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2014届高三数学辅导精讲精练测试3


2014 届高三数学辅导精讲精练测试 3
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题中只有一项 符合题目要求) 1.若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 3x-y+1=0,则 ( A.f′(x0)<0 C.f′(x0)=0 答案 B ( ) B.f′(x0)>0 D.f′(x0)不存在 )

2.三次函数 y=ax3-x 在(-∞,+∞)内是减函数,则 A.a≤0 C.a=2 答案 解析 A y′=3ax2-1,由 y′≤0,得 3ax2-1≤0. B.a=1 1 D.a=3

∴a≤0. 3.如果函数 f(x)=x4-x2,那么 f′(i)= A.-2i C.6i 答案 解析 D 因为 f′(x)=4x3-2x,所以 f′(i)=4i3-2i=-6i. ( ) B.2i D.-6i ( )

4.函数 f(x)=excosx 的图像在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为 A.0 C.1 答案 解析 B π B.4 π D.2

f′(x) = (excosx)′ = (ex)′cosx + ex(cosx)′ = excosx + ex( - sinx) = =ex(cosx-

ex(cosx-sinx),则函数 f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率 sinx) π =e0=1,故切线的倾斜角为4,故选 B. π π π 5.若函数 f(x)=cosx+2xf′(6),则 f(-3)与 f(3)的大小关系是

(

)

π π A.f(-3)=f(3) π π C.f(-3)<f(3) 答案 解析 C

π π B.f(-3)>f(3) D.不确定

π π π π π 依题意得 f′(x)=-sinx+2f′(6),f′(6)=-sin6+2f′(6),f′(6)=

1 π π ,f′(x)=-sinx+1≥0.f(x)=cosx+x 是 R 上的增函数,注意到-3<3,于是有 2 π π f(-3)<f(3),选 C. 6.设 f(x)是一个三次函数,f′(x)为其导函数,如图所示的是 y=x· f′(x)的 图像的一部分,则 f(x)的极大值与极小值分别是 ( )

A.f(1)与 f(-1) C.f(-2)与 f(2) 答案 解析 C

B.f(-1)与 f(1) D.f(2)与 f(-2)

∵f(x)是一个三次函数,易知 y=x· f′(x)也是三次函数,观察图像,

可知 y=x· f′(x)有三个零点-2,0,2.设 y=x· f′(x)=ax(x-2)(x+2), ∵当 x>2 时,y=x· f′(x)>0,∴a>0. ∴f′(x)=a(x-2)(x+2). ∴f(-2)是极大值,f(2)是极小值,故选 C. 7.家电下乡政策是应对金融危机,积极扩大内需的重要举措.我市某家电 制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案,据预测,这四种方案均能在规 定的时间 T 内完成预期运输任务 Q0,各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关 系如下图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是 ( )

答案 解析

B 由题意可知, 运输效率越来越高,只需曲线上点的切线的斜率越来越

大即可,观察图形可知,选项 B 满足条件,故选 B. 8.(2012· 福建)如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴影部分的概率为 ( )

1 A.4 1 C.6 答案 解析 C

1 B.5 1 D.7

阴影部分的面积为? ( x-x)dx= ?
0

1

1 =6, 故所求的概

阴影部分的面积 1 率 P=正方形OABC的面积=6,故选 C. 9.设 a∈R,函数 f(x)=ex+a·-x 的导函数是 f′(x),且 f′(x)是奇函数.若 e 3 曲线 y=f(x)的一条切线的斜率是2,则切点的横坐标为 A.ln2 ln2 C. 2 答案 解析 A f′(x)=ex-ae-x,这个函数是奇函数,故对任意实数 x 恒有 f′(-x) B.-ln2 -ln2 D. 2 ( )

=-f′(x),即 e-x-aex=-ex+ae-x.即(1-a)(ex+e-x)=0 对任意实数 x 恒成立, 故只能是 a=1.此时 f′(x)=ex-e-x,设切点的横坐标为 x0,则 2 故选 A. 10.已知函数 f(x)=x3+2bx2+cx+1 有两个极值点 x1、x2,且 x1∈[-2,- 1],x2∈[1,2],则 f(-1)的取值范围是 3 A.[-2,3] C.[3,12] 答案 解析 C f′(x)=3x2+4bx+c,由题意,得 3 B.[2,6] 3 D.[-2,12] ( ) -2=0, 即 =0, 只能是 3 =2,即

=2, 解得 x0=ln2.

