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山东省实验中学2016届高三上学期第二次诊考数学试卷(理科)


2015-2016 学年山东省实验中学高三(上)第二次诊考数学试卷 (理科)
一、选择题(本题包括 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题只有一个选项符合题意) 1.设集合 A={x||x|≤2,x∈R},B={y|y=﹣x2,﹣1≤x≤2},则?R(A∩B)等于( ) A.R B. (﹣∞,﹣2)∪(0.+∞) C. (﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) D.φ

2.若

,则 f(x)的定义域为(

)

A. D.

B.

C.

3.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,3)内是增函数的是( A.y=2x+2﹣x B.y=cosx C.y=log0.5|x| D.y=x+x﹣1 4.已知 A. B. C. D. ,则 sinθ﹣cosθ 的值为(

)

)

5.命题 p:在△ ABC 中,∠C>∠B 是 sinC>sinB 的充分不必要条件;命题 q:a>b 是 ac2 ) >bc2 的充分不必要条件.则( A.p 假 q 真 B.p 真 q 假 C.p∨q 为假 D.p∧q 为真 6.将函数 y=sin2x+ 则|φ|的最小值为( A. B. C. cos2x 的图象沿 x 轴向左平移 φ 个单位后,得到一个偶函数的图象, ) D.

7.已知 f(x)=3sinx﹣πx,命题 p:?x∈(0, A.p 是假命题,¬p:?x∈(0, B.p 是假命题,¬p:?x0∈(0, C.p 是真命题,¬p:?x∈(0, ) ,f(x)≥0 ) ,f(x0)≥0 ) ,f(x)>0

) ,f(x)<0,则 (

)

D.p 是真命题,¬p:?x0∈(0,

) ,f(x0)≥0

8.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2+2x,若 f(2﹣a2)>f(a) , ) 则实数 a 的取值范围是( A. C. D. ∪ (﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) B. (﹣2,1) (﹣1,2) (﹣∞, ﹣2) (1, +∞) 9.△ ABC 中,A= A.4 (B+ sin(B+ )+3 ,BC=3,则△ ABC 的周长为( )+3 B.4 sin(B+ )+3

) C.6sin(B+ )+3 D.6sin

10.已知 y=f(x)是奇函数,且满足 f(x+2)+3f(﹣x)=0,当 x∈[0,2]时,f(x)=x2﹣ 2x,则当 x∈[﹣4,﹣2]时,f(x)的最小值为( ) A.﹣1 B.﹣ C.﹣ D.

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 a=15,b=10,A=60°,则 cosB=__________.

12.设

(e 为自然对数的底数) ,则

的值

__________. 13.若曲线 C1:y=3x4﹣ax3﹣6x2 与曲线 C2:y=ex 在 x=1 处的切线互相垂直,则实数 a 的值 为__________. 14.若函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在[﹣2,1]上的最大值为 4,最小值为 m,则 m 的值是 __________. 15.对于函数 f(x)=x|x|+px+q,现给出四个命题: ①q=0 时,f(x)为奇函数 ②y=f(x)的图象关于(0,q)对称 ③p=0,q>0 时,方程 f(x)=0 有且只有一个实数根 ④方程 f(x)=0 至多有两个实数根 其中正确命题的序号为__________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.已知函数 (Ⅰ)求 ω 的值及函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)当 时,求函数 f(x)的取值范围. (ω>0)的最小正周期为 π.

17.已知命题 p 方程 2x2+ax﹣a2=0 在[﹣1,1]上有解;命题 q:只有一个实数 x0 满足不等式 x02+2ax0+2a≤0,若命题“p∨q”是假命题,求实数 a 的取值范围. 18.已知 f(x)=xlnx,g(x)=x3+ax2﹣x+2. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)对任意 x∈(0,+∞) ,2f(x)≤g′(x)+2 恒成立,求实数 a 的取值范围. 19.设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 cosB= ,b=2, (Ⅰ)当 A=30°时,求 a 的值; (Ⅱ)当△ ABC 的面积为 3 时,求 a+c 的值. 20. (13 分)已知函数 f(x)=ex﹣ax﹣1(a>0,e 为自然对数的底数) . (1)求函数 f(x)的最小值; (2)若 f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立,求实数 a 的值.

