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河北省衡水中学2014届高三上学期第二次模拟考试数学(文)试题(扫描版)5星.doc


2014 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 文数(二) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。全卷共 150 分。考试时间为 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题列出的四个选项中,只有 一项符合题目要求) 1.已知全集为 R ,集合 A ? {x | 2x ? 1} , B ? {x | x2 ? 6 x ? 8 ? 0} ,则 A ( ) A. {x | x ? 0} C. {x | 0 ? x ? 2 或 x ? 4} 2.已知复数 z ? B. R D. {x | 0 ? x ? 2 或 x ? 4} ( )

(CR B) ?

A. 1 ? 2i 3.一个几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是

5i ( i 是虚数单位) ,则复数 z 的共轭复数 z ? 1 ? 2i B. 1 ? 2i C. 2 ? i D. 2 ? i
( )

A.8

B.4

C.2

D. 4 2

4.在 ?ABC 中,点 D 在边 BC 上,且 | BD |? 2 | CD | ,若 AD ? ? AB ? ? AC ,则 ( ) A.1 B.

? ?

1 4
2

C.

1 3

D.

1 2

5.已知点 M (a, b) 在圆 O : x ? y ? 1 上,则直线 ax ? by ? 1与圆 O 的位置关系是
2

( ) A.相切

B.相交

C.相离

D.不确定

6.如图长方形中,两个舞蹈队进行排练活动,分别以 A, C 为圆心的扇形区域 ADE 和扇形 区域 CBF 内进行排练活动,为了更好的进行排练,其余区域不能出现活动人员,若在该长 方形区域内随机选一地点,则该地点无人员活动的概率是 ( )

A. 1 ?

? 4

B.

? ?1 2

C. 2 ?

?
2

D.

? 4

7.函数 f ( x) ?

x3 ? 3 的图像大致是 ex

( )

8.由直线 x ? 4 及不等式组 ?

? x ? y ?1 ? 0 所围城的区域为 D (包括边界) , D 内的任意 ?2 x ? y ? 2 ? 0
( )

一点为 P( x, y) ,若 3x ? y ? b 的最大值为,则 b ? A.0 B.1 C. 2 D.3

9.在数列 {an } 中,已知 a1 ? 2 , a2 ? 7 , an?2 等于 an an?1 (n ? N ? ) 的个位数,则 a6 ? ( ) A.8 B.6 C. 4 10.给出下列四个命题: ①命题“若 a ? D.2

?
4

,则 tan a ? 1 ”的逆命题为假命题;

②命题 p : ?x ? R,sin x ? 1 ,则 ?p : ?x0 ? R ,使 sin x0 ? 1 ; ③“ ? ?

?
2

? k? (k ? Z ) ”是“函数 y ? sin(2 x ? ? ) 的偶函数”的充要条件; 3 ” ;命题 q : “若 sin ? ? sin ? ,则 ? ? ? ” , 2

④命题 p : “ ?x0 ? R ,使 sin x0 ? cos x0 ? 那么 (?p) ? q 为真命题. 其中正确的个数是 A.4 B.3 ( ) C. 2

D.1

11.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 b ? tan B ? 2 2 , c ? 1 ,则 ?ABC 的面积为 A. 3 ( ) B. 2 C. 2 D.3

12.已知 x0 是 f ( x ) ? ( ) ?
x

1 2

1 的零点, x1 ? (??, x0 ) , x2 ? ( x0 ,0) ,则 x
B. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 D. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0

( )

A. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 C. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

x2 y 2 13. 已知抛物线 y ? 8x 的准线过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点, 且双曲线的 a b
2

离心率为 2,则 a ? ______. 14. 三棱锥 A ? BCD 中, 侧棱 AB ,AC ,AD 两两垂直, 且 AB ? 3 ,AC ? 2 ,AD ? 3 , 则该三棱锥外接球的表面积为____. 15.如图程序框图,若输入的 a 值为 6,则该程序运行后输出的值是______.

16.已知函数 f ( x) ? ?

?2, x ? m
2 ? x ? 4 x ? 2, x ? m

,若方程 f ( x) ? x ? 0 恰有三个不同的实数根,则

实数 m 的取值范围是______. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 若 f ( x) ? cos2 x ? 3sin x cos x 的图像与直线 y ? m(m ? 0) 相切. (1)求 m 的值; (2)在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边,若 f ( ) ?

