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高三第十四章空间直线与平面


第十四章空间直线与平面

教学基本要求
1、掌握平面及其基本性质,并能运用性质解决有关点线共面、两个平面的交线等问题; 2、掌握空间两条直线的位置关系,理解异面直线的定义,并能判定和证明两条直线是异面直线,会求异面 直线所成的角; 3. 掌握空间直线与平面的位置关系和基本性质,会求线面所成的角。 4. 掌握空间平面与平面的位置关系和基本性质,会求面面所成的角。

教学策略
1.加强“文字语言”“符号语言”“图形语言”互相转化的训练。 、 、 2.重视对图形中基本元素和相互关系的教学。 3.加强对图形的分解、组合和变形的训练。 4.重视对图形性质研究方法的指导。

第一节
知识点

平面及其基本性质

1、平面概念(原始概念) :在空间无限延伸的水平状态的几何图形,一般用平行四边形菱形表示,并在角 上写上字母?、?、?、等或用对角线字母。记作平面?或平面 AC 平面特征: (1)平 (2)广 (3)无厚薄 2、平面的基本性质 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 (判定直线 是否在平面内的依据) 公理 2:如果两个平面有一个公共点那么它们有且只有一条通过这个点的公共 直线。 (①判定两平面交于一条直线的依据;②证明点共线:③证明点在直线上) 公理 3:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一平面。 A α l 推论 1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面 a?b =p?a ,b 确定一个平面 β 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面 a‖b?a,b 确定一个平面 (公理 3 及其三个推论是确定平面的具体位置及判定两个平面重合的依据) 注意: ?1?集合符号与几何术语表示:A?l (A 在直线 l 上) A?α (A 在平面?内) ?? (直线 l 在平面?内) ; ;l ; l ?? (l 不在?内) ?2?有且仅有一个?确定一个存在性,唯一性 ?3?公理及推论应用:①证点共线:证点是两平面的公共点?公理 2?;②证线共点:证两直线交点在第三条直 线上;③证线共面:先由公理 3 确定平面,然后证第三条直线上的两点在平面?内?公理 1?

1

典型例题
基础题 1、已知 E,F,G.H 是空间的四个点。命题甲:点 E,F,G,H 不共面; 命题乙:点 E,F,G,H 中任何三点不共 线那么甲是乙成立的? ?条件。 ?A?充分非必要 ?B?必要非充分 ?C?充要 ?D?非充分非必要 解: A 2、下列命题中正确的一个是( ) (A)若 a 与 b 是异面直线,b 与 c 也是异面直线,则 a 与 c 也是异面直线; (B)已知异面直线 a,b 两条直线 c,d 分别与 a,b 都相交, 则 c,d 也是异面直线; (C)四个角都是直角的四边形一定是矩形; (D)两条异面直线可能没有公垂线 解: C 3、关于异面直线 a,b 下述命题中不正确的一个是( ) (A)过直线 a 有且只有一个平面平行于 b; (B)过直线 a 有且只有一个平面垂直于 b (C)存在分别经过直线 a 与 b 的两个互相平行的平面 (D)存在分别经过直线 a 与 b 的两个互相垂直的平面 解: B 4、三个不同平面可能把空间分成几部分? 解:?1?四部分(互相平行) ?2?六部分(两种情况) ?3?七部分 ?4?八部分

5、 A 、 B 、 C 表示不同的点, a 、 l 表示不同的直线, ? 、 ? 表示不同的平面,下列推理不正确的是 ( )

( A) A ? l , A ? ? , B ? l , B ? ? ? l ? ? ( B ) A ? ? , A ? ? , B ? ? , B ? ? ? ? ? ? ? AB 直线 (C ) l ? ? , A ? l ? A ? ? ( D) A, B, C ? ? , A, B, C ? ? 且 A, B, C 不共线 ? ? 与 ? 重合
解: C 6、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45 ,腰和上底边均为 1 的等腰梯形,则这个平 面图形的面积是 ( )
?

( A)

1 2 ? 2 2

( B) 1 ?

2 2

(C ) 1? 2

( D) 2 ? 2

解: D 7、对于空间三条直线,有下列四个条件: ①三条直线两两相交且不共点;②三条直线两两平行; ③三条直线共点;④有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相交. 其中,使三条直线共面的充分条件有 ( ) ( A) 1 个 ( B) 2 个 (C ) 3 个 ( D) 4 个 解: B 8、空间内五个点中的任意三点都不共线,由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥,则这五个点最多可以确 定 个平面
2

解: 7 9、如图,四面体 AB-CD 中,E、G分别为 BC、AB 的中点,F 在 CD 上,H 在 AD 上,且有 DF:FC=2:3,DH:HA=2:3,求证:EF、GH、BD 交于一点. 证明:连结 GE、HF,则 GE∥AC,又∵DF:FC=2:3,DH:HA=2:3 ∴HF∥AC, ∴GE∥HF,故 G、E、F、H 四点共面。又∵EF 与 GH 不能平行,∴EF 与 GH 相 交,设交点为 O,则 O∈面 ABD,O∈面 BCD,而平面 ABD∩平面 BCD=BD,∴EF、 GH、BD 交于一点. 中等题

A G B E C H D F

O

1. ?、? 是不重合的 2 个平面,在 ? 上任取 5 个点,在 ? 上任取 4 个点,由这些点所确定的平面的个数最 多是( )

A.42 个
解:C

B.70 个

C.72 个

D.84 个

2.设 X、Y、Z 是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“X⊥Z 且 Y⊥Z ? X∥Y”为真命题的是___ ____(填序号). ①X、Y、Z 是直线 解:2,3. 3.用一个平面去截正方体,所得截面不可能是( (A) 六边形 解:D (B) 菱形 (C) 梯形 ) (D) 直角三角形 ②X、Y 是直线,Z 是平面 ③Z 是直线,X、Y 是平面 ④X、Y、Z 是平面

4.对于已知直线 a, 假设直线 b 同时满足三个条件:①与 a 成异面直线;②与 a 的夹角为定值 ? ; ③与 a 的距离为定值 d 。那么这样的直线 b 有( ) (A) 1 条 (B) 2 条 (C) 4 条 (D) 无数条 解:D 5.如图 1,在空间四边形 ABCD 中,点 E、H 分别是边 AB、AD 的中点, F、G 分别是边 BC、CD 上的点,且

CF CG 2 = = ,则( CB CD 3



(A)EF 与 GH 互相平行 (B)EF 与 GH 异面 (C)EF 与 GH 的交点 M 可能在直线 AC 上,也可能不在直线 AC 上 (D)EF 与 GH 的交点 M 一定在直线 AC 上 解:D 6、如图,下列四个正方体图形中, A,B 为正方体的两个顶点, M ,N,P 分别 为其所在棱的中点,能得出 AB ∥ 平面 MNP 的图形的序号是( ) .

图1

(A)①④

(B)②④

(C)①③④

(D)①③
3

解:D: 7.在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有( ) D.4 个

A.1 个
解:D

B.2 个

C.3 个

8.对于任一长方体,都一定存在一点 A:①这点到长方体各顶点距离相等;②这点到长方体各棱距离相等; ③这点到长方体各面的距离相等。以上三个结论中正确的结论是( ) (A) ①、② (B) ① (C) ② (D) ①、③ 解:B 9.斜三棱柱 ABC -- A1 B1C1 中, ?BAC ? 900 , BC1 ? AC, 则 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在( )

(A) 直线 AB 上 (B) 直线 BC 上 (C) 直线 CA 上 (D) △ABC 内部 解:A 10.平面 ? 的斜线 AB 交 ? 于点 B ,过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直,且交 ? 于点 C ,则动点 C 的轨迹是 ( ) (B)一个圆 (C)一个椭圆 (D)双曲线的一支

(A)一条直线 解:A

11、已知 ? 、 ? 是两个不同的平面,m、n 是平面 ? 及平面 ? 之外的两条不同直线,给出四个论断:①m∥ n,② ? ∥ ? ,③m⊥ ? ,④n⊥ ? ,以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为 正确的一个命题: 解: (2)(3)( 4) ? (1) 12.过三棱柱 ABC-A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,其中与平面 ABB1A1 平行的直线共有 解:6 条

13、如图,正方体 ABCD ? A B1C1D1 中,M、N、P、Q、R、S 分别是 AB、BC、 C1 D1 、 C1C 、 A1B1 、 B1B 的 1 中点,则下列判断: (1)PQ 与 RS 共面; (2)MN 与 RS 共面; (3)PQ 与 MN 共面; 则正确的结论是――――― 解: (3) (1) 14、如图, M , N , K 分别是正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱 AB, CD, C1 D1 的中点. (1)求证: AN //平面 A1MK ; (2)求证:平面 A1 B1C ? 平面 A1MK . 证明: (1)证明:连结 NK. 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, A1 D1 K
13 题

C1 B1

?四边形 AA1 D1 D, DD1C1C 都为正方形,
? AA1 // DD1 , AA1 ? DD1 ,
A

D

N

C B
4

M

C1D1 // CD, C1D1 ? CD.
? N , K 分别为 CD, C1 D1 的中点,

? DN // D1 K , DN ? D1K . ? DD1KN 为平行四边形. ? KN / DD1 , KN ? DD1. ? AA1 // KN , AA1 ? KN . ? AA1 KN 为平行四边形. ? AN // A1K . ? A1 K ? 平面 A1MK , AN ? 平面 A1MK ,
? AN // 平面 A1MK .

