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2.1.2指数函数及其性质


2.1.2指数函数及其性质

学习目标:
1.理解指数函数的概念,能画出具体指数函数 的图像,探索并掌握指数函数的性质. 2.在学习过程中体会具体函数及其性质的过程 和方法,如具体到一般的过程、数形结合的方法等.

学习重点:
指数函数的概念,指数函数的图像和性质

学习难点:
用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括 指数函数的图像特征和性质.

引例1:折纸游戏 学生每人拿出一张纸,动手折纸 , 观察对折次数x与所得纸的层数y的关系, 写出x与y的关系式.
对折一次 对折二次 对折三次 ………… 对折x次

4?2 3 8?2
2
x

2

2 对折次数x与所得纸的层数y的关系式为:

y?2

x

引例2:一尺之锤,日取其半,万世不竭. 一把长为1的木棍第1次截去它的一半,第2 次截去剩余部分的一半,第3次截去第2次剩余 部分的一半,……依次截下去,问截的次数x与 剩下的木棍长度y之间的关系式是什么.

次数

长度

1次
2次 3次 4次 x次

1 2 1 1 1 2 ? ? ( ) 2 2 2 1 2 1 1 3 ( ) ? ? ( ) 2 2 2 1 3 1 1 4 ( ) ? ? ( ) 2 2 2



截的次数x与剩下的木棍长度y之间的关系式是:
1 x y?( ) 2



1 x ?1 1 1 x ( ) ? ?( ) 2 2 2

自主思考:
这两个关系式是函数关系式吗?它们有什 么共同特征?底数是什么?指数是什么?能否 用一个统一的式子来表示?

都是指数幂的形式, 1 底数分别为2, , 2 指数均为x

y?2

x

1 x y ? ( ) 2
x

都可以表示成 y?a

我们把这种函数叫做指数函数.

指数函数的定义:
函数

y ? a (a ? 0且a ? 1)
x

叫做指数函数.

其中x是自变量,函数定义域是R .

合作探究1:讨论a的活动范围 (为什么要规定a>0,且a≠1呢?) 要使y=ax的x∈R,请思考:
(1)a=0时 ax能恒成立吗? 如不能,则

请举一反例说明.
(2)a=1时,ax等于什么?

(3)a<0时,ax能恒成立吗?如不能,则
请举一反例说明.

①若a=0, 则当x>0时,ax=0; 当x≤0时,ax无意义. ② 若a=1,则对于任何x∈R,ax=1,是一个常 量,没有研究的必要性. ③若a<0,则对于x的某些数值,ax可能无意义.
1 1 ,x= 如 (?2) ,这时对于x= 2 4
x

……等等,在实数范围内函数值不存在.

为了便于研究,规定:a>0 且a≠1.

合作探究2:指数函数的解析式

y ? a (a ? 0且a ? 1) 有什么特点?
x

指数函数

y ? a (a ? 0且a ? 1) 的特点:
x

(1)底数a为大于0且不等于1的常数. (2)指数为自变量x. (3)ax的系数为1.

练习:判断下列哪些是指数函数?

(1) y ? 4 (5) y ? 3

x

?x

(3) y ? (?4) (4) y ? ?4 x ?1 x 3x (8) y ? 2 (6) y ? 2 ? 3 (7) y ? 2
3 x x

(2) y ? x

(1),(5),(7)
?有些函数看起来不像指数函数,实际上却是, 如: ?x

(a ? 0, 且a ? 1) 1 x 1 1 因为它可以化为 y ? ( ) ( ? 0, 且 ? 1) a a a

y?a

又如: y ? a ( y ? a
bx

bx

? (a ) )
b x

例 1. 函数f ( x) ? (a 2 ? 3a ? 3)a x是指数函数,则( C )

A.a ? 1或a ? 2

B.a ? 1
D.a ? 0且a ? 1
x

C.a ? 2
( B) 则a的取值范围是

变式训练:函数 y ? (2a ? 3) 是指数函数,

3 A.a ? 2 3 C.a ? 2

3 B.a ? 且a ? 2 2

D.a ? 2

自主思考:
1.画函数图象的一般步骤是什么?
2.你能类比以前讨论函数性质时的思路,提出 研究指数函数性质的内容和方法吗? 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调 性、最大(小)值、奇偶性.

研究方法:画出函数的图象,结合图象 研究函数的性质.

