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湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2016届高三5月适应性考试数学(文)试题Word版含答案.doc


华中师大一附中 2016 届高三五月适应性考试试题 文科数学( B 卷)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? ,集合 A ? ?1,2,3? ,集合 B ? ?3,4? ,则 ?CU A ? ?B ? ( A. ?4?
? ?



B. ?2,3,4,5?
? ?

C. ?3,4,5? )

D. ?2,3,4?

2.计算 sin 47 cos17 ? cos47 cos107 的结果等于( A. ?

1 2

B.

2 2

C.

3 2


D.

1 2

3.已知复数 z ? A.2 3

10 ? 2i (其中 i 是虚数单位) ,则 z =( 3?i
B.2 2 C.3 2

D.3 3

4.已知五个数 2, a, m, b,8 构成一个等比数列,则圆锥曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率为( m 2
D.



A.

2 2
x ?x

B. 3

C.

2 或 3 2

2 6 或 2 2

5.若 f ?x ? ? e ? ae 为偶函数,则 f ? x ? 1? ? A. ?2,??? B. ?0,2?

e2 ? 1 的解集为( e



C. ?? ?,2?

D. ?? ?,0? ? ?2,???

6. ?ABC 的外接圆圆心为 O , 半径为 2 ,OA ? AB ? AC 为零向量, 且 OA ? AB .则 CA 在 BC 方向上的投影为( A. ? 3

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

) C. 3 D. 3

B. ? 3

7.已知函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 cos ? x(? ? 0), f ( ) ? f ( ) ? 0, f ( x) 在区间 (

?

?

6

2

? ? , ) 上单 6 2

调,则 ? ? (



A.2

B.3

C.1

D.5 )

8.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的各侧面中,面积最小值为(

A.

3 2 2

B.

5 2

C.

2 2

D. )

1 2

9. 阅读如图所示的程序框图,则输出结果 S 的值为( A.

1 8

B.

1 2

C.

3 16

D.

1 16

2 10.直线 y ? a 分别与曲线 y ? x ? ln x , y ? x ? 2 交于点 P、Q ,

则 PQ 的最小值为( A. 2 B. 2

) C. 1 D. 6
A

11.如图, AB 是平面 ? 外固定的斜线段, B 为斜足,若点 C 在平 面 ? 内运动, 且 ?CAB 等于直线 AB 与平面 ? 所成的角, 则动点 C 的轨迹为( A.圆 )
?
B

C

B.椭圆

C.双曲线

D.抛物线

12.定义在 R 上的函数 f ( x) 是减函数,且函数 y ? f ( x ) 的图像关于原点中心对称,若 s、t
2 2 满足不等式 f (s ? 2s) ? ? f (2t ? t ) ,其中 t ? k ?s .则当 2 ? s ? 4 时, k 的取值范围是



) A. ? ? 1 ,1? ? ? B. (??, 0) ? [1, ??) C. ( ?

? 2 ?

1 ,1] 2

D. ? ??,0? ? ?1, ???

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分。 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须作 答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二. 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.若幂函数 f ( x) ? (m2 ? 3m ? 3) ? xm
2

?m?2

的图像不过原点,则 m 的值为_________

14.从 {1, 2,3, 4,5} 中随机选取一个数为 a ,从 {1, 2,3} 中随机选取一个数为 b ,则 b ? a 的 概率是__________ 15.在 ?ABC 中, tan A ?

1 3 , cos B ? 10 ,若最长边为 1,则最短边的长为_______ 2 10

16.定义在 R 上的函数 f ( x) 对任意两个不等的实数 x1 , x2 都
x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) ,

则称函数 f ( x) 为“ Z 函数”,以下函数中为“ Z 函数”的序号为______

①  y ? ?x ? 1
3

2 ? ?ln x , x ? 0 ? ? x ? 4 x, x ? 0 ④y ? ? 2 , ②y ? 3 x ? 2 s i n x? 2 co x s ③y ? ? ? ? ?0, x ? 0 ? ? x ? x, x ? 0

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a5 ? a6 ? 24, S11 ? 143, 数列

?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,满足 2a ?1 ? Tn ? a1(n ? N ? ) .
n

(I)求数列 ?an ? 的通项公式及数列 ?

