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2010-2013北约自主招生数学笔试试题及答案(精校版+完整版)


2010 年“北约”自主招生数学试题
1. (仅文科做) 0 ? ? ?
? ,求证: sin ? ? ? ? tan ? . 2

2. AB 为边长为 1 的正五边形边上的点.证明: AB 最长为

5 ?1 . (25 分) 2

3. AB 为 y ? 1 ? x 2 上在 y 轴两侧的点,求过 AB 的切线与 x 轴围成面积的最小值. (25 分)

1

4.向量 OA 与 OB 已知夹角, OA ? 1 , OB ? 2 ,OP ? (1 ? t )OA ,OQ ? tOB ,0 ≤ t ≤1 . PQ
1 在 t 0 时取得最小值,问当 0 ? t0 ? 时,夹角的取值范围. (25 分) 5

5. (仅理科做)存不存在 0 ? x ?

? ,使得 sin x , cos x , tan x , cot x 为等差数列. (25 分) 2

2

2011 北约自主招生数学试题
?1、 已知平行四边形的其中两条边长分别是 3 和 5, 一条对角线长是 6, 求另一条对角线的长。

?2 求过抛物线

2



交点的直线方程。

?3、等差数列

满足 =



,这个数列的前 n 项和为 ,数列

中哪一

项最小,并求出这个最小值。

3

?4、?ABC 的三边 a,b,c 满足 a+b≥2c,A,B,C 为?ABC 的内角,求证:C≤



? 5、是否存在四个正实数,它们的两两乘积分别是 2,3,5,6,10,16?

?6、 和 是平面上两个不重合的固定圆,C 是该平面上的一个动圆,C 和 则 C 的圆心的轨迹是何种曲线?说明理由。

都相切,

4

?7、求 f(x)=

的最小值。

5

2012 年“北约”自主招生数学试题
1、求 x 的取值范围使得 f ( x) ? x ? 2 ? x ? x ? 1 是增函数;

2、求 x ? 11 ? 6 x ? 2 ?

x ? 27 ? 10 x ? 2 ? 1 的实数根的个数;

3、已知 ( x ? 2 x ? m)( x ? 2 x ? n) ? 0 的 4 个根组成首项为
2 2

1 的等差数列,求 m ? n ; 4

6

4、如果锐角 ?ABC 的外接圆的圆心为 O ,求 O 到三角形三边的距离之比;

5、已知点 A(?2,0), B(2,0) ,若点 C 是圆 x 2 ? 2 x ? y 2 ? 0 上的动点,求 ?ABC 面积的最小值。

6、在 1,2,?,2012 中取一组数,使得任意两数之和不能被其差整除,最多能取多少个数?

7

7、求使得 sin 4 x sin 2 x ? sin x sin 3x ? a 在 [0, ? ) 有唯一解的 a ;

8、求证:若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形;

9、求证:对于任意的正整数 n , (1 ?

2 ) n 必可表示成 s ? s ? 1 的形式,其中 s ? N ?

8

2013 年北约自主招生数学试题
1.以 2 和 1 ? 3 2 为两根的有理系数多项式的次数最小是多少? A.2 B.3 C.5 D.6

2.在 6 ? 6 的棋盘中停放着 3 个红色車和 3 个黑色車,每一行、每一列都只有一个車,共有多 少种停放方法?

3.已知 x ? 2 y ? 5 , y ? 2 x ? 5 ,求 x ? 2 x y ? y 的值.
2 2 3 2 2 3

9

4.如图,△ ABC 中,AD 为 BC 边上的中线,DM、DN 分别为∠ADB、∠ADC 的角平分线, 试比较 BM+CN 与 MN 的大小关系,并说明理由. A



N C

B E



5.设数列 ?a n ?满足 a1 ? 1 ,前 n 项和为 S n , S n ?1 ? 4a n ? 2 ,求 a 2013 .

6.模长为1的复数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 0 ,求

xy ? yz ? zx . x? y?z

10

7.最多有多少个两两不等的正整数,满足其中任意三数之和都为素数.

8 . 已 知 a i , i ? 1,2,3, ? ,2013 为 2013 个实数 , 满 足 a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 2013 ? 0 , 且

a1 ? 2a 2 ? a 2 ? 2a 3 ? … ? a 2013 ? 2a1 ,求证 a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a 2013 ? 0 .

