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0020——2015北京市延庆县期末(word)


延庆县 2014-2015 学年第一学期期末测试卷 初 三 数 学
1.本试卷共 6 页,共五道大题,25 道小题,满分 120 分,考试时间 120 分钟. 考生 须知 2.在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和学号. 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效 . ......................... 4.在答题卡上,选择题、作图题用 2B 铅笔作答,其他试题用黑色签字笔作答.

一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 下列各题均有四个选项,其中只有一个是符合题 意 的 ........ . . 1. 下列图形中,是中心对称图形的是

A.

B.

C.

D.

2.在一个不透明的口袋中装有 5 个完全相同的小球,把 它们分别标号为 1,2,3,4,5, 从中随机摸出一个小球,其标号小于 4 的概率为 A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

3. 抛物线 y ? ( x ? 2)2 ? 3 的顶点坐标是 A. (2,3) B. (-2,3) C. (2,-3) D. (-2,-3)

A
4. 如图, □ABCD 中,点 E 是边 AD 的中点,EC 交对角线 BD 于点 F, 则 EF:FC 等于 A.1:1 B.1:2 C.1:3 D.2:3

E F

D

B
C

C

5.如图,⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD,垂足是 E,OC= 5,CD=8, 则 OE 的长为 A.1 B.2 C.3 D. 4
A D E O B

6.在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,若 AB= 5 ,BC=2,则 sinB 的值为 A.
5 5

B.

2 5 5

C.

1 2

D.2

7.二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象如图所示, 则下列结论中错误 的是 .. A.函数有最小值 B .当-1 < x < 2 时, y ? 0 C. a ? b ? c ? 0 D.当 x ?

1 ,y 随 x 的增大而减小 2

8.如图,矩 形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,E,F 分别是边 BC,AD 的中点, AB=3,BC=4,一动点 P 从点 B 出发,沿着 B﹣A﹣D﹣C 在矩形的边上运动,运动到 点 C 停止,点 M 为图 1 中某一定点,设点 P 运动的路程为 x,△BPM 的面积为 y,表 示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示.则点 M 的位置可能是图 1 中的
y
A F O P B E C D
4 3 2 1

O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

图1 A.点 C B.点 F C.点 D

图2 D.点 O

二、填空题 (本题共 16 分,每小题 4 分) 9.如果圆锥的母线长为 5cm,底面半径为 2cm,那么这个圆锥的侧面积是________ cm2. 10. 请写出一个开口向下,并且与 y 轴交于点(0,-2)的抛物线的表达式__________. 11. 已知关于 x 的一元二次方程 x ? 4 x ? m ? 1 ? 0 无实数根,那么 m 的取值范围是____.
2

12. 如图,AD 是⊙O 的直径. (1)如图 1,垂直于 AD 的两条弦 B1C1,B2C2 把圆周 4 等分,则∠B1 的度数是 的度数是 ; ; ,∠B2

(2)如图 2, 垂直于 AD 的三条弦 B1C1, B2C2, B3C3 把圆周 6 等分, 则∠B3 的度数是

(3)如图 3,垂直于 AD 的 n 条弦 B1C1,B2C2,B3 C3,…,BnCn 把圆周 2n 等分,则∠Bn 的度数是 (用含 n 的代数式表示∠Bn 的度数) .

A B1 C1

B1 B2

A

C1
B3

B2

B1

A

C1

C2 C3

O
B2 C2 D
图1

O
B3 C3 D
图2

C2
Bn-2 Bn-1

O
Cn-2 B n D Cn Cn-1

图3

三、解答题(本题共 35 分,每小题 5 分) 13. 计算: 8-4sin 45? ? (? ? 2015)0 ? ( )?2 14. 解方程: x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 15. 已知:二次函数的图象过点 A(2,-3) ,且顶点坐标为 C(1,-4) . (1)求此二次函数的表达式; (2)画出此函数图象,并根据函数图象写出:当 ?1 ? x ? 2 时,y 的取值范围. 16. 如图,在⊙O 中,弦 AC 与 BD 交于点 E,AB=8,AE=6,ED=4,求 CD 的长. C B C E
A O D
60° 30°

1 2

A

B

D

(第 16 题)

(第 17 题)

17.如图,一渔船由西往东航行,在 A 点测得海岛 C 位于北偏东 60° 的方向,前进 30 海 里到达 B 点,此时,测得海岛 C 位于北偏东 30° 的方向,求海岛 C 到航线 AB 的距离 CD 的长(结果保留根号) . 18. 已知:AD 是△ABC 的高, AD ? 7 ,AB=4, tan ?ACD ? 7 ,求 BC 的长.