? 1 ? ? 的前 n 项和; a a ? n n ?1 ?

(II)判断数列 ?bn ? 是否为等比数列?并说明理由. 18.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直 角 梯 形 ,

AD ∥ BC



PD ? 底 面

ABCD



?ADC ? 900 , AD ? 2 BC , Q 为 AD 的中点, M 为棱 PC 的中点.
(I)证明: PA ∥平面 BMQ ; (II)已知 PD ? DC ? AD ? 2 ,求点 P 到平面 BMQ 的距离. 19.(本小题满分 12 分)某校高中三个年级共有学生 1800 名,各年级男生、女生的人数如 下表: 高一年级 男生 女生 290 260 高二年级 b c 高三年级 344

a

已知在高中学生中随机抽取一名同学时,抽到高三年级女生的概率为 0.17. (I)求 a 的值; (II)现用分层抽样的方法在全校抽取 60 名学生,则在高二年级应抽取多少名学生?

(III)已知 b ? 260 , c ? 200 ,求高二年级男生比女生多的概率.
2 y2 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C : x 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 1 ,过右焦点 F 且 2 a b

垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 相交于 M , N 两点,且 MN ? 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设直线 l 经过点 F 且斜率为 k , l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点, 与以椭圆 C 的右顶点 E 为圆心的圆相交于 P, Q 两点( A, P, B, Q 自

y
B
Q

??? ? ??? ? 下至上排列) , O 为坐标原点.若 OA ? OB ? ? 9 ,且 AP ? BQ ,求 5
直线 l 和圆 E 的方程. 21.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ln x ?

O
A

P

F

E

x

m ,m? R x

(I)当 m ? e ( e 为自然对数的底数)时,求 f ( x ) 的最小值;

x 的零点的个数; 3 f (b) ? f ( a ) ? 1 恒成立,求实数 m 的取值范围. (III)若对任意 b ? a ? 0, b?a
(II)讨论函数 g ( x) ? f ?( x) ?

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题 记分. 22. 【选修 4-1:几何证明选讲】 (本小题满分 10 分) 如图所示,已知⊙ O1 和⊙ O2 相交于 A 、 B 两点,过 A 点作⊙ O1 的切线交 ⊙ O2 于点 C ,过点 B 作两圆的割线,分别交⊙ O1 、⊙ O2 于点 D 、 E , DE 与 AC 相交于点
P.

(I)求证: AD ∥ EC ; (II)若 AD 是⊙ O2 的切线,且 PA ? 6 , PC ? 2 , BD ? 9 ,求 AD 的长.

23. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (本小题满分 10 分)
? x ? sin ? ? cos ? , (? 为参数 ) 若以该直角坐标系 在直线坐标系 xOy 中,曲线 M 的参数方程为 ? ? y ? sin 2? ,

的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 N 的极坐标方程为

? 2 ? sin(? ? ) ? t (其中 t 为常数) .
4 2

(I)若曲线 N 与曲线 M 只有一个公共点,求 t 的取值范围; (II)当 t ? ?2 时,求曲线 M 上的点与曲线 N 上的点的最小距离.

24. 【选修 4-5:不等式选讲】 (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? | x ? 2 | ? | 6 ? x | ?m 的定义域为 R . (I)求实数 m 的取值范围; (II)若实数 m 的最大值为 n ,正数 a , b 满足

3 8 2 ? ? n ,求 2a ? b 的最小值. 2 3a ? b a ? 2b

华中师大一附中 016 届高三五月适应性考试试题 文科数学( B 卷)答案
一、选择题: CDCABB,ADDADC 二. 填空题: 13. 1 或 2 三.解答题: 17、解 (1)设数列 ?an ? 的公差为 d ,由 S11 ? 11a6 ? 143, ? a6 ? 13 . 又 a5 ? a6 ? 24, 解得 a5 ? 11 , d ? 2 , 因此 ?an ? 的通项公式是 an ? 2n ? 1 (n ? N ) ,????????????4 分
?