21. (14 分)已知函数 f(x)=alnx+

+1.

(Ⅰ)当 a=﹣ 时,求 f(x)在区间[ ,e]上的最值; (Ⅱ)讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅲ)当﹣1<a<0 时,有 f(x)>1+ ln(﹣a)恒成立,求 a 的取值范围.

2015-2016 学年山东省实验中学高三(上)第二次诊考数 学试卷(理科)
一、选择题(本题包括 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题只有一个选项符合题意) 1.设集合 A={x||x|≤2,x∈R},B={y|y=﹣x2,﹣1≤x≤2},则?R(A∩B)等于( ) A.R B. 2 0 + C 1 2 + D ∞ ∞ ∞ ∞ φ (﹣ ,﹣ )∪( . ) . (﹣ ,﹣ )∪( , ) . 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题. 【分析】根据题意,解|x|≤2 可得集合 A,由 x 的范围结合二次函数的性质,可得 y 的取值 范围,即可得集合 B;由交集的定义,可得 A∩B,进而由补集的定义,计算可得答案. 【解答】解:|x|≤2?﹣2≤x≤2,则集合 A={x|﹣2≤x≤2}=[﹣2,2], 对于 B,若﹣1≤x≤2,则﹣4≤﹣x2≤0, 则有 B={y|﹣4≤y≤0}=[﹣4,0], 则 A∩B=[﹣2,0], ?R(A∩B)=(﹣∞,﹣2)∪(0,+∞) ; B 故选 . 【点评】本题考查集合的混合运算,关键是求出集合 A 与 B.

2.若

,则 f(x)的定义域为(

)

A. D.

B.

C.

【考点】函数的定义域及其求法;对数函数的定义域. 【专题】计算题. 【分析】 根据分式函数的分母不能为 0, 再由对数函数的真数要大于零使得对数函数有意义, 可得不等式组,最后两个不等式的解集取交集可得答案. 【解答】解:根据题意有: 解得:﹣ <x≠0, 所以其定义域为: 故选 C. 【点评】本题主要考查给出解析式的函数的定义域的求法,常见的有分母不能为零,负数不 能开偶次方根,零次幂及真数要大于零等. 3.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,3)内是增函数的是( )

A.y=2x+2﹣x B.y=cosx

C.y=log0.5|x| D.y=x+x﹣1

【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明;余弦函数的单调性. 【专题】探究型;函数的性质及应用. 【分析】 利用函数奇偶性的定义, 判断函数的奇偶性, 再判断函数的单调性, 即可得到结论. =f ∵y′=2xln2﹣2﹣xln2= 【解答】 解: 对于 A, 满足 f (﹣x) (x) , 函数为偶函数, ,

∴在区间(0,3)内,y′>0,函数是增函数,满足题意; 对于 B,满足 f(﹣x)=f(x) ,函数为偶函数,在(0,π)上单调递减,不满足题意; C f x =f x 对于 ,满足 (﹣ ) ( ) ,函数为偶函数,在(0,+∞)上单调递减,不满足题意; 对于 D,f(﹣x)=﹣x+(﹣x)﹣1=﹣f(x) ,函数为奇函数,不满足题意, 故选 A. 【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合,考查函数单调性、奇偶性的定义,属于基础 题.

4.已知 A. B. C. D.

