线垂直于平面,所成的角是直角
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A

一直线平行于平面或在平面内,所成角为 0°角。直线和平面所成角范围: [0,

π
2

]
O

θ
B

(2)定理:斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切 角中最小的角 11 三垂线定理 在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂 直,那么它也和这条斜线垂直 说明: (1)定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系; (2)推理模式: PO ⊥ α , O ∈ α , PA I α = A, a ? α , a ⊥ OA ? a ⊥ PA
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α

C
P
O A

D

α

a

12.三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那麽它也和这 条斜线的射影垂直
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推理模式: PO ⊥ α , O ∈ α , PA I α = A, a ? α , a ⊥ AP ? a ⊥ AO .
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注意:⑴三垂线指 PA,PO,AO 都垂直α内的直线 a 其实质是:斜线和平面内一条直线垂直的判定 和性质定理 ⑵要考虑 a 的位置,并注意两定理交替使用
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线面垂直问题

基本题型: 1. “直线 l 垂直于平面α内的无数条直线”是“ l ⊥α”的 ( ) (1) (A)充分条件(B)必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 (2)如果一条直线 l 与平面α的一条垂线垂直,那么直线 l 与平面α的位置关系是( ) (A) l ?α (B) l ⊥α (C) l ∥α (D) l ?α或 l ∥α 答案: (1)B (2)D 2. (1)过直线外一点作直线的垂线有 条;垂面有 个;平行线有 条;平行平面有 个. (2)过平面外一点作该平面的垂线有 条;垂面有 个;平行线有 条;平行平面有 个. 答案: (1)无数,一,一,无数; (2)一,无数,无数,一 3. 能否作一条直线同时垂直于两条相交直线?能否作一条直线同时垂直于两个相交平面?为什么? 答案: (能,而且有无数条) (不能) 4 拿一张矩形的纸对折后略为展开,竖立在桌面上,说明折痕为什么和桌面垂直 答案:因为折痕垂直于桌面内的两条相交直线. 5 一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线,这条直线垂直于这个平面吗?为什么? 答案:不一定.因为这条直线可能与这个平面斜交或在其内. 6 过一点和一条直线垂直的平面是否只有一个?为什么?
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答案: 是.假若有两个平面 α , β 过点 A 都于 l 垂直,过这条公共垂线 l 作一个不经过两平面 α , β 的交 线的平面 γ ,γ 与 α , β 分别相交于直线 a, b, a I b I l = A 且 l ⊥ a, l ⊥ b ,l , a, b ? α , 从而有 a b , 此与 a I b = A 矛盾. 7 如果三条直线共点,且两两垂直,问其中一条直线是否垂直于另两条直线所确定的平面 答案:是 A 8.点 A 为 ?BCD 所在平面外的一点,点 O 为点 A 在平面 BCD 内的射影, . 若 AC ⊥ BD, AD ⊥ BC ,求证: AB ⊥ CD .
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证明:连结 OB, OC , OD ,∵ AO ⊥ 平面BCD ,且 AC ⊥ BD ∴ BD ⊥ OC (三垂线定理逆定理) 同理 OD ⊥ BC ,∴ O 为 ?ABC 的垂心,∴ OB ⊥ CD , 又∵ AO ⊥ 平面BCD ,∴ AB ⊥ CD (三垂线定理) 9.如图,已知 ABCD 是矩形,SA⊥平面 ABCD,E 是 SC 上一点. 求证:BE 不可能垂直于平面 SCD. 证明:用到反证法,假设 BE⊥平面 SCD, ∵ AB∥CD;∴AB⊥BE.
A B
B O C D

S

E D C

A

∴ AB⊥SB,这与 Rt△SAB 中∠SBA 为锐角矛盾. ∴ BE 不可能垂直于平面 SCD 10. 10. 已知:空间四边形 ABCD , AB = AC , DB = DC ,求证: BC ⊥ AD
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B E C

D

证明:取 BC 中点 E ,连结 AE , DE ,∵ AB = AC , DB = DC ,∴ AE ⊥ BC , DE ⊥ BC , ∴ BC ⊥ 平面 AED ,又∵ AD ? 平面 AED ,∴ BC ⊥ AD .


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