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四川省仁寿一中北校区2016届高三上学期阶段复习练习(一)数学(理)试卷


仁寿一中北校区 2016 届数学(理)练习 (一)
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1. 设集合 A ? ?x | ( x ? 1)(x ? 2) ? 0?, B ? ?x | 1 ? x ? 3?, 则A ? B ? ? A. C.

?

?x | ?1 ? x ? 3? ?x | 1 ? x ? 2?

B. D.

?x | ?1 ? x ? 1? ?x | 2 ? x ? 3?
)

2. 命题“若 a 2 ? b 2 ? 0, 则a ? 0且b ? 0 ”的逆否命题是( A.若 a 2 ? b 2 ? 0, 则a ? 0且b ? 0 C.若则 a ? 0且b ? 0, 则a 2 ? b 2 ? 0 3.给出下列四个命题: ①命题 p : ?x ? R, sin x ? 1 ,则 ?p : ?x ? R, sin x ? 1 . ②当 a ? 1 时,不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 的解集为非空.
1 ③当 x ? 1 时,有 ln x ? ln x ? 2 .

B.若 a 2 ? b 2 ? 0, 则a ? 0或b ? 0 D.若 a ? 0或b ? 0, 则a 2 ? b 2 ? 0

④设复数 z 满足(1-i)z=2 i,则 z=1-i 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.若 a ? b ? c ,则函数 f ? x ? ? ? x ? a ?? x ? b? ? ? x ? b?? x ? c ? ? ? x ? c ?? x ? a ? 的两个零点 分别位于区间( A. C. ) B. ?

? b, c ? 和 ?c, ??? 内
? a, b ? 和 ? b, c ? 内

??, a ?

和?

a, b ?

内 内 )

D. ?

??, a ?

和?

c, ???

5. 设 x,y∈R,则“x≥2 且 y≥2”是“ x 2 ? y 2 ? 4 ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 6. 若 函 数 f ( x) ? a x ? loga ( )
( x?1)

B.必要而不充分条件 D.即不充分也不必要条件

在?0,1?上的最大值与最小值之 和为a, 则a的 取 值 为

A. 2

B. 4

C.

1 4

D.

1 2

7. 设点 P 在曲线 y ? e x 上,点 Q 在曲线 y ? ln x 上,则|PQ|最小值为( A. 2 ? 1 B.

)

2

C. 1 ? 2

D. ln 2

8. 若定义在 R 上的偶函数 f ?x ? 满足 f ?x ? 2? ? f ?x ? 且 x ? ?0,1? 时, f ?x? ? x, 则方 程 f ?x? ? log3 x 的零点个数是( A. 2个 B. 3个 ) C. 4 个 D. 多于 4 个 )

? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 f ( x ) ? ? 9.已知函数 ,若| f ( x) |≥ ax ,则 a 的取值范围是( ?ln( x ? 1), x ? 0
A. (??, 0] B. (??,1] C. [?2,1] D. [?2, 0]

2 10. 设直线 x ? t 与函数 f ( x) ? x , g ( x) ? ln x 的图象分别交于点 M , N , 则当 | MN |

达到最小时 t 的值为( A.1

) B.
1 2

C.

5 2

D.

2 2

x 11.已知函数 f ( x ) 定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? e ( x ? 1) ,给出下列命

题:
x ①当 x ? 0 时, f ( x ) ? e (1 ? x );

②函数 f ( x ) 有 2 个零点 ④ ?x1 , x2 ? R ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2 C.3 D.4

③ f ( x ) ? 0 的解集为 ( ?1, 0) ? (1, ? ?) 其中正确命题个数是( A.1 B.2 12. )

已 知 函 数 f ? x ? ? x2 ? 2 ? a ? 2? x ? a2 , g ? x ? ? ?x2 ? 2 ? a ? 2? x ? a2 ? 8. 设

H1 ? x ? ? max ? f ? x ? , g ? x ??, H2 ? x ? ? min ? f ? x ? , g ? x ??, ? max ? p, q?? 表示 p, q 中的较
大值, min ? p, q? 表示 p, q 中的较小值,记 H1 ? x ? 得最小值为 A, H 2 ? x ? 得最大值为
B ,则 A? B ? (

)
2 B. a ? 2a ? 16

2 A. a ? 2a ? 16

C. ?16

D. 16

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都 必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

?a x , ( x ? 1) ? 13. 已知 f ( x) ? ? 是 R 上的单调增函数,则实数 a 的取值范围 a ?(4 ? ) x ? 2, ( x ? 1) 2 ?
________. 14. 方 程 x 3 ? 3x ? k 有 3 个 不 等 的 实 根 , 则 常 数 k 的 取 值 范 围 是 .