,则 sinθ﹣cosθ 的值为(

)

【考点】同角三角函数基本关系的运用. 【专题】三角函数的求值. 【分析】由条件求得 2sinθcosθ= ,再根据 sinθ﹣cosθ=﹣ 求得结果. ∵已知 【解答】 解: 故 sinθ﹣cosθ=﹣ =﹣ ∴1+2sinθcosθ= , =﹣ ∴2sinθcosθ= . , , ,运算

故选 B. 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用,属于基础题. 5.命题 p:在△ ABC 中,∠C>∠B 是 sinC>sinB 的充分不必要条件;命题 q:a>b 是 ac2 ) >bc2 的充分不必要条件.则( A.p 假 q 真 B.p 真 q 假 C.p∨q 为假 D.p∧q 为真 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】计算题. 【分析】先判断 p?q 与 q?p 的真假,再根据充要条件的定义给出结论;也可判断命题 p 与 命题 q 所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题 p 与命题 q 的关 系. 【解答】解:在△ ABC 中, 若∠C>∠B, 根据大角对大边,可得 c>b 再由正弦定理边角互化,可得 sinC>sinB 反之也成立.

故命题 p:在△ ABC 中,∠C>∠B 是 sinC>sinB 的充分不必要条件是假命题 由 a>b,当 C=0 时,ac2>bc2 不一定成立, 但若 ac2>bc2 成立,C≠0,则 a>b 成立, 所以 a>b 是 ac2>bc2 的必要不充分条件, 故命题 q 为假命题, 即 p 假 q 假, 所以 p∨q 为假. 故选 C. 【点评】判断充要条件的方法是:①若 p?q 为真命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件;②若 p?q 为假命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充 分条件;③若 p?q 为真命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件;④若 p?q 为假命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件.⑤判断命题 p 与 命题 q 所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题 p 与命题 q 的关 系. 6.将函数 y=sin2x+ 则|φ|的最小值为( A. B. C. cos2x 的图象沿 x 轴向左平移 φ 个单位后,得到一个偶函数的图象, ) D.

【考点】三角函数中的恒等变换应用;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】 利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式, 通 过平移求出平移后的函数的解析式,利用偶函数求出 φ 的值. 【解答】解:∵函数 y=sin2x+ 将函数 y=sin2x+ cos2x= ,

cos2x 的图象沿 x 轴向左平移 φ 个单位后,得到函数 ,函数是偶函数,

∴ 当 k=0 时,φ= .



故选:A. 【点评】本题考查两角和与差的三角函数,三角函数的图象平移变换,函数的基本性质的应 用.

7.已知 f(x)=3sinx﹣πx,命题 p:?x∈(0, A.p 是假命题,¬p:?x∈(0, B.p 是假命题,¬p:?x0∈(0, C.p 是真命题,¬p:?x∈(0, ) ,f(x)≥0 ) ,f(x0)≥0 ) ,f(x)>0

) ,f(x)<0,则(

)

D.p 是真命题,¬p:?x0∈(0,

) ,f(x0)≥0

【考点】复合命题的真假;命题的否定. 【专题】应用题. 【分析】由三角函数线的性质可知,当 x∈(0, 称命题的否定为特称命题可知¬p. 【解答】解:由三角函数线的性质可知,当 x∈(0, ∴3sinx<3x<πx ∴f(x)=3sinx﹣πx<0 即命题 p:?x∈(0, ) ,f(x)<0 为真命题 ) ,f(x0)≥0 )时,sinx<x )时,sinx<x 可判断 p 的真假,根据全

根据全称命题的否定为特称命题可知¬p:?x0∈(0,

故选 D 【点评】本题看出命题真假的判断,本题解题的关键是先判断出条件中所给的命题的真假, 本题是一个基础题. 8.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2+2x,若 f(2﹣a2)>f(a) , ) 则实数 a 的取值范围是( A. C. D. ∪ (﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) B. (﹣2,1) (﹣1,2) (﹣∞, ﹣2) (1, +∞) 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】由题意可先判断出 f(x)=x2+2x=(x+1)2﹣1 在(0,+∞)上单调递增,根据奇 函数的对称区间上的单调性可知,f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,从而可比较 2﹣a2 与 a 的大小,解不等式可求 a 的范围 【解答】解:∵f(x)=x2+2x=(x+1)2﹣1 在(0,+∞)上单调递增 又∵f(x)是定义在 R 上的奇函数 根据奇函数的对称区间上的单调性可知,f(x)在(﹣∞,0)上单调递增 ∴f(x)在 R 上单调递增 ∵f(2﹣a2)>f(a) ∴2﹣a2>a 解不等式可得,﹣2<a<1 故选 B 【点评】 本题主要考查了奇函数在对称区间上的单调性相同 (偶函数对称区间上的单调性相 反)的性质的应用,一元二次不等式的求解,属于基础试题