14.

1 5

15.

5 5

16.②④

所以

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an an?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

从而前 n 项的和为

1 1 1 ? ?? ? 3? 5 5 ? 7 (2n ? 1)(2n ? 3)

1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ? ? ??? ? ) 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 ? 1 1 1 n ( ? )? . 2 3 2n ? 3 6n ? 9
an ?1

????????????8 分

(2)因为 a1 ? 3 , 2

? 4n , Tn ? 4n ? 3 .当 n ? 1 时, b1 ? 7 ;

当 n ? 2 时, bn ? Tn ? Tn?1 ? 4n ? 4n?1 ? 3? 4n?1 ; 所以 bn?1 ? 4bn ( n ? 2 .若 ?bn ? 是等比数列,则有 b2 ? 4b1 ,而 b1 ? 7, b2 ? 12 ,所以 与 b2 ? 4b1 矛盾, 故数列 ?bn ? 不是等比数列. 18 、 (1) 证 明 ???????????12 分

连 接 AC 交 BQ 于 N , 连 接 MN , 因 为

?ADC ? 900 , Q 为 AD 的中点,所以 N 为 AC 的中点,
又 M 为 PC 的中点,故 MN ∥ PA ,又 MN ? 平面 BMQ ,所以

PA ∥平面 BMQ .????????????????????6 分
(2)解 由(1)可知, PA ∥平面 BMQ ,所以点 P 到平面 BMQ 的距离

等于点 A 到平面 BMQ 的距离, 所以 VP?BMQ ? VA?BMQ ? VM ? ABQ ,??????????????9 分

取 CD 的中点 K ,连接 MK ,所以 MK ∥ PD , MK ? 又 PD ? 底面 ABCD ,所以 MK ? 底面 ABCD . 又 BC ?

1 PD ? 1 . 2

1 AD ? 1 , PD ? DC ? 2 ,所以 AQ ? 1, BQ ? 2 , 2

MQ ? 3, NQ ? 1 ,
所以 VP ? BMQ ? VA? BMQ ? VM ? ABQ ?

1 , 3

S?BMQ ? 2 ,
则点 P 到平面 BMQ 的距离 d ?

3VP ? BMQ S?BMQ

?

2 . 2

????????12 分

19、解:(1)根据题意得高三年级女生抽到的概率为 所以 a ? 1800 ? 0.17 ? 306 (人)

a a ? 0.17 ,所以 1800 1800
??????3 分

(2)由表格知高二年级的总人数为 1800? (260? 290) ? (344? 306) ? 600人, 所以高二年级应抽取的人数为 60 ?

600 ? 20 (人) 1800

????????6 分

(3)设事件 A=“高二年级男生比女生多”,求概率 P ( A) 用 b 表示高二年级男生的人数,用 c 表示高二年级女生的人数,且 b ? c ? 600 则满足

b ? 260 , c ? 200 的 (b, c ) 配对的情况为 (260,340), (261 ,339)?(400,200) ,共有 141 种情
况,而事件 A 发生的 (b, c ) 配对的情况为 (301 ,299), (302,298) ,?, (400,200) 共有 100 种 情况,所以高二年级男生比女生多的概率为 P ( A) ?

100 ??????????12 分 141

2 2 2 2 20. 解: (Ⅰ)设 F (c, 0) ,则由题意得 c ? a ? b , c ? 1 , 2 ? b ? 3 , a 2 a

解 得 a ? 2 ,b ?

3c , ? ,1 ∴ 椭 圆 C 的 方 程 为

2 x 2 ? y ? 1 .???????????????????????????4 分 4 3

(Ⅱ)由题意,直线 l 的斜率 k 存在.设 l 的方程为 y ? k ? x ? 1? , 联立椭圆方程得 3 ? 4k 2 x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 .

?

?

