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文科圆锥曲线测试题带详细答案

高二数学测试题 2013.3.1

一.选择题

1. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? ?2 ,则抛物线的方程是 ( B)

A. y2 ? ?8x B. y2 ? 8x

C. y2 ? ?4x

D. y2 ? 4x

x2 2.设双曲线 a2

?

y2 9

? 1(a

? 0) 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则 a 的值为

(C)

A.4

B.3

C.2

D.1

3.双曲线 2x2 ? y2 ? 8 的实轴长是 (C)

(A)2

(B) 2 2

(C) 4 (D)4 2

4.设双曲线以椭圆 x2 ? y2 =1 长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率
25 9
为 (C)

A.±2

B.± 4
3

C.± 1
2

D.± 3
4

5.设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△FlPF2 为等腰直角三角形,

则椭圆的离心率是 ( D )

A. 2 2

B. 2 ?1 2

C.2 ? 2

D. 2 ?1

6. 已知直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点, AB 为 C 的实

轴长的 2 倍,C 的离心率为( B)

(A) 2 (B) 3

(C) 2

(D) 3

7.

已知

F1,F2

为双曲线

x2 a2

?

y2 b2

=1(a>0,b>0)的两个焦点,过

F2

作垂直

x

轴的直线,它与双曲线的一个交

点为 P,且∠ PF1F2 =30°,则双 曲线的渐近线方程为 (D )

A. y ? ? 2 x B. y ? ? 3x 2

C. y ? ? 3 x D. y ? ? 2x 3

8.从集合{1,2,3…,11}中任选两个元素作为椭圆方程

x2 m2

?

y2 n2

=1

中的

m



n,则能组成落在矩形区

域 B={(x,y)‖x|<11,且|y|<9}内的椭圆个数为 ( B )

A.43 B.72 C.86 D.90

9. 已知 F 是抛物线 y2 ? x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点, AF + BF ? 3,则线段 AB 的中点到

y 轴的距离为( C )

3
A.

B.1

5
C.

(D) 7

4

4

4

10.设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 r 上存在点 P 满足 PF1 : F1F2 : PF2 =4:3:2,则曲线

r 的离心率等于(A)

1或 3
A. 2 2

2 B. 3 或 2

1或 C. 2 2

2或 3 D. 3 2

二.填空题

11.若曲线 x2 ? y2 ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是___ (??, ?4) (1, ??) _________. 4? k 1?k
12. 在直角坐标系 xOy 中,有一定点 A(2,1)。若线段 OA 的垂直平分线过抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,

则该抛物线的准线方程是___ x ? ? 5 ___; 4

【解析】依题意我们容易求得直线的方程为 4x+2y-5=0,把焦点坐标( p ,0)代入可求得焦参数 p ? 5 ,

2

2

从而得到准线方程 x ? ? 5 。 4

13.已知抛物线 y2 ? 8x , F 为其焦点, P 为抛物线上的任意点,则线段 PF 中点的轨迹方程是

y2 ? 4x ? 4 .

试 题 分 析 : 设 中 点 为 ? x, y? F ?2, 0?? P? 2x? 2, 2y? 代 入 y2 ? 8x 得 4 y2 ? 8?2x ? 2? 化 简 得

y2 ? 4x ? 4

14.设 F1 , F2

是椭圆

x2 4

?

y2

?

1 的两个焦点,点

P

在椭圆上,且 F1P ? PF2

?

0 ,则△ F1PF2

的面

积为 1

.

15.如果 P1,

P2 , ... ,

P8 是抛物线

y2

?

4x

上的点,它们的横坐标依次为

x 1

,

x2

, ...

,

x , F 是抛物 8

线的焦点,若 x1 ? x2 ? ... ? x8 ? 10 ,则 P1F ? P2F ?...? P8F ? _______18________.

16.设 F1, F2 分别是椭圆

x2 8

?

y2 4

? 1 的左、右焦点, P 为椭圆上任一点,点 M 的坐标为 (6,4) ,则

PM ? PF1 的最大值为 8 2 .
【解析】本试题主要考查了椭圆的性质的运用,结合三点共线求解最值。

由 题 意 F2 ( 2 , 0 ) , |MF2|= 4 2 , 由 椭 圆 的 定 义 可 得 ,

|PM|+|PF1|=2a+|PM|-|PF2|= 4 2 +|PM|-|PF2|≤ 4 2 +|MF2|=8 2 ,当且仅当 P,F2,M 三点共线时取等号, 17.已知以 F 为焦点的抛物线 y2 ? 4x 上的两点 A、B 满足 AF ? 3FB ,则弦 AB 的中点到准线的距离为

____ 8 _______. 3

【解析】设 BF=m,由抛物线的定义知 AA1 ? 3m, BB1 ? m ??ABC中,AC=2m,AB=4m, k AB ? 3 , 直线 AB 方 程 为 y ? 3(x ? 1) , 与 抛 物 线 方 程 联 立 消 y 得 3x2 ?10x ? 3 ? 0 , 所 以 AB 中 点 到 准 线 距 离 为

x1 ? x2 ? 1 ? 5 ? 1 ? 8

2

33

三.解答题

18.已知双曲线与椭圆 x 2

y2 ?

? 1有相同焦点,且经过点 (

15, 4) ,求该双曲线方程,并求出其离心

27 36

率、渐近线方程,准线方程。

解:椭圆 y2 36

?

x2 27

? 1的焦点为 (0, ?3), c

? 3,设双曲线方程为

y2 a2

?

x2 9 ? a2

?1

过点 (

15, 4)

,则 16 a2

? 15 9 ? a2

? 1 ,得 a2

?