9.△ ABC 中,A=

,BC=3,则△ ABC 的周长为(

)

A.4 (B+

sin(B+ )+3

)+3

B.4

sin(B+

)+3

C.6sin(B+

)+3

D.6sin

【考点】正弦定理. 【专题】计算题. 【分析】根据正弦定理分别求得 AC 和 AB,最后三边相加整理即可得到答案. 【解答】解:根据正弦定理 ∴AC= =2 sinB,AB= sinB+3cosB+ sinB+3=6sin(B+ , =3cosB+ )+3 sinB

∴△ABC 的周长为 2

故选 D. 【点评】本题主要考查了正弦定理的应用.属基础题. 10.已知 y=f(x)是奇函数,且满足 f(x+2)+3f(﹣x)=0,当 x∈[0,2]时,f(x)=x2﹣ 2x,则当 x∈[﹣4,﹣2]时,f(x)的最小值为( ) A.﹣1 B.﹣ C.﹣ D.

【考点】二次函数在闭区间上的最值. 【专题】转化思想;综合法;函数的性质及应用. 2], f x) = ( f x+4) = 【分析】 设 x∈[﹣4, ﹣2], 则 x+4∈[0, 再根据题意可得 ( ,

由此求得它的最小值. 【解答】解:设 x∈[﹣4,﹣2],则 x+4∈[0,2]. ∵y=f(x)是奇函数,则由 f(x+2)+3f(﹣x)=0,可得 f(x+2)=﹣3f(﹣x)=3f(x) , ∴f(x+4)=3f(x+2) ,故有 f(x)= f(x+2)= .

故 f(x)= f(x+4)= [(x+4)2﹣2(x+4)]= [x2﹣6x+8]=



故当 x=3 时,函数 f(x)取得最小值为﹣ , 故选:C. = f 【点评】 本题主要考查求函数的解析式, 二次函数在闭区间上的最值, 得到 f ( x) (x+4) , 是解题的关键,属于中档题. 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. B, C 所对的边长分别为 a, b, c, b=10, A=60°, 在△ ABC 中, 角 A, 且 a=15, 则 cosB= 【考点】正弦定理. .

【专题】计算题;解三角形. 【分析】由正弦定理可得, 可求解 【解答】解:∵a=15,b=10,A=60° 由正弦定理可得, ∴sinB= ∵a>b ∴A>B ∴B 为锐角 ∴cosB= 故答案为: 【点评】本题主要考查了正弦定理及同角平方关系的简单应用,属于基础试题 = = = 可求 sinB,然后结合大边对大角及同角平方关系即

12.设

(e 为自然对数的底数) ,则

的值 .

【考点】定积分;分段函数的解析式求法及其图象的作法. 【专题】计算题. 【分析】根据定积分的定义,找出分段函数各自区间的原函数然后代入计算即可.

【解答】解:∵



∴ 故答案为 .

=∫01f(x)dx+∫1ef(x)dx=( x3)|01+(lnx)|1e= +1= ,

【点评】此题考查定积分的定义及其计算,是高中新增的内容,要掌握定积分基本的定义和 性质,解题的关键是找出原函数. 13.若曲线 C1:y=3x4﹣ax3﹣6x2 与曲线 C2:y=ex 在 x=1 处的切线互相垂直,则实数 a 的值 为 .