2 设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? 8k 2 ∴ y1 y2 ? ? 9k

3 ? 4k

2

2 , x1 x2 ? 4k ? 12 , 2

3 ? 4k

3 ? 4k 2

.??????????????????????????6 分
2

∴ OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? ? 12 ? 5k2 .

??? ? ??? ?

3 ? 4k ??? ? ??? ? 2 ∵ OA ? OB ? ? 9 ,∴ ? 12 ? 5k2 ? ? 9 ,解得 k 2 ? 3 .????????????8 分 5 5 3 ? 4k
由题意可得, AP ? BQ 等价于 AB ? PQ .??????????????9 分 设圆 E 的半径为 r ,
2 k2 . ∵ AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 12 ? 12k , PQ ? 2 r 2 ? 2 2 k ?1 3 ? 4k

将 k 2 ? 3 代入 AB ? PQ 解得 r 2 ? 331 .?????????????????11 分 100 故所求直线 l 的方程为 y ? ? 3 ? x ? 1? ,即 3x ? y ? 3 ? 0 与 3x ? y ? 3 ? 0 ; 圆 E 的方程为 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 331 .???????????????????12 分 100
2

21 、 解: (1) 当 m ? e 时, f ( x) ? ln x ?

e ,易知函数 f ( x ) 的定义域为 (0,??) , 所以 x

f ?( x) ?

1 e x?e ? 2 ? 2 ,当 x ? (0, e) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在 (0, e) 上是减函数;当 x x x

x ? (e,??) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在 (e,??) 上是增函数,所以当 x ? e 时, f ( x) 取

e ? 2 ????????????????4 分 e x 1 m x 1 3 (2)因为函数 g ( x) ? f ?( x) ? ? ? 2 ? ( x ? 0), 令 g ( x) ? 0 , 得 m ? ? x ? x ( x ? 0), 3 x x 3 3 1 3 2 设 h( x) ? ? x ? x( x ? 0), 所以 h?( x) ? ? x ? 1 ? ?( x ?1)(x ? 1), 当 x ? (0,1) 时, 3
得极小值 f (e) ? ln e ? 此时 h( x) 在 (0,1) 上为增函数; 当 x ? (1,??) 时,h?( x) ? 0 , 此时 h( x) 在 (1,??) h?( x) ? 0 , 上为减函数,所以当 x ? 1 时, h( x) 取极大值 h(1) ? ?

1 2 ? 1 ? ,令 h( x) ? 0 ,即 3 3

1 2 ? x 3 ? x ? 0 ,解得 x ? 0 或 x ? 3 ,所以由函数 h( x) 的图像知:?当 m ? 时,函数 3 3 2 y ? m 和函数 y ? h( x) 无交点; ?当 m ? 时, 函数 y ? m 和函数 y ? h( x) 有且仅有一个交 3 2 点; ?当 0 ? m ? 时, 函数 y ? m 和函数 y ? h( x) 有两个交点; ④当 m ? 0 时, 函数 y ? m 3 2 2 和函数 y ? h( x) 有且仅有一个交点。综上所述,当 m ? 时,函数 g ( x) 无零点;当 m ? 3 3 2 或 m ? 0 时,函数 g ( x) 有且仅有一个零点,当 0 ? m ? 时,函数 g ( x) 有两个零 3
点????????????????????8 分

f (b) ? f (a) ? 1 恒成立,等价于 f (b) ? b ? f (a) ? a 恒成立,设 b?a m ? ( x) ? f ( x) ? x ? ln x ? ? x( x ? 0), 则 ? ( x) 在 (0,??) 上单调递减,所以 x 1 m 1 2 1 2 ? ?( x) ? ? 2 ? 1 ? 0 在 (0,??) 上恒成立, 所以 m ? ? x ? x ? ?( x ? ) ? 在 (0,??) 上 x x 2 4 1 1 1 1 2 恒成立,因为 x ? 0,? x ? x ? ,所以 m ? ,当且仅当 x ? 时,m ? ,所以实数 m 的 4 4 2 4
(3)对任意 b ? a ? 0, 取值范围是 ? ,?? ?