11

9.对于任意的 ? ,求 32 cos6 ? ? cos 6? ? 6 cos 4? ? 15 cos 2? 的值.

10.已知有 mn 个实数,排列成 m ? n 阶数阵,记作 a ij

? ?

m? n

使得数阵的每一行从左到右都是

递增的,即对任意的 i ? 1,2,3,?, m ,当 j1 ? j 2 时,有 a ij1 ? a ij2 ;现将 a ij

? ?
'

m? n

的每一列原有 ,即对任意

的各数按照从上到下递增的顺序排列,形成一个新的 m ? n 阶数阵,记作 a 的 j ? 1,2,3,?, n ,当 i1 ? i 2 时,有 a 并加以证明.
' i1 j

? ?

ij m? n

? a ' i2 j ,试判断 ?a ' ij ?m?n 中每一行的各数的大小关系,

12

2010 年“北约”自主招生数学解析
1. (仅文科做) 0 ? ? ?
? ,求证: sin ? ? ? ? tan ? . 2

【解析】 不妨设 f ( x) ? x ? sin x , 则 f( 且当 0 ? x ? 0 ) 0 ? , 在0? x ?

? 时,f ?( x) ? 1 ? cos x ? 0 . 于是 f ( x) 2

? 上单调增.∴ f ( x) ? f (0) ? 0 .即有 x ? sin x . 2 同理可证 g ( x) ? tan x ? x ? 0 .
g (0) ? 0 ,当 0 ? x ?

? 1 ? 时, g ?( x) ? ? 1 ? 0 .于是 g ( x) 在 0 ? x ? 上单调增。 2 cos x 2 2

? 上有 g ( x) ? g (0) ? 0 。即 tan x ? x 。 2 注记:也可用三角函数线的方法求解.

∴在 0 ? x ?

5 ?1 . (25 分) 2 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点, 此边所在的直线为 x 轴, 建立如图所示的平面直 角坐标系. ⑴当 A , B 中有一点位于 P 点时,知另一点位于 R1 或者 R2 时有最 P

2. AB 为边长为 1 的正五边形边上的点.证明: AB 最长为

大值为 PR1 ;当有一点位于 O 点时, AB max ? OP ? PR1 ;

Q

R2

O

R1

⑵当 A , B 均不在 y 轴上时,知 A , B 必在 y 轴的异侧方可能取到最大值(否则取 A 点关于 y 轴 的对称点 A? ,有 AB ? A?B ) .
P

不妨设 A 位于线段 OR2 上(由正五边形的中心对称性,知这样的假设是 合理的) ,则使 AB 最大的 B 点必位于线段 PQ 上. 且当 B 从 P 向 Q 移动时, AB 先减小后增大, 于是 AB max ? AP 或 AQ ; 对 于 线 段 PQ 上 任 意 一 点 B , 都 有 BR2 ≥ BA . 于 是
R2 O

B Q

A

R1

13

AB max ? R2 P ? R2Q

由⑴,⑵知 AB max ? R2 P .不妨设为 x . 下面研究正五边形对角线的长.
x-1 H 1

E 1 F x 1 1 I

如右图.做 ?EFG 的角平分线 FH 交 EG 于 H .
? 易知 ?EFH ? ?HFG ? ?GFI ? ?IGF ? ?FGH ? . 5

G

于是四边形 HGIF 为平行四边形.∴ HG ? 1 .
EF FG ? EH x 1 1? 5 .解得 x ? . ? ? 1 x ? 1 HG 2

由角平分线定理知

3. AB 为 y ? 1 ? x 2 上在 y 轴两侧的点,求过 AB 的切线与 x 轴围成面积的最小值. (25 分) 【解析】 不妨设过 A 点的切线交 x 轴于点 C ,过 B 点的切线交 x 轴于点 D ,直线 AC 与直线 BD 相交于点 E .如图.设 B( x1 , y1 ), A( x2 , y2 ) , 且有 y2 ? 1 ? x22 , y1 ? 1 ? x12 , x1 ? 0 ? x2 . 由于 y? ? ?2 x , 于是 AC 的方程为 2 x2 x ? 2 ? y2 ? y ;① ② y1 ? y2 联立 AC , BD 的方程,解得 E ( , 1 ? x 1 x2 ) . 2( x2 ? x1 ) 2 ? y2 对于①,令 y ? 0 ,得 C ( , 0) ; 2 x2 对于②,令 y ? 0 ,得 D( 于是 CD ?
S?ECD ?
2 ? y1 , 0) . 2 x1
y

BD 的方程为 2 x1 x ? 2 ? y1 ? y .

