当前位置:首页 >> 数学 >> 【课堂新坐标】2017年高考数学(文科江苏专版)二轮专题复习与策略课件专题十 高考中的三角函数

【课堂新坐标】2017年高考数学(文科江苏专版)二轮专题复习与策略课件专题十 高考中的三角函数


2017版高三二轮复习与策略
热 点 题 型 · 探 究

专题十
高 考 命 题 · 视 角

高考中的三角函数

专 题 限 时 集 训

2017版高三二轮复习与策略

题型一| 三角恒等变换

(2016· 南京盐城二模)已知 α 为锐角,
? π? ? cos?α+4? ?= ? ?

5 . 5

(1)求 (2)求

? π? ? tan?α+4? ?的值; ? ? ? π? ? sin?2α+3? ?的值. ? ?

2017版高三二轮复习与策略

[解] 所以

(1)因为

? π? ? α∈?0,2? ?,所以 ? ?

? π ? ?π 3π? α+ ∈?4, 4 ?, 4 ? ?

? π? ? sin?α+4? ?= ? ?

1-cos

2?

? π? ? 2 5 ?α+4?= 5 , ? ?

3分

所以

? π? ? ? α + sin ? ? 4? π? ? ? ? ? tan?α+4?= ? ?=2. π ? ? ? α + cos? ? 4? ? ?

6分

2017版高三二轮复习与策略
? ? ? ? π? π? ? ? ? ? ?? sin?2α+2?=sin?2?α+4??= ? ? ?? ? ?

(2)因为

? ? π? π? ? ? ? ? 4 2sin?α+4?cos?α+4?= , ? ? ? ? 5 ? ? ? ? ? π? π? π? 3 ? ? ? ? ?? ? 2? cos?2α+2?=cos?2?α+4??=2cos ?α+4?-1=- , 5 ? ? ?? ? ? ? ?

9分 12 分

所以

?? ? ? π? π? ? ? ?? ? π? sin?2α+3?=sin??2α+2?- ?= ? ? ? 6? ??

? ? π? π? π π 4 ? ? ? ? sin?2α+2?cos -cos?2α+2?sin = 6 6 ? ? ? ?

3+3 . 10

14 分

2017版高三二轮复习与策略

π π 【名师点评】 1.本题?2?在求解中,从角“2α+ ”与角“α+ ”的关系入 3 4 手,先求
? π? ? cos?2α+2? ?,再求 ? ? ? π? ? sin?2α+3? ?的值,避免了复杂的运算. ? ?

2.三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、 余弦、 正切公式, 二倍角公式, 三角恒等变换公式的熟记和灵活应用,要善于观察各个角之间的联系,发现题 目所给条件与恒等变换公式的联系.

2017版高三二轮复习与策略

π α 1 2 已知 0<α< <β<π,tan = ,cos(β-α)= . 2 2 2 10 (1)求 sin α 的值; (2)求 β 的值.

2017版高三二轮复习与策略

[解]

1 2× 2 4 α 1 (1)∵tan = ,∴tan α= = ?1? =3. 2 2 α ? ?2 1-tan2 1 - ?2? 2 ? ?

α 2tan 2

3分

sin α 4 ? ?tan α= = , cos α 3 由? 2 2 ? ?sin α+cos α=1,
? 4 4? ? 解得 sin α= ?sin α=-5舍去? ?. 5? ?

5分

6分

2017版高三二轮复习与策略

(2)由(1)可知 cos α= 1-sin α= π 又 0<α< <β<π, 2 ∴β-α∈(0,π), 2 而 cos(β-α)= , 10 ∴sin(β-α)= 1-cos ?β-α?= ∴sin β=sin[α+(β-α)]
2

2

? 4? ? ?2 3 1-?5? = , 5 ? ?

8分

10 分
? 2? ? ?2 7 2 1-? ? = . 10 10 ? ?

11 分

2017版高三二轮复习与策略

=sin αcos(β-α)+cos αsin(β-α) 4 2 3 7 2 = × + × 5 10 5 10 2 = . 2 又
?π ? ? β∈?2,π? ?,故 ? ?

13 分 3π β= . 4 14 分

2017版高三二轮复习与策略

题型二| 正、余弦定理

→· → =3BA →· →. 在△ABC 中,已知AB AC BC (1)求证:tan B=3tan A; 5 (2)若 cos C= ,求 A 的值. 5

2017版高三二轮复习与策略

[解题指导]

→· → =3BA →· → 数量积的定义 (1) AB AC BC ――→

正弦定理 AB· AC· cos A=3BA· BC· cos B ――→ 证明tan B=3tan A 同角关系 诱导公式 正切公式 A的范围 (2)cos C ――→ tan C ――→ tan(A+B) ――→ tan A ――→ 求 A.

