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2018版高中数学人教版A版必修一课件:第二单元 2.2.2 第2课时 对数函数及其性质的应用_图文

第2课时 对数函数及其性质的应用 学习目标 1. 进一步理解对数函数的性质 ( 重点 ).2.能运用对数 函数的性质解决相关问题(重、难点). 题型一 比较对数值的大小 【例 1】 (1)若 a=log23,b=log32,c=log46,则下列结论正 ) B.a<b<c D.b<c<a ) 2 确的是( A.b<a<c C.c<b<a (2)下列不等式成立的是(其中 a>0 且 a≠1)( A.loga5.1<loga5.9 C.log1.1(a+1)<log1.1a B.log1 2.1>log1 2.2 2 D.log32.9<log0.52.2 解析 (1)因为函数 y=log4x 在(0,+∞)上是增函数,a=log23 =log49>log46>1,log32<1,所以 b<c<a. (2)对于选项 A,因为 a 和 1 大小的关系不确定,无法确定指数 函数和对数函数的单调性,故 A 不成立;对于选项 B,因为以 1 2为底的对数函数是减函数,所以成立;对于选项 C,因为以 1.1 为底的对数函数是增函数,所以不成立;对于选项 D , log32.9>0,log0.52.2<0,故不成立,故选 B. 答案 (1)D (2)B 规律方法 比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性. (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同,找中间量. (4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影 响,对底数进行分类讨论. 【训练1】 比较下列各组中两个值的大小: (1)log31.9,log32; (2)log23,log0.32; (3)logaπ,loga3.14(a>0,a≠1). 解 (1)因为y=log3x在(0,+∞)上是增函数, 所以log31.9<log32. (2)因为log23>log21=0,log0.32<log0.31=0, 所以log23>log0.32. (3) 当 a>1 时 , 函 数 y = logax 在 (0 , + ∞ ) 上 是 增 函 数 , 则 有 logaπ>loga3.14; 当0<a<1时,函数y=logax在(0,+∞)上是减函数, 则有logaπ<loga3.14. 综上所得,当a>1时,logaπ>loga3.14;当0<a<1时, logaπ<loga3.14. 题型二 与对数函数有关的值域和最值问题 【例 2】 (1)函数 f(x)=log1 (x2+2x+3)的值域是________. 2 (2) 若函数 f(x) =ax+loga(x + 1) 在[0,1] 上的最大值和最小值 之和为 a,则 a 的值等于________. 1 1 (3)求 y=(log1 x) -2log x+5 在区间[2,4] 上的最大值和最 2 2 2 小值. 解析 (1)f(x)=log1 (x2+2x+3)=log1 [(x+1)2+2] ,因为(x+ 2 2 1)2+2≥2,所以log1 [(x+1)2+2] ≤log1 2=-1,所以函数 f(x) 2 2 的值域是(-∞,-1]. (2)当 a>1 时, f(x)在[0,1] 上单调递增, 则最大值和最小值之和为 1 f(1)+f(0)=a+loga2+1=a,解得 a=2,不满足 a>1,舍去; 当 0<a<1 时,f(x)在[0,1] 上单调递减,则最大值和最小值之和为 1 f(0)+f(1)=1+a+loga2=a 解得 a=2,符合题意. 1 答案 (1)(-∞,-1] (2)2 (3)解 因为 2≤x≤4,所以log1 2≥log1 x≥log1 4, 2 2 2 即-1≥log1 x≥-2.设 t=log1 x,则-2≤t≤-1, 2 2 1 1 所以 y=t -2t+5,其图象的对称轴为直线 t=4, 2 13 所以当 t=-2 时,ymax=10;当 t=-1 时,ymin= 2 . 规律方法 求函数值域或最大(小)值的常用方法 (1) 直接法:根据函数解析式的特征,从函数自变量的变化范 围出发,通过对函数定义域、性质的观察,结合解析式,直接 得出函数值域. (2) 配方法:当所给的函数是可化为二次函数形式的 ( 形如 y = a·[f(logax)]2 + bf(logax) + c ,求函数值域问题时,可以用配方 法. (3) 单调性法:根据在定义域 ( 或定义域的某个子集 ) 上的单调 性,求出函数的值域. (4)换元法:求形如y=logaf(x)型函数值域的步骤:①换元,令u =f(x),利用函数图象和性质求出 u 的范围;②利用 y =logau的 单调性、图象求出y的取值范围. 【训练 2】 函数 f(x)=log1 (3+2x-x2)的值域为________. 2 解析 设 u=3+2x-x2=-(x-1)2+4≤4,因为 u>0,所以 0<u log1 u≥log1 4=-2,所以函数 f(x)的值域为[-2,+∞). 2 2 答案 [-2,+∞) 考查 方向 题型三 对数函数性质的综合应用 方向1 解对数不等式 【例 3-1】 已知 log0.3(3x)<log0.3(x+1),则 x 的取值范围为 ( ) ? 1? B.?-∞,2? ? ? ? 1? D.?0,2? ? ? ?1 ? A.?2,+∞? ? ? C ? 1 1? .?-2,2? ? ? 解析 因为函数 y=log0.3x 是(0,+∞)上的减函数, 1 解得 x>2. ?3x>0, ? 所以原不等式等价于?x+1>0, ?3x>x+1, ? 答案 A 方向2 与对数函数有关的奇偶性问题 x+1 【例 3-2】 已知函数 f(x)=loga (a>0,且 a≠1). x-1 (1)求 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的奇

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