(2)连结 BC1. ,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB // C1D1 , AB ? C1D1.

? M , K 分别 AB, C1 D1 中点,? BM // C1 K , BM ? C1K .

?四边形 BC1KM 为平行四边形. ? MK // BC1.
在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, A1 B1 ? 平面 BB1C1C , BC1 ? 平面 BB1C1C,

? A1 B1 ? BC1. ? MK // BC1 ,? A1B1 ? MK . ? BB1C1C 为正方形,? BC1B1C. MK ? B1C.

? A1 B1 ? 平面 A1 B1C , B1C ? 平面 A1 B1C , A1B1 ? B1C ? B1 ,

?MK ? 平面 A1B1C. ?MK ? 平面 A1MK ,?平面 A1MK ? 平面 A1B1C.
15、已知△ABC 三边所在直线分别与平面α 交于 P、Q、R 三点,求证:P、Q、R 三点共线 .

证明:∵A、B、C 是不在同一直线上的三点 ∴由 A、B、C 确定一个平面 ? ,
5

又? AB ? ? ? P, 且AB ? ?
?点P既在?内又在?内, 设? ? ? ? l , 则p ? l. 同理可证: Q ? l , R ? l ? P, Q, R三点共线 .

16、在空间四边形 ABCD 中,M、N、P、Q 分别是四边上的点,且满足

AM CN AQ CP =k.求证:M、N、P、Q 共面. ? ? ? MB NB QD PD
证明:∵AM∶MB=CN∶NB ∴MN∥AC ∵DQ∶QA=DP∶PC ∴PQ∥AC∴MN∥PQ ∴M、N、P、Q 共面.

难度题 1.如图,正四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 中, AA ? 2 AB ? 4 ,点 E 在 CC1 上且 C1 E ? 3EC . 1 1 证明: AC ? 平面 BED ; 1 证:依题设知 AB ? 2 , CE ? 1 . (Ⅰ)连结 AC 交 BD 于点 F ,则 BD ? AC . A1 D1 B1 C1

BD ? AC . 在平面 A1CA 内,连结 EF 交 AC 1 1
于点 G , D A B

E C

AA1 AC ? ?2 2, 由于 FC CE
故 Rt△A AC ∽ Rt△FCE , ?AAC ? ?CFE , 1 1

?CFE 与 ?FCA1 互余.于是 AC ? EF . 1

AC 与平面 BED 内两条相交直线 BD,EF 都垂直,所以 AC ? 平面 BED . 1 1

2.如图所示,在直四棱柱 ABCD? A1 B1C1 D1 中, DB ? BC , DB ? AC ,点 M 是棱 BB1 上一点. (Ⅰ)求证: B1 D1 // 面 A1 BD ; (Ⅱ)求证: MD ? AC ; (Ⅲ)试确定点 M 的位置,使得平面 DMC1 ? 平面 CC1 D1 D . 证明:(Ⅰ)由直四棱柱,得 BB1 // DD1 , 且BB1 ? DD1 , D1 所以 BB1D1D 是平行四边形,所以 B1D1 // BD A1 而 BD ? 平面A BD , B1D1 ? 平面A BD ,所以 B1 D1 // 面 A1 BD 1 1 B1 (Ⅱ)因为 BB1 ? 面ABCD,AC ? 面ABCD , 所以 BB1 ? AC D A B M C
6

C1

又因为 BD ? AC ,且 BD ? BB1 ? B ,所以 AC ? 面BB1D 而 MD ? 面BB1D ,所以 MD ? AC (Ⅲ)当点 M 为棱 BB1 的中点时,平面 DMC1 ? 平面 CC1 D1 D 取 DC 的中点 N, D1C1的中点N1 ,连结 NN1 交 DC1 于 O ,连结 OM . 因为 N 是 DC 中点,BD=BC,所以 BN ? DC ;又因为 DC 是面 ABCD 与面 DCC1D1 的交线,而面 ABCD⊥面

DCC1D1 ,所以 BN ? 面DCC1D1
又可证得, O 是 NN1 的中点,所以 BM∥ON 且 BM=ON,即 BMON 是平行四边形, 所以 BN∥OM,所以 OM ? 平面 CC1 D1 D ,因为 OM ?面 DMC1, 所以平面 DMC1 ? 平面 CC1 D1 D

第二节
知识点
1、空间两条直线的位置关系 位置关系 两 直 线 共 面 相 交 α 图 A

空间直线与直线的位置关系

示 a B a

表示方法

公共点个数 一个

a?b ? A

平行

b

a∥b

没有

异面 α

A b

a、b 是异面直线

没有

2、异面直线(不同在任何一个平面内的两条直线) 画法:

a
a A

a b b

a b b

a

3、异面直线判定:①用定义(多用反证法) ;②判定定理:平面内一点和平面外一点的连线与平面内不经 过该点的直线是异面直线。 4、异面直线所成的角:过空间的任一点与这两条异面直线平行的两直线所成锐角(或直角) ∈(0,π / 。θ 2];若两条异面直线所成角是直角,则称两异面直线垂直。 空间两直线垂直又相交垂直与异面垂直两种情况。 5、异面直线的公垂线及距离: (1)和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线(公垂线存在且唯一) (2)公垂线段:公垂线夹在异面直线之间的部分
7

(3)异面直线间的距离 (即公垂线段的长) 注:①若一个平面过一条直线并与另一条直线平行,则这直线与平面的距离就等于异面直线间的距离。 ②若两个平行平面分别过两条异面直线则两平行平面的距离等于两异面直线间的距离。 6、等角定理: 一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。 推论:两条相交直线分别与另外两条直线平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等 。 7、平行公理:公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。

典型例题
基础题 1.若直线上有两个点在平面外,则 A.直线上至少有一个点在平面内 C.直线上所有点都在平面外 解: D 2.在空间中,下列命题正确的是 A.对边相等的四边形一定是平面图形 B.直线上有无穷多个点在平面内 D.直线上至多有一个点在平面内 ( B.四边相等的四边形一定是平面图形 )





C.有一组对边平行且相等的四边形是平面图形 D.有一组对角相等的四边形是平面图形 解: C 3.在空间四点中,无三点共线是四点共面的





A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 解; D ( )

4.用一个平面去截正方体,则截面形状不可能是 A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 解: C 5.如图:正四面体 S-ABC 中,如果 E,F 分别是 SC,AB 的中点, 那么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于 ( ) A.90° C.60° 解: B B.45° D.30°

6.一条直线与两条平行线中的一条是异面直线,那么它与另一条直线的位置关系是( A.相交 解: D B.异面 C.平行 D.相交或异面



7.异面直线 a、b 成 60°,直线 c⊥a,则直线 b 与 c 所成的角的范围为 ( A.[30°,90°] B.[60°,90°] C.[30°,60°] D.[60°,120°] 解: A 8.右图是正方体的平面展开图,在这个正方体中, N ① BM 与 ED 平行; ② CN 与 BE 是异面直线; ③ CN 与 BM 成 60 ? 角; ④ DM 与 BN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是( )
E A B D C M



8 F

A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④ 解: C 9.梯形 ABCD 中 AB//CD,AB ? 平面α ,CD ? 平面α , 则直线 CD 与平面α 内的直线的位置关系只能是 ( A.平行 B.平行或异面 C.平行或相交 D.异面或相交 解: B 10.在空间四边形 ABCD 中,E、F 分别为 AB、AD 上的点,且 AE :EB=AF :FD =1 :4,又 H、G 分别为 BC、CD 的中点,则 ( A.BD//平面 EFGH 且 EFGH 是矩形 B.EF//平面 BCD 且 EFGH 是梯形 C.HG//平面 ABD 且 EFGH 是菱形 D.HE//平面 ADC 且 EFGH 是平行四边形 解: B 11.若直线 a, b 与直线 c 相交成等角,则 a, b 的位置关系是





解: 平行、相交或异面 . 12.在四面体 ABCD 中,若 AC 与 BD 成 60°角,且 AC=BD=a,则连接 AB、BC、CD、DA 的中点的四边形面 积为 解:

3 2 a 8



13.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=3,AA1=4,则异面直线 AB1 与 A1D 所成的角的余弦值为

arccos 解: 25 14.把边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起, 使 A、C 的距离等于 a,如图所示,则异面直线 AC
和 BD 的距离为 解:

16

15.已知:平面 ? ? 平面? ? a, b ? ? , b ? a ? A, c ? ?且c // a, 求证:b、c 是异面直线 反证法:若 b 与 c 不是异面直线,则 b∥c 或 b 与 c 相交

a 2



(1)若b // c. ? a // c,? a // b, 这与a ? b ? A矛盾 (2)若b, c相交于B, 则B ? ? , 又a ? b ? A,? A ? ? ? AB ? ? , 即b ? ? , 这与b ? ? ? A矛盾 ? b, c是异面直线 .
α

β a

c A b

中等题 1.两条异面直线是指 ( ) (A)在空间不相交的两条直线 (B)分别位于两个不同平面内的两条直线 (C)某平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 (D)不在同一平面内的两条直线 解: D 2.分别在两个相交平面内的两条直线的位置关系是 ( ) (A)异面 (B)平行 (C)相交 (D) 异面、平行或相交 解: D
9

3.空间四边形 ABCD 中, E, F 分别为 AC, BD 的中点,若 CD ? 2 AB , EF ? AB ,则 EF 与 CD 所成 的角为 ( )

(A) 30 ?
解: A

(B) 45 ?

