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3-三角函数和向量练习题

三角函数与向量的综合应用
题型一 【例 1】 三角函数与平面向量平行(共线)的综合 已知 A、B、C 为三个锐角,且 A+B+C=π.若向量→ p =(2-2sinA,cosA+sinA)与向量→ q =(cosA-

sinA,1+sinA)是共线向量 (Ⅰ )求角 A (Ⅱ )求函数 y=2sin2B+cos C-3B 的最大值 2

题型二 【例 2】

三角函数与平面向量垂直的综合 3? → 已知向量→ a =(3sinα,cosα),→ b =(2sinα,5sinα-4cosα),α∈ ( ,2π),且→ a⊥ b 2

(Ⅰ )求 tanα 的值 α ? (Ⅱ )求 cos( + )的值 2 3

题型三 【例 3】

三角函数与平面向量的模的综合

2 ? 2→ 已知向量→ a =(cosα,sinα), b =(cosβ,sinβ),|→ a -→ b |= 5.(Ⅰ )求 cos(α-β)的值;(Ⅱ )若- <β<0<α 5 2 0 5 ? < ,且 sinβ=- ,求 sinα 的值 0 2 13 9 0 3 1 8

题型四 【例 4】

三角函数与平面向量数量积的综合 ? → 设函数 f(x)=→ a· b .其中向量→ a =(m,cosx),→ b =(1+sinx,1),x∈ R,且 f( )=2.(Ⅰ )求实数 m 的 2

值; (Ⅱ )求函数 f(x)的最小值

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题型五 解斜三角形与向量的综合 【例 5】 A A A 已知角 A、B、C 为△ ABC 的三个内角,其对边分别为 a、b、c,若→ m =(-cos ,sin ),→ n =(cos , 2 2 2

A 1 → sin ),a=2 3,且→ m· n= 2 2 (Ⅰ )若△ ABC 的面积 S= 3,求 b+c 的值 (Ⅱ )求 b+c 的取值范围

【专题训练】 → 1.已知→ a =(cos40?,sin40?),→ b =(cos20?,sin20?),则→ a· b= A.1 B. 3 2 1 C. 2 D. 2 2 ( ) ( )

π π π 2.将函数 y=2sin2x- 的图象按向量( , )平移后得到图象对应的解析式是 2 2 2 A.2cos2x B.-2cos2x C.2sin2x D.-2sin2x

→ → → → →→ 3.已知△ ABC 中,AB= a ,AC= b ,若 a · b <0,则△ ABC 是 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.任意三角形





3 1 → 4.设→ a =( ,sin?),→ b =(cos?, ),且→ a∥ b ,则锐角?为 2 3 A.30? B.45? C.60? D.75?





3? 5.已知→ a =(sinθ, 1+cosθ),→ b =(1, 1-cosθ),其中 θ∈ (π, ),则一定有 2 → → → → → → A. a ∥ b B. a ⊥ b C. a 与 b 夹角为 45° D.|→ a |=|→ b|





π 6.已知向量→ a =(6,-4),→ b =(0,2),→ c =→ a +?→ b ,若 C 点在函数 y=sin x 的图象上,实数?=( 12 5 A. 2 3 B. 2 5 C.- 2 3 D.- 2



7. 由向量把函数 y=sin(x+ ? A. 6

5? )的图象按向量→ a =(m, 0)(m>0)平移所得的图象关于 y 轴对称, 则 m 的最小 ( 6 2? C. 3 5? D. 6



? B. 3

→ → → 8.设 0≤θ≤2π 时,已知两个向量OP1=(cosθ,sinθ),OP2=(2+sinθ,2-cosθ),则向量P1P2长度的最大值是( A. 2 B. 3 C .3 2 D.2 3



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9.若向量→ a =(cos?,sin?),→ b =(cos?,sin?),则→ a 与→ b 一定满足 A.→ a 与→ b 的夹角等于?-? → C.→ a∥ b → B.→ a⊥ b D.(→ a +→ b )⊥ (→ a -→ b)





10.已知向量→ a =(cos25?,sin25?),→ b =(sin20?,cos20?),若 t 是实数,且→ u =→ a +t→ b ,则|→ u |的最小值为( A. 2 B.1 C. 2 2 1 D. 2



→ =OA → +?(AB → +AC) → ,?∈ 11.O 是平面上一定点,A、B、C 是该平面上不共线的 3 个点,一动点 P 满足:OP (0, +∞),则直线 AP 一定通过△ ABC 的( A.外心 B.内心 ) C.重心 D.垂心

1 → 12.已知向量→ m =(sin?,2cos?),→ n =( 3,- ).若→ m∥ n ,则 sin2?的值为____________ 2 → =(2cos?,2sin?),OB → =(5cos?,5sin?),若OA· → OB → =-5,则 S 13.已知在△ OAB(O 为原点)中,OA △ AOB 的值为 _____________ ? 14.将函数 f(x)=tan(2x+ )+1 按向量 a 平移得到奇函数 g(x),要使|a|最小,则 a=____________ 3 3π → → → →→ → 15.已知向量 m =(1,1)向量 n 与向量 m 夹角为 ,且 m · n =-1.则向量 n =__________ 4 → AC → =BA· → BC → =k(k∈ 16.在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若AB· R) (Ⅰ )判断△ ABC 的形状 (Ⅱ )若 c= 2,求 k 的值

→ 17.已知向量→ m =(sinA,cosA),→ n =( 3,-1),→ m· n =1,且 A 为锐角 (Ⅰ )求角 A 的大小(Ⅱ )求函数 f(x)=cos2x+4cosAsinx(x∈ R)的值域

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18.在△ ABC 中,A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,已知向量→ m =(1,2sinA),→ n =(sinA,1+cosA),满足 ? → → m∥ n ,b+c= 3a.(Ⅰ )求 A 的大小;(Ⅱ )求 sin(B+ )的值 6

19.已知 A、B、C 的坐标分别为 A(4,0) ,B(0,4) ,C(3cosα,3sinα) → =|BC| → ,求角 α 的大小 (Ⅰ )若 α∈ (-π,0),且|AC|
2 →⊥ → ,求2sin α+sin2α的值 (Ⅱ )若AC BC 1+tanα

→ 20.△ ABC 的角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,→ m =(2b-c,a),→ n =(cosA,-cosC),且→ m⊥ n. (Ⅰ )求角 A 的大小 ? (Ⅱ )当 y=2sin2B+sin(2B+ )取最大值时,求角 B 的大小 6

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