19. 某种商品每天的销售利润 y(元)与销售单价 x(元)之间 满足关系:y = ax + bx﹣75.其图象如图. (1)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大? 最大利润为多少元?
2

(2)销售单价在什么范围时,该种商品每天的销售利润 不低于 16 元? 四、解答题(本题共 15 分,每小题 5 分) (第 19 题)

20. 有六张完全相同的卡片,分 A,B 两组,每组三张,在 A 组的卡片上分别画上☆○☆, B 组的卡片上分别画上☆○○,如图 1 所示. (1)若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上,再分别从两组卡片中随机各抽取一张, 求两张卡片上标记都是☆的概率(请用画树形图法或列表法求解) (2)若把 A,B 两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到 3 张卡片,其正反面标 记 如图 2 所示,将卡片正面朝上摆放在桌上,并用瓶盖盖住标记.若揭开盖子,看 到的卡片正面标记是☆后,猜想它的反面也是☆,求猜对的概率是多少?
A组 B组
正面 反面





○ ○





○ ○


图1


图2

F

21. 如图,在△ABC 中,以 AC 为直径作⊙O 交 BC 于点 D, 交 AB 于点 G,且 D 是 BC 中点,DE⊥AB,垂足为 E,
C

交 AC 的延长线于点 F. (1)求证:直线 EF 是⊙O 的切线; 2 (2)CF=5,cos∠A = ,求 BE 的长. 5 22. 探究发现:
O

D B A G E

如图 1,△ABC 是等边三角形,点 E 在直线 BC 上,∠AEF=60° ,EF 交等边三角形外角 平分线 CF 于点 F,当点 E 是 BC 的中点时,有 AE=EF 成立; 数学思考: 某数学兴趣小组在探究 AE,EF 的关系时,运用“从特殊到一般”的数学思 想,通过验证得出如下结论: 当点 E 是直线 BC 上 (B, C 除外) (其它条件不变) , 结论 AE=EF 仍然成立. 请你从“点 E 在线段 BC 上”;“点 E 在线段 BC 延长线”;“点 E 在线段 BC 反向延长线上”三种情 况中,任选一种情况,在图 2 中画出图形,并证明 AE=EF. 拓展应用:当点 E 在线段 BC 的延长线上时,若 CE=BC,在图 3 中画出图形,并运用上 述结论求出 S△ABC:S△AEF 的值.
A

A

F

图1

A

图2

B

图3

C

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 9 分,第 25 题 6 分) 23. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 ? 2 x ? (1)求 k 的值; (2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于 x 的二次函数 y ? x2 ? 2 x ? 向下平移 9 个单位,求平移后的图象的表达式; (3)在 (2) 的条件下, 平移后的二次函数的图象与 x 轴交于点 A,B (点 A 在点 B 左侧) , 直线 y ? kx ? b(k ? 0) 过点 B,且与抛物线的另一个交点为 C,直线 BC 上方的抛物 线与线段 BC 组成新的图象,当此新图象的最小值大于-5 时,求 k 的取值范围.

k ?1 ? 0 有实数根, k 为正整数. 2 k ?1 的图象 2

24. 已知:△ABC 是⊙O 的内接三角形,AB=AC,在∠BAC 所对弧 AC 上,任取一点 D, 连接 AD,BD,CD, (1)如图 1, ?BAC ? ? ,直接写出∠ADB 的大小(用含 ? 的式子表示) ; (2)如图 2,如果 ? BAC=60° ,求证:BD+CD=AD; (3)如图 3,如果 ? BAC=120° ,那么 BD+CD 与 AD 之间的数量关系是什么?写出猜测 并加以证明; (4)如果 ?BAC ? ? ,直接写出 BD+CD 与 AD 之间的数量关系.