?1 ?4

? ?

???????????????????????12 分 , ??D ? ?E , ∥

? AC 是⊙ O1 的切线, ??BAC ? ?D , A C ?? E 22. (I) 证明: 连接 AB , 又? ?B

? AD
EC ???????????????????????????????????5 分

(II)解:设 BP ? x , PE ? y , ? PA ? 6 , PC ? 2 ,? xy ? 12 ①

? AD ∥ EC ,?

9? x 6 DP AP ? ,? ② ? y 2 PE PC

? x ? 3 ? x ? ?12 由①②可得 ? 或? (舍去). ??????????????????8 分 ? y ? 4 ? y ? ?1
? DE ? 9 ? x ? y ? 16 , ? AD 是⊙ O2 的切线,? AD2 ? DB ? DE ? 9 ? 16 ? 144 ,

?AD ?12 ??????????????????????????????10 分
23. 解:对于曲线 M ,消去参数,得普通方程为 y ? x2 ? 1,| x |? 2 ,曲线 M 是抛物线的一 部分;对于曲线 N ,化成直角坐标方程为 x ? y ? t ,曲线 N 是一条直线. (1)若曲线 M , N 只有一个公共点,则直线 N 过点 ( 2,1) 时满足 要求,并且向左下方平行移动直到过点 (? 2,1) 之前总是保持只有一个公共点,再接着从过

点 (? 2,1) 开始向左下方平行移动直到相切之前总是有两个公共点,此时不合题意,所以
? 2 ? 1 ? t ? 2 ? 1 满足要求.

相 切 时 仍 然 只 有 一 个 公 共 点 , 由 t ? x ? x2 ? 1 , 得
x2 ? x ? 1 ?t 0 ?, ? 1 ?

5 ,求得 4 ?( 1 t ? ) ? 0t ? ? . 4
综 上 , 可 得 t 的 取 值 范 围 是 ? 2 ?1? t ? 2 ?1 或

5 t ? ? .??????????5 分 4
2 (2)当 t ? ? 2 时,直线 N : x ? y ? ?2 ,设 M 上的点为 ( x0 , x0 ? 1),| x0 |? 2 ,

则 曲 线
| x 2 ? x0 ? 1| d? 0 ? 2 1 3 ( x0 ? )2 ? 2 4?3 2, 8 2

M

上 的 点 到 直 线

N

的 距 离 为

当 x0 ? ?

1 时取等号,满足 | x0 |? 2 ,所以所求的最小距离为 2

3 2 .????10 分 8
24. 解: (1)由题意知 x ? 2 ? 6 ? x ? m ? 0 在 R 上恒成立,即 m ? x ? 2 ? 6 ? x 恒成立.
? x ? 2 ? 6 ? x ? ( x ? 2) ? (6 ? x) ? 8 (当且仅当 ( x ? 2)(6 ? x) ? 0即 ? 2 ? x ? 6 时等号成立) ?m ? ? ??,8? ........................5 分

(2)由(1)知 n ? 8 ,即

8 2 ? ?8, 3a ? b a ? 2b

3 1 1 8 2 ?2a ? b ? ? ?3a ? b? ? ? a ? 2b?? ? ? 16 ? ??3a ? b? ? ? a ? 2b?? ? ( 3a ? b ? a ? 2b ) 2 2?
? 1 8 2 1 9 2 ( 3a ? b ? ? a ? 2b ? ) 2 = (3 2) = 当且仅当 16 3a ? b a ? 2b 16 8

9 ? a ? 3b a? ? ? ? ? 20 即? 时等号成立 2 ? 8 3 ? ?8 ? ? b? ? 3a ? b a ? 2b ? 20 ?