?f′?-1?=3-4b+c≤0, ?f′?1?=3+4b+c≤0, ?f′?2?=12+8b+c≥0.
值 12,故选 C.

f′?-2?=12-8b+c≥0,

f(-1)=2b-c,当直线过点 A 时 f(-1)取最小值 3,当直线过点 B 时取最大

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线 上) 11.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(1)+lnx,则 f′(1) =________.

答案 解析

-1 1 f′(x)=2f′(1)+x,令 x=1,得 f′(1)=-1.

12.已知向量 a=(x2,x+1),b=(1-x,t),若函数 f(x)=a· 在区间(-1,1) b 上是增函数,则实数 t 的取值范围是________. 答案 解析 [5,+∞) f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,

f′(x)=-3x2+2x+t, 由题意 f′(x)>0 在(-1,1)上恒成立, ?f′?-1?≥0, ?t-5≥0, 则? 即? ?f′?1?≥0, ?t-1≥0, 解得 t≥5. 13.已知曲线 y=x2-1 在 x=x0 处的切线与曲线 y=1-x3 在 x=x0 处的切线 互相平行,则 x0 的值为________. 答案 解析 2 0 或-3 y′=2x,y′=-3x2 ,曲线 y=x2-1 在 x=x0 处的切线斜率 k= , 曲线 y=1-x3 在 x=x0 处的切线斜率为 k′= 2 2x0=-3x2,解得 x0=0 或 x0=-3. 0 14.函数 f(x)=3x-x3 在区间(a2-12,a)上有最小值,则实数 a 的取值范围 是________. 答案 解析 (-1,2] f′(x)=3-3x2=-3(x+1)(x-1),令 f′(x)=0,得 , 则

x1=-1,x2=1.当 x 变化时,f′(x)、f(x)变化情况如下表 x f′(x) (-∞,-1) - -1 0 极小值 f(x) ? -2 (-1,1) + 1 0 极大值 2 (1,+∞) -

又由 3x-x3=-2,得(x+1)2(x-2)=0. ∴x1=-1,x2=2. ∵f(x)在开区间(a2-12,a)上有最小值, ∴最小值一定是极小值.
2 ?a -12<-1<a, ∴? 解得-1<a≤2. ?a≤2,

9 15.如图,函数 y=x2 与 y=kx(k>0)的图像所围成的阴影部分的面积为2,则 k=________.

答案 解析

3
2 ?y=x , 由? 得两曲线交点为(0,0),(k,k2). y=kx, ?

9 则 S=?k (kx-x2)dx=2,即 k3=27,∴k=3. ?0 π 16.函数 y=x+2cosx 在区间[0,2]上的最大值是________. 答案 解析 π 6+ 3 π π π π 由 y′=1-2sinx=0, x=6, 得 x∈(0, )时, y′>0, 6, ), x∈( 2 y′<0, 6

π π 3 π 函数在 x=6处取得最大值,ymax=6+2× 2 =6+ 3. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17. (本题满分 10 分)设函数 f(x)=ax3+bx+c(a≠0)为奇函数, 其图像在点(1, f(1))处的切线与直线 x-6y-7=0 垂直,导函数 f′(x)的最小值为-12. (1)求 a,b,c 的值; (2)求函数 f(x)的单调递增区间, 并求函数 f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值. 解析 (1)∵f(x)为奇函数,

∴f(-x)=-f(x),即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c. ∴c=0,∵f′(x)=3ax2+b 的最小值为-12,∴b=-12. 1 又直线 x-6y-7=0 的斜率为6, 因此,f′(1)=3a+b=-6. ∴a=2,b=-12,c=0. (2)单调递增区间是(-∞,- 2)和( 2,+∞). f(x)在[-1,3]上的最大值是 18,最小值是-8 2. 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= 2ax+a2-1 ,其中 a∈R. x2+1

(1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在原点处的切线方程; (2)求 f(x)的单调区间. 解析 (1)当 a=1 时,f(x)= ?x+1??x-1? 2x ,f′(x)=-2 . x +1 ?x2+1?2
2

由 f′(0)=2,得曲线 y=f(x)在原点处的切线方程是 2x-y=0. (2)f′(x)=-2 ?x+a??ax-1? . ?x2+1?2 2x . ?x +1?2
2

①当 a=0 时,f′(x)=

所以 f(x)在(0,+∞)单调递增,在(-∞,0)单调递减. 1 ?x+a??x-a? 当 a≠0,f′(x)=-2a . ?x2+1?2 1 ②当 a>0 时,令 f′(x)=0,得 x1=-a,x2=a,f(x)与 f′(x)的情况如下: x f′(x) f(x) (-∞,x1) - ? x1 0 f(x1) (x1,x2) + ? x2 0 f(x2) (x2,+∞) - ?