E A C O B D x

2 ? y1 2 ? y2 1 ? x12 1 ? x2 2 . ? ? ? 2 x1 2 x2 2 x1 2 x2

1 CD (1 ? x1 x2 ) .不妨设 x1 ? a ? 0 , ? x2 ? b ? 0 ,则 2 1 1 ? a 2 1 ? b2 1 1 1 S?ECD ? ( ? )(1 ? ab) ? (2a ? 2b ? ? ? a 2b ? ab2 ) 4 a b 4 a b 1 1 1 1 ? (a ? b)(2 ? ab ? ) ≥ ? 2 ab ? (2 ? ab ? ) ③ 4 ab 4 ab 不妨设 ab ? s ? 0 ,则有 1 1 1 1 1 1 1 S?ECD ? ( s 3 ? 2 s ? ) ? ( s 3 ? s ? .. ? s ? ? ... ? ) 2 s 2 3 3 9s 9s ????? ?????

6个

9个

14

1 1 1 1 1 24 1 3 8 ≥ ? 16 ?? s3 ? ? s)6 ? ? ?9 ]16 ? 8 ? ( ) 16 ? 8 ? ? ) 2 ? 3. ④ 2 3 9s 3 3 9 3 3 3 又由当 x1 ? a ? 时,③,④处的等号均可取到. , x2 ? ?b ? ? , s? 3 3 3 8 ∴ (S?ECD )min ? 3. 9 1 1 注记:不妨设 g (s) ? (s3 ? 2s ? ) ,事实上,其最小值也可用导函数的方法求解. 2 s 1 2 1 1 1 由 g ?(s) ? (3s ? 2 ? 2 ) 知当 0 ? s 2 ? 时 g ?(s) ? 0 ;当 ? s 2 时 g ?(s) ? 0 . 2 s 3 3 3 3 3 则 g (s) 在 (0, 时 g (s) 取得最小值. ) 上单调减,在 ( , ? ?) 上单调增.于是当 s ? 3 3 3

4.向量 OA 与 OB 已知夹角, OA ? 1 , OB ? 2 ,OP ? (1 ? t )OA ,OQ ? tOB ,0 ≤ t ≤1 . PQ
1 在 t 0 时取得最小值,问当 0 ? t0 ? 时,夹角的取值范围. (25 分) 5 【解析】 不妨设 OA , OB 夹角为 ? ,则 OP ? 1 ? t , OQ ? 2t ,令
g (t ) ? PQ ? (1 ? t )2 ? 4t 2 ? 2 ? (1 ? t ) ? 2t cos ? ? (5 ? 4cos ? )t 2 ? (?2 ? 4cos ? )t ? 1 .
2

1 ? 2cos ? 1 ? 2x 5 1 ? 2cos ? 1 .而 f ( x) ? 在 (? , ? ? ) 上单调增,故 ?1 ≤ ≤ . 5 ? 4cos ? 5 ? 4x 4 5 ? 4cos ? 3 1 ? 2cos ? 1 1 ? 2cos ? 1 ? 2? 当 0≤ . ≤ 时, t0 ? ? (0, ) ,解得 ? ? ? 5 ? 4cos ? 3 5 ? 4cos ? 5 2 3

其对称轴为 t ?

当 ?1 ≤

1 ? 2cos ? ? 0 时, g (t ) 在 [0, 1] 上单调增,于是 t0 ? 0 .不合题意. 5 ? 4cos ?

