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四川省雅安市重点中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题 文


雅安中学 2014—2015 学年高二年级下期期中 数学试题(文史类)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试时间 120 分 钟。考试结束后,将答题卷和机读卡一并收回。 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个 是符合题目要求的。 2 1. 已知集合 A={-2,0,2},B={x|x -x-2=0},则 A∩B=( ) A.{2} B.{-2} C.{0} D. ?

(1 ? i) 2 ?( 2. 复数 2i
A. 1

)

B. - i

C. i

D.-1

3. 函数 y ? A. [ ,?? )

2x ? 3 的定义域是( x?2
3 2

) C. ( ,2) ? ?2,???

3 2

B. [ ,2) ? ?2,??? )

3 2

D. (??, 2)∪(2, ? ?)

4. 函数 y= x ? 1 - x - 1 的值域为( A. (-∞, 2 ) B. (0, 2 ]

C. [ 2 ,+∞)

D. [0,+∞)
y D

5. 如图,正方形 ABCD 的顶点 A(0,

2 2 ),B( ,0),顶点 C,D 位于第一 2 2

象限,直线 l :x=t( 0 ? t ? 2 )将正方形 ABCD 分成两部分,设位于直线 l 左 侧部分(阴影部分)的面积为 f(t),则函数 S=f(t)的图象大致是( )

A

C

O

l

B

2

x

S 1 O
A.

S 1

S 1

S 1

2

t

O
B.

2

t

O
C.

2

t

O
D. )

2

t

6.函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ? x ? 2? ? 13 ,若 f ?1? ? 2 ,则 f ? 99? ? (

1

A.

13 2

B.

2 13

C. 13

D. 2

7. 已 知 某 生 产 厂 家 的 年 利 润 y ( 单 位 : 万 元 ) 与 年 产 量 x ( 单 位 : 万 件 ) 的 函 数 关 系 式 为

1 y ? ? x3 ? 81x ? 234 ,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( 3
A.13 万件 B. 11 万件 ) C.9 万件

) D. 7 万件

8. 下列命题错误 的是( ..

A. 命题 “若 m ? 0 ,则方程 x 2 ? x ? m ? 0 有实根” 的逆否命题为: “若方程 x 2 ? x ? m ? 0 无实根, 则 m ? 0 ”.
2 B. “ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件.

C.命题“若 xy ? 0 ,则 x, y 中至少有一个为零”的否定是:“若 xy ? 0 ,则 x, y 都不为零”.
2 2 D.对于命题 p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ;则 ? p 是 : ?x ? R ,均有 x ? x ? 1≥ 0 .

?a x , ( x ? 1) ? 9. 若函数 f ( x) ? ? 是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围是( a ( 4 ? ) x ? 2 , ( x ? 1 ) ? 2 ?
A. (1,+∞) B. (1,8) C. (4,8) D. [4,8)



10. 设 奇 函 数 f ( x)在[?1,1] 上 是 增 函 数 , 且 f (?1) ? ?1, 若函数f ( x) ? t 2 ? 2at ? 1 对 所 有 的

x ? [?1,1] 都成立,当 a ? [?1,1] 时,则 t 的取值范围是(
A. ? 2 ? t ? 2 B. ?

) D. t ?

1 1 ?t? 2 2

C. t ? 2或t ? ?2或t ? 0

1 1 或t ? ? 或t ? 0 2 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11. 两个不同函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? 1与g ( x) ? x 2 ? x ? a(a 为常数)的定义域都是 R,如果它们 的值域也相同,则 a =______________. 12.函数 f ? x ? ? x ? 3x ? 2 在区间 ??1,1? 上的最大值为_____________.
3 2

13. 函数 y ? log3 ( x ? 2x) 的单调递减区间是_____________________.
2

14. 若函数 f(x) ? x 3 - ax 2 - 2ax ? a 2 - 1 在其定义域内不存在递减区间,则实数 a 的取值范围是 ________________.
2 15.已知函数 f ( x) ? x ? cos x ,则 f (?0.5) , f (0) , f (0.6) 的大小关系是_______________.

2

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知 A ? { x | x 2 ? 6x ? 8 ? 0} , B ? { x | ( x ? a)( x ? 3a) ? 0},( a ? 0) (Ⅰ)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围.

17. (12 分)已知奇函数 f ( x) 在定义域[-2,2]上是减函数, 且 f (1 ? a) ? f (1 ? a ) ? 0 , 求实数 a
2

的取值范围.

18.(12 分) 已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 f ( x) ; (Ⅱ)若

1 3 4 x ? ax ? b(a, b ? R) 在 x ? 2 处取得极小值 ? . 3 3

1 3 10 x ? ax ? b ? m 2 ? m ? 对 x ? [?4,0] 恒成立,求 m 的取值范围. 3 3

19. (12 分) 函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, 且对任意实数 x, 都有 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1)成立. 已知当 x ? [1,2]时,f ( x) ? loga x.
3

( I )求 x ? [?1,1] 时,函数 f ( x) 的表达式; ( II )若 f (0) ? 1 ,在区间[-1,1]上,解关于 x 的不等式 f ( x) ?

1 . 2

20. (13 分)已知函数 f ( x) ? (I)求实数 a 的值;

a ? 2x ? a ? 2 是奇函数. 2x ?1

(II)求 f ( x) 在定义域上的单调性; (Ⅲ)若方程 f ( x) ? t 在 (??,0) 上有解,证明: ?