A 2

1 ,且 a ? 4 3 , 2

求 ?ABC 外接圆的半径. 18. (本小题满分 12 分) 某汽车公司对新生产的舒适型和豪华型两种轿车进行民意调查, 并按规定的项目对两种轿车 进行打分评价某些功能,董事长从若干次调查单中随机抽取 6 次,分别为 舒适性 7.7,7.8,8.1,8.6,9.3,9.5 豪华型 7.6,8.0,8.2,8.5,9.2,9.5 (1)根据以上的数据作出茎叶图,并对两种类型的汽车作比较,写出两个统计结论,并说 明利用茎叶图处理有关数据问题有什么优点?

(2)从对两种型号轿车评价的六次分值中各随机抽取 1 次,求两分值中一个高于 8.5 分另 一个低于 8.5 分的概率. 19. (本小题满分 12 分) 如 图 , 矩 形 ABCD 所 在 的 平 面 和 平 面 ABEF 垂 直 , 且 AB ? 2 , AD ? EF ? 1 , OA ? OB ? OE ? OF , AF ? FB . (1)求证: AF ? 平面 CBF ; (2)求三棱锥 C ? OEF 的体积.

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? 1 ? x .( e 为自然对数的底数) (1)若存在 x ? [?1, 2] ,使得 a ? e ? 1 ? x ? 0 成立,求 a 的取值范围;
x

(2)当 x ? 0 时, f ( x) ? (t ? 1) x 恒成立,求 t 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分) 已知 F (0,1) 是中心在坐标原点 O 的椭圆 C 的一个焦点,且椭圆 C 的离心率 e 为 (1)求椭圆 C 的方程; ( 2 )设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) 为椭圆 C 上不同的点,直线 MN 的斜率为 k1 ; A 是满足

1 . 2

OM ? ON ? ?OA(? ? 0) 的点,且直线 OA 的斜率为 k2 ,求 k1 ? k2 的值.
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 在 ?ABC 中 , AB ? AC ,过点 A 的直线与其外接圆交于点 P ,交 BC 延长线于点 D .

PC PD ? ; AC BD (2)若 AC ? 3 ,求 AP ? AD 的值.
(1)求证:

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,以极点为原点,极轴为 x 轴的非负半轴建立平面直

角坐标系,直线 l 的参数方程为 ?

? ? x ? t, ( t 为参数) ,将圆的极坐标方程化为直角坐标 ? ? y ? 3t ? 1

方程,直线 l 的参数方程化为普通方程,并求直线 l 被圆 C 截得的线段长度. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 ? x | ? | 2 x ? 1| . (1)画出函数 f ( x ) 的图像; (2)若不等式 f ( x) ? a 对于任意 x ? [?1, 2] 恒成立,求实数 a 的取值范围. 模拟试题(二) 一、选择题 1.C【解析】 A ? [0, ??) , B ? [2, 4] ,∴ A 2.D【解析】∵ z ?

(CR B) ? [0, 2) (4, ??) .故选 C.

5i 5i(1 ? 2i) ? ? 2 ? i ,∴ z ? 2 ? i ,故选 D. 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i)

3.B【解析】由三视图可知,该几何体是一个平放的直三棱柱,棱柱的底面为等腰直角三

1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 ,故选 B. 2 2 2 1 2 1 AD ? AB ? BD ? AB ? BC ? AB ? ( AC ? AB ) ? AB ? AC , 4. D 【解析】 ∴? ? , 3 3 3 3 3
角形,棱柱的高为 2,所以该几何体的体积为

??

2 ? 1 ,∴ ? . 3 ? 2
2 2

2 2 5.A【解析】点 M (a, b) 在圆 x ? y ? 1上 ? a ? b ? 1 ,圆心 O (0, 0) 到直线 ax ? by ? 1

距离 d ?

1 a 2 ? b2

? 1 ? 圆的半径,故直线与圆相切.故选 A.

6.A【解析】该地点出现排练人员的概率

1 ? ? ?12 扇形ADE的面积 ? 扇形CBF的面积 2 ? ? ? ? ,所以该地点无人员活动的概率 矩形ABCD的面积 2 4 ? 是 1 ? .故选 A. 4
7.C【解析】特值验证法,当 x ? 0 时, x ? 0 ,∴ x ? 3 ? 0 ,∴ f ( x) ? 0 ,故选 C.
3
3

8.A【解析】可知区域 D 如图所示,设 z ? 3x ? y ? b ,则 y ? ?3x ? z ? b ,结合图形可知 当点 P 的坐标为 (4,3) 时, z 有最大值为 15 ? b ,所以 15 ? b ? 15 ,即 b ? 0 .