1 1 故 f(x)的单调减区间是(-∞,-a),(a,+∞);单调增区间是(-a,a). ③当 a<0 时,f(x)与 f′(x)的情况如下:

x

(-∞,x2) +

x2 0

(x2,x1) -

x1 0

(x1,+∞) +

f′(x)

f(x)

?

f(x2)

?

f(x1)

?

1 1 所以 f(x)的单调增区间是(-∞,a),(-a,+∞);单调减区间是(a,-a). 1 1 综上,a>0 时,f(x)在(-∞,-a),(a,+∞)单调递减;在(-a,a)单调递 增. a=0 时,f(x)在(0,+∞)单调递增;在(-∞,0)单调递减. 1 1 a<0 时,f(x)在(-∞,a),(-a,+∞)单调递增;在(a,-a)单调递减. 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=-x2+2lnx. (1)求函数 f(x)的最大值; a (2)若函数 f(x)与 g(x)=x+x有相同极值点, ①求实数 a 的值; f?x1?-g?x2? ?1 ? ②若对于?x1,x2∈?e,3?,不等式 ≤1 恒成立,求实数 k 的取值 ? ? k-1 范围. 解析 2?x+1??x-1? 2 (1)f′(x)=-2x+x=- (x>0), x

?f′?x?>0, ?f′?x?<0, 由? 得 0<x<1;由? 得 x>1. ?x>0, ?x>0, ∴f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+∞)上为减函数. ∴函数 f(x)的最大值为 f(1)=-1. a a (2)∵g(x)=x+ x,∴g′(x)=1-x2. ①由(1)知,x=1 是函数 f(x)的极值点. a 又∵函数 f(x)与 g(x)=x+x 有相同极值点, ∴x=1 是函数 g(x)的极值点.

∴g′(1)=1-a=0,解得 a=1. 经检验,当 a=1 时,函数 g(x)取到极小值,符合题意. 1 1 ②∵f(e)=-e2-2,f(1)=-1,f(3)=-9+2ln3, 1 1 ∵-9+2ln3<-e2-2<-1,即 f(3)<f(e )<f(1), ?1 ? ∴?x1∈? e,3?,f(x1)min=f(3)=-9+2ln3,f(x1)max=f(1)=-1. ? ? 1 1 由①知 g(x)=x+ x ,∴g′(x)=1-x2. ?1 ? 故 g(x)在? e,1?时,g′(x)<0;当 x∈(1,3]时,g′(x)>0. ? ? ?1 ? 故 g(x)在? e,1?上为减函数,在(1,3]上为增函数. ? ? 1 1 1 10 ∵g(e )=e+ e,g(1)=2,g(3)=3+3= 3 , 1 10 1 而 2<e+ e< 3 ,∴g(1)<g(e )<g(3). 10 ?1 ? ∴?x2∈? e,e?,g(x2)min=g(1)=2,g(x2)max=g(3)= 3 . ? ? ? k-1>0,即 k>1 时, 当 f?x1?-g?x2? ?1 ? 对于?x1,x2∈?e,e?,不等式 ≤1 恒成立 ? ? k-1 ?k-1≥[f(x1)-g(x2)]max?k≥[f(x1)-g(x2)]max+1. ∵f(x1)-g(x2)≤f(1)-g(1)=-1-2=-3, ∴k≥-3+1=-2,又∵k>1,∴k>1. ? k-1<0,即 k<1 时, 当 f?x1?-g?x2? ?1 ? 对于?x1,x2∈?e,e?,不等式 ≤1 恒成立 ? ? k-1 ?k-1≤[f(x1)-g(x2)]min?k≤[f(x1)-g(x2)]min+1. 10 37 ∵f(x1)-g(x2)≥f(3)-g(3)=-9+2ln3- 3 =- 3 +2ln3, 34 ∴k≤- 3 +2ln3. 34 又∵k<1,∴k≤- 3 +2ln3.