(C) 60 ?

(D) 90 ?
( )

4.在正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,与 AD1 成 60 ? 角的面对角线共有

(A)4 条

(B) 6 条

(C) 8 条

(D)10 条

解; C 5.已知 a,b,c,d 是空间四条直线,给出下列三个命题: 1.如果 a⊥c,b⊥c,那么 a∥b; 2.如果 a∥b,a⊥c,那么 b⊥c; 3.如果 a⊥b,b⊥c,c⊥d,那么 d⊥a; 其中正确的命题有 ( (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 解: B 6.已知 a,b 是异面直线,直线 c,d 分别和 a,b 都相交,给出以下结论: ① 直线 c,d 一定不是异面直线; ②直线 c,d 一定是相交直线; ③ 直线 c,d 一定不是平行直线. 其中正确的结论有 ( (A)0 个 解: B (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个





7.对于已知直线 a,假设直线 b 同时满足下列三个条件: ①与 a 成异面直线; ②与 a 的夹角为定值θ ; ③与 a 的距离为定值 d. 那么,这样的直线 b 有 ( (A)1 条 解: B (B)2 条 (C)4 条



(D)无数条

8. 右图是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题: ①AB 与 CD 所在直线垂直; ③AB 与 MN 所在直线成 60°角; 其中正确命题的序号是 ②CD 与 EF 所在直线平行 ④MN 与 EF 所在直线异面 ( )

(A)①③ 解: D

(B)①④

(C)②③

(D)③④

9. A 是 ?BCD 所在平面外一点, M , N 分别是 ?ABC 和 ?ACD 的重心,若 BD ? 6 ,则 MN 的长为 解: 2 条.

10. 在正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,与面对角线 AD1 成 45 ? 角的棱共有 解: 4

11. 在正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,E, F 分别为棱 A1 B1 , C1 D1 上一点,B1 E ? D1 F ?

1 A1 B1 , BE 与 则 4

DF 所成角的余弦值是
解:

15 17

12. 空间四边形的两条对角线长分别是 6 和 8,它们所成的角为 60 ? ,依次联结各边中点所得的四边形的
10

面积是 解:

6 3
A

13 如图,空间四边形 ABCD 的两对边 AB=CD=3,E,F 分别是另两对边 AD,BC 上的点,且 AE∶ED=BF∶FC =1︰2,EF= 7,求对边 AB 与 CD 所成角的大小. 解: 60
?

E D

C F B 15.如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别为棱 AA1 和 BB1 的中点,求异面直线 CM 与 D1N 所成角的余弦值. 解: 1

9

16、棱长为 2 的正方体 AC1 中: (1)和棱 AA1 异面棱是哪些?和 AA1 异面 的面对角线有哪些?(2)求 BD 和 B1C 所成的角(3)求 BD1 和 B1C 所成的 角(4)BD1 与 C C1 之间的距离。 解: (1)BC、DC、B1C1、D1C1;B1D1、BD、BC1、B1C、CD1、C1D (2)60°(3)90°(4)1 17、如图,已知空间四边形 ABCD 中,AB=CD=3,E、F 分别是 BC、AD 上的 点,并且 BE∶EC=AF∶FD=1∶2,EF= 7 ,求 AB 和 CD 所成角的大小. 解:连结 BD,在 BD 上取点 G,使 BG∶GD=1∶2, 连结 EG、FG,在△BCD 中,∵

D1 A1

C1 B1 C B

D

A

BE BG ? EC GD

∴EG∥CD

同理 FG∥AB ∴EG 和 FG 所成的锐角(或直角)就是异面直线 AB 和 CD 所成的角. 在△BCD 中, ∴EG∥CD,CD=3,BG∶GD=1∶2 ∴EG=1 在△ABD 中, ∴FG∥AB,AB=3,FG∶AB=2∶3 ∴FG=2 在△EFG 中,EG=1,FG=2,EF= 7 ,由余弦定理,得
cos ?EGF ? EG 2 ? FG 2 ? EF 2 1 ?? 2 EG ? FG 2

∴∠EGF=120°,EG 和 FG 所成的锐角为 60°.∴AB 与 CD 所成的角 为 60°. 难度题 1、空间四边形 ABCD,AB=BC=CD=DA=a 对角线 AC=BD=b,E、F、G、H 分别 为四边中点 求:⑴四边形 FEGH 的面积;⑵BD 与 AC 的距离 解: (1)取 BD 中点连 AO、CO,则 BD⊥面 AOC ∴BD⊥AC ,故四边形 FEGH 2 为矩形.所以面积为 b /4.

A E O F H D M G
11

B

C

(2)取AC中点为M,则OM为 BD 与 AC 的公垂线段,且长为

a2 ?

b2 2 .

2、在二面角 ? ? l ? ? 中,A、B∈α ,C、D∈ l ,ABCD 是矩形,P∈β ,PA⊥α ,且 PA=AD,M、N 依次是 AB、 PC 的中点. (1)证明:MN是异面直线AB和PC的公垂线; (2)求异面直线PA与MN所成的角. (1)证明:设E为CD的中点,连结PD、NE、EM AD⊥ l ∴PD⊥ l β ∵PA⊥α , ∴NE ∴ME ∴PM =PA +AM
2 2 2

P F D N C E B M

又∵M、E分别是PC、DC的中点

α

A

∥PD,而PD⊥ l ,∴ l ⊥面 PAD ∴NE⊥ l ,又 M 为 AB 中点 ⊥ l ,故 l ⊥面 MNE,∴ l ⊥MN,又 l ∥AB PA=AD,ABCD 是矩形,M 为 AB 中点 直线AB和 PC 的公垂线. ∴AB⊥MN ∵PA⊥α

又知 MC =BC +MB

2

2

2



∴PM=MC,在等腰⊿PMC 中,N 为 PC 的中点

∴MN⊥PC,故 MN 是异面

(2)解:设PD中点为F,∵FN∥DC,FN=

1 DC,而E为DC的中点,∴DE∥FN∥AM, 2

且DE=FN=AM 故FAMN为平行四边行,则AF∥MN ∴∠PAF为异面直线PA与MN所成的角。 而PA⊥α ,PA=AD ,∴⊿PAD为等腰直角三角形,F 为PD中点,∴∠PAF=45°。即异面直线PA与MN所成的角为 45°.

第三节
知识点

空间直线与平面的位置关系

一、直线与平面的位置关系 1、直线与平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平 面平行。 (a∥b,a ? ? ,b ? ? ?a∥α ) 2、直线与平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么 这条直线就和交线平行。 (a∥α ,a?β ,α ∩β =b?a∥b;即“线面平行,则线线平行” ) 3、直线与平面垂直的定义:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么就称这条直线和这个平 面垂直。 4、直线与平面垂直的判定:常用方法有: ① 判定定理: a ? ? , b ? ? , a ? b ? P, l ? a, l ? b ? l ? ? . ② b⊥α , a∥b ? a⊥α ; (线面垂直性质定理) ③α ∥β ,a⊥β ? a⊥α (面面平行性质定理) ④α ⊥β ,α ∩β =l,a⊥l,a ? β ? a⊥α (面面垂直性质定理) 5、直线与平面垂直的性质定理: ① 如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 a⊥α ,b⊥α ? a∥b) ( ② 直线和平面垂直时,那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线( a ? ? , b ? ? ? a ? b ) 二、点到平面的距离的定义: 从平面外一点引这个平面的垂线,这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到 平面的距离。
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直线与平面的距离: 一条直线和一个平面平行,这条直线上任一点到这个平面的距离叫做这条直线与平 面的距离。 (注:线到面的距离是用点到平面的距离来度量的) 注意: ①两个定理中“平面内”这个条件不能省略,否则不一定成立。其中平面的垂线、平面的斜线及射影这三 条直线都是平面内的一条直线的垂线。 ②主要应用:可证两异面直线垂直;确定点到直线的垂线等;可确定二面角的平面角。 线线垂直 ? 线面垂直 ? 线线垂直 特别注意:点到面的距离可直接向面作垂线,但要考虑垂足的位置,如果垂足的位置不可确定,往往采取由 点向面上某一条线作垂线,再证明此垂足即为面的垂足。

典型例题
基础题 1.下列命题正确的是 ( ) A 一直线与平面平行,则它与平面内任一直线平行 B 一直线与平面平行,则平面内有且只有一个直线与已知直线平行 C 一直线与平面平行,则平面内有无数直线与已知直线平行,它们在平面内彼此平行 D 一直线与平面平行,则平面内任意直线都与已知直线异面 解: C 2.若直线 l 与平面α 的一条平行线平行,则 l 和α 的位置关系是 ( ) A

l ??