? 2? 于是夹角的范围为 [ , ] . 2 3

? ,使得 sin x , cos x , tan x , cot x 为等差数列. (25 分) 2 (cos x ? sin x)(cos x ? sin x) 【解析】 不存在;否则有 cos x ? sin x ? cot x ? tan x ? , sin x cos x cos x ? sin x 则 cos x ? sin x ? 0 或者 1 ? . sin x cos x 2 2 ? 若 cos x ? sin x ? 0 ,有 x ? .而此时 , , 1, 1 不成等差数列; 2 2 4 cos x ? sin x 若1 ? ,有 (sin x cos x)2 ? 1 ? 2sin x cos x .解得有 sin x cos x ? 1 ? 2 . sin x cos x 1 1 而 sin x cos x ? sin 2 x ? (0, ] ,矛盾! 2 2

5. (仅理科做)存不存在 0 ? x ?

15

2011 北约自主招生数学试题解析 ?1、 已知平行四边形的其中两条边长分别是 3 和 5, 一条对角线长是 6, 求另一条对角线的长。 解:由对角线的平方和等于四边的平方和:所以 36+ =2(9+25), =32,∴x=4 ?2 求过抛物线 2 , 交点的直线方程。 。

解:



,7y= 6x+1,∴6x+7y 1=0 为所求。

?3、等差数列

满足 =



,这个数列的前 n 项和为 ,数列

中哪一

项最小,并求出这个最小值。 解:d= ,∴ ,当 n= ,即 n=6 时 最小,最小为 。

?4、?ABC 的三边 a,b,c 满足 a+b≥2c,A,B,C 为?ABC 的内角,求证:C≤ 解:ab≤ ,cosC= ≥

。 ,

所以 C≤



? 5、是否存在四个正实数,它们的两两乘积分别是 2,3,5,6,10,16? 解:设存在四个正实数分别为 a<b<c<d,依题意:ab=2,ac=3,ad=5,bc=6,bd=10,cd=16, ∴ , =1,b=2,c=3,d=5,而 cd=15≠16,故不存在。 ,不满足,故不存在。 都相切,

或解:∵abcd=32,而

?6、 和 是平面上两个不重合的固定圆,C 是该平面上的一个动圆,C 和 则 C 的圆心的轨迹是何种曲线?说明理由。 解:设两定圆⊙ ⑴当 ① 相交时 的垂直平分线去掉两圆的公共弦; 的半径分别为 ,动圆 C 的半径为 R。

a).⊙C 与它两都外切,轨迹是线段

16

b).⊙C 与它两都内切,轨迹是线段

的垂直平分线; |= R,| |= +R,| |+| |= ,

c).⊙C 与两圆一个内切,一个外切时,| 轨迹是以 ② 为焦点的椭圆。 时

a).⊙C 与它两都外切,轨迹是线段 b).⊙C 与它两都内切,轨迹是线段

的垂直平分线去掉两圆的切点; 的垂直平分线; ,去掉 和两圆的切点。

c).⊙C 与两圆一个内切,一个外切时,轨迹是直线 ③ 相离时

a).⊙C 与它两都外切,轨迹是线段 b).⊙C 与它两都内切,轨迹是线段

的垂直平分线; 的垂直平分线; | =| |+ ,|| | | ||= ,

c).⊙C 与两圆一个内切,一个外切时,| 轨迹是以 ⑵当 ① 为焦点的双曲线。 ,不妨设 相交时 | =| |

a).⊙C 与它两都外切,|

,轨迹是以

为焦点的双曲线中(对应焦点 )的

一支,去掉两圆公共区域的部分; b).⊙C 与它两都内切,| | =| | ,或 | |= | |轨迹是以 为焦点的双曲

线中(对应焦点 )的一支; c).⊙C 与两圆一个内切,一个外切时,| ② 时 | =| | ,轨迹是以 为焦点的双曲线中(对应焦点 )的 | = | |,轨迹是以 为焦点的椭圆。

a).⊙C 与它两都外切,| 一支,去掉两圆的切点; b).⊙C 与它两都内切| |

=|

|

,轨迹是以

为焦点的双曲线中(对应焦点 )的一

17

支; c).⊙C 与两圆一个内切,一个外切时,| 圆切点。 ③ 相离时 | =| | ,轨迹是以 为焦点的双曲线中(对应焦点 )的 | = | |,轨迹是直线 ,去掉 和两

a).⊙C 与它两都外切,| 一支; b).⊙C 与它两都内切,| 一支;

|

=|

|

,轨迹是以

为焦点的双曲线中(对应焦点 )的

c).⊙C 与两圆一个内切,一个外切时,| ④ 内切时

|

=

|

|,轨迹是以

为焦点的双曲线。

a).⊙C 与它两都外切,轨迹是射线

在两圆切点以外部分; , 去掉 和两圆切点的射线。

b).⊙C 与它两都内切, 轨迹是以两圆切点为端点, 方向是 c).⊙C 与两圆一个内切,一个外切时,轨迹是以 ⑤ 内含时 为焦点的椭圆;

