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3.1不等关系与不等式


3.1 不等关系与不等式
课标要求 1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存 在着大量的不等关系 , 会用不等式及不等式组表 示不等关系. 2.会用作差法 (或作商法 )比较两个实数或代数式 值的 大小. 3.掌握不等式的性质,能运用不等式的性质解决问 题. 学法指导 1. 不等关系广泛存在于现实生活中 , 应用不等式 ( 组 ) 表示不等关系实质是将 “自然语言 ”或 “图形 语言”转化成“数学语言”,是用不等式知识解决实 际问题的第一步 .只需根据题意建立相应模型 ,把 模型中的量具体化即可. 2.不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的 依据,应用时每步都要做到等价变形.

新课导入——实例引领 思维激活 实例:在日常生活中,我们经常看到下列标志

想一想 图中的标志各表示什么意思?你能用数学关系式表示吗? (① 最低限速:限制行驶时速 v 不得低于 50 公里,v≥50; ② 限制质量:装载总质量 G 不得超过 10 吨,0≤G≤10; ③ 限制高度:装载高度 h 不得超过 3.5 米,0≤h≤3.5; ④ 限制宽度:装载宽度 a 不得超过 3 米,0≤a≤3) 知识探究——自主梳理 思考辨析 1.比较实数 a、b 的大小 (1)文字叙述 (2)符号表示

如果 a-b 是 如果 a-b 如果 a-b 是

,那么 a>b; ,那么 a=b; ,那么 a<b,反过来也对.

a-b>0?a a-b=0?a a-b<0?a

b; b; b.

2.不等式的性质 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

(9)递增不等式 思考:由 a>b 可以得出 <

吗?

提示:不可以.例如当 a=2,b=-2 时,该结论错误;当 a· b>0 时,a>b?

1 a

<

1 b

题型探究——典例剖析 举一反三 题型一 用不等式来表示不等关系 【例 1】 用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长 18 m,要求菜园的面积 不小于 216 m2,靠墙的一边长为 x m.试用不等式表示其中的不等关系. 名师导引: (1)矩形菜园靠墙的一边长 x 应满足什么条件?(0<x≤18)
(2)菜园的另一条边长为多少?( (3)矩形面积怎样计算?(S=x·

30 ? x m) 2

30 ? x ) 2

(4)矩形面积应满足什么条件?(S≥216)
解:由于矩形菜园靠墙的一边长为 x m,而墙长为 18 m, 所以 0<x≤18, 这时菜园的另一条边长为 因此菜园面积 S=x· (15依题意有 S≥216, 即 x(15-

30 ? x x =(15- )(m). 2 2

x ), 2

x )≥216, 2

故该题中的不等关系可用不等式表示为

?0 ? x ? 18, ? x? ? ? ? x ? 15 ? 2 ? ? 216. ? ? ?

题后反思 (1)利用不等式表示不等关系时 ,应注意必须是具有相同性质 ,可以比较大小的两 个量才可用,没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示. (2)在用不等式表示实际问题时,一定要注意单位统一. 跟踪训练 1-1:配制 A、B 两种药剂,需要甲、乙两种原料.已知配一剂 A 种药需甲料 3 克,乙料 5 克;配一剂 B 种药需甲料 5 克,乙料 4 克.今有甲料 20 克,乙料 25 克,若 A、B 两种药至少各 配一剂,设 A、B 两种药分别配 x、y 剂(x、y∈ N),请写出 x、y 应满足的不等关系式.
?3 x ? 5 y ? 20, ?5 x ? 4 y ? 25, ? 解:根据题意可得 ? ? x ? 1, x ? N, ? ? y ? 1, y ? N.

题型二 作差法比较两式或两数的大小 【例 2】 已知 x∈ R,试比较 3x2-2x+1 与 2x2-x-1 的大小.
解:(3x2-2x+1)-(2x2-x-1) =x2-x+2=(x∵ x∈ R,

1 2 7 )+ , 2 4

∴ (x-

1 2 1 7 7 ) ≥0,(x- )2+ ≥ >0. 2 2 4 4

即(3x2-2x+1)-(2x2-x-1)>0, 故 3x2-2x+1>2x2-x-1.

题后反思 (1)比较两个实数 (代数式)大小的一般步骤是作差 ——变形——判断符号——下 结论. (2)作差法比较大小的关键是变形,常用的变形方法有配方、通分、因式分解、分子 (或分母) 有理化等. 跟踪训练 2-1:比较下列各组中两个代数式的大小: (1)x2+3 与 3x; (2)已知 a,b 为正数,且 a≠b,比较 a3+b3 与 a2b+ab2.
解:(1)(x2+3)-3x=x2-3x+3 =(x-

3 2 3 3 ) + ≥ >0, 2 4 4

∴ x2+3>3x.

