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对数与对数函数 知识点与题型归纳


●高考明方向 1.理解对数的概念及其运算性质, 知道用换底公式能将一般 对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中 的作用. 2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数 函数图象通过的特殊点. 3.知道对数函数是一类重要的函数模型. 4.了解指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数 (a>0,且 a≠1). ★备考知考情 通过对近几年高考试题的统计分析可以看出,本节内 容在高考中属于必考内容,且占有重要的分量,主要以选 择题的形式命题,也有填空题和解答题.主要考查对数运 算、换底公式等.及对数函数的图象和性质.对数函数与 幂、指数函数结合考查,利用单调性比较大小、解不等式 是高考的热点. 一、知识梳理《名师一号》P27 注意: 知识点一 对数及对数的运算性质 1.对数的概念
1

一般地,对于指数式 ab=N,我们把“以 a 为底 N 的 对数 b”记作 logaN,即 b=logaN(a>0,且 a≠1).其中,数 a 叫做对数的底数,N 叫做真数,读作“b 等于以 a 为底 N 的对数”. 注意:(补充)关注定义---指对互化的依据 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)=logaM+logaN; M ②loga N =logaM-logaN; ③logaMn=nlogaM(n∈R); n ④logamMn=mlogaM. (2)对数的性质 ①alogaN=N;②logaaN=N (3)对数的重要公式 ①换底公式:logbN= ②logab= logaN (a,b 均大于零且不等于 1); logab

(a>0,且 a≠1).

1 ,推广 logab· logbc· logcd=logad. logba

注意:(补充)特殊结论: log a 1 ? 0,

log a a ? 1
2

知识点二 对数函数的图象与性质 1.对数函数的图象与性质(注意定义域!) a>1 0<a<1

2.反函数 指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数, 它们的图象关于直线 y=x 对称. (补充) 设 y=f(x)存在反函数,并记作 y=f-1(x),
3

1) 函数 y=f(x)与其反函数 y=f-1(x)的图象 关于直线 y ? x 对称. 2) 如果点 P(x0,y0)在函数 y=f(x)的图象上, 则必有 f-1(y0)=x0 , 反函数的定义域、 值域分别为原来函数的值域、 定义域. 3) 函数 y=f(x)与其反函数 y=f-1(x)的单调性相同. 二、例题分析: (一)对数式的运算 例 1.(1)《名师一号》P27 对点自测 1 (2013· 陕西文 3)设 a,b,c 均为不等于 1 的正实数,则 下列等式中恒成立的是( ) A.logab· logcb=logca B.logab· logca=logcb C.loga(bc)=logab· logac D.loga(b+c)=logab+logac

解析 由对数的运算性质:loga(bc)=logab+logac, 可判断选项 C, D 错误; 选项 A, 由对数的换底公式知, lgb lgb lga logab· logcb = logca? · = ?lg2b = lg2a ,此式不恒成 lga lgc lgc 立,故错误;对选项 B,由对数的换底公式知,logab· logca
4



lgb lga lgb · = =logcb,故恒成立. lga lgc lgc 答案 B

例 1.(2) (补充) 计算下列各式的值 (1)

2lg 2 ? lg 3 ? 1 1 1 ? lg 0.36 ? lg8 2 3

(2) 温故知新 P22 第 8 题

? lg 5?
(3) log 2

2

? lg 2 ? lg 50 ? 4log2 3 ?

1 1 1 ? log3 ? log5 ? 25 8 9

答案:(1) 1 (2)10 (3)-12 注意: 准确熟练记忆对数运算性质

lg2 ? lg5 ? 1

多练

《名师一号》P28 高频考点 例 1 【规律方法】 在对数运算中,要熟练掌握对数式的 定义,灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式 对式子进行恒等变形,多个对数式要尽量化成同底的形式.
5

例 2.(1)《名师一号》P27 对点自测 2 (2014· 陕西卷)已知 4a=2,lgx=a,则 x=________. 1 1 ∵4a=2,∴a=log42= .由 lgx= , 2 2 1 2 得 x=10 = 10.