例题:在同一坐标系中分别作出如下函数 的图像:

(1) y ? 2
(3) y ? 3
画图像的步骤:

x

1 x ( 2) y ? ( ) 2

x

1 x ( 4) y ? ( ) 3

⑴列表,⑵描点,⑶连线.

x

… -3 … 0.13

-2 0.25 4

-1 0.5 2

-0.5 0.71
8

0 1 1

0.5 1.4 0.71

1 2 0.5

2 4 0.25

3 8 0.13

… … …

1 x … 8 y?( ) 2

y ? 2x

1.4
7

f?x? =

x 2

6

5

g?x? = 0.5x

4

3

2

1

-6

-4

-2

2

4

6

观察上面图象,回答下列问题: 函数 y ? 2 与
x

1 x y?( ) 2

图象有什么关系 ?
答:关于y轴对称

x

… …

-2.5 0.06 15.6

-2 0.1 9

-1 0.3 3

-0.5
16

0 1 1

0.5 1.7 0.6

1 3 0.3

2 9 0.1

2.5 15.6 0.06

… … …

y ? 3x

0.6
14

1 y ? ( )x … 3

1.7

12

10

1x g?x? = 3

8

6

f?x? =

x 3

4

2

-10

-5

5

10

观察图象,回答下列问题:
1 x x y ? ( ) y ? 3 函数 与 3

图象有什么关系 ?
答:关于y轴对称

1x x q?x? = h ? x ? = 3 3
6 5 4

1x g?x? = 2

3

f?x? = 2x
当底数a (a ? 0且a ? 1) 取任意值时,指 数函数y=ax图象 是什么样?
2 4

2

1

-4

-2

合作探究3: 观察上面图象,回答下列问题:
问题一:图象分别经过哪几个象限?函数的定 义域和值域分别是什么? 四个图象都在第一、二象限. 定义域为R,值域为(0,+∞). 问题二:图象的上升、下降与底数a有关系吗? 函数的单调性是怎样的? 当底数a>1时图象上升;在R上单调递增. 当底数0<a<1时图象下降;在R上单调递减.

合作探究3: 观察上面图象,回答下列问题:
问题三:图象中有哪些特殊的点?
四个图象都经过点(0,1). 问题四:函数 y ? a (a ? 0且a ? 1) 与 1 x y ? ( ) (a ? 0, 且a ? 1) 图象有什么关系? a
x

关于y轴对称

y ? a (a ? 0且a ? 1)
x

a>1
6 5

0<a<1
6 5 4 3

图 象
1
-4 -2

4

3

2

2

1
1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

0
-1

2

4

6

定义域: 性 值域: 质 过点 在R上是

(??,??) (0,??)
,即
函数

时,

.
函数

在R上是

教你一招:(指数函数图像及其性质的形象概括)

左右无限上冲天, 永与横轴不沾边.

大1增,小1减, 图象恒过(0,1)点.

例2 : x 已知指数函数 f ( x) ? a (a ? 0, 且a ? 1) 的图象经过点(3,27),求f(0)、 f(1)、f(-2)的值.
解:将( 3, 27)代入f ( x) ? a x得: a ? 27, 所以a ? 3.所以f ( x) ? 3 .
3 x

1 变式训练:指数函数 y ? f ( x)的图像经过(- 3, ), 8 则f (2) ? 4

1 f (0) ? 3 ? 1, f (1) ? 3, f (-2) ?3 ? 9
0 -2

思考:本节课我们学了那些知识?
?指数函数的定义:函数y=ax(a>0,且a≠1)叫 做指数函数,其中x是自变量,函数定义域是 R.
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的特点: (1)底数a为大于0且不等于1的常数. (2)指数为自变量x. (3)ax的系数为1.

?指数函数的图象和性质:
a>1
6
6

0<a<1
5 4

5

图 象
-4 -2

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

0
-1

2

4

6

定义域:R

性 值域:(0,+∞) 质 过点(0,1),即x=0时,y=1.
在R上是增函数 在R上是减函数

1.函数 y ? a ? 2 a 是指数函数则a=3 .
x

2.下列函数是指数函数的是( C ).

A. y ? ?2

x

B. y ? 2
x

x ?1

C. y ? 2
?x

?x

D. y ? 1

x

x f ( x ) ? 2 3.已知 ,f ( x0 ) ? 2,则

x0 ?

1

.

4.函数 y ? 3 与 y ? 3 的图象关于下列哪条

直线对称(
A.x轴

B

).
B.y轴

C.直线y=x

D.直线y=-x

必做题:课本P581,3

选做题:课本P603
拓展延伸:

【思考题 】A先生从今天开始每天给你10万元,而
你承担如下任务:第一天给A先生1元,第二天给A先生2 元,,第三天给A先生4元,第四天给A先生8元,依次下 去,…,A先生要和你签定15天的合同,你同意吗?又A先 生要和你签定30天的合同,你能签这个合同吗?

谢谢大家!


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