D

D B C O

D

B O

C

O B C A

A

A

图1

图2

图3

25. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 C1: y ? ?mx2 ? 2mx ? 4 ( m ? 0 )与抛物线 C2: y ? x 2 ? 2x , (1)抛物线 C1 与 y 轴交于点 A,其对称轴与 x 轴交于点 B.求点 A,B 的坐标; (2)若抛物线 C1 在 ?2 ? x ? ?1 这一段位于 C2 下方,并且抛物线 C1 在 1 ? x ? 3 这一段 位于 C2 上方,求抛物线 C1 的解析式.

延庆县 2 014—2015 学年第一学期期末测试答案 初 三 数 学 一、选择题(共 32 分,每小题 4 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A B C A B D 二、填空题(共 16 分,每题 4 分) 题号 9 10 11 答案
10?

12
22.5?,67.5?,75?,90? ? 45? n

y ? ? x2 ? 2

m?5

三、解答题(本题共 35 分,每小题 5 分) 1 13. 计算: 8-4sin 45? ? (? ? 2015) 0 ? ( ) ?2 2 = 2 2 ? 4? =5 14.解方程: x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 解 1: ( x ? 5)( x ? 1) ? 0 ∴ x1 ? 5, x2 ? ?1 解 2: x 2 ? 4 x ? 5 ? 0
x 2 ? 4 x ? 4? 9 ( x ? 2 2) ? 9 ? x ? 2 ? ?3

2 ?1? 4 2

------------------4 分 ----------------5 分 ------------------4 分 ------------------5 分

------------------4 分 ------------------5 分

∴ x1 ? 5, x2 ? ?1 解 3: x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ∵a=1,b=-4,c=-5

?b ? b2 ? 4ac 4 ? 6 ? ------------------4 分 2a 2 ------------------5 分 ∴ x1 ? 5, x2 ? ?1
∴x?

15.(1) 设二次函数的表达式为 y ? a( x ? h)2 ? k ∵此函数图象顶点 C(1,﹣4) ∴ y ? a( x ? 1)2 ? 4 ----------------------1 分 过点 A(2,-3) , ----------------------2 分 ∴a=1 ---------------3 分

∴二次函数的解析式: y ? x2 ? 2x ? 3 (2)

-------4 分

二次函数的解析式: y ? x2 ? 2x ? 3

当 x= -1 时,y=0 当 x=1 时,y 有最小值,为 y=-4 ∵x=1 在 ?1 ? x ? 2 内 ∴当 ?1 ? x ? 2 时,y 的取值范围-4 ≤ y <0 -------5 分 16. 解:∵∠B=∠C,∠A=∠D ∴△ABE∽△CDE AB AE ? ∴ CD DE ∵AB=8,AE=6,ED=4, 8 6 ? ∴ CD 4 16 ∴ CD ? 3

-----------2 分 ---------3 分

B E A O

C D

-----------5 分

17. 解: ∵DA⊥AD,∠DAC=60° , ∴∠1=30° . ∵EB⊥AD,∠EBC=30° , ∴∠2=60° . ---------2 分 ∴∠ACB=30° . ---------3 分 ∴BC = AB=30. 在 Rt△ ACD 中,∵∠CDB=90° ,∠2=60° , CD ∴ tan ?2 ? BC

C D
60°

E
30°

1 B

2 D

A

∴ tan 60? ?

CD 3 ? 30 2

---------4 分 ---------5 分

∴ CD ? 15 3 18. 分两种情况: (1)如图 1

在 Rt△ABD 中,∠CDB=90° , AD ? 7 ,AB=4, 由勾股定理可得: BD ? AB 2 ? AD 2 ? 42 ? ( 7)2 ? 3 . ---------1 分 在 Rt△ACD 中,∠ADC=90° , AD ? 7 , ∵ tan ?ACD ? 7 , AD ? 7 , ∴ tan ?ACD ?
AD ? 7. CD

∴CD=1. ---------2 分 ---------3 分 ∴BC=4. (2)如图 2 同理可求:BD=3,CD=1 ∴BC=2. 综上所述:BC 的长为 4 或 2.
A