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】导数的综合应用. 【分析】分别求出两个函数的导函数,求得两函数在 x=1 处的导数值,由题意知两导数值 的乘积等于﹣1,由此求得 a 的值. 【解答】解:由 y=3x4﹣ax3﹣6x2,得 y′=12x3﹣3ax2﹣12x,

∴y′|x=1=﹣3a, 由 y=ex,得 y′=ex, ∴y′|x=1=e. ∵曲线 C1:y=3x4﹣ax3﹣6x2 与曲线 C2:y=ex 在 x=1 处的切线互相垂直, ∴﹣3a?e=﹣1,解得:a= 故答案为: . .

【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程,函数在某点处的导数,就是曲线 过该点的切线的斜率,是中档题. 14.若函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在[﹣2,1]上的最大值为 4,最小值为 m,则 m 的值是 或 . 【考点】指数函数的单调性与特殊点. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】按 a>1,0<a<1 两种情况进行讨论:借助 f(x)的单调性及最大值先求出 a 值, 再求出其最小值即可. 【解答】解:①当 a>1 时,f(x)在[﹣2,1]上单调递增, 则 f(x)的最大值为 f(1)=a=4, 最小值 m=f(﹣2)=a﹣2=4﹣2= ;

②当 0<a<1 时,f(x)在[﹣2,1]上单调递减, 则 f(x)的最大值为 f(﹣2)=a﹣2=4,解得 a= , 此时最小值 m=f(1)=a= , 故答案为: 或 .

【点评】本题考查指数函数的单调性及其应用,考查分类讨论思想,对指数函数 f(x)=ax (a>0,a≠1) ,当 a>1 时 f(x)递增;当 0<a<1 时 f(x)递减. 15.对于函数 f(x)=x|x|+px+q,现给出四个命题: ①q=0 时,f(x)为奇函数 ②y=f(x)的图象关于(0,q)对称 ③p=0,q>0 时,方程 f(x)=0 有且只有一个实数根 ④方程 f(x)=0 至多有两个实数根 其中正确命题的序号为①②③. 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】计算题;压轴题;函数的性质及应用. 【分析】①若 f(x)为奇函数,则 f(0)=q=0,反之若 q=0,f(x)=x|x|+px 为奇函数; ②y=x|x|+px 为奇函数,图象关于(0,0)对称,再利用图象变换可得结论; ③当 p=0,q>0 时,x>0 时,方程 f(x)=0 的无解,x<0 时,f(x)=0 的解为 x= ;

④q=0,p=1 时,方程 f(x)=0 的解为 x=0 或 x=1 或 x=﹣1,即方程 f(x)=0 有 3 个实数 根. 【解答】解:①若 f(x)为奇函数,则 f(0)=q=0,反之若 q=0,f(x)=x|x|+px 为奇函数, 所以①正确. 0) f x) =x|x|+px+q ②y=x|x|+px 为奇函数, 图象关于 (0, 对称, 把 y=x|x|+px 图象上下平移可得 ( 图象,即得 f(x)的图象关于点(0,q)对称,所以②正确. ③当 p=0,q>0 时,x>0 时,方程 f(x)=0 的无解,x<0 时,f(x)=0 的解为 x=﹣ (舍 去正根) ,故③正确. ④q=0,p=﹣1 时,方程 f(x)=0 的解为 x=0 或 x=1 或 x=﹣1,即方程 f(x)=0 有 3 个实 数根,故④不正确. 故答案为:①②③ 【点评】本题考查命题的真假判断和应用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.已知函数 (Ⅰ)求 ω 的值及函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)当 时,求函数 f(x)的取值范围. (ω>0)的最小正周期为 π.