3 9 ? 2a ? b 的最小值是 . ..............................10 分 2 8

华中师大一附中 2016 届高三五月适应性考试试题 文科数学( A/B 卷)答案

一、选择题: CDCABB,ADDADC 二. 填空题: 13. 1 或 2 三.解答题: 17. 解 (I)设数列 ?an ? 的公差为 d ,由 S11 ? 11a6 ? 143, ? a6 ? 13 . 又 a5 ? a6 ? 24, 解得 a5 ? 11 , d ? 2 , 因此 ?an ? 的通项公式是 an ? 2n ? 1 (n ? N ) ,????????????4 分
?

14.

1 5

15.

5 5

16.②④

所以

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an an?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

从而前 n 项的和为

1 1 1 ? ?? ? 3? 5 5 ? 7 (2n ? 1)(2n ? 3)

1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ? ? ??? ? ) 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 ? 1 1 1 n ( ? )? . 2 3 2n ? 3 6n ? 9
an ?1

????????????8 分

(II)因为 a1 ? 3 , 2

? 4n , Tn ? 4n ? 3 .当 n ? 1 时, b1 ? 7 ;

当 n ? 2 时, bn ? Tn ? Tn?1 ? 4n ? 4n?1 ? 3? 4n?1 ; 所以 bn?1 ? 4bn ( n ? 2 .若 ?bn ? 是等比数列,则有 b2 ? 4b1 ,而 b1 ? 7, b2 ? 12 ,所以 与 b2 ? 4b1 矛盾, 故数列 ?bn ? 不是等比数列. 18. (I)证明 ???????????12 分
0

连接 AC 交 BQ 于 N ,连接 MN ,因为 ?ADC ? 90 ,

Q 为 AD 的中点,所以 N 为 AC 的中点,
又 M 为 PC 的中点,故 MN ∥ PA ,又 MN ? 平面 BMQ ,所以

PA ∥平面 BMQ .????????????????????6 分
(II)解 由(1)可知, PA ∥平面 BMQ ,所以点 P 到平面 BMQ 的距离

等于点 A 到平面 BMQ 的距离, 所以 VP?BMQ ? VA?BMQ ? VM ? ABQ ,??????????????9 分

取 CD 的中点 K ,连接 MK ,所以 MK ∥ PD , MK ? 又 PD ? 底面 ABCD ,所以 MK ? 底面 ABCD . 又 BC ?

1 PD ? 1 . 2

1 AD ? 1 , PD ? DC ? 2 ,所以 AQ ? 1, BQ ? 2 , 2

MQ ? 3, NQ ? 1 ,
所以 VP ? BMQ ? VA? BMQ ? VM ? ABQ ?

1 , 3

S?BMQ ? 2 ,
则点 P 到平面 BMQ 的距离 d ?

3VP ? BMQ S?BMQ

?

2 . 2

????????12 分

19. 解:(I)根据题意得高三年级女生抽到的概率为 所以 a ? 1800 ? 0.17 ? 306 (人)

a a ? 0.17 ,所以 1800 1800
??????3 分

(II)由表格知高二年级的总人数为 1800? (260? 290) ? (344? 306) ? 600人, 所以高二年级应抽取的人数为 60 ?

600 ? 20 (人) 1800

????????6 分

(III)设事件 A=“高二年级男生比女生多”,求概率 P ( A) 用 b 表示高二年级男生的人数,用 c 表示高二年级女生的人数,且 b ? c ? 600 则满足

b ? 260 , c ? 200 的 (b, c ) 配对的情况为 (260,340), (261 ,339)?(400,200) ,共有 141 种情
况,而事件 A 发生的 (b, c ) 配对的情况为 (301 ,299), (302,298) ,?, (400,200) 共有 100 种 情况,所以高二年级男生比女生多的概率为 P ( A) ?

100 ??????????12 分 141

2 2 2 2 20. 解: (Ⅰ)设 F (c, 0) ,则由题意得 c ? a ? b , c ? 1 , 2 ? b ? 3 , a 2 a

解 得 a ? 2 ,b ?

3c , ? ,1 ∴ 椭 圆 C 的 方 程 为

2 x 2 ? y ? 1 .???????????????????????????4 分 4 3

(Ⅱ)由题意,直线 l 的斜率 k 存在.设 l 的方程为 y ? k ? x ? 1? , 联立椭圆方程得 3 ? 4k 2 x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 .

