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人教A版数学必修二 第四章4.2.1《直线与圆的位置关系》导学案

4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系 问题导学 一、直线与圆位置关系的判断 活动与探究 1 2 2 已知圆的方程是 x +y =1,直线 y=x+b.当 b 为何值时, (1)圆与直线有两个公共点; (2)圆与直线只有一个公共点; (3)圆与直线没有公共点. 迁移与应用 2 2 1.直线 3x+4y-5=0 与圆 x +y -2x+2y-7=0 的位置关系是( A.相离 B.相切 C.相交但不过圆心 D.相交且过圆心 2 2 2.直线 y=kx+1 与圆 x +y =4 的位置关系是__________. ) 判断直线与圆 的位置关系有两种方法:代数法与几何法.具体用哪种方法判断直线与 圆的位置关系,应由条件而定.代数 法是从方程角度考虑,较繁琐;如果求交点坐标,就 必须用该法;几何法是从几何角度考虑, 方法简单,成为判断直线与圆位置关系的常用方 法. 二、直线与圆相切问题 活动与探究 2 2 2 过点 A(4,-3)作圆 C:(x-3) +(y-1) =1 的切线,求此切线的方程. 迁移与应用 2 2 1 .过点 P( 2, 2)作圆 x +y =4 的切线,则切线方程为__________. 2.圆心为(1,1)且与直线 x-y=4 相切的圆的方程为__________. 2 2 3.求与直线 y=x+2 平行且与圆(x-2) +(y-3) =8 相切的直线的方程. 解答直线与圆相切问题时,通常用圆心到直线的距离等于半径求解. 经过圆 上一点的切线有一条, 经过圆外一点的切线有两条, 在求切线方程时, 要注意 斜 率不存在的情况. 三、直线与圆相交问题 活动与探究 3 2 2 已知过点 M(-3,-3)的直线 l 被圆 x +y +4y -21=0 所截得的弦长为 4 5,求直线 l 的方程. 迁移与应用 2 2 1.直线 y=kx 被圆 x +y =2 截得的弦长等于________. 2.已知一圆 C 的圆心为(2,-1),且该圆被直线 l:x-y-1=0 截得的弦长为 2 2, 求该圆的方程. 直线与圆相交后的弦长问题,常采用几何法(半弦长、弦心距,圆的半径构成的直角三 角形)求解. 当堂检测 2 2 1.若直线 x+y+m=0 与圆 x +y =m 相切,则 m 为( ) A.0 或 2 B.2 C. 2 D.无解 2 2 2.若直线 x-y+1=0 与圆(x-a) +y =2 有公共 点,则实数 a 的取值范围是( ) A.[-3,-1] B.[-1,3] C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞) 2 2 3.圆 x +y -4x+4y+6=0 截直线 x-y-5=0 所得的弦长等于( ) A. 6 5 2 B. 2 2 C.1 2 D.5 4.垂直于 x 轴的直线 l 被圆 x +y -4x-5=0 截得的弦长为 2 5,则直线 l 的方程为 __________. 2 2 5.自点 A(2,3)作圆 x +y -2y-4=0 的切线,则切线长为________. 提示 : 用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精 华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记. 答案: 课前预习导学 【预习导引】 2 1 0 < = > > = < 预习交流 (1)提示:利用圆心到直线的距离等于半径求解,但要注意直线的斜率不存 在的情况. (2)提示:解答这类问题常利用半弦长、半径及弦心距组成的直角三角形求解. 课堂合作探究 【问题导学】 活动与探究 1 思路分析:可联立方程组,由方程组解的个数求解,也可求出圆心到直 线的距离,与半径比较求解. ?y=x+b, ? 解:方法一:联立直线和圆的方程组成方程组:? 2 2 ? ?x +y =1, 整理可得 2x +2bx+b -1=0,其中 Δ =4(2-b ). (1)当 Δ =0,即 b=± 2时,直线和圆相切,此时直线和圆仅有一个公共点. (2)当 Δ >0,即- 2<b< 2时,直线和圆相交,此时直线和圆有两个公共点. (3)当 Δ <0,即 b<- 2或 b> 2时,直线和圆相离,此时直线和圆没有公共点. |b| 2 2 方法二: 圆 x +y =1 的圆心(0,0)到直线 l: y=x+b 的距离 d= , 圆的半径为 r=1. 2 |b| (1)当 d= =1,即 b=± 2时,直线与圆相切,此时直线与 圆有一个公共点. 2 |b| (2)当 d= <1,即- 2<b< 2时,直线与圆相交,此时直线与圆有两个公共点. 2 |b| (3)当 d= >1,即 b<- 2或 b> 2时,直线与圆相离,此时直线与圆没有公共点. 2 迁移与应用 1.C 2.相交 活动与探究 2 思路分析:利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出直线斜率,进而求 出切线方程. 2 2 解:因为(4-3) +(-3-1) =17>1,所以点 A 在圆外. (1)若所求直线的斜率存在,设切线斜率为 k,则切线方程为 y+3=k(x-4).因为圆心 |3k-1-3-4k| 2 C(3,1)到切线的距离等于半径,半径为 1,所以 =1,即|k+4|= k +1, k2+1 15 15 2 2 所以 k +8k+16=k +1.解得 k=- .所以切线方程为 y+3=- (x-4),即 15x+8y 8 8 -36=0. 2 2 2 (2) 若直线斜率不存在, 圆心 C(3,1)到直线 x=4 的距离也为 1,这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是 x=4. 综上,所求切线方程为 15x+8y-36=0 或 x=4. 迁移与应用 1.x+y-2 2=0 2 2 2.(x-1) +(y-1) =8 3.解:设所求的切线方程为 y=x+b,即 x-y+b=0.∵圆心坐标为(2,3),半径为 2 2, |2-3+b| ∴ =2 2,即|b-1|=4,b=5 或-3.∴所求的切线方程为 x-y-3=0 或 x 2 -y+5=0. 活动与探究

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