【考点】二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;正弦函数的单调性. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】 (Ⅰ)利用两角和的正弦公式,二倍角公式化简函数 f(x)的解析式为 ,由此求得它的最小正周期.令 x 的范围,即可得到函数 f(x)的单调递增区间. (Ⅱ)因为 【解答】解: (Ⅰ) = 因为 f(x)最小正周期为 π,所以 ω=2.… 所以 由 所以函数 f(x)的单调递增区间为[ (Ⅱ)因为 所以 所以函数 f(x)在 ,所以 .… 上的取值范围是[ ].…(13 分) . ,k∈Z,得 ],k∈Z.… ,… . = .… ,根据正弦函数的定义域和值域求得函数 f(x)的取值范围. ,求得

【点评】本题主要考查两角和的正弦公式,二倍角公式,正弦函数的单调性和周期性,正弦 函数的定义域和值域,属于中档题. 17.已知命题 p 方程 2x2+ax﹣a2=0 在[﹣1,1]上有解;命题 q:只有一个实数 x0 满足不等式 x02+2ax0+2a≤0,若命题“p∨q”是假命题,求实数 a 的取值范围. 【考点】复合命题的真假. 【专题】探究型. 【分析】分别求出命题 p,q 成立的等价条件,利用命题“p∨q”是假命题,求实数 a 的取值 范围. 【解答】解:由 2x2+ax﹣a2=0 得(2x﹣a) (x+a)=0,∴ ∴当命题 p 为真命题时 又“只有一个实数 x0 满足 ”, .即﹣2≤a≤2, ,

即抛物线 y=x2+2ax+2a 与 x 轴只有一个交点, ∴△=4a2﹣8a=0, ∴a=0 或 a=2. ∴当命题 q 为真命题时,a=0 或 a=2. ∵命题“p∨q”为假命题,∴p,q 同时为假命题, 即 ,

∴a>2 或 a<﹣2. ∴实数 a 的取值范围的取值范围为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) . 【点评】 本题主要考查复合命题真假的应用, 求出命题成立的等价条件是解决此类问题的关 键. 18.已知 f(x)=xlnx,g(x)=x3+ax2﹣x+2. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)对任意 x∈(0,+∞) ,2f(x)≤g′(x)+2 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【专题】计算题;转化思想. 【分析】 (1)先求出其导函数,再让其导函数大于 0 对应区间为增区间,小于 0 对应区间为 减区间即可. (注意是在定义域内找单调区间. ) (2)已知条件可以转化为 a≥lnx﹣ x﹣ 恒成立,对不等式右边构造函数,利用其导函数

求出函数的最大值即可求实数 a 的取值范围. 【解答】解: (1)f′(x)=lnx+1, 令 f′(x)<0 得:0<x< ,∴f(x)的单调递减区间是(0, ) 令 f'(x)>0 得: ,∴f(x)的单调递增区间是

(2)g′(x)=3x2+2ax﹣1,由题意 2xlnx≤3x2+2ax+1∵x>0,

∴a≥lnx﹣ x﹣

恒成立①

设 h(x)=lnx﹣



,则 h′(x)= ﹣

=﹣

令 h′(x)=0 得:x=1,x=﹣ (舍去) 当 0<x<1 时,h′(x)>0; 当 x>1 时,h'(x)<0 ∴当 x=1 时,h(x)有最大值﹣2 若①恒成立,则 a≥﹣2, 即 a 的取值范围是[﹣2,+∞) . (13 分) 【点评】 本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及利用导数研究函数的单调性. 这 类题目是高考的常考题.

19.设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 cosB= ,b=2, (Ⅰ)当 A=30°时,求 a 的值; (Ⅱ)当△ ABC 的面积为 3 时,求 a+c 的值. 【考点】解三角形. 【专题】计算题. 【分析】 (Ⅰ)因为 (Ⅱ)因为△ ABC 的面积 ,可得 ,由正弦定理求出 a 的值. =3, ,可以求得 ac=10,再由余弦定理可得

a2+c2=20=(a+c)2﹣2ac,由此求出 a+c 的值. 【解答】解: (Ⅰ)因为 由正弦定理 所以 .… =3,且 , ,可得 ,所以 .… .…

(Ⅱ)因为△ ABC 的面积 所以 ,ac=10.…

由余弦定理 b2=a2+c2﹣2accosB,… 得 ,即 a2+c2=20.…

所以(a+c)2 ﹣2ac=(a+c)2 ﹣20=20, 故(a+c)2=40,… 所以, .…(13 分) 【点评】 本题主要考查正弦定理、 余弦定理的应用, 同角三角函数的基本关系, 属于中档题.

