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争鸣——问题


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2 0 0 7 年第 1 1 期 

数 学 通 讯 

3 1  

对 一 错 误 结 论 的 修 正 
王荣峰  
( 鸡西市一中 , 黑龙江 1 5 8 1 0 0 )  

中图分 类号 : 0 1 2—4 2  

文献标识码 : A 

文章编 号 : 0 4 8 8 —7 3 9 5 ( 2 0 0 7 ) 1 1 —0 0 3 1 —0 1  

文[ 1 ] 的实质是探 究满 足 A   UA : U… UA  =   { a   , a   , a 。 , …, a   }( 优, , z ∈N + ) 的 有 序 集 合 组  ( A   , A 2 , A 3 , …, A  ) 共 有 多少 个?解 决 本题 的 关 
键是 确定 平面上 的 m 个 圆最 多 可确定 多少个 互不 

互 不重叠 的区域 . 由于第 k +   1 个 圆和前 k个 圆最多 有 2 忌   个交 点 ( 不 同 于前 k个 圆 的  交点) , 且每 相邻 两个交 点都 
对应 一 个 新 增 区域, 所 以 

重叠的区域 , 臧 老师 是通过建立 a   +   与a k 间的递推  关系来解决 的 : 设前 k个 确定 a l e 个 区域 , 当增加 一  个圆时 , 它将前 a   个 区域分成两部 分再 加上 自 身的  


a 川 =a k + 2 k , 分别令 k =1 ,   2 , 3 , …, 优 一1 , 可得 到 m 一1  

图 1 圆 

个区域 , 所 以有 a k +   =2 a ^ +1 , 又口   =1 , 进而 求 

个等式 , 叠 加得 : a  =a 1 +2 ( 1+2+3+… +优 一   1 ) . 又知 a   =1 ,o o o   a  =优 一m +1 , 故 平 面上 的 

出a k =2  ~1 , 故平面上 的 m 个 圆最多可确定 a  =  

2  一1 个互 不重叠 的 区域 , 再 由对应 思想求 出满 足  A   UA   U… UA  ={ a   , a   , a 。 , …, a   } 的集 合组 
( A   , A2 , A3 , …, A  ) 共有 ( 2  一1 )  .  

优 个圆最多能确定 优   一优 +1 个互 不重叠 的 区域 ,   从而可知满 足 A   UA: U… UA  = { a   , a   , a   , …,  

a   } 的集合组 ( A   , A2 , A 3 , …, A   ) 有( m  一优 +  
1 )  个 .  

上述结论是 错误 的 !易知 a  =2  一1对 优 =   1 , 2 , 3 均 成立 , 但 当 优 =4时, 如图 1 , 可知 4个 圆最 

多 只能确定 1 3个互不重叠 的 区域 , 而不是 2 4 —1 =   l 5 区域 , 故递推关系 a   + 1 =2 a   +1 是不正确 的 !  
设平面 上的 k( k ∈N+) 个 圆最 多可确定 m 个 

参考 文献 :  

[ 1 ] 臧洪 君 . 一 道 习题 的探 究 性教 学 , 数学通讯,  
2 0 0 7 ( 3 ) .  

奄.  

萎  

、  

{  

问 

题 

与任一向量平行得 n的   和  坐标均为 0 ; 6的. z  
和  坐标 均 为 0 ; c的   和  坐标 均 为 0 .  

问题 1 3 8 人教版高中数学第二册( 下B )  
P 4 2 习题 9 . 6第 1 题: 已知向量 n , 6 , c分别平行  于  轴、  轴 、  轴, 它们的坐标各有什么特点?   观点 1  n的 坐标不为 0 , 其余坐标均为 0 ;   6的y坐标不为 0 , 其余均为 0 ; c的 坐标不为 0 ,   其余均为 0( 这也是教师教学用书提供的答案) .   观点 2 视  轴、  轴、  轴也为向量 , 则 由O  

观点 3  z轴、  轴、  轴都是规定了原点, 正  方向和单位长度的直线 , 即数轴, 而现行教材中并  没有定义向量和数轴平行 , 只定义 了向量 和向量  平行以及向量和平面平行 , 故此题无法解答.   您认为 呢?   朱毅臻 ( 湖北省钟祥市胡集高中 4 3 1 9 1 1 )  

问题 1 3 9 笔者在解决有关球的体积问题 

收稿 日期 : 2 0 0 7 —0 3一l 3   作者简 介 : 王荣 峰( 1 9 7 1 一) , 男, 黑龙江省 双城市人 , 黑龙江鸡西市一 中高级教 师 , 学士 

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数 学 通 讯 

2 0 0 7 年第 1 1 期 

时, 常遇到以下计算问题却不能解决 :  
设 A, B, C 是半 径 为 1的球 面 上 的三 点 , 0   是球 心 ,  A O B=O t ,  B O C=口 ,  C O A =7 ( O t ,  

综 上可 知 , 观点 1 , 2 , 3 皆 为错误 观点 .  

李亚章 ( 浙江宁波镇海 中学 3 1 5 2 0 0 )  
选登 2   笔 者 认 为 给 出 的三 种 观 点 均 不 正 
确!  