解析

例 2.(2) 《名师一号》P28 高频考点 例 1(1) 若 x=log43,则(2x-2-x)2 等于( ) 9 5 10 4 A. B. C. D. 4 4 3 3

解析:由 x=log43,得 4x=3, 3 即 2x= 3,2-x= , 3 ?2 3?2 4 ?= . 所以(2x-2-x)2=? ? 3 ? 3 注意:指数与对数的互化 ab=N?b= loga N (a>0,a≠1,N>0).
6

a b 练习:(补充)已知 3 ? 5 ? k ,

1 1 ? ? 2求 k a b

答案: k ? 15 例 3.《名师一号》P28 高频考点 例 1(2) ?log2x,x>0, 1? ? 已知函数 f(x)=? -x 则 f(f(1))+f?log32?的值 ? ? ?3 +1,x≤0, 是( ) 7 A.5 B.3 C.-1 D. 2

因为 f(1)=log21=0,所以 f(f(1))=f(0)=2. 1 -log3 2 1? 1 ? 因为 log3 <0,所以 f?log32?=3 +1 2 ? ? log32 =3 +1=2+1=3.

7

1? ? 所以 f(f(1))+f?log32?=2+3=5. ? ? 二、对数函数的图象及性质的应用 例 1. (补充) 求下列函数的定义域.

(1)y= log0.5(4x-3). (2)y=log(x+1)(16-4x).

?log0.5(4x-3)≥0 解析:(1)由函数定义知:? ?4x-3>0 ?4x-3≤1 ∴? ?4x-3>0, 3 即 <x≤1. 4

3 故原函数的定义域是{x| <x≤1}. 4

?x+1>0 (2)由函数有意义知?x+1≠1 ?16-4x>0
8

?x>-1 ∴?x≠0 ?x<2
练习:

即-1<x<2,且 x≠0.

故原函数的定义域为{x|-1<x<0,或 0<x<2}. 已知集合 x y ? log 2 x ? ax ? a
2

?

?

?? ? R

求实数 a 的取值范围. 解析:设 f(x)=x2-ax-a,则 y=log2f(x), 依题意,f(x)>0 恒成立,∴ Δ=a2+4a<0 ∴ -4<a<0,即 a 的范围为(-4,0)

例 2.《名师一号》P27 对点自测 5 (2014· 重庆卷)函数 f(x)=log2 x· log 为________.

2

(2x)的最小值

9

解析

根据对数运算性质, f(x) = log2 x · log

2

(2x)

1 = log2x· [2log2(2x)] = log2x(1 + log2x) = (log2x)2 + log2x = 2 1? 1 2 1 ? ?log2x+2?2- ,当 x= 时,函数取得最小值- . ? ? 4 2 4 注意: 换元后“新元”的取值范围.

练习: 1、求下列函数的值域 (1)y=log1(-x2+2x+4)
5

[答案]

[-1,+∞)

?1 ? 2 2 (2)f(x)=log2x-3log2x +2? ≤x≤2? ?2 ? 1 [解析] 令 t=log2x,∵ ≤x≤2∴-1≤t≤1. 2 2 ∴函数化为 y=t -6t+2=(t-3)2-7 ∵-1≤t≤1. 1 ∴当 t=-1,即 x= 时,ymax=9. 2 当 t=1,即 x=2 时,ymin=-3, ∴函数的值域为[-3,9].
10

2、已知集合 y y ? log 2 x ? ax ? a
2

?

?

?? ? R

求实数 a 的取值范围. [分析]当且仅当 f(x)=x2-ax-a 的值能够取遍一切正实数 时,y=log2(x2-ax-a)的值域才为 R. 而当Δ<0 时,f(x)>0 恒成立,仅仅说明函数定义域为 R, 而 f(x)不一定能取遍一切正实数(一个不漏).要使 f(x)能取 遍一切正实数,作为二次函数,f(x)图像应与 x 轴有交点(但 此时定义域不再为 R) [正解] 要使函数 y=log2(x2-ax-a)的值域为 R, 应使 f(x) =x2-ax-a 能取遍一切正数,要使 f(x)=x2-ax-a 能取 遍一切正实数,应有Δ =a2+4a≥0,∴a≥0 或 a≤-4, ∴所求 a 的取值范围为(-∞,-4]∪[0,+∞)

例 3. (1) 《名师一号》P27 对点自测 4 已知 a>0 且 a≠1,则函数 y=loga(x+2 015)+2 的图 象恒过定点________.

11

解析 令 x+2 015=1,即 x=-2 014 时,y=2,故其 图象恒过定点(-2 014,2).