34 ? ? 综上,所求的实数 k 的取值范围为?-∞,- 3 +2ln3?∪(1,+∞). ? ? 20.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=ax+x2,g(x)=xlna,a>1. (1)求证:函数 F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上单调递增; 1? ? (2)若函数 y=?F?x?-b+b?-3 有四个零点,求 b 的取值范围; ? ? (3)若对于任意的 x1,x2∈[-1,1]时,都有|F(x2)-F(x1)|≤e2-2 恒成立,求 a 的取值范围. 解析 (1)∵F(x)=f(x)-g(x)=ax+x2-xlna,

∴F′(x)=ax· lna+2x-lna=(ax-1)lna+2x. ∵a>1,x>0,∴ax-1>0,lna>0,2x>0. ∴当 x∈(0,+∞)时,F′(x)>0,即函数 F(x)在区间(0,+∞)上单调递增. (2)由(1)知当 x∈(-∞,0)时,F′(x)<0,所以 F(x)在(-∞,0]上单调递减, 在(0,+∞)上单调递增,∴F(x)取得最小值为 F(0)=1. 1? 1 1 ? 由?F?x?-b+b?-3=0,得 F(x)=b-b+3 或 F(x)=b-b-3. ? ?

?b-1+3>1, ? b 1? ? 所以要使函数 y=?F?x?-b+b?-3 有四个零点,只需? ? ? 1 ? ?b-b-3>1,
b2-4b-1 1 -b>4,即 >0, b 解得 b>2+ 5或 2- 5<b<0.

即b

(3)∵?x1,x2∈[-1,1],由(1)知 F(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞) 上单调递增. ∴F(x)min=F(0)=1. 从而再来比较 F(-1)与 F(1)的大小即可. 1 F(-1)=a+1+lna,F(1)=a+1-lna, 1 ∴F(1)-F(-1)=a-a-2lna. 1 令 H(x)=x- x-2lnx(x>0),

2 2 1 2 x -2x+1 ?x-1? 则 H′(x)=1+x2-x= = x2 >0. x2

∴H(x)在(0,+∞)上单调递增. ∵a>1,∴H(a)>H(1)=0,∴F(1)>F(-1). ∴|F(x2)-F(x1)|的最大值为|F(1)-F(0)|=a-lna. ∴要使|F(x2)-F(x1)|≤e2-2 恒成立, 只需 a-lna≤e2-2 即可. 1 令 h(a)=a-lna(a>1),h′(a)=1-a>0, 所以 h(a)在(1,+∞)单调递增. 因为 h(e2)=e2-2,所以 h(a)≤h(e2), 即 1<a≤e2. 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex,其中 a∈R. (1)是否存在实数 a,使得函数 y=f(x)在 R 上单调递增?若存在,求出 a 的 值或取值范围;否则,请说明理由. 3 (2)若 a<0,且函数 y=f(x)的极小值为-2e,求函数的极大值; (3)若 a=-1 时,不等式(m-n)· e≤f(x)≤(m+n)·-1 在[-1,1]上恒成立,求 z e =m2+n2 的取值范围. 解析 (1)∵f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex,

∴f′(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex+(2x+a)ex=ex[x2+(a+2)x-2a2+4a]. 由 f′(x)≥0 可得 ex[x2+(a+2)x-2a2+4a]≥0. 即 x2+(a+2)x-2a2+4a≥0 在 x∈R 时恒成立. 2 ∴Δ=(a+2)2-4(-2a2+4a)≤0,即(3a-2)2≤0,即 a=3,此时, 4 f′(x)=(x+3)2ex≥0,函数 y=f(x)在 R 上单调递增. (2)由 f′(x)=0 可得 ex[x2+(a+2)x-2a2+4a]=0,解之得 x1=-2a,x2=a -2. 当 a<0 时,-2a>a-2,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下:

x

(-∞,a-2)

a-2

(a-2,-2a)

-2a

(-2a,+∞)

f′(x)



0



0



f(x)

递增

极大值

递减

极小值

递增

3 ? 3 3 ?3a=-2, -2a 由条件可知,f(-2a)=-2e,即 3a· =-2e,? e ?-2a=1, ? 1 此时,f(x)=(x2-2x-2)ex, 5 极大值为 f(a-2)=f(-2)= .

1 可得 a=-2.

