高中数学直线、平面垂直的判定与性质专题

更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere

备课宝出品

专题

直线、平面垂直的判定与性质
考点精要

1．掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理. 2．掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理.

热点分析
线线垂直，线面垂直，面面垂直仍然是考查的重点和难点.

知识梳理
1．线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一 条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直.其中直线叫做平面的垂 线，平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足. 2．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都 垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 推论 1. 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于 这个平面. 推论 2. 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行. 3．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么两 个平面互相垂直. 4．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直 于它们交线的直线垂直于另一个平面． 5．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂 直，那么它也和这条斜线垂直. 6．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂 直，那么它也和这条斜线的射影垂直． 例题精讲: 例 1. 如图，棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形， B1C ? A1B （Ⅰ）证明：平面 AB1C ? 平面 A1BC1 ； （Ⅱ）设 D 是 AC 1 1 上的点，且 A 1B // 平面 B 1CD ，求 A 1 D : DC1 的值.

更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere

1

更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere

备课宝出品

例 2 在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是正方形， MA ? 平面 ABCD ， PD // MA ， E 、 G 、 F 分别为 MB 、 PB 、 PC 的中点，且 AD ? PD ? 2 MA . （I）求证：平面 EFG ? 平面 PDC ； （II）求三棱锥 P ? MAB 与四棱锥 P ? ABCD 的体积之比.

例 3 (1).已知： 如图， 在直三棱柱 ABC — A1 B1C1 中, AC ? BC ，D 为 AB 的中点． 求证： （Ⅰ） CD ? 平面AA1B1B ； （Ⅱ） BC1 ∥平面 DAC 1 .

SD ? 平面 ABCD ，E 是 SD 的中点． (2)如图， 四棱锥 S ? ABCD 的底面是正方形，

（Ⅰ）求证： SB // 平面 EAC ； （Ⅱ）求证： AC ? BE ．

(3)如图， 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中， 每个侧面均为正方形，D 为底边 AB 的中点，
E 为侧棱 CC1 的中点， AB1 与 A1B 的交点为 O .

A1 B1 O

C1

（Ⅰ）求证： CD ∥平面 A1 EB ；

E 2

更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere

A D B

C

更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere

备课宝出品

（Ⅱ）求证： AB1 ? 平面 A1 EB .

例 4(1)

一个直三棱柱的直观图及三视图如图所示， （其中 D 为 A1B1 的中点）
A B C C1 A1 D B1

(Ⅰ).求证： C1D ? 平面 ABB1 A1 (Ⅱ).当点 F 在棱 BB1 上的什么位置时， 有 AB1 ? 平面 C1DF ， 请证明你的结论 (Ⅲ).对 （2） 中确定的点 F ， 求三棱锥 B1 ? C1DF 的体积．

1 2 主视图 1 侧视图

1

2 俯视图

(2) 三 棱 柱 A B C ? A1 B1C1 中 ， 侧 棱 与 底 面 垂 直 ， ?ABC ? 90? ， A AB ? BC ? BB1 ? 2 ， M , N 分别是 AB ， AC 1 的中点． M B C （Ⅰ）求证： MN || 平面 BCC1 B1 ； （Ⅱ）求证： MN ? 平面 A1 B1C ； （Ⅲ）求三棱锥 M ? A1 B1C 的体积． N

A1 B1 C1

?ABC ? 60?, PA ? 平面 ABCD， (3)如图： 在四棱锥 P ? ABCD 中， 底面 ABCD 是菱形，

点 M , N 分别为 BC, PA 的中点，且 PA ? AB ? 2 .

P

N 更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere A

3
C

D
D

B

M

更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere

备课宝出品

(I) 证明： BC ⊥平面 AMN ； (II)求三棱锥 N ? AMC 的体积； (III)在线段 PD 上是否存在一点 E， 使得 NM / / 平面 ACE ； 若存在， 求出 PE 的长； 若不存在，说明理由.

例 5 ． 三棱柱 ABC ? A1B1C1 中， CC1 ? 平面 ABC ， ?ABC 是边长为 2 的等边三 角形， D 为 AB 边中点，且 CC1 ? 2 AB ． （Ⅰ）求证：平面 C1CD ? 平面 ABC ； （Ⅱ）求证： AC1 / / 平面 CDB1 ； （Ⅲ）求三棱锥 D ? CBB1 的体积．
C1 B1

A1

C D A

B

例 6 ． 如图 1， 在三棱锥 P ? ABC 中，PA ? 平面 ABC ，AC ? BC ，D 为侧棱 PC 上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图 2 所示. （Ⅰ）证明： AD ? 平面 PBC ；

更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere

4

更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere

备课宝出品

（Ⅱ）求三棱锥 D ? ABC 的体积； （Ⅲ） 在 ?ACB 的平分线上确定一点 Q ， 使得 PQ // 平面 ABD ， 并求此时 PQ 的长. P
2 2
2

D

4

2 2

2 4 侧（左）视图 图2

A B

C

4 正（主）视图

图1

例 7． 如图，已知 PA ? ⊙ O 所在的平面， AB 是⊙ O 的直径， AB ? 2 ， C 是⊙ O 上一 点，且 PA ? AC ? BC ， E , F 分别为 PC, PB 中点. (Ⅰ) 求证： EF ∥平面 ABC ； (Ⅱ) 求证： EF ? PC ； （Ⅲ）求三棱锥 B - PAC 的体积．

针对训练
1．“直线 l 垂直于平面?内的无数条直线”是“ l ⊥?”的 A．充分不必要条件 C．充要条件 A． l ?? 3．下列说法正确的是 A．直线 a 平行于平面 M，则 a 平行于 M 内的任意一条直线 B．直线 a 与平面 M 相交，则 a 不平行于 M 内的任意一条直线 C．直线 a 不垂直于平面 M，则 a 不垂直于 M 内的任意一条直线 D．直线 a 不垂直于平面 M，则过 a 的平面不垂直于 M 4．设 P 是平面 α 外一点，且 P 到平面 α 内的四边形的四条边的距离都相等，则 B． l ⊥? B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 C． l ∥? D．l ??或 l ∥?

