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高数A(1)试卷A答案


中国计量学院 201 ~ 201 学年第一学期 《高等数学(A)(1) 》课程考试试卷(A) 参考答案及评分标准
开课二级学院: 理学院 ,学生班级: 一、 单项选择题(每小题 3 分, 共 15 分)
1—5 B AA D C

,教师:

二、填空题(每小题 3 分, 共 15 分)
1、

y = cx

2、 (2, 2e?2 )

3、

dy 1 ?? ? cot t dx sin t

4、

1 2

5、

?2

三、计算题(每小题 6 分,共 48 分)
1、 解: y = e
dx 蝌 (ò e- x e dx

dx + C )

(+3 分) (+3 分)

= e- x ( 蝌 e- x e x dx + C ) = e- x (

dx + C ) = e- x ( x + C)

? e ax , x?0 f ( x ) ? 2、解:因为 ? ?b(1 ? x), x ? 0

在点 x ? 0 处可导必连续,所以 b ? 1

(+3 分)

又在点 x ? 0 处可导,所以由 f ??(0) ? a, f ??(0) ? ?1,得所以

a ? ?1

(+3 分)

? 3、解: lim

x 0

x sin x 2 1 sin x 2 1 (+3 分 ) ? lim ? x ?0 x ?0 4 x ?0 x 2 4 x4 4 x3 dy dy x sin y - y 2 - 2 xy 4、解 :方程两边对 x 求导,得 e = (+3 分) dx dx ? lim
dy dy ex + y2 于是 , = dx dx sin y - 2 xy
5、解:令 t ?
x= 0

t sin t 2 dt

(+3 分)

不存在

(+3 分)

x ? 1 ,则 dx ? 2tdt , ?

x t 2 ?1 dx ? ? 2tdt ? ? 2t (t ? 1)dt 1? t 1? 1? x
(+3 分) (+3 分)

(+3 分)

2 2 ? t 3 ? t 2 ? C ? (1 ? x)( x ? 1 ? 1) ? C 3 3
6、 解:

?x

2

cos xdx ? ? x 2 d sin x ? x 2 sin x ? ? 2 x sin xdx

? x 2 sin x ? 2 ? xd cos x ? x 2 sin x ? 2 x cos x ? 2 ? cos xdx

? x2 sin x ? 2x cos x ? 2sin x ? C .

(+3 分)

201 -201 学年第一学期《高等数学(A)(1)》课程试卷(A)参考答案及评分标准

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7、解:

?

2

0

max{x, x 2 }dx ? ? xdx ? ? x 2 dx
0 1

1

2

(+3 分) (+3 分) (+4 分) (+2 分)

?

1 2 1 1 3 2 1 7 17 x ? x ? ? ? 2 0 3 1 2 3 6
2

8、 解: 特征方程是 r ? 4r ? 5 ? 0 , 故 r 1,2 ? ?2 ? i 因此方程的通解是

y ? ?C1 cos x ? C2 sin x ? e?2 x .

四、应用题(每小题 6 分,共 12 分)
1、解:设长方形的长、宽分别 2 x, 2 y ,则有 r 2 ? x2 ? y 2 ,且面积为

s ? 4 xy ? 4 x r 2 ? x 2
所以 s? ? 4 r ? x ?
2 2

(+3 分)

4 x2 r 2 ? x2

,令 s ? ? 0 ,则 x ? (+3 分)

2r 2r ,因此 y ? ,所以 此时长方形 2 2

的面积为最大。 2、 解:解得两曲线的交点为

A(- 2, 2) 和 B(4,8) ,则所求面积为
=18
(+2 分)

1 2 x )dx (+4 分) 2 五、证明题(每小题 5 分,共 10 分) s=

ò

4

- 2

(x + 4-

1、证明:设 f ( x) ? e x ? xe ,则当 x ? 1 时就有 f ?( x) ? e x ? e ? 0 ,故 f ( x ) 是递增函数, (+3 分) 而 f (1) ? 0 ,因此当 x ? 1 时就有 f ( x) ? e x ? xe ? f (1) ? 0 ,即有

e x ? xe

(+2 分)

2、证:设 ? ? [0, a] 是 f ( x ) 取到最大值的点,由可导,必有 f ?(? ) ? 0 ,对 f ?( x ) 在 [0, ? ] 上用 拉格朗日中值定理得,至少存在一点?1 ? (0, ? ) ,使得

f ?(? ) ? f ?(0) ? f ??(?1 )(? ? 0) ,
得 f ?(0)

? f ?(? ) ? f ?(0) ? f ??(?1 )(? ? 0) ? m?

(+3 分)

对 f ?( x ) 在 [? , a ] 上用拉格朗日中值定理得,至少存在一点?2 ? (? , a) ,使得

f ?(a) ? f ?(? ) ? f ??(?2 )(a ? ? ) ,
得 f ?(a) 所以

? f ?(a) ? f ?(? ) ? f ??(?2 )(a ? ? ) ? m(a ? ? )
(+2 分)

f ?(0) ? f ?(a) ? m? ? m(a ? ? ) ? ma

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