(2)(a3+b3)-(a2b+ab2) =a3+b3-a2b-ab2 =a2(a-b)-b2(a-b) =(a-b)(a2-b2) =(a-b)2(a+b), ∵ a>0,b>0 且 a≠b, ∴ (a-b)2>0,a+b>0. ∴ (a3+b3)-(a2b+ab2)>0, 即 a3+b3>a2b+ab2. 【例 3】已知 a>0,b>0,比较 aabb 与 abba 的大小. 解:∵ a>0,b>0,∴ aabb>0,abba>0,


a a a bb a a ? b = a ?b =( )a-b. b a b ab b a >1,a-b>0, b

① 当 a>b 时, ∴ (

a a-b ) >1, b

∴ aabb>abba.

题型三 不等式性质的应用
【例 4】 已知 a>b>0,c<d<0,e<0,求证: 证明:∵ c<d<0, ∴ -c>-d>0, 又∵ a>b>0,∴ a+(-c)>b+(-d)>0, 即 a-c>b-d>0,∴ 0< 又∵ e<0,∴

e e > . a?c b?d

1 1 < , a?c b?d

e e > . a?c b?d

跟踪训练 3-1:已知 a>b,m>n,p>0,求证:n-ap<m-bp.

证明:∵ a>b,又 p>0,∴ ap>bp, ∴ -ap<-bp, 又 m>n,即 n<m.∴ n-ap<m-bp.
【例 5】 (10 分)已知 1<a<4,2<b<8,试求 a-b 与 名师导引:(1)由 b 的范围能否求得-b 的范围? (能,∵ 2<b<8,∴ -8<-b<-2) (2)由 b 的范围怎样得到 (∵ 2<b<8,∴ <

a 的取值范围. b

1 的范围? b

1 8

1 1 < ) b 2 a 1 a 1 是由 a 与 怎样得到的?(a-b=a+(-b), =a· ) b b b b

(3)a-b 是由 a 和-b 怎样得到的? 解:∵ 2<b<8,

∴ -8<-b<-2.……………………………………………………2 分 又∵ 1<a<4, ∴ 1+(-8)<a+(-b)<4+(-2),……………………………………4 分 即-7<a-b<2.……………………………………………………5 分 又∵ 2<b<8, ∴ <

1 8

1 1 < ,……………………………………………………7 分 b 2 1 8 1 b
1 2

而 1<a<4,∴ 1× <a· <4× , 即

1 a < <2.………………………………………………………9 分 8 b a 1 的取值范围是( ,2).…10 分 b 8

故 a-b 的取值范围是(-7,2),

题后反思 (1)利用不等式性质时 ,要特别注意性质成立的条件,如同向不等式相加 ,不等号方 向不变,两边都是正数的同向不等式才能相乘等. (2)要充分利用所给条件,进行适当变形来求范围,注意变形的等价性 【例 2】设 f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求 f(-2)的取值范围.
解:法一 设 f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n 为待定系数), 则 4a-2b=m(a-b)+n(a+b), 即 4a-2b=(m+n)a+(n-m)b, 于是得 ? 解得 ?

? m ? n ? 4, ? n ? m ? ?2,

? m ? 3, ? n ? 1,

∴ f(-2)=3f(-1)+f(1), 又∵ 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴ 5≤3f(-1)+f(1)≤10, 即 5≤f(-2)≤10. 法二 由 ?

? ? f ? ?1? ? a ? b, ? ? f ?1? ? a ? b,

1 ? a? ? f ? ?1? ? f ?1? ? ?, ? ? 2? 得? ?b ? 1 ? f ?1? ? f ? ?1? ? , ? ? ? 2?
∴ f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1), 又∵ 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴ 5≤3f(-1)+f(1)≤10, 即 5≤f(-2)≤10.

达标检测——反馈矫正 及时总结 1.若 a>b,c>d,则下列不等式关系中不一定成立的是( ) (A)a-b>d-c (B)a+d>b+c (C)a-c>b-c (D)a-c<a-d 解析:由不等式的性质易知 A、C、D 成立,选 B. 2.设 m=x2+y2+2y,n=2x-5,则 m,n 的大小关系是( ) (A)m>n (B)m<n (C)m=n (D)与 x,y 取值有关 解析:m-n=x2+y2+2y-2x+5 =(x-1)2+(y+1)2+3>0, ∴ m>n,选 A. 3.当 x>0 时,2x+3 与 x+2 的大小关系为 . 解析: (2x+3)-(x+2)=x+1, ∵ x>0, ∴ x+1>1>0, ∴ 2x+3>x+2. 答案:2x+3>x+2 4.一辆汽车原来每天行驶 x km,如果该汽车每天行驶的路程比原来少 10 km,那么在 6 天内它 的行程将不超过 2000 km,用不等式表示为 . 解析:如果该汽车每天行驶的路程比原来少 10 km,那么在 6 天内它的行程为 6(x-10)km,那么 不等关系“在 6 天内它的行程将不超过 2000 km”可以用不等式 6(x-10)≤2000 来表示. 答案:6(x-10)≤2000 课堂小结 1.比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了. a-b>0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?a<b. 2.作差比较的一般步骤: 第一步:作差;第二步:变形,常采用配方、因式分解等恒等变形手段,将“差”化成“积”;第三步: 定号,就是确定是大于 0,等于 0,还是小于 0.(不确定的要分情况讨论)最后得结论.概括为“三步 一结论”,这里的“定号”是目的,“变形”是关键. 3.不等式的性质是不等式变形的依据,每一步变形都要严格依性质进行,千万不可想当然.