--------4 分 ---------5 分

A

B

D

C

B
图2

C

D

图1

19. 解: (1)y=ax2+bx﹣75 图象过点(5,0) 、 (7,16) , ∴ 解得 , , ---------1 分 ---------2 分

y=﹣x2+20x﹣75 的顶点坐标是(10,25) 当 x=10 时,y 最大=25, ---------3 分 答:销售单价为 10 元时,该种商品每天销售利润最大,最大利润为 25 元; (2)∵函数 y=﹣x2+20x﹣75 图象的对称轴为直线 x=10, ---------4 分

可知点(7,16)关于对称轴的对称点是(13,16) , 又∵函数 y=﹣x2+20x﹣75 图象开口向下, ---------5 分 答:销售单价不少于 7 元且不超过 13 元时,该商品每天销售利润不低于 16 元. 20. (1)方法 1:由题意: ∴当 7≤x≤13 时,y≥16.










○ ○

○ ○



○ ○
2 9

从树状图中可以看到,所有可能结果共 9 种,且每种结果出现的可能性相等,其 中两张卡片上标记都是☆的结果共 2 种,所以 P(两张都是☆) ? . 方法 1:由题意可列表如下: ☆ ○ ○ ☆ (☆,☆) (○,☆) (○,☆) ○ (☆,○) (○,○) (○,○) ☆ (☆,☆) (○,☆) (○,☆)

从表中可以看到,所有可能结果共 9 种,且每种结果出现的可能性相等,其中两
张卡片上标记都是☆的结果共 2 种,所以 P(两张都是☆) ?
2 . 9

---------4 分 ---------5 分

(2)

1 2

21.证明: (1)连接 CD ∵AO=CO,CD=BD

∴OD //AB ∴∠ODE=∠DEB
∵DE⊥AB

---------1 分

F

∴∠DEB=90° ∴∠ODE=90° ∴OD⊥BC ∴直线 EF 是⊙O 的切线

C D

---------2 分

O B E

(2)设⊙O 的半径为 x,则 OC=OA=OD, ∵OD //AB

A

G

∴∠ODC=∠B,∠FOD=∠A
∵OC=OD

∴∠ODC=∠OCD ∴∠B =∠OCD ---------3 分

∴AC=BC=2x 在 Rt△ODF 中,∠ODF=90° , ∴ cos ?FOD ? cos ?A ? ∴ ? ∴x?
2 5 x 5? x 10 3 AE 2 ? AF 5 OD 2 ? OF 5

在 Rt△AEF 中,∠FEA=90° , ∴ cos ?A ? ∴ 5 ? 35
2 AE

3 14 ∴ AE ? 3

---------4 分 ---------5 分

∴BE=2

22. 数学思考: 证明:如图一,在 AB 上截取 AG,使 AG=EC,连接 EG, ∵△ABC 是等边三角形, ∴AB=BC,∠B=∠ACB=60°. ∵AG=EC, ∴BG=BE, ∴△BEG 是等边三角形,∠BGE=60°, ∴∠AGE=120°. ∵FC 是外角的平分线, ∴∠ECF=120°=∠AGE. ∵∠AEC 是△ ABE 的外角, ∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE. ∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC, ∴∠GAE=∠FEC. 在△ AGE 和△ ECF 中 , ∴△AGE≌△ECF(ASA) , ∴AE=EF; 拓展应用:如图二: ∵△ABC 是等边三角形,BC=CE

---------1 分

---------2 分

∴CE=BC=AC, ∴∠CAH=30°, 作 CH⊥AE 于 H 点, ∴∠AHC=90°. ∴CH= AC,AH= ∵AC=CE,CH⊥AE ∴AE=2AH= ∴ . AC. AC,

---------3 分

---------4 分

由数学思考得 AE=EF, 又∵∠AEF=60°, ∴△AEF 是等边三角形, ∴△ABC ∽△ AEF. ∴ = = .