为焦点的椭圆,去掉两圆的切点。

a).⊙C 与它两都内切,轨迹是以

b).⊙C 与两圆一个内切,一个外切时,轨迹是以 ?7、求 f(x)=

为焦点的椭圆。 的最小值。

解:f(x)=|

|+|

|+|

|+|

|+|

|+|

|

|

|+|

|

|

|,一共有 1+2+3

2011=1006× 2011 个绝对值,则是偶数个,故中间第

503× 2011 个和第 503× 2011+1 个之间取得最小值;设第 503× 2011 个绝对值是 |

|,

∴1+2+3

, n(n+1)≤1006× 2011=2023066, ∵



∵1422× 1423=2023506,∴取 n=1421。∴第 503× 2011 个和第 503× 2011+1 个绝对值是

18

|

|,∴

|

|+|

|+|

|+ +|

|

=

(|

|+|2 1422|+|3 1422|+?+|2011 1422|)=

(1421+1420+1419+?

+1+0+1+2+3+?+589)=

(

)=

(1010331+173755)=



2012 年“北约”自主招生数学试题解析

19

20

21

2013 年北约自主招生数学试题解析
1. 解析 显然 ( x ? 2)(( x ? 1) ? 2) 为满足要求的多项式,其次数为 5.
2 3

若 存 在 n 次 有 理 系 数 多 项 式 f ( x) 以

2 和 1 ? 3 2 为 两 根 , 则 f ( x) 必 含 有 因 式

( x 2 ? 2)(( x ? 1) 3 ? 2) ,∴ n ? 5 ,即最小次数为 5.故选 C.

2.解析 先排 3 个红色車,从 6 行中任取 3 行,有 C 6 ? 20 种取法;在选定的 3 行中第一行
3

有 6 种停法,第一行选定后第二行有 5 种停法,第二行选定后第三行有 4 种停法;红車放定 后,黑車只有 6 种停法.故停放方法共 20 ? 6 ? 5 ? 4 ? 6 ? 14400 种.故选 D.

3.解析

∵ x ? 2 x y ? y ? x(2 y ? 5) ? 2(2 y ? 5)(2 x ? 5) ? y(2 x ? 5)
3 2 2 3

? ?4 xy ? 15( x ? y) ? 50 ,
又由 x ? 2 y ? 5 , y ? 2 x ? 5 ,有 x ? y ? ?2( x ? y )
2 2 2 2

22

∴ x ? y 或 x ? y ? ?2 .
2 当 x ? y 时,有 x ? 2 x ? 5 , x ? 1 ?

6,


? 4 xy ? 15( x ? y) ? 50

? ?4 x 2 ? 30 x ? 50

? ?38 x ? 70 ? ?38 x ? 70 ? ?108 ? 38 6 ;
当 x ? y ? ?2 时 , x ? ?2( x ? 2) ? 5 ,
2

M B

N D C

x( x ? 2) ? 1

? 4 xy ? 15( x ? y) ? 50 ? ?4 x(?2 ? x) ? 20 ? 4 x( x ? 2) ? 80 ? ?16 .
A 4.如图,△ ABC 中,AD 为 BC 边上的中线,DM、DN 分别为∠ADB、∠ADC 的角平分线,试比较 BM+CN 与 MN 的大小关系,并说明理由. 解析 延长 ND 至 E,使 ND=ED,连结 BE、ME, 则△ BED≌△ CND,△ MED≌△ MND,ME=MN, 由 BM+BE>EM,得 BM+CN>MN. E B M N C



5.解析

∵ a1 ? 1 , a1 ? a 2 ? 4a1 ? 2 ,∴ a 2 ? 5 ;