20. (13 分)已知函数 f(x)=ex﹣ax﹣1(a>0,e 为自然对数的底数) . (1)求函数 f(x)的最小值; (2)若 f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立,求实数 a 的值. 【考点】函数恒成立问题. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (1)求函数的导数,利用函数的单调性和导数之间的关系,即可求函数 f(x)的 最小值; (2)要使 f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立,则只需求出 f(x)的最小值即可得到结论. 【解答】解: (1)∵f(x)=ex﹣ax﹣1(a>0) , x f' x =e a ∴ ( ) ﹣ , 由 f'(x)=ex﹣a=0 得 x=lna, 由 f'(x)>0 得,x>lna,此时函数单调递增, 由 f'(x)<0 得,x<lna,此时函数单调递减, 即 f(x)在 x=lna 处取得极小值且为最小值, 最小值为 f(lna)=elna﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1. (2)若 f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立, 等价为 f(x)min≥0, 由(1)知,f(x)min=a﹣alna﹣1, 设 g(a)=a﹣alna﹣1, 则 g'(a)=1﹣lna﹣1=﹣lna, 由 g'(a)=0 得 a=1, 由 g'(x)>0 得,0<x<1,此时函数单调递增, 由 g'(x)<0 得,x>1,此时函数单调递减, ∴g(a)在 a=1 处取得最大值,即 g(1)=0, 因此 g(a)≥0 的解为 a=1, ∴a=1. 【点评】本题主要考查函数的单调性和导数的之间关系,以及不等式恒成立问题,将不等式 恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键.

21. (14 分)已知函数 f(x)=alnx+

+1.

(Ⅰ)当 a=﹣ 时,求 f(x)在区间[ ,e]上的最值; (Ⅱ)讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅲ)当﹣1<a<0 时,有 f(x)>1+ ln(﹣a)恒成立,求 a 的取值范围. 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用. 【专题】综合题;导数的综合应用. 【分析】 (Ⅰ)求导 f(x)的定义域,求导函数,利用函数的最值在极值处与端点处取得, 即可求得 f(x)在区间[ ,e]上的最值; (Ⅱ)求导函数,分类讨论,利用导数的正负,可确定函数的单调性;

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当﹣1<a<0 时,f(x)min=f( >1+ ln(﹣a) ,由此可求 a 的取值范围.

) ,即原不等式等价于 f(



【解答】解: (Ⅰ)当 a=﹣ 时,

,∴



∵f(x)的定义域为(0,+∞) ,∴由 f′(x)=0 得 x=1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴f(x)在区间[ ,e]上的最值只可能在 f(1) ,f( ) ,f(e)取到, 而 f(1)= ,f( )= ∴f(x)max=f(e)= ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (Ⅱ) ,x∈(0,+∞) . ,f(e)= ,

,f(x)min=f(1)= .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

①当 a+1≤0,即 a≤﹣1 时,f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减;﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ②当 a≥0 时,f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣ ③当﹣1<a<0 时,由 f′(x)>0 得 ∴f(x)在( ,+∞)单调递增,在(0, ,∴ 或 (舍去)

)上单调递减;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 综上,当 a≥0 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当﹣1<a<0 时,f(x)在( ,+∞)单调递增,在(0, )上单调递减;当 a≤﹣

1 时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣ (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当﹣1<a<0 时,f(x)min=f( 即原不等式等价于 f( ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 即 aln + ﹣ +1>1+ ln(﹣a) )

)>1+ ln(﹣a)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

整理得 ln(a+1)>﹣1 ∴a> ﹣1,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

又∵﹣1<a<0,∴a 的取值范围为( ﹣1,0) .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 【点评】 本题考查导数知识的运用, 考查函数的单调性, 考查函数的最值, 考查恒成立问题, 确定函数的单调性,求函数的最值是关键.


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