B l // ?

C l ? ?或l // ?

D l和?相交

解: C 3.若直线 a 在平面α 内,直线 a,b 是异面直线,则直线 b 和α 平面的位置关系是 ( ) A.相交 B。平行 C。相交或平行 D。相交且垂直 解: C 4.下列各命题: (1) 经过两条平行直线中一条直线的平面必平行于另一条直线; (2) 若一条直线平行于两相交平面,则这条直线和交线平行; (3) 空间四边形中三条边的中点所确定平面和这个空间四边形的两条对角线都平行。 其中假命题的个数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 解: B 5.E、F、G 分别是四面体 ABCD 的棱 BC、CD、DA 的中点,则此四面体中与过 E、F、G 的截面平行的棱的条 数是 ( ) A.0 B 1 C 2 D3 解: C 6.直线与平面平行的充要条件是( ) A.直线与平面内的一条直线平行 B。直线与平面内的两条直线不相交 C.直线与平面内的任一直线都不相交 D。直线与平行内的无数条直线平行 解: C 7.若直线上有两点 P、Q 到平面α 的距离相等,则直线 l 与平面α 的位置关系是 ( ) A 平行 B 相交 C 平行或相交 D 或平行、或相交、或在内 解: D 8.a,b 为两异面直线,下列结论正确的是 ( ) A 过不在 a,b 上的任何一点,可作一个平面与 a,b 都平行
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B 过不在 a,b 上的任一点,可作一直线与 a,b 都相交 C 过不在 a,b 上任一点,可作一直线与 a,b 都平行 D 过 a 可以并且只可以作一个平面与 b 平行 解: D 9.判断下列命题是否正确: (1)过平面外一点可作无数条直线与这个平面平行 (2)若直线 l ? ? ,则 l 不可能与α 内无数条直线相交 (3)若直线 l 与平面α 不平行,则 l 与α 内任一直线都不平行 (4)经过两条平行线中一条直线的平面平行于另一条直线 (5)若平面α 内有一条直线和直线 l 异面,则 l ? ? 解: 10.过直线外一点和这条直线平行的平面有 个。 解:无数 11.直线 a//b,a//平面α ,则 b 与平面α 的位置关系是 解:

( ( ( ( (

) ) ) ) )

b // ?或b ? ?

12.A 是两异面直线 a,b 外一点,过 A 最多可作 个平面同时与 a,b 平行。 解:一个 13.A、B 两点到平面α 的距离分别是 3、5,M 是的 AB 中点,则 M 到平面α 的距离是 解:4cm 或 1cm 中等题 1.已知直线 a 、 b 和平面 ? ,那么 a // b 的一个必要不充分的条件是 ( A) a // ? , b // ? ( B) a ? ? , b ? ?







(C ) b ? ? 且 a // ?

( D) a 、 b 与 ? 成等角
( )

解: D 2. ? 、 ? 表示平面, a 、 b 表示直线,则 a // ? 的一个充分条件是

( A) ? ? ? ,且 a ? ? (C ) a // b ,且 b // ?

( B ) ? ? ? ? b ,且 a // b ( D) ? // ? ,且 a ? ?

解: D 3.已知平面 ? // 平面 ? , P 是 ? , ? 外一点,过点 P 的直线 m 与 ? , ? 分别交于点 A, C ,过点 P 的直线 n 与

? , ? 分别交于点 B, D ,且 PA ? 6 , AC ? 9 , PD ? 8 ,则 BD 的长为(
( A) 16 ( B ) 24 或
24 5



(C ) 14

( D) 20
( )

解 B: 4.若 a, b, c 表示直线, ? 表示平面,下列条件中,能使 a ? ? 的是

( A) a ? b, a ? c, b ? ? , c ? ? (C ) a ? b ? A, b ? ? , a ? b
解: D

( B ) a ? b, b // ? ( D) a // b, b ? ?

5、 已知 l 与 m 是两条不同的直线, 若直线 l ? 平面 ? , ①若直线 m ? l , m // ? ; 则 ②若 m ? ? , m // l ; 则 ③若 m ? ? ,则 m ? l ;④ m // l ,则 m ? ? 。上述判断正确的是 ( )

( A) ①②③

( B ) ②③④

(C ) ①③④

( D) ②④
时,

解: B 6、在直四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 中,当底面四边形 ABCD 满足条件 1

有 AC ? B1D1 (注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况) 1
14

解: AC ? BD 7、设三棱锥 P ? ABC 的顶点 P 在平面 ABC 上的射影是 H ,给出以下命题: ①若 PA ? BC , PB ? AC ,则 H 是 ?ABC 的垂心 ②若 PA, PB, PC 两两互相垂直,则 H 是 ?ABC 的垂心 ③若 ?ABC ? 90 , H 是 AC 的中点,则 PA ? PB ? PC ④若 PA ? PB ? PC ,则 H 是 ?ABC 的外心 其中正确命题的命题是 解:①②③④ 8、考察下列三个命题,是否需要在“ ”处添加一个条件,才能构成真命题(其中 l,m 为直线,α 、β
?

为平面) ?如需要, 请填这个条件, 如不需要, “ ” 请把 划掉。 ①

m ? ?? ? l // m ? ? l // ? _____? ?



l // m ? ? m // ? ? ? l // ? _____? ?



l?? ? ? ? ? ? ? ? l // ? _____? ?

解:① l ? ? ;② l ? ? ;③ l ? ? 。 9、如图,两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在的平面交于 AB,M∈AC,N∈FB,且 AM=FN,求证:MN∥平面 BCE。 A F 证法一:过 M 作 MP⊥BC,NQ⊥BE,P、Q 为垂足,如图,连结 PQ,∵MP∥ D N AB,NQ∥AB,∴MP∥NQ,又 NQ= 2 BN= 2 CM=MP,∴MPQN 是平行四边形。 M 2 2 B Q ∴MN∥PQ,又 PQ?平面 BCE,而 MN?平面 BCE,∴MN∥平面 BCE。 P E C 证法二:过 M 作 MG∥BC,交 AB 于 G(如图) ,连结 NG, ∵MG∥BC,BC? 平面 BCE,MG?平面 BCE, ∴MG∥平面 BCE, 又

BG CM BN ? ? , GA MA NF

A D G M F

∴GN∥AF∥BE, N 同样可证明 GN∥平面 BCE,而 MG∩NG=G, B ∴平面 MNG∥平面 BCE,MN? 平面 MNG,∴MN∥平面 BCE。 E C 10、如图,设 a,b 是异面直线,AB 是 a,b 的公垂线, 过 AB 的中点 O 作平面α 与 a,b 分别平行,M,N 分别是 a,b 上的任意两点,MN 与α 交于点 P, 求证 P 是 MN 的中点. 证明:连接 AN,交平面α 与点 Q,连 PQ, M A a ∵b∥α ,b?平面 ABN,平面 ABN∩α =OQ, ∴b∥OQ,又 O 为 AB 的中点,∴Q 为 AN 的中点。 O ∵a∥α ,a?平面 AMN 且平面 AMN∩α =PQ, P Q α ∴a∥PQ。∴P 为 MN 的中点。 11、求证:过两条异面直线中的一条直线有且只有一个平面与另一条直线平行。 B b 证明:①存在性:在直线 b 上任取一点 B,过 B 作 a?∥a,∵a?与 b 相交于 B, N a ∴过 a?,b 可作一个平面α ,∵a?∥a,a??α ,a?α ,∴a∥α 。 唯一性:假设过 b 还有一平面β ,使 a∥β ,∵b?α ,b?β 。 a? ∴α ∩β =b,而 a∥α ,a∥β ,∴a∥b,这与 a,b 是异面直线矛盾。∴假设不成 b α 立,∴过 b 有且只有一个平面与 a 平行。 12、如图,四面体 A—BCD 被一平面所截,截面 EFGH 是一个矩形。 (1)求证:CD∥平面 EFGH。(2)求异面直线 AB,CD 所成的角。 A (1)证明:∵截面 EFGH 是一个矩形,∴EF∥GH, 又 GH?平面 BCD。∴EF∥面 BCD, E 15 H D F D B G C