练习: 无论 a 取何正数(a≠1),函数 y ? log a ? x ? 3? ? 3 恒过定点 【答案】 ? 4, 3 ? 注意: 对数函数 y ? loga x ? a ? 0, 且a ? 1? 图象都经过定点(1, 0)

例 3. (2) (补充) 如右下图是对数函数① y=logax,② y=logbx, ③ y=logcx,④ y=logdx 的图象,则 a、b、c、d 与 1 的大小关系是 ( )

A.a>b>1>c>d B.b>a>1>d>c C.1>a>b>c>d D.a>b>1>d>c

12

【答案】B 在上图中画出直线 y=1,分别与① 、② 、③ 、④ 交于 A(a,1)、 B(b,1)、C(c,1)、D(d,1),由图可知 c<d<1<a<b. 注意:(补充) 两个单调性相同的对数函数, 它们的图象在位于直线 x=1 右侧的部分是“底大图低”. 利用 log a a ? 1
,图象都经过

? a ,1? 点,作直线 y ? 1 ,

则该直线与图象的交点的横坐标即为底数 a 。 例 3.(3) 《名师一号》P28 高频考点 例 2(1) (2014· 福建卷)若函数 y=logax(a>0, 且 a≠1)的图象如图所示, 则下列函数图象正确的是( )

A 答案: B.

B

C

D

例 4.《名师一号》P28 高频考点 例 3 已知函数 f(x)=log4(ax2+2x+3).
13

(1)若 f(1)=1,求 f(x)的单调区间; (2)是否存在实数 a,使 f(x)的最小值为 0? 若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

解析:(1)∵f(1)=1, ∴log4(a+5)=1,因此 a+5=4,a=-1. 这时 f(x)=log4(-x2+2x+3). 由-x2+2x+3>0 得-1<x<3, 函数 f(x)的定义域为(-1,3). 令 g(x)=-x2+2x+3, 则 g(x)在(-1,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减. 又 y=log4x 在(0,+∞)上单调递增, 所以 f(x)的单调递增区间是(-1,1), 单调递减区间是(1,3). (2)假设存在实数 a 使 f(x)的最小值为 0, 则 h(x)=ax2+2x+3 应有最小值 1, ?a>0, ? 因此应有?3a-1 =1, ? ? a 1 解得 a= . 2
14

1 故存在实数 a= 使 f(x)的最小值为 0. 2 练习:温故知新 P32 第5题

三、比较大小 例 1.《名师一号》P29

特色专题 典例 ,则( ) D.c>a>b

A.a>b>c

B.b>a>c

C.a>c>b

【规范解答】 方法 1:在同一坐标系中分别作出函数 y=log2x,y= log3x,y=log4x 的图象,如图所示.

10 由图象知:log23.4>log3 >log43.6. 3
15

10 10 方法 2:∵log3 >log33=1,且 <3.4, 3 3 10 ∴log3 <log33.4<log23.4. 3 10 ∵log43.6<log44=1,log3 >1, 3 10 ∴log43.6<log3 . 3 10 ∴log23.4>log3 >log43.6. 3 x 由于 y=5 为增函数,

故 a>c>b. 注意: 《名师一号》P28 问题探究 问题 3 比较幂、对数大小有两种常用方法: ①数形结合;②找中间量结合函数单调性. 练习: 1、若 0<x<y<1,则( A.3y<3x

) B.logx3<logy3
16

C.log4x<log4y

?1? ?1? D. ?4?x<?4?y ? ? ? ?

解析:∵0<x<y<1, ①由 y=3u 为增函数知 3x<3y,排除 A; ②∵log3u 在(0,1)内单调递增, ∴log3x<log3y<0,∴logx3>logy3,∴B 错. ③由 y=log4u 为增函数知 log4x<log4y, ∴C 正确. ?1? ?1? ?1? ④由 y=?4?u 为减函数知?4?x>?4?y,排除 D. ? ? ? ? ? ? 答案:C 2、对于 0<a<1,给出下列四个不等式 1 ①loga(1+a)<loga(1+a); 1 ②loga(1+a)>loga(1+a); 1 1 1+a 1+a ③a1+a<a ;④a1+a>a . 其中成立的是( ) A.①与③ B.①与④ C.②与③ D.②与④
17

答案:D 1 1 解析:由于 0<a<1?a<a?1+a<1+a, 1 1+a 1 ∴loga(1+a)>loga(1+a),a1+a>a . ∴选 D.

四、对数方程与不等式 例 1.(1)(补充) 方程 log3(x2-10)=1+log3x 的解是___.