2．如果一条直线 l 与平面?的一条垂线垂直，那么直线 l 与平面?的位置关系是

更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere

5

更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere

备课宝出品

四边形是 A．梯形 B．圆外切四边形 C．圆内接四边形 D．任意四边形 5．平面 α 与正四棱柱的四条侧棱 AA1、BB1、CC1、DD1 分别交于 E、F、G、H.若 AE=3，BF=4，CG=5，则 DH 等于 A．6 B．5 C．4 D．3 6．设 ? , ? , ? 为两两不重合的平面， l , m, n 为两两不重合的直线，给出下列四个 命题： ①若 ? ? ? ， ? ? ? ，则 ? || ? ； ②若 m ? ? ， n ? ? ， m || ? ， n || ? ，则

? || ? ；
③若 ? || ? ， l ? ? ，则 l || ? ；
l || ? ，则 m || n

④若 ? ? ? ? l ， ? ? ? ? m ， ? ? ? ? n ，

其中真命题的个数是 A．1 的 A．充分不必要条件 C．充要条件 A．若 l ? ? ,? ? ? ，则 l ? ? ∥β，则 l ? ? C．若 l ? ? ，α∥β，则 l ? ? D．若 l∥α， ? ? ? ，则 l ? ? B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 B．若 l∥α，α B．2 C．3 D．4

7． 已知 α， β 表示两个不同的平面， m 为平面 α 内的一条直线， 则“ ? ? ? ”是“ m ? ? ”

8．设 ? , ? 是两个不同的平面， l 是一条直线，以下命题正确的是

9．若 l、m、n 是互不相同的空间直线， ? , ? 是不重合的平面，则下列命题中为 真命题的是 A．若 α∥β， l ? ? , n ? ? , 则 l∥n C．若 l ? n, m ? n, 则 l∥m 到 ?EBD 的位置，使平面 EDB ? 平面 ABD （1）求证： AB ? DE （2）求三棱锥 E ? ABD 的侧面积． B．若 ? ? ? , l ? ? , 则l ? ? D．若 l ? ? , l∥β， 则? ? ?

10．如图，平行四边形 ABCD 中， ?DAB ? 60? ， AB ? 2, AD ? 4 将 ?CBD 沿 BD 折起

更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere

6

更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere

备课宝出品

11．如图，已知两个正方形 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内，M，N 分别为 AB， DF 的中点．CD＝2，平面 ABCD⊥平面 DCEF，求直线 MN 的长；

12．如图，在四棱锥 P—ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，AB//CD，△PAD 是等 边三角形，已知 BD=2AD=8，AB=2DC= 4 5 . （1）设 M 是 PC 上的一点，证明：平面 MBD⊥平面 PAD； （2）求四棱锥 P—ABCD 的体积.

答案: 例 1 略 例 2 略 针对训练 1． B 2． D 3． B 4． B 5 ． C 6． B
S ?8?2 3

7． B

8． C

9． D

10． （1） 略 （2）

11． （1） 6 （2）略

12． （1）略

（2） 16 3

高考链接
1（09 北京文） （本小题共 14 分） 如图，四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形， PD ? 底面ABCD ， 点 E 在棱 PB 上。 （Ⅰ）求证：平面 AEC ? 平面PDB ；

更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere

7

更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere

备课宝出品

（Ⅱ）当 PD ? 2 AB 且 E 为 PB 的中点时，求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小。

2（05 北京文） （本小题共 14 分） 如图, 在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点 D 是 AB 的 中点， （I）求证：AC⊥BC1； （II）求证：AC 1//平面 CDB1； （III）求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值．

3

（11 海淀模拟） （本小题满分 13 分） 如图， 已知四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面是菱形， 侧棱 BB1⊥底面 ABCD， E 是侧棱 CC1 的中点。 （I）求证：AC⊥平面 BDD1B1； （II）求证：AC//平面 B1DE。

4（11 海淀文）.（本小题共 13 分）已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都相 等， 且 D, E, F 分别为 BC, BB1, AA1 的中点. (I) 求证： 平面 B1 FC // 平面 EAD ； （II） 求证： BC1 ? 平面 EAD .

更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere

8

更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere

备课宝出品

A1 B1

C1

F E

A
D
B

C

答案 1 略 2 证明（共 14 分） （I）直三棱柱 ABC－A1B1C1，底面三边长 AC=3，BC=4AB=5， ∴ AC⊥BC，且 BC1 在平面 ABC 内的射影为 BC，∴ AC⊥BC1； （II）设 CB1 与 C1B 的交点为 E，连结 DE，∵ D 是 AB 的中点，E 是 BC1 的中 点，∴ DE//AC1， ∵ DE ? 平面 CDB1，AC1 ? 平面 CDB1，∴ AC1//平面 CDB1； （III）∵ DE//AC1，∴ ∠CED 为 AC1 与 B1C 所成的角，
5 5 1 1 1 在△CED 中，ED= AC 1= ，CD= AB= ，CE= CB1=2 2 ， 2 2 2 2 2

∴ cos ?CED ?

8 2?2 2 ? 5 2

?

2 2 ， 5

∴ 异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值 3 略 4 略

2 2 . 5

更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere

9