口 , y∈( 0 , 2 兀 ) ) , 请求 出几何 体 O - A B C 的体积 
V( 。
, 

y ) ; 特别地, 请求 出 n =卢 =y=1 时 的体积 
(  

V( 1 , l , 1 ) . 笔 者猜测 V ( 。 , 卢 ’   ) =   。   。  
:   兀 . 1 。 ) 、  
j 

命题 S : A  ( AnB) 的正确含义为 : 集合 A  


定不是集合A   nB 的子集 , 是个假命题 , 因为若 

A  B则A  ( AnB) ; 命题  s为: 集合 A不一  定不是集合AnB 的子集 , 显然是个真命题 !  
王 荣峰 ( 黑龙 江省 鸡 西 市一 中 1 5 8 1 0 0 )  

甘志 国 ( 湖 北省 十堰 东风 一 中 4 4 2 0 0 1 )  

编 者按 : 从 选登 1 , 2可看 出 , 问题 出在 对 S的  

评 

析 

叙 述 不完整 , 不同的 理解 将得 到不 同的答 案 .  

I 问 题1 2 5 ]该 问 题 共 收 稿 2 0 篇 , 2 篇 认 为  
命题 S为真, 4篇认为命 题 S为假 , 1 4篇认 为 3   个观点均不正确, 其中 9 篇认为 S不是一个命题.  
有 的作 者认 为 S 是省 略 了全 称 量 词 的命 题 , 有的  

I 问题 1 2 6  该问 l 题 共 收 稿2 9 篇, 均 认为  
题 目本身有问题, 满足题设的三角形不存在. 来稿  前 5名作者是: 浙江永康 市芝英 中学俞和平, 湖北  宜昌十三中韩 山、 王斌 , 江苏张家港市 暨阳高级中   学罗建宇, 湖北黄梅县八角亭中学吴立华, 宝鸡职 
业技术 学院 师范部 白安 文 .  

作者认为应对 A, B增加限制条件才能使 S成为   命题. 来稿前 5名作者是: 湖北宜 昌兴山一 中高 昌   胜, 无锡市堰桥 中学魏建, 杭州凤起 中学章 润生,  
江西 赣 南教育学 院 曾菊华 , 四川 泸县 二 中李敏 、   选登 1 笔 者 以 为 , 要 判 断一 个 语 句 是 否 为 


选登 1 笔者认为观点 2 正确, 观点 1 的解法 
不完 整 、 观点 1 的解 法后 加 上 :  

s i r l A =s i n [ ( 2 A+C ) 一( A+C ) ]  
=s i n ( 2 A +C) c o s ( A +C)  


个命题, 或是判断一个命题是否为真命题, 都应 

注意区分“ 全称判 断” 与“ 特称判断” . 我们不妨先 
看一 看 以下 的两 个与 S相关 的命 题 及其 真假 、  

c o s ( 2 A +C) s i n ( A +C、  

命题 S , : “ 对任意集合 A 与B, 都有 A  ( A 
nB) ” .  



导 × ( 一 导 ) 一 ( 一 导 ) × 导  
一  



S 。 是一个全称判断, 其  S 1 为: “ 存在集合 
A 与 B, 使得 A  ( AnB) ” . 显然 , 若 A  B, 则A  

2 5’  

这与 s i n A 应大 于零 矛盾 , 故 本题应 无解 .   ( 高 昌胜 湖北省 宜 昌市兴 山一 中 4 4 3 7 1 1 )  

( AnB) , 故  S l 为真命题 , S 1 为假命题 .   命题 S 2 : “ 存在集合 A 与B, 使得 A  ( Af - )  
B) ” 、  

选登 2 笔者认为观点 1 与观点 2的解法都 
没有 什么 问题 , 问题 出现在 题 的本 身 . 题 中给 出 了   四个 条件 : ①A + B +C=丌 , ②0 <A <B< C, ③ 
c o s ( 2 A+C) =一   2 5 ④s i n B=   2 5 实 际 这 四个 条 



例如 , 取集合 A={ 0 , 1 } , B={ 1 , 2 } , 则 AnB  


{ 1 } , 此时有 A  ( A   n   B) . 所 以, S 2 为真命题 .  

注意到 S 2 是一个特称判断, 其  S 2 为: “ 对任意 
集合 A 与 B, 都有 A  ( AnB) ” , 1   S 2 是 一 个全 

件 不相容 , 即不 能 同时成立 . 这是 因为 : 由条 件 ① ,  

称判断 , 且易知  S 2 为假命题.   命题 , 是指可 以判断真假的语句. 由于原语句  S的陈述 中无法界定集合A 与集合 B的关系 , 因  此无法判断其真假 , 所 以 S不是命题. 但是 , 若将  S修改为全称判 断 S , , 则得 到假命题 ; 若将 S修 
改为特 称判 断 S 2 , 则得 到真命 题 .  

② , ④ 有 s i n B = 詈 <  s i n 号 , 所 以 0 < B < 号 ;  
由条件① , ②, ③有 c o s ( 2 a+C) =一   2 5>一 4   2 =  
c0s

荨 , 所 以 2 A + c < 等 , 9 , N B > -  ̄   , 得 出 矛 盾 .  
尚生陈 ( 陕西省延 安 市第 一 中学 7 2 7 4 0 0 )  

故条 件① , ②, ③, ④不 能 同时成立 .  


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