---------5 分

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 9 分,第 25 题 6 分) 23. (1)∵关于 x 的一元二次方程 x2 ? 2x ? ∴ ? ? b2 ? 4ac ? 4 ? 4 ?
k ?1 ?0 2

k ?1 ? 0 有实数根 2

∴ k ?1 ? 2 ∴ k ? 3 …………………………………………………1 分 ∵ k 为正整数 ∴ k 的值是 1,2,3 ……………………………………2 分 (2)方程有两个非零的整数根 当 k ? 1 时, x 2 ? 2 x ? 0 ,不合题意,舍 当 k ? 2 时, x2 ? 2 x ? ? 0 ,不合题意,舍 当 k ? 3 时, x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 , x1 ? x2 ? ?1 ∴ k ?3 ∴ y ? x2 ? 2 x ? 1 (3)令 y =0 , x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ∴ x1 ? ?4, x2 ? 2 ∵与 x 轴交于点 A,B(点 A 在点 B 左侧) ∴A(-4,0) ,B(2,0) ∵直线 l: y ? kx ? b (k ? 0) 经过点 B,
A
-4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3 -4 1 1

1 2

……………………………3 分

∴平移后的图象的表达式 y ? x2 ? 2 x ? 8 ………………4 分
y

B
2

3

x

C

-5 -6 ° -7

∴函数新图象如图所示,当点 C 在抛物 线对称轴左侧时,新函数的最小值有 可能大于 ?5 . 令 y ? ?5 ,即 x 2 ? 2 x ? 8 ? ?5 . 解得 x1 ? ?3 , x2 ? 1 (不合题意,舍去) . ∴抛物线经过点 (?3, ?5) . ……………5 分

当直线 y ? kx ? b (k ? 0) 经过点(-3,-5) , (2,0)时,可求得 k ? 1 …………6 分
由图象可知,当 0 ? k ? 1 时新函数的最小值大于 ?5 . ………………………7 分

(也可以用三角形相似求出-5 以及 k 的值) 24.
(1)?ADB ? 90? ?

?
2

………………1 分

(2)延长 BD 到 E,使得 DE=DC ∵ ? BAC=60°,AB=AC B ∴△ABC 是等边三角形 ………………2 分 ∴BC=AC,∠BAC=∠ACB=60° ∵四边形 ABCD 内接于圆 ∴∠BAC+∠BDC=180° ∵∠BDC+∠EDC=180° ∴∠BAC=∠EDC=60° ∵DC=DE ∴△DCE 是等边三角形 ………………3 分 ∴∠DCE=60° ∴∠ACD=∠BCE ∴△ ACD≌△BCE ∴BE=AD ∵BE=BD+DE ∴AD=BD+CD ………………4 分 (3)延长 DB 到 E,使得 BE=DC,连接 AE, 过点 A 作 AF⊥BD 于点 F, ∵AB=AC ∴∠1=∠2 ………………5 分 ∵四边形 ABCD 内接于圆 ∴∠DBA+∠ACD=180° ∵∠EBA+∠DBA =180° ∴∠EBA=∠DCA ∵BE=CD,AB=AC ∴△ EBA≌△DCA ∴∠E=∠1 E ∴AE=AD………………6 分
在 Rt△ADF 中,∠AFD=90°, ∴ cos ?1 ?

D

E C

O

A

D 1 2 B F O C A

DF AD

………………………………7 分

∵∠1=90°-

? =30°, 2

∴ DF ? AD cos30? ?

3 AD 2

∴ DE ? 2DF ? 3AD ∵ BE=BD+CD ∴ BD ? CD ? 3AD
? (4) DF ? 2 AD cos(90? ? )
2
…………………………………………8 分 ……………………………………………9 分

25.
(1)根据: y ? ?mx2 ? 2mx ? 4

x??

b 2m ?? ?1 2a ?2m

可得点 A(0,4),B(1,0) ……………………………2 分 (2)根据对称, 抛物线 C1 在 ?2 ? x ? ?1 这一段位于 C2 下方,相当于抛物线 C1 在 3 ? x ? 4 这 一段位于 C2 下方 … …………………………3 分

∵抛物线 C1 在 1 ? x ? 3 这一段位于 C2 上方, ∴两条抛物线的交点横坐标:x=3……………………………4 分 ∴把 x=3 代入 y ? x2 ? 2x ∴y=3 ∴抛物线 C1: y ? ?mx2 ? 2mx ? 4 经过点(3,3)……………………………5 分 ∴m??
1 3 1 3 2 3

∴抛物线 C1 的解析式: y ? x2 ? x ? 4 ……………………………6 分


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