2017版高三二轮复习与策略

[解]

→· → =3BA →· → ,所以 AB· (1)证明:因为AB AC BC AC· cos A=3BA· BC· cos B, 2分

AC BC 即 AC· cos A=3BC· cos B.由正弦定理知 = , sin B sin A 从而 sin Bcos A=3sin Acos B. 又因为 0<A+B<π,所以 cos A>0,cos B>0, 所以 tan B=3tan A. 6分 4分

2017版高三二轮复习与策略

5 2 5 2 (2)因为 cos C= ,0<C<π,所以 sin C= 1-cos C= , 5 5 从而 tan C=2,于是 tan[π-(A+B)]=2,即 tan(A+B)=-2,

8分 10 分

tan A+tan B 4tan A 亦即 =-2.由(1)得 =-2,解得 tan A=1 或 tan A=- 1-tan Atan B 1-3tan2A 1 . 3 π 因为 cos A>0,所以 tan A=1,所以 A= . 4 12 分 14 分

2017版高三二轮复习与策略

【名师点评】 余?弦定理.

求解此类问题的关键是将几何问题代数化,基本工具是正 ?

若要把“边”化为“角”,常利用 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,若 a b c 要把“角”化为“边”,常利用 sin A= ,sin B= ,sin C= ,cos C= 2R 2R 2R a2+b2-c2 等. 2ab

2017版高三二轮复习与策略

在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且(b2+c2-a2)tan A = 3bc. (1)求角 A; (2)若 a=2,求△ABC 的面积 S 的最大值.

【导学号:91632032】

2017版高三二轮复习与策略

[解]

b2+c2-a2 sin A 3 3 (1)由已知得 · = ,所以 sin A= , 2bc cos A 2 2

4分 6分

又因为△ABC 为锐角三角形,所以 A=60° .
2 2

1 3 (2)因为 a=2,A=60° ,所以 b +c =bc+4,S= bcsin A= bc, 8 分 2 4 而 b2+c2≥2bc?bc+4≥2bc?bc≤4, 1 3 3 又 S= bcsin A= bc≤ ×4= 3. 2 4 4 所以△ABC 的面积 S 的最大值等于 3. 10 分 13 分 14 分

2017版高三二轮复习与策略

题型三| 正、余弦定理的实际应用

(2016· 无锡期中)如图 101,某自行车手从 O 点出发,沿折线 O-A -B-O 匀速骑行,其中点 A 位于点 O 南偏东 45° 且与点 O 相距 20 2千米.该 车手于上午 8 点整到达点 A,8 点 20 分骑至点 C,其中点 C 位于点 O 南偏东(45° 1 -α)(其中 sin α= ,0° <α<90° )且与点 O 相距 5 13千米(假设所有路面及观 26 测点都在同一水平面上).

2017版高三二轮复习与策略

图 101 (1)求该自行车手的骑行速度; (2)若点 O 正西方向 27.5 千米处有个气象观测站 E, 假定以点 E 为中心的 3.5 千米范围内有长时间的持续强降雨.试问:该自行车手会不会进入降雨区,并 说明理由.

2017版高三二轮复习与策略

[解]

1 (1)由题意知,OA=20 2,OC=5 13,∠AOC=α,sin α= . 26
? 1-? ? ?

由于 0° <α<90° ,所以 cos α=

1 ? ?2 5 26 = . 26 26? ?

3分 5分 6分

由余弦定理,得 AC= OA2+OC2-2OA· OC· cos α=5 5. 5 5 所以该自行车手的行驶速度为 =15 5(千米/小时). 1 3

2017版高三二轮复习与策略

(2)如图,设直线 OE 与 AB 相交于点 M.在△AOC 中,由余弦定理,得:

OA2+AC2-OC2 202×2+52×5-52×13 3 10 cos∠OAC= = = , 2OA· AC 10 2×20 2×5 5 从而 sin∠OAC= 1-cos ∠OAC=
2

9 10 1- = . 10 10

9分

2017版高三二轮复习与策略

在△AOM 中,由正弦定理,得: 10 20 2× OAsin∠OAM 10 OM= = ? =20. ? sin?45° -∠OAM? 2?3 10 10? - 2? 10 10 ? ? ?

12 分

由于 OE=27.5>20=OM,所以点 M 位于点 O 和点 E 之间,且 ME=OE- OM=7.5. 过点 E 作 EH⊥AB 于点 H,则 EH 为点 E 到直线 AB 的距离. 14 分

2017版高三二轮复习与策略

在 Rt△EHM 中, 5 3 5 EH=EM· sin∠EMH=EM· sin∠EMH=EM· sin(45° -∠OAC)=7.5× = 5 2 <3.5. 所以该自行车手会进入降雨区. 16 分

2017版高三二轮复习与策略

【名师点评】

借助正、余弦定理解决与实际生活有关的数学问题是高考

的一个命题热点,解题的关键是将问题转化到平面图形 ?如三角形、四边形等 ? 中,然后借助正、余弦定理解题.