而 EF?面 ACD,面 ACD∩面 BCD=CD。∴EF∥CD,∴EF∥平面 EFGH。 0 (2) 由 解: (1) CD∥EF, 知 同理 AB∥FG, 由异面直线所成角的定义知∠EFG 即为所求的角。 易得∠EFG=90 。 13、如图,四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 a 的正方形,侧棱 PA⊥底面 ABCD, 侧面 PBC 内有 BE⊥PC 于 E,且 BE=
6 3

a,试在 AB 上找一点 F,使得 EF∥平面 PAD。

P G A F B C E D

解: 在平面 PCD 内, E 作 EG∥CD 交 PD 于 G, 过 连结 AG, AB 上取点 F, AF=EG, 在 使 则 F 即为所求作的点。EG∥CD∥AF,EG=AF,∴四边形 EFGA 为平行四边形,∴FE ∥AG,AG?平面 PAD,FE?平面 PAD,∴FE∥平面 PAD。又在△BCE 中,CE= 3 a,
3

BC =CE?CP,∴CP= 3 a,又

2

2 EG PE ,∴EG=AF= a。 ? 3 CD PC

难度题 14、如图 ,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为 CC1 的中点,AC 交 BD 于点 O,求证:A1O⊥平面 MBD 。 证明: 连接 MO。∵DB⊥A A1,DB ⊥AC,A A1∩AC=A,∴DB⊥平面 A A1C1C。 又 A1O ? 平面 A A1C1C , ∴A1O⊥DB。在矩形 A A1C1C 中, t an?AA1O ? 2 ,
2
tan?MOC ? 2, 2

∴ ?AA1O = ?MOC ,则 ?A1OA ? ?MOC = 900 , ∴A1O⊥OM,∵OM∩DB=O,∴A1O⊥平面 MBD

15 如图,四边形 ABCD 为正方形,SA⊥平面 ABCD,过 A 且垂直 SC 的平面分别交 SB、SC、SD 于 E、F、G, 求证:AE⊥SB,AG⊥SD。 证明:∵平面 AEFG⊥SC,∴SC⊥AE,又 SA⊥平面 ABCD,∴SA⊥BC。又 AB⊥BC, ∴BC⊥平面 SAB,AE ? 平面 SAB,∴BC⊥AE。 又 AE⊥SC,∴AE⊥平面 SBC,∴AE⊥SB。同理可证 AG⊥SD。

16 如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别为 D1C1 与 AB 的中点。 (1)求 A1B1 与截面 A1ECF 所成的角; (2)求点 B 到截面 A1ECF 的距离。 解: (1)由于Δ A1D1E ? Δ A1AF,∴∠D1A1E =∠AA1F, ∴∠ E A1B1=∠B1A1F,因 此点 B1 在平面 A1ECF 上的射影应在∠ E A1F 的平分线上, 又四边形 A1ECF 为菱形, 因此,点 B1 在平面 A1ECF 上的射影应在直线 A1C 上,∴∠B1A1C 即为 A1B1 与截面 A1ECF 所 成 的 角 。 又

tan?B1 A1C ?

B1C 2a ? ? 2 A1 B1 a

, ∴

?B1 A1C ? a r c 2t 。a n
(2)取 A1B1 中点 G,连接 BG,则 BG∥A1F, ∴BG∥截面 A1ECF,因此 B 到截面的距离等于点 G 到截面
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的距离,又 G 为 A1B1 的中点。∴G 到截面 A1ECF 的距离等于 B1 到截面 A1ECF 的距离的一半,容易求得 B1 到截 面 A1ECF 的距离为 6 a ,因此点 B 到截面 A1ECF 的距离为 6 a
3 6

17、如图,ABCD 为直角梯形,∠DAB=∠ABC= 90 ,AB=BC=a,AD=2a,PA⊥平面 ABCD。PA=a。 (1)求证:PC⊥CD。 (2)求点 B 到直线 PC 的距离。 证明: (1)取 AD 的中点 E,连 AC、CE,则 ABCE 为正方形,Δ CED 为等腰直角三角形, ∴AC⊥ CD,∵PA⊥平面 ABCD,∴AC 为 PC 在平面 ABCD 上的射影, ∴PC⊥CD (2)连 BE 交 AC 于 O,则 BE⊥AC,又 BE⊥PA,AC∩PA= A,∴ BE ⊥平面 PAC 过 O 作 OH⊥PC 于 H, BH⊥PC, 则 ∵PA=a, AC= 2 a,PC= 3 a, ∴ OH= 1 ? a ? 2a ? 6 a ,∵BO= 2 a,∴BH= BO2 ? OH 2 ? 6 a 即为所求。 3 2 2 6 3a 18、 如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 底面Δ ABC 是直角三角形, ∠ABC= 90 , 2AB=BC=BB1=a, A1C∩AC1=D, 且 BC1∩B1C=E,截面 ABC1 与截面 A1B1C 交于 DE。 (1)A1B1⊥平面 BB1C1C; (2)求证:A1C⊥BC1; (3)求证:DE⊥平面 BB1C1C。 证明: (1)∵三棱柱 ABC-A1B1C1 是直三棱柱, ∴侧面与底面垂直,即平面 A1B1C1⊥平面 BB1C1C, 又∵AB⊥BC,∴A1B1⊥B1C1 从而 A1B1⊥平面 BB1C1C。 (2)由题设可知四边形 BB1C1C 为正方形,∴BC1⊥B1C,而 A1B1⊥平面 BB1C1C, ∴ A1C 在平面 BB1C1C 上的射影是 B1C,由三垂线定理得 A1C⊥BC1 (3)∵直三棱柱的侧面均为矩形,而 D、E 分别为所在侧面对角线的交点, ∴D 为 A1C 的中点,E 为 B1C 的中点,∴DE∥A1B1, 而由(1)知 A1B1⊥平面 BB1C1C,∴DE⊥平面 BB1C1C。
0

0

第四节
知识点
一)位置关系: 1、平行:没有公共点; ? // ?

空间平面与平面的位置关系

2、相交:至少有一个公共点,必有一条公共直线,公共点都在公共直线上. (相交包括垂直相交和斜交) ? ? ? ? l或? ? ? 二)平行的判定: (1)定义:没有公共点的两个平面平行. (常用于反证) ? ? ? ? ? ? ? // ?
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(2)判定定理:若一个平面内的两条相交直线平行于另一平面,则这两个平面平行. (线线平行得线面平行) a, b ? ? , a ? b ? o, a // ? , b // ? ? ? // ? (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. a ? ? , a ? ? ? ? // ? (4)平行于同一个平面的两个平面平行. ? // ? , ? // ? ? ? // ? (5)过已知平面外一点作这个平面的平行平面有且只有一个. 三)平行的性质: (1) 两个平行平面没有公共点(定义法). ? // ? ? ? ? ? ? ? (2) 若一个平面与两个平行平面都相交,则两交线平行. (面面平行得线线平行)

? // ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b ? a // b
(3) 两 个 平 行 平 面 中 的 一 个 平 面 内 的 所 有 直 线 平 行 于 另 一 个 平 面 . 面 面 平 行 得 线 面 平 行 ) (

? // ? , a ? ? ? a // ?
(4) 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,必垂直于另一个平面. (用来判定直线与平面垂直)

? // ? , a ? ? ? a ? ?
一般地,一条直线与两个平行平面所成的角相等,但反之不然. (5) 夹在两个平行平面间的平行线段相等.特别地,两个平行平面间的距离处处相等. 思维方式: 熟悉线线平行 ? 线面平行 ? 面面平行的思路.即找或作线、面的平行关系 特别注意:在判定两平面平行的时候,两条直线必须是相交直线,而且要把条件写清楚,防止由一个平面内 的两相交线平行于另一平面内的两相交线,就断定两个平面平行的情况. 四)平面垂直的定义及判定定理: (1) 定义:两个平面相交,如果它们所成的角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。 记作:平面α ⊥平面β β β

α (2) 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 (简称:线面垂直,面面垂直) 五)两个平面垂直的性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一 个平面。 (简称:面面垂直,线面垂直。 ) 思维方式:判定两相交平面垂直的常用方法是.:线面垂直,面面垂直;有时用定义也是一种办法。 特别注意:用定义时二面角平面角的确定。 六)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做两面角。 (1)两面角的平面角:以两面角的棱上任意一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线所成 的角叫做二面角的平面角。 (2)二面角的大小,可以用它的平面角来度量。范围是: ?0, ? ? (3)直二面角:平面角是直角的二面角叫做直二面角。 B 0 A
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α

典型例题
基础题 1.已知直线 a 、 b 和平面 ? ,那么 a // b 的一个必要不充分的条件是 ( A) a // ? , b // ? ( B) a ? ? , b ? ?





(C ) b ? ? 且 a // ?

( D) a 、 b 与 ? 成等角
( )

解: D 2. ? 、 ? 表示平面, a 、 b 表示直线,则 a // ? 的一个充分条件是

( A) ? ? ? ,且 a ? ? (C ) a // b ,且 b // ?

( B ) ? ? ? ? b ,且 a // b ( D) ? // ? ,且 a ? ?