15. 已知“命题 p : ( x ? m)2 ? 3( x ? m) ”是“命题 q : x2 ? 3x ? 4 ? 0 ”成立的必要 不充分条件,则实数 m 的取值范围为_________________.
x2 ? 1 f ( x ) ? lg ( x ? 0) ,有下列命题: 16. 关于函数 | x|

①其图象关于 y 轴对称; ②当 x>0 时,f(x)是增函数;当 x<0 时,f(x)是减函数; ③f(x)的最小值是 lg2; ④f(x)在区间(-1,0) 、 (2,+∞)上是增函数; ⑤f(x)无最大值,也无最小值. 其中所有正确结论的序号是 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演 算步骤 17. (本小题满分 12 分) 设 命 题 p: 函 数 f ( x) ? l gax ( 2 ? 4x ? a) 的 定 义 域 为 R; 命 题 q: 不 等 式
2 x 2 ? x ? 2 ? ax ,对
? x∈(-∞,-1)上恒成立,如果命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,

求实 a 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分)
n 设函数 fn ( x) ? x ? bx ? c (n ? N? , b, c ? R)

?1 ? ,1? (1)设 n ? 2 , b ? 1, c ? ?1,证明: f n ( x) 在区间 ? ? 2 ? 内存在唯一的零点;

(2) 设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) |? 4 ,求 b 的取值范围; 19. (本小题满分 12 分) 某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元, 每生产 x 千件, 需另投入成本为 C ( x) ,
1 2 当年产量不足 80 千件时,C ( x) ? 3 x ? 10 x(万元) .当年产量不小于 80 千件时,
10000 ? 1450 (万元).每件商品售价为 0.05 万元.通过市场分析, x 该厂生产的商品能全部售完. C ( x) ? 51x ?

(Ⅰ)写出年利润 L( x) (万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式; (Ⅱ)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 20. (本小题满分 12 分)
x 设 a 为实数,函数 f ( x) ? e ? 2x ? 2a, x ? R.

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间与极值;
x 2 (Ⅱ)求证:当 a ? ln 2 ? 1且 x ? 0 时, e ? x ? 2ax ? 1.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b , g ( x) ? e x (cx ? d ) , 若曲线 y ? f ( x) 和曲线 y ? g ( x) 都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y ? 4 x ? 2 . (Ⅰ)求 a , b , c , d 的值; (Ⅱ)若 x ? ?2 时, f ( x) ? kg( x) ,求 k 的取值范围. 22. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ? | x ?1| . (Ⅰ)当 a = 3 时,求不等式 f ( x) ? 2 的解集; (Ⅱ)若 f ( x) ? 5 ? x 对 ?x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围.

高三数学(理科)试卷参考答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 号 答 B D A C A D B C D D B C 案 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 3 14. -2<k<2 15. (??, ?7] ? [1, ??) 16.①③④

三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演 算步骤 17. 解:p:?<0 且 a>0,故 a>2; q:a>2x-2/x+1,对 ? x∈(-∞,-1),上恒成立,增函数(2x-2/x+1)<1 此时 x=-1,故 a ≥1 “p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,等价于 p,q 一真一假.故 1≤a≤2
n 18. 解析:(1) b ? 1, c ? ?1 , n ? 2 时, fn ( x) ? x ? x ?1

?1 ? 1 1 1 f n ( ) f n (1) ? ( n ? ) ?1 ? 0 ? ,1? 2 2 2 ∵ ,∴ f n ( x) 在 ? 2 ? 内存在零点. ?1 ? x ? ? ,1? n?1 ? 2 ? 时, fn?( x) ? nx ? 1 ? 0 又当 ?1 ? ?1 ? ,1? ? ? ,1? f ( x ) f ( x ) 2 ? ? n n ∴ 在 上是单调递增的,所以 在 ? 2 ? 内存在唯一零点.
2 (2)当 n ? 2 时, f2 ( x) ? x ? bx ? c

对任意 x1 , x2 ?[?1,1] 都有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) |? 4 等价于 f 2 ( x) 在 [?1,1] 上最大值与最小
b |? 1 值之差 M ? 4 ,据此分类讨论如下:(ⅰ)当 2 ,即 | b |? 2 时, |

M ?| f2 (1) ? f2 (?1) |? 2 | b |? 4 ,与题设矛盾
?1 ? ? b ?0 2 ,即 0 ? b ? 2 时,

(ⅱ)当

b b M ? f 2 (?1) ? f 2 (? ) ? ( ? 1) 2 ? 4 2 2 恒成立

(ⅲ)当

0?

b ?1 2 ,即 ?2 ? b ? 0 时,

b b M ? f 2 (?1) ? f 2 (? ) ? ( ? 1) 2 ? 4 2 2 恒成立.