2017版高三二轮复习与策略

(2016· 扬州期中)有一块三角形边角地, 如图 102, △ABC 中, 其中 AB=8(百 米),AC=6(百米),∠A=60° .某市为迎接 2500 年城庆,欲利用这块地修一个三 角形形状的草坪(图中△AEF)供市民休闲,其中点 E 在边 AB 上,点 F 在边 AC 上.规划部门要求△AEF 的面积占△ABC 面积的一半,记△AEF 的周长为 l(百 米).

2017版高三二轮复习与策略

图 102 (1)如果要对草坪进行灌溉,需沿△AEF 的三边安装水管,求水管总长度 l 的最小值; (2)如果沿△AEF 的三边修建休闲长廊,求长廊总长度 l 的最大值,并确定 此时 E,F 的位置.

2017版高三二轮复习与策略

[解]

(1)设 AE=x(百米),

1 ∵S△AEF= S△ABC, 2 1 1 1 ∴ AE· AF· sin A= × AB· AC· sin A. 2 2 2 24 ∵AB=8,AC=6,∴AF= . x ? ?0<x≤8, ∵? 24 0< ≤6, ? x ? ∴4≤x≤8. 3分 2分

2017版高三二轮复习与策略

在△AEF

?24? 24 ? ?2 2 2 中,EF =x +? x ? -2x· cos x ? ?

2 24 60° =x2+ 2 -24, x

24 ∴l=x+ + x 24 l=x+ + x 取“=”, ∴lmin=6 6.

2 24 x2+ 2 -24,x∈[4,8],5 分 x 2 24 x2+ 2 -24≥2 24+ 2×24-24=6 6,当且仅当 x=2 6时 x

6分

2017版高三二轮复习与策略

24 (2)由(1)知:l=x+ + x

2 24 x2+ 2 -24,x∈[4,8]. x

2 24 24 x -24 ?x-2 6??x+2 6? 令 t=x+ ,x∈[4,8],∴t′=1- 2 = 2 = . 9分 x x x x2

列表得: x (4,2 6) t′ t - ? 2 6 0 极小值 4 6 (2 6,8) + ?

2017版高三二轮复习与策略

且 x=4 时,t=10;x=8 时,t=11,则 t∈[4 6,11]. l=t+ t2-72在[4 6,11]上单调递增,∴当 t=11 时,lmax=18,此时 AE= 8,AF=3, 13 分

答:水管总长度 l 的最小值为 6 6百米;当点 E 在 A 处,点 F 在线段 AC 的 中点时,长廊总长度 l 的最大值为 18 百米. 14 分

2017版高三二轮复习与策略

命题展望 从近五年的高考试题看,三角恒等变换及正、余弦定理的交汇成为江苏高 考的一个测重点,该类题目侧重于学生的双基,属送分题目.2017 年该点依然是 命题点应加强训练.

2017版高三二轮复习与策略

(2016· 江苏高考)在△ABC 中,AC=6,cos (1)求 AB 的长;(2)求
? π? ? cos?A-6? ?的值. ? ?

4 π B= ,C= . 5 4

2017版高三二轮复习与策略

[解]

4 (1)因为 cos B= ,0<B<π, 5
2

所以 sin B= 1-cos B= AC AB 由正弦定理知 = , sin B sin C

?4? ? ?2 3 1-?5? = . 5 ? ?

2分

2 6× 2 AC· sin C 所以 AB= = =5 2. sin B 3 5

4分

2017版高三二轮复习与策略

(2)在△ABC 中,A+B+C=π,所以 A=π-(B+C), 于是 cos
? π? ? A=-cos(B+C)=-cos?B+4? ? ? ?

π π =-cos Bcos +sin Bsin . 4 4 4 3 又 cos B= ,sin B= , 5 5 4 2 3 2 2 故 cos A=- × + × =- . 5 2 5 2 10 8分

2017版高三二轮复习与策略

7 2 因为 0<A<π,所以 sin A= 1-cos A= . 10
2

10 分

? π? ? 因此,cos?A-6? ?=cos ? ?