4,或36 ,而 a2

?9,

?a2 ? 4 ,双曲线方程为 y2 ? x2 ? 1 。 45

其离心率为 3,渐近线方程为 y ? ? 2 5 x,准线方程为 y ? ? 4 .

2

5

3

19. 求一条渐近线是 3x ? 4 y ? 0,一个焦点是(4,0)的双曲线的标准方程。

解: x2 ? y2 ? 1 256 144

25 25 20. 已知直线 l 经过抛物线 x2 ? 4 y 的焦点,且与抛物线交于 A, B 两点,点 O 为坐标原点.

Y

AF O

B X

(Ⅰ)证明: ?AOB 为钝角.(Ⅱ)若 ?AOB 的面积为 4 ,求直线 l 的方程;。 解:(I)依题意设直线 l 的方程为: y ? kx ?1( k 必存在)

? y ? kx ?1

? ?

x2 ? 4y

?

x2

? 4kx ? 4 ? 0



? ? 16k2 ?16 ? 0 ? 设 直 线 l 与 抛 物 线 的 交 点 坐 标 为

A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ,则有 x1x2

? ?4, y1 y2

?

x12 4

x22 4

? 1, ? x1x2

?

y1 y2

? ?3 ? 0 ,依向量的数量积定义,

cos?AOB ? 0即证 ?AOB 为钝角

(Ⅱ) 由(I)可知: AB ? 1? k 2 x1 ? x2 ? 4(k 2 ?1) , d ?

1, k2 ?1

1 ? S?AOB ? 2 AB d ? 2

k 2 ?1 ? 4 ,? k ? ?

3,

?直线方程为 y ?

3x ?1, y ? ? 3x ?1

21.已知点 F(1, 0) ,直线 l : x ? ?1 交 x 轴于点 H ,点 M 是 l 上的动点,过点 M 垂直于 l 的直线与线

段 MF 的垂直平分线交于点 P .

(Ⅰ)求点 P 的轨迹 C 的方程;(Ⅱ)若 A、B 为轨迹 C 上的两个动点,且 OA? OB ? ?4, 证明直线 AB

必过一定点,并求出该定点.

【解析】 (1) 根据线段垂直平分线的定义所以点 P 到 F 的距离等于到直线 l 的距离.

所以,点 P 的轨迹是以 F 为焦点, l 为准线的抛物线,且 p ? 1, p ? 2 , 2

所以所求的轨迹方程为 y2 ? 4x

---------3 分

(2) 设 A?xA , yA ?, B?xB , yB ? , 直 线 AB 的 方 程 为 x ? ty ? m , 代 入 到 抛 物 线 方 程 整 理 得 则

y2 - 4ty - 4m ? 0 ,根据韦达定理 yA ? yB ? 4t ,即 yA yB ? ?4m , xAxB ? (tyA ? m)(ty B ? m) ? t 2 yA yB ? tm( yA ? yB ) ? m2

…………8 分

?OA ? OB ? xAxB +yA yB =(1+t 2 )yAyB +tm(yA +yB )+m2 = ? 4,

即 m2 - 4m ? -4 ,解得 m=2,

显然,不论 t 为何值,直线 AB 恒过定点 (2 , 0) .

22.点 A、B 分别是以双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆 C 长轴的左、右端点,点 F 16 20

是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆 C 上,且位于 x 轴上方, PA ? PF ? 0
(1)求椭圆 C 的的方程; (2)求点 P 的坐标; (3)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,点 M 到直线 AP 的距离等于|MB|,求椭圆上的点到 M 的距离 d 的最小 值。

【解析】(1)已知双曲线实半轴 a1=4,虚半轴 b1=2 5 ,半焦距 c1= 16 ? 20 ? 6 ,

∴椭圆的长半轴 a2=c1=6,椭圆的半焦距 c2=a1=4,椭圆的短半轴 b2 = 62 ? 42 ?

∴所求的椭圆方程为 x 2 ? y 2 ? 1 36 20

…………4 分

(2)由已知 A(?6,0) , F (4,0) ,设点 P 的坐标为 (x, y) ,则

20 ,

AP ? (x ? 6, y),FP ? (x ? 4, y), 由已知得

? ?

x2 ? y2 ?1

? 36 20

??(x ? 6)(x ? 4) ? y2 ? 0

…………6 分

则 2x2 ? 9x ?18 ? 0 ,解之得 x ? 3 或x ? ?6 , 2

由于 y>0,所以只能取 x ? 3 ,于是 y ? 5 3 ,所以点 P 的坐标为 ?? 3 , 5 3 ?? ……8 分

2

2

?2 2 ?

m?6

(3 )直线 AP : x ? 3y ? 6 ? 0 ,设 点 M 是 (m,0) ,则 点 M 到直 线 AP 的距离是

,于是

2

m?6 ? m ? 6 ,又∵点 M 在椭圆的长轴上,即 ? 6 ? m ? 6 ?m ? 2
2 点到 M (2,0) 的距离

∴当 m ? 2 时,椭圆上的

d 2 ? (x ? 2)2 ? y2 ? x2 ? 4x ? 4 ? 20 ? 5x2 ? 4 (x ? 9)2 ?15 99 2
又 ?6 ? x ? 6 ∴当 x ? 9 时,d 取最小值 15 2


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