综上可知, ?2 ? b ? 2 注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并证明如下: 用 max{a, b} 表示 a , b 中的较大者.当
?1 ? b ?1 2 ,即 ?2 ? b ? 2 时,

b M ? max{ f 2 (1), f 2 (?1)} ? f 2 (? ) 2 f (?1) ? f 2 (1) | f 2 (?1) ? f 2 (1) | b ? 2 ? ? f 2 (? ) 2 2 2

? 1 ? c ? | b | ?( ?
? (1 ?

b2 ? c) 4

|b| 2 ) ?4 2 恒成立

?1 ? ? ,1? f ( x ) x n n (3)证法一 设 是 在 ? 2 ? 内的唯一零点 (n ? 2)

fn ( xn ) ? x ? xn ?1 , fn?1 ( xn?1 ) ? x
n n

n?1 n?1

?1 ? xn ?1 ? ? ,1? ? xn?1 ?1 ? 0 , ?2 ?

n?1 n 于是有 fn ( xn ) ? 0 ? fn?1 ( xn?1 ) ? xn?1 ? xn?1 ?1 ? xn?1 ? xn?1 ?1 ? fn ( xn?1 )

?1 ? ? ,1? 又由(1)知 f n ( x) 在 ? 2 ? 上是递增的,故 xn ? xn?1 (n ? 2) ,

所以,数列 x2 , x3 ,?, xn ?是递增数列.
?1 ? ? ,1? f ( x ) x n n 证法二 设 是 在 ? 2 ? 内的唯一零点
n?1 n?1 n fn?1 ( xn ) fn?1 (1) ? ( xn ? xn ?1)(1n?1 ?1 ?1) ? xn ? xn ?1 ? xn ? xn ?1 ? 0

则 f n?1 ( x) 的零点 xn ?1 在 ( xn ,1) 内,故 xn ? xn?1 (n ? 2) , 所以,数列 x2 , x3 ,?, xn ?是递增数列.

19.解: (Ⅰ) 因为每件商品售价为 0.05 万元, 则 x 千件商品销售额为 0.05×1000 x 万元,依题意得:
1 L( x) ? (0.05 ?1000 x) ? x 2 ? 10 x ? 250 3 当 0 ? x ? 80 时, 1 ? ? x 2 ? 40 x ? 250 3 .????????????2 分 L( x) ? (0.05 ?1000 x) ? 51x ? 10000 ? 1450 ? 250 x

当 x ? 80 时,

10000? ? 1200? ? x ? ? x ? .??????????????????4 分 ? =

? 1 2 ? x ? 40x ? 250(0 ? x ? 80), ? ? 3 L( x) ? ? 10000? ?1200? ? ?x? ?( x ? 80). ? x ? ? ? 所以 ????6 分
1 L( x) ? ? ( x ? 60) 2 ? 950 . 3 (Ⅱ)当 0 ? x ? 80 时,

此时,当 x ? 60 时, L( x) 取得最大值 L(60) ? 950万元.

??????8 分

? 10000? L( x) ? 1200? ? x ? ? x ? ?
当 x ? 80 时,
x?

? 1200? 2 x ?

10000 ? 1200? 200 ? 1000 x

此时,当

10000 x 时,即 x ? 100 时 L( x) 取得最大值 1000 万元.??????11

分 ? 950 ? 1000 所以, 当产量为 100 千件时, 该厂在这一商品中所获利润最大, 最大利润为 1000 万元. ???????????????????????????????12 分
x ' x 20. (1)解:由 f ( x) ? e ? 2x ? 2a, x ? R 知, f ( x) ? e ? 2, x ? R .
' 令 f ( x) ? 0 ,得 x ? ln 2 .于是,当 x 变化时, f ?? x ? 和 f ?x ? 的变化情况如下表:

x

(??,ln 2)

ln 2

(ln 2, ??)

f ' ( x)
f ( x)

?
单调递减

0
2 ? 2 ln 2 ? 2a

+ 单调递增

故 f ( x) 的单调递减区间是 (??,ln 2) ,单调递增区间是 (ln 2, ??) . f ( x) 在 x ? ln 2 处取得极小值,极小值为 f (ln 2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a .
x 2 x (2)证明:设 g ( x) ? e ? x ? 2ax ?1, x ? R ,于是 g?( x) ? e ? 2x ? 2a, x ? R .