[答案]

x=5

[解析] 原方程化为 log3(x2-10)=log3(3x),由于 log3x 在(0,+∞)上严格单增,则 x2-10=3x,解之得 x1=5,x2 =-2.∵要使 log3x 有意义,应有 x>0,∴x=5. 注意: 依据对数函数恒单调求解。

18

例 1.(2) 温故知新 P32 第 9 题 ? ?log 2 x ? x ? 0 ? 已知函数 f ? x ? ? ? x ,且关于 x 的方程 ? ?3 ? x ? 0 ? f ? x ? ? x ? a ? 0 有且只有一个实根,则实数 a 的取值 范围是

练习:温故知新 P31 温故知新 P29

第 5、6 题 第 10 题

例 2.(1) (补充)已知 0<a<1,loga(1-x)<logax 则( 1 1 1 A.0<x<1 B.x< C.0<x< D. <x<1 2 2 2

)

分析:底数相同,真数不同,可利用对数函数 y=logax 的 单调性脱去对数符号转化为整式不等式求解. 解析:∵0<a<1 时,y=logax 为减函数,

?1-x>0 ∴原不等式化为?x>0 ?1-x>x

1 ,解得 0<x< . 2
19

例 2.(2)(补充) 设 0<a<1,函数 f(x)=loga(a2x-2ax-2),则使 f(x)<0 的 x 取值范围是( ) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,loga3) D.(loga3,+∞)

解析:∵0<a<1 ∴loga(a2x-2ax-2)<0 即 a2x-2ax-2>1 ∴a2x-2ax-3>0 ∴ax>3 或 ax<-1(舍) ∴x<loga3,故选 C. 注意: 关于含对数式(或指数式)的不等式求解, 一般都是用单调性或换元法求解. 例 2.(3) 《名师一号》P28 高频考点 例 2(2) 1 当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是( ) 2 ? ? 2 ? 2? A.?0, ? B.? ,1? C.(1, 2) D.( 2,2) 2 2 ? ? ? ?

20

1? ? 解析: 由题意得, 当 0<a<1 时, 要使得 4x<logax?0<x≤2?, ? ? 1 即当 0<x≤ 时,函数 y=4x 的图象在函数 y=logax 图象的 2 下方. 1 2 1 ?1 ? 又当 x= 时, 4 =2, 即函数 y=4x 的图象过点?2,2?, 2 ? ? 2 ?1 ? 把点?2,2?代入函数 y=logax,得 a= ,若函数 y=4x 的 ? ? 2 2 图象在函数 y=logax 图象的下方,则需 <a<1(如图所示). 2

当 a>1 时,不符合题意,舍去. ? 2 ? 所以实数 a 的取值范围是? ,1?. ?2 ? 答案: B. 练习:当 x ? (1, 2) 时,不等式 ( x ?1)2 ? loga x 恒成立,则实数
21

a 的取值范围是_____________。

分析: 若将不等号两边分别设成两个函数, 则左边为二次函数,图象是抛物线, y 右边为常见的对数函数的图象, 故可以通过观察图象求解。 解:设 f1 ( x) ? ( x ?1)2 , f 2 ( x) ? loga x 1 , 则 f1 ( x) 的图象为右图 0 所示的抛物线,要使对一切 x ? (1, 2) , f1 ( x) ? f 2 ( x) 恒成立, a ? 1 , 观察图象得:

y1=(x-1 )2 y2=loga x

P

2(2,1)

x

?log 2 ? 1 只需 f 2 (2) ? f1 (2) 即可。故 ? a , ?a ? 1 ? 取值范围是 ?a 1 ? a ? 2? 。
变式: 《名师一号》P28 变式思考 2(2) 不等式 logax>(x-1)2 恰有三个整数解,则 a 的取值范 围为( ) A. [ 16 5, 9 4] B. [ 16 5, 9 16 9 4)C. (1, 5] D. (1, 4]
22

解析:不等式 logax>(x-1)2 恰有三个整数解,画出示意 图可知 a>1,其整数解为{2,3,4}, 2 ?loga4>?4-1? , 16 9 则应满足? 得 5≤a< 4. 2 ?loga5≤?5-1? ,

答案:B

五、反函数的概念 例 1. (补充)已知函数 f(x)=2x+1(x≥0),记 f(x)的反函数为 5 f-1(x),那么 f-1( )=( ) 4 5 1 A. B. 4 C. D.-2 4 4

分析: 利用函数 f(x)及其反函数 f-1(x)的关系求解.
23

5 5 解析:设 f-1( )=a,则 f(a)= , 4 4 5 ∴2a+1= ,∴a=-2. 4 注意: 如果点(a,b)在反函数 y=f-1(x)的图象上, 则点(b,a)在原来函数的图象上; 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称 例 2. (补充)函数 y=lg(x+1)的反函数的图象为(

)

解析:∵函数 y=lg(x+1)的图象过点(0,0),故反函数图象 过点(0,0),排除 A、B、C,选 D.