9.B【解析】 a1a2 ? 2 ? 7 ? 14 ,所以 a3 ? 4 , 4 ? 7 ? 28 ,所以 a4 ? 8 , 4 ? 8 ? 32 ,所以

a5 ? 2 , 2 ? 8 ? 16 ,所以 a6 ? 6 ,故选 B
10.C【解析】①中的原命题为真,所以逆否命题也为真,所以①错误,②根据全称命题的 否定是特称命题知,②为真,③当函数为偶函数时,有 ? ? 以③正确, ④因为 sin x ? cos x ?

?
2

? k? ,所以为充要条件,所

? 3 2 sin( x ? ) 的最大值为 2 ? , 所以命题 p 为假命题, 4 2

? p 为真.三角函数在定义域上不单调,所以 q 为假命题,所以 (?p) ? q 为假命题,所以④
错误,所以正确的个数为 2 个,故选 C. 11.B【解析】由 tan B ? 2 2 可知 0 ? B ?

?
2

,∴ sin B ?

1 2 2 , cos B ? ,由余弦定理 3 3

得 cos B ?

7 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? 1 ? 8 1 2 ? ? , 2 a2 1 ?0 ? , 即 3a ? 解得 a ? 3 , 或 a ? ? (舍) , 3 2ac 2a 3

故 S?ABC ?

1 1 2 2 ac sin B ? ? 3 ?1? ? 2. 2 2 3
1 2
x

12.C【解析】在同一坐标系下做出函数 f ( x ) ? ( ) , f ( x) ? ?

1 的图像,由图像可知当 x

1 1 1 1 ∴当 x1 ? (??, x0 ) ,x2 ? ( x0 ,0) , x ? (??, x0 ) 时,( ) x ? ? ,x ? ( x0 ,0) 时,( ) ? ? , 2 x 2 x
有 f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? 0 ,故选 C.

二、填空题 13 . 1 【解析】抛物线的准线方程为 x ? ?2 ,∵双曲线的一个焦点在准线 x ? ?2 上,∴

?c ? ?2 ,即 c ? 2 ,且双曲线的焦点在 x 轴上,又双曲线的离心率为 2,即 e ?
解得 a ? 1 .

c 2 ? ? 2, a a

14. 16? 【解析】在三棱锥 A ? BCD 中,两两垂直的三条棱长分别是:3,2, 3 ,∴球 的直径是 32 ? 22 ? 3 ? 4 ,∴半径 R ? 2 ,∴球的表面积是 16? . 15 .

13 【解析】根据已知条件可得该程序功能是计算并输出结果: 7
13 1 1 1 ,由于输入的 a ? 6 ,故输出的结果是 . ? ??? ? ? 2? 7 1? 2 a(a ? 1) a ?1

S ? 1?

16.[?1, 2]【解析】 画出分段函数的图像, 显然如果方程有三个不同的实数根, 即函数 f ( x ) 与 y ? x 有三个交点,显然函数 y ? x 必须与二次函数 y ? x2 ? 4x ? 2 有两个交点分别是

(?2, ?2) 与 (?1, ?1) ,另外与 y ? 2 有一个交点,∴ ?1 ? m ? 2 .

三、解答题

1 ? ? sin(2 x ? ) , (3 分) 2 6 1 由题意,函数 f ( x ) 的最大(或最小)值为 m ,而 m ? 0 , ? ? 0 , 2 1 ∴m ? ? (6 分) 2 1 ? (2)∵ f ( x) ? ? sin(2 x ? ) , 2 6
17、解: (1) f ( x) ? cos x ? 3 sin x cos x ?
2

∴ sin( A ?

?

6

) ? 0,

又∵ A 为 ?ABC 的内角,∴ A ?

?
6



(9 分)

?ABC 中,设外接圆半径为 R ,则由正弦定理得: 2 R ?

a 4 3 4 3 ? ? ?8 3, sin A sin A sin ? 6

即: R ? 4 3 , 则 ?ABC 的外接圆半径为 4 3 . (12 分)

18、解: (1)①作出茎叶图如下图:

由茎叶图知: x舒适型 ?