由(1)知, 对任意 x ? R ,都有 g ( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 R 内单调递增.
'

于是,当 a ? ln 2 ? 1 时,对任意 x ? (0, ??) ,都有 g ( x) ? g (0) ,而 g (0) ? 0 ,
x 2 x 2 从而对任意 x ? (0, ??) ,都有 g ( x) ? 0 ,即 e ? x ? 2ax ?1 ? 0, 故 e ? x ? 2ax ? 1.

21. (Ⅰ)由已知得 f (0) ? 2, g (0) ? 2, f ?(0) ? 4, g ?(0) ? 4 ,
x 而 f ?( x) = 2 x ? b , g ?( x) = e (cx ? d ? c) ,∴ a =4, b =2, c =2, d =2; 2 x (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? x ? 4 x ? 2 , g ( x) ? 2e ( x ? 1) , x 2 设函数 F ( x) = kg ( x) ? f ( x) = 2ke ( x ? 1) ? x ? 4 x ? 2 ( x ? ?2 ),

F ?( x) = 2ke x ( x ? 2) ? 2 x ? 4 = 2( x ? 2)(ke x ? 1) , 有题设可得 F (0) ≥0,即 k ? 1 ,

x x 令 F ?( x) =0 得, 1 = ? ln k , 2 =-2,
2 x x ? (?2, x1 ) 时 , F ( x) <0, 当 x ? ( x1 , ??) (1) 若 1 ? k ? e , 则 -2< 1 ≤0, ∴ 当

时 , F ( x) >0, 即 F ( x) 在 最小值 F ( x1 ) ,而

(?2, x1 ) 单调递减 ,在 ( x1 , ??) 单调递增 , 故 F ( x) 在 x = x1 取

F ( x1 ) = 2 x1 ? 2 ? x12 ? 4 x1 ? 2 = ? x1 ( x1 ? 2) ≥0,

∴当 x ≥-2 时, F ( x) ≥0,即 f ( x) ≤ kg ( x) 恒成立,
2 x 2 2 (2)若 k ? e ,则 F ?( x) = 2e ( x ? 2)(e ? e ) ,

∴当 x ≥-2 时, F ?( x) ≥0,∴ F ( x) 在(-2,+∞)单调递增,而 F (?2) =0, ∴当 x ≥-2 时, F ( x) ≥0,即 f ( x) ≤ kg ( x) 恒成立,
?2 2 2 ?2 (3)若 k ? e ,则 F (?2) = ?2ke ? 2 = ?2e (k ? e ) <0,

∴当 x ≥-2 时, f ( x) ≤ kg ( x) 不可能恒成立, 综上所述, k 的取值范围为[1, e ]. 22. (Ⅰ)证明:? PE 切⊙ O 于点 E ,??A ? ?BEP
? PC
2

平分??A ? ?CPA ? ?BEP ? ?DPE

? ?ECD ? ?A ? ?CPA , ?EDC ? ?BEP ? ?DPE , ??ECD ? ?EDC ,? EC ? ED

(Ⅱ)证明:? ?PDB ? ?EDC , ?EDC ? ?ECD , ?PDB ? ?PCE
??BPD ? ?EPC ,??PBD

∽ ?PEC ,

?

PE PC ? PB PD

同理 ?PDE ∽ ?PCA ,
?

?

PC CA ? PD DE

PE CA CA PE ? ? DE ? CE , ? ? PB DE CE PB

23.

24.解:(Ⅰ) a ? 3 时,即求解
x?

2 x ? 3 ? x ?1 ? 2

①当

3 2 时, 2 x ? 3 ? x ? 1 ? 2 ? x ? 2 3 2 时, 3 ? 2 x ? x ? 1 ? 2 ? 2 ? x ? 2 ? x ? 0

②当

1? x ?

③当 x ? 1 时,

3 ? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 3x ? 2 ? x ?

2 3
y
4

? 2 ? ? x x ? 或x ? 2? 3 ? ?5? ? 综上,解集为 ?
(Ⅱ)即

2 x ? a ? 5 ? x ? x ?1

恒成立

?6 ? 2 x, x ? 1 g ( x) ? 5 ? x ? x ? 1 ? ? ? 4, x ? 1 则函数图象为 令
a ? ?3 2 ,? a ? 6 ?10?

o

3

a 2

x


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