?

?

2 设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? 8k 2 ∴ y1 y2 ? ? 9k

3 ? 4k

2

2 , x1 x2 ? 4k ? 12 , 2

3 ? 4k

3 ? 4k 2

.??????????????????????????6 分
2

∴ OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? ? 12 ? 5k2 .

??? ? ??? ?

3 ? 4k ??? ? ??? ? 2 ∵ OA ? OB ? ? 9 ,∴ ? 12 ? 5k2 ? ? 9 ,解得 k 2 ? 3 .????????????8 分 5 5 3 ? 4k
由题意可得, AP ? BQ 等价于 AB ? PQ .??????????????9 分 设圆 E 的半径为 r ,
2 k2 . ∵ AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 12 ? 12k , PQ ? 2 r 2 ? 2 2 k ?1 3 ? 4k

将 k 2 ? 3 代入 AB ? PQ 解得 r 2 ? 331 .?????????????????11 分 100 故所求直线 l 的方程为 y ? ? 3 ? x ? 1? ,即 3x ? y ? 3 ? 0 与 3x ? y ? 3 ? 0 ; 圆 E 的方程为 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 331 .???????????????????12 分 100
2

21. 解 : (I) 当 m ? e 时 , f ( x) ? ln x ?

e , 易 知 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 (0,??) , 所 以 x

f ?( x) ?

1 e x?e ? 2 ? 2 ,当 x ? (0, e) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在 (0, e) 上是减函数;当 x x x

x ? (e,??) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在 (e,??) 上是增函数,所以当 x ? e 时, f ( x) 取

e ? 2 ????????????????4 分 e x 1 m x 1 3 (II)因为函数 g ( x) ? f ?( x) ? ? ? 2 ? ( x ? 0), 令 g ( x) ? 0 , 得 m ? ? x ? x ( x ? 0), 3 x x 3 3 1 3 2 设 h( x) ? ? x ? x( x ? 0), 所以 h?( x) ? ? x ? 1 ? ?( x ?1)(x ? 1), 当 x ? (0,1) 时, 3
得极小值 f (e) ? ln e ? 此时 h( x) 在 (0,1) 上为增函数; 当 x ? (1,??) 时,h?( x) ? 0 , 此时 h( x) 在 (1,??) h?( x) ? 0 , 上为减函数,所以当 x ? 1 时, h( x) 取极大值 h(1) ? ?

1 2 ? 1 ? ,令 h( x) ? 0 ,即 3 3

1 ? x 3 ? x ? 0 ,解得 x ? 0 或 x ? 3 ,由函数 h( x) 的图像知: 3 2 ?当 m ? 时,函数 y ? m 和函数 y ? h( x) 无交点; 3 2 ?当 m ? 时,函数 y ? m 和函数 y ? h( x) 有且仅有一个交点; 3 2 ?当 0 ? m ? 时,函数 y ? m 和函数 y ? h( x) 有两个交点; 3

④当 m ? 0 时,函数 y ? m 和函数 y ? h( x) 有且仅有一个交点。

2 2 时,函数 g ( x) 无零点;当 m ? 或 m ? 0 时,函数 g ( x) 有且 3 3 2 仅有一个零点,当 0 ? m ? 时,函数 g ( x) 有两个零 3
综上所述,当 m ? 点????????????????????8 分

f (b) ? f (a) ? 1 恒成立,等价于 f (b) ? b ? f (a) ? a 恒成立,设 b?a m ? ( x) ? f ( x) ? x ? ln x ? ? x( x ? 0), 则 ? ( x) 在 (0,??) 上单调递减, x 1 m 所以 ? ?( x ) ? ? 2 ? 1 ? 0 在 (0,??) 上恒成立, x x 1 2 1 1 2 2 所以 m ? ? x ? x ? ?( x ? ) ? 在 (0,??) 上恒成立,因为 x ? 0,? x ? x ? ,所以 2 4 4 1 1 1 m ? ,当且仅当 x ? 时, m ? ,所以实数 m 的取值范围是 4 2 4
(III)对任意 b ? a ? 0,

?1 ? ,?? ? ? ?4 ?