1 (7.7 ? 7.8 ? 8.1 ? 8.6 ? 9.5 ? 9.3) ? 8.5 , 6

1 x豪华型 ? (7.6 ? 8.0 ? 8.2 ? 8.5 ? 9.5 ? 9.2) ? 8.5 ,∴ x舒适型 ? 8.5 , x豪华型 ? 8.5 , (2 分) 6
②由样本数据得

1 2 S舒适型 ? [(7.7 ? 8.5) 2 ? (7.8 ? 8.5) 2 ? (8.1 ? 8.5) 2 ? (8.6 ? 8.5) 2 6

?(9.5 ? 8.5)2 ? (9.3 ? 8.5)2 ] ? 0.49 ,
1 2 S豪华型 ? [(7.6 ? 8.5) 2 ? (8.0 ? 8.5) 2 ? (8.2 ? 8.5) 2 ? (8.5 ? 8.5) 2 6

?(9.5 ? 8.5)2 ? (9.2 ? 8.5)2 ] ? 0.44 ,
∴ S舒适型 ? 0.49 , S豪华型 ? 0.44
2 2

(4 分)

由此可知两种车型的功能评价的平均水平相同;豪华型轿车比舒适型轿车功能发挥更稳定; 利用茎叶图处理现有数据的优点为:用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据的分布状 况,而且可以看出每组中的具体数据和集中分布程度. (6 分) (2)设从对两种型号轿车评价的六次分值中各随机抽取 1 次,求两分值中一个高于 8.5 分 另一个低于 8.5 分为事件 A ,从对两种轿车评价的六次分值中各随机抽取 1 次,共有

(7.7, 7.6) , (7.7,8.0) , (7.7,8.2) , (7.7,8.5) , (7.7,9.5) , (7.7,9.2) , (7.8, 7.6) , (7.8,8.0) , (7.8,8.2) ,(7.8,8.5) ,(7.8,9.5) ,(7.8,9.2) ,(8.1, 7.6) ,(8.1,8.0) ,(8.1,8.2) ,(8.1,8.5) , (8.1,9.5) ,(8.1,9.2) ,(8.6, 7.6) ,(8.6,8.0) ,(8.6,8.2) ,(8.6,8.5) ,(8.6,9.5) ,(8.6,9.2) , (9.3, 7.6) ,(9.3,8.0) ,(9.3,8.2) ,(9.3,8.5) ,(9.3,9.5) ,(9.3,9.2) ,(9.5, 7.6) ,(9.5,8.0) , (9.5,8.2) , (9.5,8.5) , (9.5,9.5) , (9.5,9.2) 共 36 种. (7.7,9.2) , (7.8,9.5) , (7.8,9.2) , 两分值中一个高于 8.5 分另一个低于 8.5 分的有 (7.7,9.5) , (8.1,9.5) ,(8.1,9.2) ,(8.6, 7.6) ,(8.6,8.0) ,(8.6,8.2) ,(9.3, 7.6) ,(9.3,8.0) ,(9.3,8.2) ,
15 5 ? . (12 分) 36 12 19.解: (1)平面 ABCD ? 平面 ABEF , CB ? AB ,平面 ABCD 平面 ABEF ? AB , ∴ CB ? 平面 ABEF ,∵ AF 在平面 ABEF 内,∴ AF ? CB , (3 分)

(9.5, 7.6) , (9.5,8.0) , (9.5,8.2) 共 15 种,则 P ( A) ?

∴ AF ? FB , ∴ AF ? 平面 CBF . (6 分) (2)由(1)知 CB ? 平面 ABEF ,即 CB ? 平面 OEF ,∴三棱锥 C ? OEF 的高是 CB , ∴ CB ? AD ? 1 .(8 分) OE ? OF ? EF ? 1 , ∴ ?OEF 为正三角形,∴正 ?OEF 的高是

3 , (10 分) 2

∴ VC ?OEF ?