解: D 3.已知平面 ? // 平面 ? , P 是 ? , ? 外一点,过点 P 的直线 m 与 ? , ? 分别交于点 A, C ,过点 P 的直线 n 与

? , ? 分别交于点 B, D ,且 PA ? 6 , AC ? 9 , PD ? 8 ,则 BD 的长为( )
( A) 16 ( B ) 24 或
24 5

(C ) 14

( D) 20

解: B 4.空间四边形 ABCD 的两条对角线 AC ? 4 , BD ? 6 ,则平行于两对角线的截面四边形的周长的取值范 围是 解: (8,12) 5、对于直线 m、n 和平面α 、β ,α ⊥β 的一个充分条件是( ) A、m⊥n,m∥α ,n∥β B、m⊥n,α ∩β =m,n ? α C、m∥n,n⊥β ,m ? α D、m∥n,n⊥β ,m⊥α 解: C 6、设 a、b 是异面直线,给出下列命题: ① 经过直线 a 有且仅有一个平面平行于直线 b; ② 经过直线 a 有且仅有一个平面垂直于直线 b; ③ 存在分别经过直线 a 和 b 的两个平行平面; ④ 存在分别经过直线 a 和 b 的两个平面互相垂直。其中 错误的命题为( ) ... A、①与② B、②与③ C、③与④ D、仅② 解: D 7、α 、β 是两个不同的平面,m、n 是平面α 及β 之外的两条不同直线。给出四个论断:①m⊥n;②α ⊥ β ;③n⊥β ;④m⊥α 。 以其中的三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题-----------解: 正确命题为①③④→②、②③④→① 8、如图PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AD=a,M、N分别是AB、PC的中点。 (1)求平面PCD与平面ABCD所成二面角的大小; (2)求证:平面MND⊥平面PCD P 〖解〗 (1)PA⊥平面ABCD,CD⊥AD, N ∴PD⊥CD,故∠PDA为平面ABCD与平面PCD E 所成二面角的平面角,在Rt⊿PAD中PA=AD C D 0 ∴∠PDA=45 即为所求。 (2)证明:取PD中点E,连EN、EA, A B M 1 则EN∥ CD∥AM,∴四边形 ENMA 是平行四边形,

2

∴AE⊥NM。∵AE⊥PD,AE⊥CD,∴AE⊥平面 PCD, 从而NM⊥平面 PCD,∵NM ? 平面MND,∴平面MND⊥平面PCD
19

中等题 1. 已知 a,b 是直线,是平面,则下列命题中正确的是 A a ? ? , a ? b ? b // ? B a ? b, a // ? ? b ? ? C a // b, b // ? ? a // ? D a ? ? , a // b ? b ? ? 解: 2.若两直线 l1 与 l2 异面,则过 l1 且与 l2 垂直的平面 A 有且只有一个 B 可能存在,也可能不存在 C 解:

(

)

有无数多个

( ) D 一定不存在

3.如果直线 l 和平面α 内的两条平行线垂直,那么下列结论正确的是 A l ?? B l 与α 相交 C l//α D A、B、C 都可能 解: 4.已知 a,b 是异面直线,下列结论不正确的是 A 存在无数个平面与 a,b 都平行 B 存在一个平面与 a,b 等距离 C 存在无数条直线与 a,b 都垂直 D 存在一个平面与 a,b 都垂直 解:









5.下列命题中,不正确的是 ( ) A 过平面外一点作此平面的垂线有且只有一条 B 过一点作已知直线的垂面有且只有一个 C 过平面外一点作平行于此平面的直线有且只有一条 D 过直线外一点作此直线的平行线有且只有一条 解: 6. 已知直线 a 和平面α 、 、 , a=β ∩γ ,b=α ∩β ,c=γ ∩α ,若 a//α , 则 b 和 c 的位置关系是 ( β γ 且 ) A 相交但不垂直 B 相交且垂直 C 平行 D 异面 解: 7.已知 PE 垂直于⊙O 所在平面,EF 是⊙O 的直径,点 G 为圆周上异于 E、F 的任一点,则下列各式中不正 确的是 ( ) A . PG⊥FG B. FG⊥面 PEG C. PF 与面 PEG 所成角为∠FPG D. EG⊥PF 解: 8.若直线 a⊥直线 b,且 a⊥平面α ,则有 ( G) 3 S A . b // ? B. b ? ? C .b ? ? D . b // ?或b ? ? 解: 9.正方形 SG1G2G3 中,E、F 分别为 G1G2,G2G3 的中点,D 是 EF 中点,现在沿 SE,SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体, 使 G1、G2、G3 重合,记为 G,则 ( ) A. SG⊥△EFG 所在平面 B. SD⊥△EFG 所在平面 C. GF⊥△SEF 所在平面 D .GD⊥△SEF 所在平面 解: F G1 E G2

10.平面外一点 A 到平面内α 各点的线段中,以 OA 最短,那么 OA 所在直线与平面α 的位置关系 是 。 解: 11.对于直线 m、n 和平面α 、β ,α ⊥β 的一个充分条件是( )
20

A、m⊥n,m∥α ,n∥β B、m⊥n,α ∩β =m,n ? α C、m∥n,n⊥β ,m ? α D、m∥n,n⊥β ,m⊥α 解: C 12、设 a、b 是异面直线,给出下列命题: ① 经过直线 a 有且仅有一个平面平行于直线 b; ② 经过直线 a 有且仅有一个平面垂直于直线 b; ③ 存在分别经过直线 a 和 b 的两个平行平面; ④ 存在分别经过直线 a 和 b 的两个平面互相垂直。 其中错误的命题为( ) ... A、①与② B、②与③ C、③与④ D、仅② 解:D 13、已知平面α ⊥平面β ,m 是α 内一条直线,n 是β 内一条直线,且 m⊥n,那么, 甲:m⊥β ;乙:n⊥α 丙:m⊥β 或 n⊥α ;丁:m⊥β 且 n⊥α 。这四个结论中,不正确的三个是 ... 解: (甲、乙、丁) 0 14、如图,过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60 , 0 ∠BSC=90 ,求证平面 ABC⊥平面 BSC。 0 〖证明〗∵SB=SA=SC,∠ASB=∠ASC=60 。∴AB=AC,取BC的中点O, 连AO、SO,则AO⊥BC,SO⊥BC,∴∠AOS为二面角的平面角 A 设SA=SB=SC=a又∠BSC=90 ,∴BC= 2 a,


SO=


1 2 1 2 2 2 2 2 2 a,AO =AC -OC =a - a = a 2 2 2
2 2 0

B

C

S ∴SA =AO +OS ∴∠AOS=90 ,从而平面ABC⊥平面BSC。 15、如图PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AD=a,M、N分别是AB、PC的中 点。 (1)求平面PCD与平面ABCD所成二面角的大小; (2)求证:平面MND⊥平面PCD P 解: (1)PA⊥平面ABCD,CD⊥AD, ∴PD⊥CD,故∠PDA为平面ABCD与平面PCD N E 所成二面角的平面角,在Rt⊿PAD中PA=AD 0 ∴∠PDA=45 即为所求。 C D (2)证明:取PD中点E,连EN、EA,则 EN∥

O

1 CD∥AM,∴四边形 ENMA 是平行四边形, 2







∴AE⊥NM。∵AE⊥PD,AE⊥CD,∴AE⊥平面 PCD, 从而NM⊥平面 PCD,∵NM ? 平面MND,∴平面MND⊥平面PCD 难度题 1、如图:两条线段 AB、CD 所在的直线是异面直线,CD ? 平面 ? , AB // ? ,M,N 分别是 AC,BD 的中点, 且 AC 是 AB、CD 的公垂线段。求证: (1) MN // ? , (2)若 AB=CD= a ,AC= b ,BD= c ,求线段 MN 的长。 证明:(1)过B作 BB ? ? ? ,垂足为 B ? ,连结 CB ?, DB ? , 设E为 DB ? 的中点,连结NE,CE,则NE // BB ? 且 NE ? 1 BB ? ,又 2
AC ? BB ?

A M C N

B

? MC//NE, 四 边 形 M C E N 为 平 行 四 边 形 ( 矩 形 )
?

B?
E D
21

? MN // CN ,又 CE ? ? , MN ? ? ,? MN // ? .
(2) 由 ( 1 ) 知 M N = C E , AB ? CB ? ? a ? CD , B?D ? BD2 ? BB? 2 ? c 2 ? b 2
? CE ? a 2 ?

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 c ? b 2 ? a ? b ? c ,即线段 MN 的长为 a ? b ? c 4 4 4 4 4

?

?