一.不等式的性质: c? b? d 1. 同向不等式可以相加; 异向不等式可以相减: 若a ? 则a? bc , d ? , (若 a ? b, c ? d ,则 a ? c ? b ? d ) ,但异向不等式不可以相加;同向不等式不可 以相减; 2.左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可

以相除,但不能相乘:若 a ? b ? 0, c ? d ? 0 ,则 ac ? bd (若 a ? b ? 0,0 ? c ? d , a b 则 ? ) ; c d 3.左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方 :若 a ? b ? 0 ,则 a n ? b n 或 n a ? n b; 1 1 1 1 4.若 ab ? 0 , a ? b ,则 ? ;若 ab ? 0 , a ? b ,则 ? 。如 a b a b (1)对于实数 a, b, c 中,给出下列命题: ① 若a ? b, 则ac2 ? bc2 ; ③ 若a ? b ? 0, 则a 2 ? ab ? b 2 ; ⑤ 若a ? b ? 0, 则 ② 若ac2 ? bc2 , 则a ? b ; 1 1 ④ 若a ? b ? 0, 则 ? ; a b

b a ? ; ⑥ 若a ? b ? 0, 则a ? b ; a b a b 1 1 ? ⑦ 若c ? a ? b ? 0, 则 ; ⑧ 若a ? b, ? ,则 a ? 0, b ? 0 。 c?a c?b a b 其中正确的命题是______ (答:②③⑥⑦⑧) ; (2)已知 ?1 ? x ? y ? 1 , 1 ? x ? y ? 3 ,则 3x ? y 的取值范围是______ (答: 1 ? 3x ? y ? 7 ) ; c (3)已知 a ? b ? c ,且 a ? b ? c ? 0, 则 的取值范围是______ a 1? ? (答: ? ?2, ? ? ) 2? ? 二.不等式大小比较的常用方法: 1.作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; 2.作商(常用于分数指数幂的代数式) ; 3.分析法; 4.平方法; 5.分子(或分母)有理化; 6.利用函数的单调性; 7.寻找中间量或放缩法 ; 8.图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。如 1 t ?1 (1)设 a ? 0且a ? 1, t ? 0 ,比较 log a t和 log a 的大小 2 2 1 t ?1 (答:当 a ? 1 时, log a t ? log a ( t ? 1 时取等号) ;当 0 ? a ? 1 时, 2 2 1 t ?1 log a t ? log a ( t ? 1 时取等号) ) ; 2 2 2 1 (2)设 a ? 2 , p ? a ? , q ? 2 ?a ?4a?2 ,试比较 p, q 的大小 a?2 (答: p ? q ) ; (3)比较 1+ logx 3 与 2 logx 2( x ? 0且x ? 1) 的大小

(答: 当 0 ? x ? 1或 x ?

4 4 时, 1+ logx 3 > 2log x 2 ; 当 1 ? x ? 时, 1+ logx 3 < 3 3

2log x 2 ;当 x ?

4 时,1+ logx 3 = 2log x 2 ) 3 1 1 1 (4)求证: 1 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 。 2 3 n

(5). (2014 新课标 II)(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 =1, an?1 ? 3an ? 1 . (Ⅰ)证明 an ? 1 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式;

?

2

?

(Ⅱ)证明: 1 ? 1 ? …+ 1 ? 3 .

a1

a2

an

2

(1)

? a1 = 1, an+1 = 3an + 1.n ∈ N * . 1 1 1 = 3an + 1+ = 3(an + ). 2 2 2 1 1 3 ∴{an + }是首项为a1 + = , 公比为3的等比数列。 2 2 2 ∴ a n+1 +
(2)

1 3n 3n - 1 1 2 由(1)知,an + = ,∴ an = , = n . 2 2 2 an 3 - 1 1 1 2 1 = 1, 当n > 1时, = n < n-1 . a1 an 3 - 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - 3n 3 1 3 ∴ + + + ?+ < 1+ 1 + 2 + ?+ n-1 = = ( 1- n ) < . 1 2 a1 a2 a3 an 3 3 3 3 2 13 1 1 1 1 3 所以, + + + ?+ < ,n ∈ N * (证毕) . a1 a2 a3 an 2


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