1 ? f (t ) ? 0 . 3

1 ? a ln x (a ? R) . x (Ⅰ)当 a ? 2 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性;
21. (14 分)设函数 f ( x) ? x ? (Ⅱ)若 f ( x ) 有两个极值点 x1 , x2 ,记过点 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )) 的直线斜率为 k .则是否存在 实数 a ,使得 k ? 2 ? a ?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由.

4

雅安中学 2014—2015 学年高二年级下期期中 数学试题(文史类) 参考答案 一选择题 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 B 5 C 6 A 7 C 8 C 9 D 10 C

二填空题 11、-5; 12、2; 13、 (??,0) ; 14、 [?6,0] ; 15、 f (0) < f (?0.5) < f (0.6) . 三解答题 16、解:A= {x | 2 ? x ? 4} ???????????????2 分 当 a=0 时 B= ? 当 a>0 时, B ? {x | a ? x ? 3a} ?????????????4 分 (Ⅰ) A ? B 时 (Ⅱ) 0 ? a ?

4 a ? [ ,2] ???????????????8 分 3

2 或a ? 4 . ????????????????12 分 3

17、解:实数 a 的取值范围为 [?1,1) .??????????12 分

? f / ( 2) ? 0 ? 18、解: (Ⅰ) f / ( x) ? x 2 ? a ,∴ ? 4, f ( 2 ) ? ? ? 3 ?
∴?

?a ? ?4 , ?b ? 4
1 3 x ? 4 x ? 4 . ????????????????6 分 3

∴ f ( x) ?

/ 2 / (Ⅱ) f ( x) ? x ? 4 ,令 f ( x) ? 0 有 x ? ?2 .

当 x ? [?4,0] 时, f ( x) 在 [?4,?2] 上递增,在 [?2,0] 上递减,

5

故 f ( x) 在 [?4,0] 上最大值 f ( ?2) ?
2 依题意, m ? m ?

28 , 3

10 28 ? ,即 m 2 ? m ? 6 ? 0 , 3 3

∴ m m ? 2或m ? ?3 .??????????????????12 分 19、解:(Ⅰ) f(x) ? {

?

?

loga (x ? 2)(-1? x ? 0) ??????????6 分 loga (-x ? 2)(0 ? x ? 1)

(Ⅱ) 由 f (0) ? 1 知 a ? 2 ???????????????8 分 解 f ( x) ?

1 得: 2 ? 2 ? x ? 2 ? 2 ?????????12 分 2

20、解:(Ⅰ)函数 f ( x) 定义域为 R ,且为奇函数, ∴ f (0) ? 0 ? a ? 1 此时, f ( x) ?

2x ?1 , 经检验知 f ( x) 为奇函数, 2x ?1

故 a ? 1 .?????????????????????????4 分 (Ⅱ) 在 (??,??) 上是增函数?????????????????8 分 (Ⅲ)由题意,方程 t ?

2x ?1 1? t x ? (??,0) 有解, ? 2 x ? x 1? t 2 ?1
1? t ? 1 ? ?1 ? t ? 0 ; 1? t

x ? (?? ,0) 有解

x 又 x ? (?? ,0) ? 2 ? (0,1) ? 0 ?

f (t ) ?

2t ? 1 1 ? f (t ) , ? 2t ? t 1 ? f (t ) 2 ?1



1 1 1 ? f (t ) ? 2t ? 1 ? ? ?1 2 2 1 ? f (t )

1 ? ? ? f (t ) ? 0 ??????????????????????13 分 3

6

21、(I) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? 1 ?

1 a x 2 ? ax ? 1 ? ? x2 x x2

令 g ( x) ? x2 ? ax ? 1 ,其判别式 ? ? a 2 ? 4 (1)当 a ? 0 时, ? ? 0 , f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增;

(2)当 a ? 2 时, ? ? 0 , g ( x) ? 0 的两根 x1 ?

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 , x2 ? 2 2

当 0 ? x ? x1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x1 ? x ? x2 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? x2 时, f ?( x) ? 0 , 故 f ( x ) 分别在 (0, x1 ) , ( x2 , ??) 上单调递增,在 ( x1 , x2 ) 上单调递减. ?????6 分 (II)由(I)知, a ? 2 . 因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ?

x1 ? x2 ? a(ln x1 ? ln x2 ) , x1 x2

所以 k ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ln x1 ? ln x2 1 , ? 1? ?a x1 ? x2 x1 x2 x1 ? x2 ln x1 ? ln x2 , x1 ? x2

又由(I)知, x1 x2 ? 1 ,于是 k ? 2 ? a

若存在 a ,使得 k ? 2 ? a ,则 即 ln x1 ? ln x2 ? x1 ? x2 . 亦即 x2 ?

ln x1 ? ln x2 ?1. x1 ? x2

1 ? 2 ln x2 ? 0 ( x2 ? 1) x2
1 t

(?)

再由(I)知,函数 h(t ) ? t ? ? 2 ln t 在 (0, ??) 上单调递增,而 x2 ? 1 , 所以 x2 ?

1 1 ? 2ln x2 ? 1 ? ? 2ln1 ? 0 ,这与 (?) 式矛盾. x2 1

故不存在 a ,使得 k ? 2 ? a. ?????????????????????14 分

7


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