D1 C1 O1 17、如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=a。 B1 (1)求证:平面 AD1B1∥平面 C1DB. A1 A1 (2)求证:A1C ? 平面 AD1B1. M (3)求平面 AD1B1 与平面 BC1D 之间的距离. A1 (1)证明:因为 D1B1∥DB,所以 D1B1∥平面 C1DB,同理 N AB1∥平面 C1DB,又 D1B1 ∩AB1=B1,∴平面 AD1B1∥平面 C1DB. D C (2)证明:因为 A1C1⊥D1B1,而 A1C1 为 A1C 在 O 平面 A1B1C1D1 上的射影,所以 A1C⊥D1B1 同理 A1C⊥AB1,D1B1∩AB1=B1,所以 A1C ? A B 平面 AD1B1. (3)解:设 A1C∩平面 AB1D1=M,A1C∩平面 BC1D=N,O1,O分别为上底面 A1B1C1D1,下底面 ABCD 的中心,

则 M∈AO1,N∈C1O,且 AO1∥C1O,MN 的长即等于平面 AB1D1 与平面 BC1D 的距离,即 MN=A1M=NC= 1 A1C ? 3 a .
3 3

18、如图,已知平面α ∥β ∥γ ,且β 位于α 与γ 之间,点 A,D∈α ,C,F∈γ ,AC∩β =B,DF∩β =E. AB DE (1) 求证: ; ? BC EF A D (2) 设 AF 交β 于M,AC 与 DF 为异面直线,α 与β ? 间的距离为 h′,α 与γ 间的距离为 h,当 积最大? (1)证明:连结 BM,EM,BE,? ? // ? ,平面 ACF BM,CF 所以 BM∥CF,? 分别交α ,β 于

h? 的值是多少的时候, ?BEM 的面 h

?
?







AB C DE AB AM AM DE ,同理, ,? . ? ? ? BC EF BC MF MF EF BM AB h ? ME h ? h? (2)解:由(1)知 BM∥CF, ? ? , 同理 ? CF AC h AD h



? S ?BEM ?

1 h? ? h? ? CF ? AD ?1 ? ? sin BME .由题意知,AD 与 CF 是异面直线,故 CF,AD 是常量,sin∠BME 2 h? h?
h? 1 ? x .只要考察函数 y=x(1-x)的最值即可,显然当 x ? h 2

是 AD 与 CF 所成的角的正弦值,也是常量, 令 时,即

h? 1 ? 时,y=x(1-x)有最大值. h 2 h? 1 ? 时,即 ? 在 ? , ? 两平面的中间时 ?BEM 的面积最大. 所以当 h 2

19、如图正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中 点。 (1) 求证:平面MNF⊥平面ENF。
22

(2) 求二面角M-EF-N的平面角的正切值。 (1) 〖证明〗∵M、N、E是中点,∴MN⊥EN。 又NF⊥平面A1C1,∴MN⊥NF,从而MN⊥平面ENF ∵MN ? 平面MNF,∴平面MNF⊥平面ENF。 (2) 〖解〗过N作NH⊥EF于H,连结MH。 ∵MN⊥平面ENF,NE为MH在平面ENF内的射影, 由三垂线定理得MH⊥EF, ∴∠MHN是二面角M-EF-N的平面角。 在Rt⊿MNH中,求得MN=

3 2 a,NH= a, 3 2

∴tanMHN=

MN 6 ,即为二面角M-EF-N的平面角的正切。 ? NH 2

空间直线与平面

测试卷

(A 卷)

(满分 100 分,考试时间 90 分钟) 一、 选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1.三条直线两两相交,可确定的平面个数是( ) A 1 B 1或3 C 1或2 D 3 2.给出下列例命题 ①在空间,过直线外一点,作这条直线的平行线只能有一条。 ②既不平行,又不相交的两条不同直线是异面直线 ③两两互相平行的三条直线确定一个平面 ④不可能在同一平面的两条直线是异面直线 其中正确命题的个数是( ) A 1 B 2 C 3 D 4 3.命题: (1)夹在两平行平面间的两个几何体,被一个平行于这两个平面的平面所截,若截面积相等,则 这两个几何体的体积出相等; (2)直棱柱和圆柱侧面展开图都是矩形; (3)斜棱柱的体积等于与它的一条 侧棱垂直的截面面积乘以它的任一条侧棱; (4)平行六面体的对角线交于一点,且互相平分;其中正确的 个数是( ) A 4个 B 3个 C 2个 D 1个 4. 如图所示,BCDE 一个正方形,AB⊥平面 BCDE, 则图中互相垂直的平面有( ) A 4对 B 5对 C 7对 D 8对 5.在下列条件下,可判断平面 M 与平面 N 平行的是( ) A M.N 都垂直于平面 Q B M 内不共线的三个点到 N 的距离相等 C l,m 是异面直线,且 l∥M,m∥M,l∥N,m∥N D l,m 是 M 内两条直线且 l∥N,m∥N 6.连接正十二面体各面中点,得到一个( ) A 正六面体 B 正八面体 C 正十二面体 D 正二十面体 7.把等腰直角△ABC 沿斜边上的高 AD 折成直二面角 B-AD-C, BD 与平面 ABC 所成角的正切值为( 则 ) A

2

B

2 2

C 1

D

3 3
)

8.正六棱柱 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1 的侧面都是边长为 a 的正方形,则对角面 A1ACC1 的面积是(

23

A

3a 2

B

3 2 a 2

C

2a

2

D

2 2 a 2
0

9.侧棱长为 2 3a 的正三棱锥 V-ABC 的侧棱间的夹角为 40 ,过顶点 A 作截面 AEF,截面 AEF 的最小周长 为( A )

2 2a

B

6a

C 4a

D

12 3 a

10.一个圆柱形油桶,水平横放时桶内油占底面圆周的三分之一,那么当油桶直立时,油的深度与桶的高 度之比等于( ) A

1 3 : 3 4

B

1 3 : 3 4?

C

1 2 : 4 3

D

1 2 : 4 3?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 11、空间两个角的两边分别平行,则这两个角的大小关系是___________________ 12、长方体的对角线长为 l,其长、宽、高分别记为 x、y、z,则 x+y+z 的最大值为_______ 3 13、设三棱锥 P-ABC 的三条侧棱 PA、PB、PC 两两垂直,已知它的体积是 6cm ,侧面 PAB、PBC 的面积分别 是 9cm 、3cm ,那么侧面 PAC 的面积是_______________ 14.正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底边长,侧棱长都是 2,M 为 AB 的中点,N 为 CC1 的中点,则在棱柱表面上,从 M 到 N 的最短路程等于___________________ 三、解答题(本大题共 5 题,共 44 分) 15、(7 分)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是 AC 的中点,在平面 B1BDD1 中,过 B1 作 B1HD1O,垂足为 H, 求证:B1H⊥平面 ACD1。 C1 D A 16. (8 分)如图, 三棱锥 P-ABC,PD、CF 分别是棱锥的高, 求证: PD、CF 相交的充要条件是 PC⊥AB
1 1
2 2

B1 P F D O D B C C

A

A

B 17、 分)如图 3,四棱锥 P-ABCD 中,PC ? 面 ABCD,PC=2,在四边形 ABCD 中, (8 ? B= ? C= 90 ? ,CD//AB,AB=4,CD=1, P 点 M 在 PB 上,且 MB=3PM,PB 与面 ABC 成 30 ? 角 (1) 求证:CM//面 PAD M (2) 求证:面 PAB ? 面 PAD D C (3)求点 C 到面 PAD 的距离 A 图3 B

24

18、 分)如图,在底面是直角梯形 S 的四棱锥 S-ABCD 中,∠ABC=90 ,SA⊥面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD= (9 (1) 求四棱锥 S-ABCD 的体积; (2) 求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值 S

0

1 . 2

B

C

A

D

19、 (12 分)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1=4,AC=BC=2, ∠ACB=90 (1) 求点 B 到平面 AB1C 的距离。 (2) 求直线 B1B 与平面 AB1C 所成角的正切值 (3) 求以 AB1C 与 AB1B 为半平面的二面角的正切值

0

B1 A1

C1

B A

C

空间直线与平面 一、选择题 1----5 BBBDC 二、填空题 11.相等或互补 三、解答题 15.( 2 ? 1)ab 16. 略 17、略 12. 3

测试卷

(A卷)

参考答案

6----10 CDBBA

13.6cm2

14. 10

18.(1)

1 4 2 5 (2) 19.(1) 4 5 2

(2)

1 6 (3) 2 2

空间直线与平面

测试卷

(B 卷)

(满分 150 分,考试时间 120 分钟) 一、选择题(本题每小题 5 分,共 50 分) 1. “平面 ? 内有无穷多条直线都和直线 l 平行”是“l∥ ? ”的什么条件 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.如果直线 l 是平面 ? 的斜线,那么平面 ? 内 A.不存在与 l 平行的直线 B.不存在与 l 垂直的直线 C.与 l 垂直的直线只有一条 D.与 l 平行的直线有无穷多条









25

3.平面 ? 内有一个五边形 ABCDE,P 为 ? 外一点,P 到五边形 ABCDE 各边的距离相等, 则这五边形 ( ) A.必有外接圆 B.必有内切圆 C.既有外接圆又有内切圆 D.必是菱形 4.AB 是圆的直径,C 是圆周上一点,PC 垂直于圆所在的平面,若 BC=1,AC=2,PC=1, 则 P 到 AB 的距离为 ( )

A.1

B.2

C.

2 5 5

D.