24

练习: 如果一个点是一个指数函数的图象与一个同底的对 数函数图象的公共点,那么称这个点为“世博点”.在下 1 面的五个点 M(1,1),N(1,2),P(2,1),Q(2,2),G(2, )中, 2 “世博点”的个数为( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

[答案] B [解析 ] ∵指数函数与同底的对数函数的图象关于直 线 y=x 对称,故若它们有交点,则交点一定在直线 y=x 上,而 M(1,1)不适合题意,故只有点 Q 满足题意. 计时双基练 P226 培优第 1 题 六、指数、对数函数的综合问题 第 11 周周练第 13 题 设 a ? 1 , 则当 y ? a x 与 y ? loga x 两个函数图像有且只有一 个公共点时, ln ? ln a ? ?

答案:-1 第 11 周周练第 10 题
25

课后作业 一、 计时双基练 P225 基础 1-9 课本 P28 变式思考 1、2、3; 二、 计时双基练 P226 基础 10、11;培优 1-4 课本 P29 对应训练 1、2 预习 第二章 第五节 幂函数与二次函数 补充 练习 1:已知函数 y ? 4 x ? 3 ? 2 x ? 3 的值域 为 ?1,7? ,则 x 的范围是( ) A. ?2,4? B. (??,0) C. (0,1) ? ?2,4? D. ?? ?,0? ? ?1,2?

答案:D 练习 2: 已知方程 9x-2·3x+3k-1=0 有两个实数解,试求实 数 k 的取值范围.

26

[解析]

令 t=3x,则 t>0.原方程有两个实数解,即方

程 t2-2t+3k-1=0 有两个正实数解,则

?Δ=(-2) +4(3k-1)≥0 ?t +t =2>0 ?t t =3k-1>0
1 2 1 2

2



1 2 解得 <k≤ . 3 3 练习 3:
2 2 2 1 1 对任意的 x ? R, ( )(4 m?5) x ? 4 x ?3 ? ( ) 4 mx ? m x 恒成立,求 m 的范 3 3 围.



1 ?1 由 题 意 即 对 3 x ? R,(4m ? 5) x2 ? 4x ? 3 ? 4mx ? m2 x2 恒成立 即对任意的 x ? R,



0?







(m2 ? 4m ? 5) x2 ? (4 ? 4m) x ? 3 ? 0 恒成立

27

? ? m 2 ? 4m ? 5 ? 0 m 2 ? 4m ? 5 ? 0 ?? 或 ? 2 2 ?? ? (4 ? 4m) ? 12(m ? 4m ? 5) ? 0 ? 4 ? 4m ? 0
?m ? 1或m ? ?5 ?m ? 1或m ? ?5 ? ?? 或? m ?1 ? 1 ? m ? 19 ? ? ?1 ? m ? 19

练习 4:已知函数 y ?

1? x ? lg(3 ? 4 x ? x 2 ) 的定义域为 M , 1? x

(1)求 M (2)当 x ? M 时,求 f ( x) ? a ? 2 x?2 ? 3 ? 4 x (a ? ?3) 的最小 值.
?1 ? x ? 0且x ? 1 ? 解 (1) 由题可得 ?1 ? x ?3 ? 4 x ? x 2 ? 0 ?
可解得M ? [ ?1,1)
x?2 x (2)? f ( x) ? a ? 2 ? 3? 4 2a 4 = 3(2 x ? ) 2 ? a 2 3 3 1 x ?[?1,1) , ? 2 x ? 2 ,, 2

28

a ? ?3 ,? ?

2a ?2 3

2a 1 3 3 ? ,即 a ? ? 时, f ( x)min = f (?1) = 2a ? , 3 2 4 4 1 2a 3 ? 2 ,即 ?3 ? a ? ? 时, ②若 ? ? 2 3 4 2 2a 4 所以当 2 x ? ? a, 即 x ? log 2 (? ) 时, f ( x)min = ? a 2 3 3 3 3 3 ? 2a ? (a ? ? ) ? ? 4 4 ? f ( x) min ? ? ?? 4 a 2 (?3 ? a ? ? 3 ) ? 4 ? 3 练习: 1 1、不等式 x2-logax<0 在 x∈(0, )时恒成立,则 a 的取值 2 范围是( ) 1 A.0<a<1 B. ≤a<1 16 1 C.a>1 D.0<a≤ 16

①若 ?

解析:我们没有学过如何解答这类不等式,但我们熟 知函数 y=x2 与 y=logax 的图象与性质, 因此可在同一坐标 系中,画出此二函数的图象借助图象进行讨论,在同一坐
29

1 标系中画出 y=x2,x∈(0, )与 y=logax 的图象, 2 0<a<1, ? ? 1 由图象易得? 即 ≤a<1.故选 B. 1 12 16 log ≥? ? , ? ? a2 2

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