???????????????????????12 分 , ??D ? ?E , ∥

? AC 是⊙ O1 的切线, ??BAC ? ?D , A C ?? E 22. (I) 证明: 连接 AB , 又? ?B

? AD
EC ???????????????????????????????????5 分

(II)解:设 BP ? x , PE ? y , ? PA ? 6 , PC ? 2 ,? xy ? 12 ①

? AD ∥ EC ,?

9? x 6 DP AP ? ,? ② ? y 2 PE PC

? x ? 3 ? x ? ?12 由①②可得 ? 或? (舍去). ??????????????????8 分 ? y ? 4 ? y ? ?1
? DE ? 9 ? x ? y ? 16 , ? AD 是⊙ O2 的切线,? AD2 ? DB ? DE ? 9 ? 16 ? 144 ,

?AD ?12 ??????????????????????????????10 分
23. 解:对于曲线 M ,消去参数,得普通方程为 y ? x2 ? 1,| x |? 2 ,曲线 M 是抛物线的一 部分;对于曲线 N ,化成直角坐标方程为 x ? y ? t ,曲线 N 是一条直线. (1)若曲线 M , N 只有一个公共点,则直线 N 过点 ( 2,1) 时满足 要求,并且向左下方平行移动直到过点 (? 2,1) 之前总是保持只有一个公共点,再接着从过 点 (? 2,1) 开始向左下方平行移动直到相切之前总是有两个公共点,此时不合题意,所以

? 2 ? 1 ? t ? 2 ? 1 满足要求.

相 切 时 仍 然 只 有 一 个 公 共 点 , 由 t ? x ? x2 ? 1 , 得
x2 ? x ? 1 ?t 0 ?, ? 1 ?

5 ,求得 4 ?( 1 t ? ) ? 0t ? ? . 4
综 上 , 可 得 t 的 取 值 范 围 是 ? 2 ?1? t ? 2 ?1 或

5 t ? ? .??????????5 分 4
2 (2)当 t ? ? 2 时,直线 N : x ? y ? ?2 ,设 M 上的点为 ( x0 , x0 ? 1),| x0 |? 2 ,

则 曲 线
| x 2 ? x0 ? 1| d? 0 ? 2 1 3 ( x0 ? )2 ? 2 4?3 2, 8 2

M

上 的 点 到 直 线

N

的 距 离 为

当 x0 ? ?

1 时取等号,满足 | x0 |? 2 ,所以所求的最小距离为 2

3 2 .????10 分 8
24. 解: (1)由题意知 x ? 2 ? 6 ? x ? m ? 0 在 R 上恒成立,即 m ? x ? 2 ? 6 ? x 恒成立.
? x ? 2 ? 6 ? x ? ( x ? 2) ? (6 ? x) ? 8 (当且仅当 ( x ? 2)(6 ? x) ? 0即 ? 2 ? x ? 6 时等号成立) ?m ? ? ??,8? ........................................................................................................................5 分

(2)由(1)知 n ? 8 ,即

8 2 ? ?8, 3a ? b a ? 2b

3 1 1 8 2 ?2a ? b ? ? ? ? ( ? ) ?3a ? b? ? ? a ? 2b?? ?3a ? b? ? ?a ? 2b?? ? ? ? ? 2 2 16 3a ? b a ? 2b
? 1 8 2 1 9 2 ( 3a ? b ? ? a ? 2b ? ) 2 = (3 2) = 当且仅当 16 3a ? b a ? 2b 16 8

9 ? a ? 3b a? ? ? ? ? 20 即? 时等号成立 2 ? 8 3 ? ?8 ? ? b ? ? 3a ? b a ? 2b ? 20 ?

3 9 ? 2a ? b 的最小值是 . ........................ ........................ ....................................................10 2 8



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