3 5 5

5.已知 a、b、c 是直线, ? 是平面,给出下列命题: ①若 a ? b, b ? c, 则a // c ; ②若 a // b, b ? c, 则a ? c ; ③若 a // ? , b ?

? , 则a // b ;

④若 a 与 b 异面,且 a // ?, 则b与? 相交; ⑤若 a 与 b 异面,则至多有一条直线与 a,b 都垂直. 其中真命题的个数是 ( ) A.1 B. 2 C. 3 D. 4 6.两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为 5cm,4cm,3cm,把它们重叠在一起组成一个新长方体,在 这些新长方体中,最长的对角线的长度是 ( )

A. 77 cm

B. 7 2 cm

C. 5 5 cm

D. 10 2 cm ( )

7.在下列四个正方体中,能得出 AB⊥CD 的是

B. C. D. 8.如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,BC 的中点,现在沿 DE,DF 及 EF 把△ADE, △CDF,△BEF 折起,使 A,B,C 三点重合。那么折叠后的几何体中,必有 ( ) A.DP⊥平面 PEF D B.DM⊥平面 PEF C D C.PM⊥平面 DEF F D.PF⊥平面 DEF 9.在三棱柱 ABC—A′B′C′中,点 E、 M A B F、H、 K 分别为 AC′、CB′、A′B、 E E B′C′的中点,G 为△ABC 的重心. 从 K、H、G、B′中取一点作为 P, 使得该棱柱恰有 2 条棱与平面 PEF 平行, 则P为 ( ) A.K B.H D1 C1 C.G D.B′ 10.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是侧 A1 B1 面 BB1C1C 内一动点,若 P 到直线 BC 与直 P 线 C1D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在 D C 的曲线是 ( )
A B

A.

P(A,B,C)

F M

26

B.圆 C.双曲线 D.抛物线 二、填空题(本题每小题 4 分,共 16 分) 11.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是底面 ABCD 的中心,E、F、G、H 分别是棱 A A1、B B1、C C1、D D1 的中 点,请写出一个与 A1O 垂直的正方体的截面 。 12.下列 5 个正方体图形中, l 是正方体的一条对角线,点 M、N、P 分别为其所在棱的中点,能得出 l ? 面 MNP 的图形的序号是 (写出所有符合要求的图形序号)

A.直线











13.已知 m、n 是不同的直线,α 、β 是不重合的平面,给出下列命题:

D1 B1 P E D

(1)若? // ? , m ? a, n ? ? , 则m // n (2)若m, n ? a, m//? , n//? , 则?//? (3)若m ? a, n ? ? , m//n,则?//? (4)m ? n是两条异面直线 若m//? , m//? , n//? , n//? , 则?//? ,

C1

A1

C

上面命题中真命题的序号是 . A B 14.棱长为 1 的正方形 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 BB1 的中点,P 是截面 ABC1D1 上的一动点,求 A1P+PE 的最小 值为 . 三、解答题(共 84 分) 15. (14 分) 求证:一条直线和两个相交平面都平行,就和它们的交线平行.

D1

N B1

C1

16. (14 分)正方形 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,M,N 分别是 AB,CC1,AA1,C1D1 的中点,求证:平面 CEM∥平面 BFN.

A1

F M A E B C

D

17. (14 分)已知在四面体 V-ABC 中,各棱长均为 1,四面体的截面 EFGH 平行于对棱 VA 和 BC,试判断截 面 EFGH 的形状,并求截面面积的最大值.

18. 14 分) ( 如图, 四棱锥 S—ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, 垂直于底面 ABCD, SD SB= 3 . (1)求证 BC ? SC;
27

(2)设棱 SA 的中点为 M,求异面直线 DM 与 SB 所成角的大小.

19. (14 分)正三棱柱 ABC-A1B1C1 侧面的三条对角线 AB1,BC1,CA1 中,若 A1C⊥AB1,求证: AB1⊥BC1.

20. (14 分)设异面直线 a,b 成 60 角,它们的公垂线为 EF(即 EF 分别垂直 a,b 且和 a,b 相交于 E,F 点) ,且 EF=2,线段 AB 的长为 4,两端点 A,B 分别在 a,b 上移动,求线段 AB 的中点 P 的轨迹.

0

空间直线与平面

测试卷

(B卷)

参考答案

一、选择题(本题每小题 5 分,共 50 分) BBBDA CAACD 附:4、解:过 C 作 CD⊥AB 交 AB 于 D,连 PD 即为所求垂线。以下利用射影定理和勾股定理可求得答案为 D. 10、解:P 到直线 C1D1 的距离即为 PC1,所以 P 到 C1 距离和到直线 BC 的 D1 C1 距离相等,所以轨迹为抛物线,选 D。 二、填空题(本题每小题 4 分,共 16 分) B1 A1 11.GBD(AFC1H 或 ED1B1) ; P 12.①④⑤ E 13.③④ C D 14. 如图, 1 与 D 关于平面 ABC1D1 对称, 解: A 连接 DE, 因为 A1P+PE=DP+PE ? DE, 所以 DE 长度为 A1P+PE 最小值,计算得 3 。
2
A B

三、解答题(共 84 分) 15. (14 分)证明:如图,已知 b∥ ? 且 b∥ ? ,过 b 任作平面 ? , ? 分别交 ? ,? 于 a 和 c,????(4 分)所以 b∥a 且 b∥c,所以 a∥c , ????(8 分)所以 a∥ ? ,所以

a∥l,所以 b∥l. ????(14 分)

16. (14 分)证明:取 A1B1 中点 G,连 GE,A1N,A1B。 分)因为 NF∥A1B,所以 A1、N、F、B 共面,且 NF (4 ∥ME. ???? (7 分)又 GE∥CC1 且 GE=CC1,所以 C1G∥EC,同理 A1N∥C1G,所以 A1N∥EC,? (12 分)所以平面 CEM∥平面 BFN。????(14 分) N D C
1

1

A1

G

B1 F

M

D B

C

17. (14 分)解:⑴因为 VA∥截面 EFGH,所以 EH∥FG∥VA, 同理 EF∥HG∥BC, 所以截面 EFGH 为平行四边形。又 VA 在平面 ABC 内的射影为 BC 边上的高,所以 0 VA⊥BC,所以∠EFG=90 ,所以截面 EFGH 为矩形. ????(6 分)

A E

V

E F C H B

28
A G

⑵设 EF=x,由 -

EF FG VF BF + = + =1,可得 FG=1-x, ????(10 分)所以 SEFGH=x(1-x)=-( x CB VA VB VB

1 2 1 1 1 ) + (0< x <1) ,当 x = 时, 截面面积有最 大值为 .????(14 分) 2 4 2 4

18. (1)证明:∵底面 ABCD 是正方形, ∴BC⊥DC.∵SD⊥底面 ABCD,∴DC 是 SC 在平面 ABCD 上的射影, 由三垂线定理得 BC⊥SC. ???? (7 分) (2)解:∵SD=AD=1,∠SDA=90°,∴△SDA 是等腰直角三角形.又 M 是斜边 SA 的中点,∴DM⊥SA. ∵ BA⊥AD,BA⊥SD,AD∩SD=D,∴BA⊥面 ASD,SA 是 SB 在面 ASD 上的射影.由三垂线定理得 DM⊥SB. ∴异面直线 DM 与 SB 所成的角为 90°. ????(14 分)
B A

19.证明:分别取 AC,A1C1 中点 E、F,连接 BE,EC1,AF, B1F, ???? (4 分)因 为 B1F⊥面 A1C,所以 AB1 在面 A1C 射影为 AF,所以 AF⊥A1C。???? (8 分)因为 A EC1F 为平行四边形,所以 AF∥EC1,所以 EC1⊥A1C。同上可证 EC1 为 BC1 在平面 A1C 内的射影,所以 AB1⊥BC1. ???(14 分) 20.解:如图,取 EF 的中点 O,过 O 作 a1∥a,b1∥b,设直线 a1、 b1 确定平面为 ? ,则 A,B 在 ? 内的射影 A1,B1 分别在 直线直线 a1、b1,且线段 AB 中点 P 即为线段 A1B1 的中点。
2 2 |A1B1|= | AB | ? | EF | =2 3 ,原问题即转化为求线段

E B1 A1 F

C

C1

A1B1 中点 P 的轨迹问题。???? (6 分) 在平面为 ? 内,以∠A1OB1 的角平分线为 x 轴,O 为原点建 立直角坐标系。设|OA1|=m,|OB1|=n,在△A1OB1 中,由余 2 2 弦定理得 m -n -mn=12??(*) ,???? (10 分)

? ?2 x ? ? 再设 P 点坐标(x,y) ,则 ? ? 2y ? ? ?

2x ? 3 (m ? n) ?m ? 3 ? 2 y ? 2 ,可得 ? , 2x 1 ?n ? ? 2y (m ? n) ? 2 3 ?
y

x2 2 代入*式,化简得 +y =1, 9
所以所求轨迹为以 O 中心的椭圆

A1

x2 2 +y =1。? (14 分) 9

O B1

P

x

29


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