1 1 1 3 3 .(12 分) CB ? S?OEF ? ?1? ? ?1 ? 3 3 2 2 12
x

20.解: (1) a ? e ? 1 ? x ,即 a ? f ( x) ,令 f ?( x) ? e x ?1 ? 0 , x ? 0 , ∴ x ? 0 时, f ?( x) ? 0 , x ? 0 时, f ?( x) ? 0 , ∴ f ( x ) 在 (??, 0) 上为减函数,在 (0, ??) 上为增函数, ∴ x ? [?1, 2] 时, f ( x ) 的最大值在区间端点出取得,

f (?1) ? e?1 ? 1 ? 1 ?
又 f (2) ? f (1) ,

1 2 , f (2) ? e ? 3 , e

∴ f ( x ) 在 [?1, 2] 上最大值为 e ? 3 ,
2

故的取值范围是 a ? e ? 3 .
2 x

(6 分)

x x (2)由已知可得 x ? 0 时, e ? 1 ? tx ? 0 恒成立,令 g ( x) ? e ?1 ? tx ,则 g?( x) ? e ? t ,

若 t ? 1 ,则当 x ? (0, ??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 为增函数,则 g (0) ? 0 , 从而当 x ? 0 时, g ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? (t ? 1) x 恒成立, 若 t ? 1 ,则当 x ? (0,ln t ) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 为减函数,而 g (0) ? 0 , 从而当 x ? (0,ln t ) 时, g ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? (t ? 1) x ,∴ t ? 1 不符合题意, 综上可得 t 的取值范围为 (??,1] . (12 分)

y 2 x2 21.解: (1)依题意,可设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , a b
由 c ? 1, e ?

(1 分)

c 1 ? ,得 a ? 2 ,由 b2 ? a 2 ? c 2 ,可得 b2 ? 3 . a 2

(3 分)

故椭圆 C 的方程为

y 2 x2 ? ? 1. 4 3

(5 分)

(2)由 M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) ,且 k1 存在,得 k1 ?

y2 ? y1 , x2 ? x1

(6 分)

由 OM ? ON ? ? OA , ? ? 0 且 k2 存在,得 k2 ?
2 y2 ? y1 y2 ? y1 y2 ? y2 , (8 分) ? ? 2 1 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x12

y2 ? y1 , x2 ? x1

则 k1 ? k2 ?

∵ M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 在椭圆上,∴

y12 x12 y 2 x2 ? ? 1, 2 ? 2 ? 1. 4 3 4 3

(9 分)

2 2 2 y2 ? y12 x2 ? x12 y2 ? y12 4 ? ? 0, 2 两式相减得 ?? 2 4 3 x2 ? x1 3

∴ k1 ? k2 ? ?

4 . 3

(12 分) ,

D C ?? B D A 22. 解: (1) 连接 BP , ∵四边形 ABCP 内接于圆, ∴ ?PCD ? ?BAD , 又 ?P ∴ ?PCD ∽ ?BAD ,

PC PD ? , BA BD 又∵ AB ? AC , PC PD ? ∴ . (5 分) AC BD (2)∵ AB ? AC ,∴ ?ABC ? ?ACB , 又∵四边形 ABCP 内接于圆∴ ?ACB ? ?APB , 从而 ?ABC ? ?APB ,又 ?BAP ? ?BAD , PC AB ? ∴ ?PAB ∽ ?BAD ,∴ , BA AD
∴ ∴ AP ? AD ? AB .
2

2 2 又∵ AB ? AC ? 3 ,∴ AP ? AD ? AB ? AC ? 9 .

(10 分) (3 分)

2 2 23.解:圆 c 的极坐标方程 ? ? 4sin ? 化为直角坐标方程为: x ? ( y ? 2) ? 4

把直线的参数方程 ? 分)

? ? x ? t, ( t 为参数)化为普通方程为: 3x ? y ? 1 ? 0 , y ? 3 t ? 1 ? ?

(6

圆心到直线的距离为: d ?

| 0 ? 2 ? 1| ( 3) ? 1
2 2

?

1 , 2

(8 分)

所以直线 l 被曲线 C 截得的线段长度为 2 r ? d ? 2 ?
2 2

15 ? 15 . 4

(10 分)

1 ? ??3x ? 1, x ? ? 2 ? 1 ? 24. 解: (1) 利用零点分段讨论法去绝对值得到函数的解析式是:f ( x) ? ? x ? 3, ? ? x ? 2 , 2 ? ?3 x ? 1, x ? 2 ? ?
函数的图像如图所示:

(5 分) ( 2 )根据函数 f ( x) ? | 2 ? x | ? | 2x ? 1|的图像可知, f ( x ) 在 x ? [?1, 2] 内的最大值在

x ? 2 时取到, f ( x)max ? 5 ,
∴要满足题意需 a ? 5 .

(8 分) (10 分)


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