由 S n ?1 ? 4a n ? 2 ,有 n ? 2 时, S n ? 4a n ?1 ? 2 ,于是 a n ?1 ? 4a n ? 4a n ?1 ,
2 特征方程 x ? 4 x ? 4 有重根 2,可设 a n ? (c1 ? c 2 ) ? 2 ,
n

将 a1 ? 1 , a 2 ? 5 代入上式,得 c1 ? ? 于是 a n ? (

1 3 , c2 ? , 4 4

3n 1 ? ) ? 2 n ? (3n ? 1) ? 2 n?2 ,∴ a 2013 ? 6038 ? 2 2011 . 4 4

6.解析

取 x ? y ? z ? 1 ,便能得到

xy ? yz ? zx =1. x? y?z

下面给出证明, x x ? y y ? z z ? 1 ,

23

xy ? yz ? zx xy ? yz ? zx ? xy ? yz ? zx ? xy ? yz ? zx xy ? yz ? zx ? ? ? 于是 ? ? x? y?z ? x? y?z x? y?z ? x? y?z ? x? y?z ?

2

?

1?1?1? xz ? yz ? yx ? zx ? zx ? yx xy ? yz ? zx ? 1. ∴ =1. x? y?z 1?1?1? xz ? yz ? yx ? zx ? zx ? yx

7.解析 设满足条件的正整数为 n 个.考虑模 3 的同余类,共三类,记为 0 ,1 , 2 . 则这 n 个正整数需同时满足①不能三类都有;②同一类中不能有 3 个和超过 3 个.否则 都会出现三数之和为 3 的倍数.故 n ? 4 . 当 n ? 4 时,取 1,3,7,9,其任意三数之和为 11,13,17,19 均为素数,满足题意, 所以满足要求的正整数最多有 4 个.

8.解析 设 a1 ? 2a 2 ? a 2 ? 2a 3

? … ? a 2013 ? 2a1 ? k ,

若 k ? 0 ,则 a1 ? 2a 2 , a 2 ? 2a 3 ,…, a 2012 ? 2a 2013 , a 2013 ? 2a1 , 于是 a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 2013 ? a1 ?

a1 a1 a1 ? 2 ? ? ? 2011 ? 2a1 ? 0 , 2 2 2

∴ a1 ? 0 ,进而 a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 2013 ? 0 . 若 k ? 0 ,则 a1 ? 2a 2 , a 2 ? 2a 3 ,…, a 2013 ? 2a1 能取 k 和 ? k 两值, 又 a1 ? 2a 2 ? a 2 ? 2a 3 ? … ? a 2012 ? 2a 2013 ? a 2013 ? 2a1 ? 0 , 即这 2013 个数去掉绝对值号后取 k 和 ? k 两值的个数相同,这不可能. 这 2013 个数去掉绝对值号后只

9.解析

1 ? cos 2? 3 32 cos6 ? ? 32( ) ? 4 cos3 2? ? 12 cos2 2? ? 12 c o s 2? ? 4 , 2

?co s 6? ? ?4 c o 3 s 2? ? 3 c o s 2? , ? 6 cos 4? ? ?12 c o 2 s 2? ? 6 ,

? 15 cos 2? ? ?15 c o s 2? ,
各式相加,得 32 cos ? ? cos 6? ? 6 cos 4? ? 15 cos 2? ? 10 .
6

24

10.解析

数阵 a

? ?
'

ij m? n

中的中每一行的各数仍是递增的.下面用反证法给出证明.
pq

若在第 p 行存在 a

'

? a ' p ( q ?1) ,令 a ' k ( q ?1) ? aik ( q ?1) ,其中 k ? 1,2,3,?, m ,
t t

?i1 , i2 , i3 ,?, im ? ? ?1,2,3,?, m?,则当 t ? p 时, ai q ? ai ( q ?1) ? a ' t ( q ?1) ? a ' p ( q ?1) ? a ' pq
即在第 q 列中至少有 p 个数小于 a 第 p ? 1 行,这与 a
' pq 排在第 ' pq

,也就是 a

'

pq 在数阵

?a ?
'

ij m? n

中的第 q 列中至少排在

p 行矛盾.所以数阵 ?a ' ij ?m?n 中的中每一行的各数仍是递增的.

25


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