π π Acos +sin Asin 6 6 14 分

2 3 7 2 1 7 2- 6 =- × + × = . 10 2 10 2 20

2017版高三二轮复习与策略

[阅卷心语] 易错提示 ?1?忽视“角 A,B,C 间的关系”,导致无法求解 cos A; ?2?误用“cos A=cos?B+C?”,导致计算失分. 防范措施 ?1?在△ABC 中, 其内角和 A+B+C=π, 常用该条件实现角的转 化. ?2?熟记诱导公式,在换算角的关系时,尽量少跨步骤,如此题中,可这样: cos A=cos[π-?B+C?]=-cos?B+C?.

2017版高三二轮复习与策略

1.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 a=3,b=2 6, B=2A. (1)求 cos A 的值; (2)求 c 的值. 【导学号:91632033】

2017版高三二轮复习与策略

[解]

(1)在△ABC 中,因为 a=3,b=2 6,B=2A,

2分 5分 6分

3 2 6 2sin Acos A 2 6 故由正弦定理得 = ,于是 = . sin A sin 2A sin A 3 6 所以 cos A= . 3

2017版高三二轮复习与策略

6 3 2 (2)由(1)知 cos A= ,所以 sin A= 1-cos A= . 3 3 1 又因为 B=2A,所以 cos B=cos 2A=2cos A-1= , 3
2

7分

2 2 从而 sin B= 1-cos B= . 3
2

10 分

在△ABC 中,因为 A+B+C=π, 5 3 所以 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= . 9 asin C 因此由正弦定理得 c= =5. sin A 13 分 14 分

2017版高三二轮复习与策略

2.在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别是 a,b,c. (1)若
? π? ? sin?A+4? ?= ? ?

2sin A,求 A 的值;

1 (2)若 cos A= ,sin B+sin C=2sin A,试判断△ABC 的形状,并说明理由. 2

2017版高三二轮复习与策略
? π? ? sin?A+4? ?= ? ?

[解]

(1)由题意,若

2sin A, 2分 4分

2 2 则 sin A+ cos A= 2sin A, 2 2 2 2 即 cos A= sin A, 2 2 可得 tan A=1,由 A∈(0,π), π 故 A= . 4

6分

2017版高三二轮复习与策略

(2)在△ABC 中,sin B+sin C=2sin A,由正弦定理可得:b+c=2a,8 分 b2+c2-a2 1 1 由 cos A= ,得 cos A= = , 2 2bc 2 故 b2+c2-a2=bc,又 b+c=2a, 则(b+c) -a =3bc=3a ,故 a 可得(b-c)2=0,故 b=c, 则 b=c=a,故△ABC 为正三角形.
2 2 2 2

10 分

?b+c? ?2 =bc=? ? 2 ? , ? ?

13 分 14 分

2017版高三二轮复习与策略

3.如图 103 是某设计师设计的 Y 型饰品的平面图,其中支架 OA,OB, OC 两两成 120° ,OC=1,AB=OB+OC,且 OA>OB.现设计师在支架 OB 上装 点普通珠宝,普通珠宝的价值为 M,且 M 与 OB 长成正比,比例系数为 k(k 为正 常数),在△AOC 区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝,名贵珠宝的价值为 N,且 N 与△AOC 的面积成正比,比例系数为 4 3k,设 OA=x,OB=y.

2017版高三二轮复习与策略

图 103 (1)求 y 关于 x 的函数解析式,并写出 x 的取值范围; (2)求 N-M 的最大值及相应的 x 的值.

2017版高三二轮复习与策略

[解]

(1)因为 OA=x,OB=x,AB=y+1,

1分 3分

2 x -1 2 2 2 由余弦定理,x +y -2xycos 120° =(y+1) ,解得 y= , 2-x

x2-1 1+ 3 由 x>0,y>0 得 1<x<2,又 x>y,得 x> ,解得 1<x< ,5 分 2 2-x 所以 OA
? 1+ ? 的取值范围是?1, 2 ?

3? ? ?.
?

6分

2017版高三二轮复习与策略

(2)M=kOB=ky,N=4 3k· S△AOC=3kx, 则 设 则
2 ? x -1? ? ? N-M=k(3x-y)=k?3x- ?, 2 - x ? ?

8分

?3- 2-x=t∈? ? 2 ?

3

? ? ,1? ?



2 ? ? 2 - t ? -1? ? ? N-M=k?3?2-t?- ? t ? ?

? ? ? ? 3? ? ? ?? =k?10-?4t+ t ??≤k? ?10-2 ? ?? ? ?

3? ? 4t·? t? 12 分

=(10-4 3)k.

2017版高三二轮复习与策略

? 3 3 ? 3 ?3- 3 ? 当且仅当 4t= ,即 t= ∈? 取等号,此时 x=2- 取等号, t 2 ? 2 ,1? 2 ?

3 所以当 x=2- 时,N-M 的最大值是(10-4 3)k. 2

14 分


赞助商链接
更多相关文档:
更多相关标签:
相关文档

网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com