(3)由(2)可知 a=-1 时,f(x)=(x2-x-5)ex,函数 f(x)在[-1,1]上单调递减. 要 使 不 等 式 (m - n)· e≤f(x)≤(m + n)· - 1 在 [ - 1,1] 上 恒 成 立 , 只 需 e e, ?f?1?≥?m-n?· ? e-1 ?f?-1?≤?m+n?· , e≤-5e, ??m-n?· ?m-n≤-5, 即? 故? -1 -1 ??m+n?e ≥-3e , ?m+n≥-3. 则点(m,n)在如图中所示的阴影部分所表示的平面区域内: z=m2+n2 表示点(0,0)到(m,n)的距离的平方,最小值为点(0,0)到直线 x-y +5=0 的距离的平方( 5 2 25 25 ) = 2 ,所以 z 的取值范围是[ 2 ,+∞). 2

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=aex,g(x)=lnx-lna,其中 a 为常数, e=2.718…, 且函数 y=f(x)和 y=g(x)的图像在它们与坐标轴交点处的切线互相平

行. (1)求常数 a 的值; (2)若存在 x 使不等式 x-m > x成立,求实数 m 的取值范围; f?x?

(3)对于函数 y=f(x)和 y=g(x)公共定义域内的任意实数 x0,我们把|f(x0)- g(x0)|的值称为两函数在 x0 处的偏差.求证:函数 y=f(x)和 y=g(x)在其公共定义 域内的所有偏差都大于 2. 解析 (1)f(x)与坐标轴的交点为(0,a),f′(0)=a,

1 g(x)与坐标轴的交点为(a,0),g′(a)=a. 1 ∴a=a?a=± 1,又 a>0,故 a=1. (2) x-m > x可化为 m<x- xex. f?x? 1 )ex. 2 x+ x

令 h(x)=x- xex,则 h′(x)=1-( ∵x>0,∴ 1

1 + x≥ 2,ex>1?( + x)ex>1. 2 x 2 x

故 h′(x)<0. ∴h(x)在(0,+∞)上是减函数,因此 h(x)<h(0)=0. ∴实数 m 的取值范围是(-∞,0). (3)y=f(x)与 y=g(x)的公共定义域为(0,+∞), |f(x)-g(x)|=|ex-lnx|=ex-lnx. 令 h(x)=ex-x-1,则 h′(x)=ex-1>0. ∴h(x)在(0,+∞)上是增函数. 故 h(x)>h(0)=0,即 ex-1>x. ①

1 令 m(x)=lnx-x+1,则 m′(x)= x-1. 当 x>1 时,m′(x)<0,当 0<x<1 时,m′(x)>0. ∴m(x)有最大值 m(1)=0,因此 lnx+1<x. 由①②,得 ex-1>lnx+1,即 ex-lnx>2. ∴函数 y=f(x)和 y=g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于 2. ②

1.已知 f(x)=x(2 011+lnx),f′(x0)=2 012,则 x0= A.e2 C.ln2 答案 解析 B B.1 D.e

(

)

1 由题意可知 f′(x)=2 011+lnx+x·=2 012+lnx.由 f′(x0)=2 012, x

∴lnx0=0,解得 x0=1. 2. 已知对任意实数 x, f(-x)=-f(x), 有 g(-x)=g(x), x>0 时, 且 f′(x)>0, g′(x)>0,则 x<0 时 A.f′(x)>0,g′(x)>0 C.f′(x)<0,g′(x)>0 答案 解析 B 依题意得,函数 f′(x)、g′(x)分别是偶函数、奇函数,当 x<0 时, B.f′(x)>0,g′(x)<0 D.f′(x)<0,g′(x)<0 ( )

-x>0,f′(x)=f′(-x)>0,g′(x)=-g′(-x)<0,选 B. 3.已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切,则 a 的值为________. 答案 2 ? 1 ? =1, 记切点坐标为(m,n),则有?m+a ?m+1=ln?m+a?. ?

解析

由此解得 m=-1,a

=2. 1 4.已知函数 f(x)=2x2-mlnx. 1 (1)若函数 f(x)在( ,+∞)上是递增的,求实数 m 的取值范围; 2 (2)当 m=2 时,求函数 f(x)在[1,e]上的最大值和最小值. 解析 成立. m 1 1 而 f′(x)=x- x ,即 m≤x2 在(2,+∞)上恒成立,即 m≤4. 1 1 (1)若函数 f(x)在(2,+∞)上是增函数,则 f′(x)≥0 在(2,+∞)上恒

2 2 x -2 (2)当 m=2 时,f′(x)=x-x= x .

令 f′(x)=0,得 x=± 2. 当 x∈[1, 2)时,f′(x)<0,当 x∈( 2,e)时,f′(x)>0,故 x= 2是函数 1 1 f(x)在[1,e]上唯一的极小值点,故 f(x)min=f( 2)=1-ln2,又 f(1)=2,f(e)=2e2 e2-4 1 e2-4 -2= 2 >2,故 f(x)max= 2 .


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