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广东省汕头市金山中学2014年高一上学期期末考试数学试卷及答案


汕头市金山中学 2014--2015 学年度第一学期高一年级期终考 试





命题人:张海兵

亲爱的同学们:本次试题的解答过程中,你可能会用到以下的结论,仅供参考: ①对定义在 (0, ? ?) 上的函数 h( x) ? x ? 小值 2 a . ②平面上 A、B、C 三点共线 ? 则必存在唯一的一对实数 ? , ? ,使得 OA ? ?OB ? ?OC ,且 有 ? +? =1 ( O 为平面内任一点).

a ( a ? 0) ,当且仅当 x ? a 时函数 h( x) 取得最 x

一、选择题(本题有 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1、已知函数 y ? lg x 的定义域为 A , B ? x 0 ? x ? 1 ,则 A I B ? ( A. ? 0, ??? B. ?0,1? ) C. (0,1] D. [-4,0)∪(0,1] ( ) C. ? 0,1?

?

?

) D. ?0,1?

-x2-3x+4 2、函数 y= 的定义域为 ( x A. [-4,1] B. [-4,0)

3、函数 y=2x2-(a-1)x+3 在(-∞,1]内递减,在(1,+∞)内递增,则 a 的值是 A. 1 B. 3 C. 5 D. -1

π 4、已知角 ? 的终边过点 P(-3cosθ,4cosθ),其中 θ∈( ,π),则 cos ? 的值是( 2 3 A. 5 B. 3 5 4 C .- 5 D. 4 5 )



5、若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数,且 f(2)=1,则 f(x)=( A. log2x B.

1 2x

C. log 1 x
2

D . 2x

-2

6、 下列函数 f(x)中, 满足“对任意的 x1, x2∈ (0, +∞), 当 x1<x2 时, 都有 f(x1)>f(x2)”的是 (

)

A. f(x)=

1 x

B. f(x)=(x-1)2

C. f(x)=ex

D. f(x)=ln(x+1)

7、方程 ln(2 x ? 1) ?

1 的一个根落在区间( ) 3x ? 2 (参考数值: ln1.5 ? 0.41 , ln 2 ? 0.69 , ln 2.5 ? 0.92 ) 1 1 1 1 ) ) A. ( ? , 0) B. (0, C. ( , 4 4 4 2
)

D. ( ,

1 2

3 ) 4

π 8、已知 tanx=sin(x+ ),则 sinx= ( 2 A.

?1 ? 5 2

B.

?1 ? 3 2

C.

?1 ? 5 2

D.

?1 ? 3 2
f(x)-f(-x) 9、 若函数 f(x)为奇函数, 且在(0, +∞)内是增函数, 又 f(2)=0, 则 <0 的解集为( x A. (-2,0)∪(0,2) C. (-∞,-2)∪(2,+∞) B. (-∞,-2)∪(0,2) D. (-2,0)∪(2,+∞) )

10、函数 f ( x) ? cos A. ( ,

x x x ( 3 sin ? cos ) 的在下列哪个区间上单调递增( 2 2 2
B. ( ? , )



? 3

2? ) 3

? 6

? 2

C. (0, )

? 2

D. ( ?

?? ,0) 3


11、如图,在Δ ABC 中, AB ? AD , BC ? 3 BD , AD ? 1 , AC ? AD ? ( A. 2 B.

3

C. 2

D. 2 3

y 1

?
3

(第 11 题图)

? O ? 6 ?1

5? 6

x

(第 12 题图)

(? x ? ?) x ? R 在区间[12、上图是函数 y ? A sin
图象,只要将 y ? cos( x ? A.向左平移

? 5?
6

?
2

, ] 上的图像,为了得到这个函数的 6


) ( x ? R) 的图象上所有的点(

? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6 ? 1 B.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 6 ? C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3

D.向左平移

? 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 3

二、填空题(本题有 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 13、若 cos(2π-α)= 5 π ,且 α∈(- ,0),则 sin(π-α)= 3 2 .

14 、已 知定义 在 R 上的 函数 f ( x ) 满 足 :对任 意的 x ? R , 都有 f ( x ? 3) ? ?

f ( 2 )?

1 , 2 则 f (2015) ?
π 3

1 ,且 f ( x)



15、函数 f ( x) ? cos(2 x ? ) ? 2sin( x ? )sin( x ? ) 图象的对称轴方程是

π 4

π 4



16、已知 O 为 ?ABC 的外心, AB ? 2 , AC ? 3 ,如果 AO ? xAB ? y AC ,其中 x 、 y 满 足 x ? 2 y ? 1 ,则 cos ?BAC ? .

三、解答题(本题有 5 小题,共 66 分) 17、 (本题 12 分)已知 ? ? (

?

(1)求 cos 2? 的值; (2)求 cos(

, ? ) , sin ? = 5 . 2

5

5? ? 2? ) 的值. 6

π 18、 (本题 12 分)如图,在△ABC 中,∠B= ,AB=8,点 D 在 BC 边上, 3 1 且 CD=2,cos∠ADC= . 7 (1)求 sin∠BAD; (2)求 BD,AC 的长. 第 18 题图 19、 (本题 14 分)已知向量 m ? (sin (I)若 f ( x) ? 0 ,求 sin(

? x) 值; 6 (II)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 (2a ? c) cos B ? b cos C , 求 f ( A) 的最大值及相应的角 A.

?

x x x , 3), n ? (cos , cos 2 ) , f ( x) ? m ? n . 4 4 4

20、 (本题 14 分)已知函数 f ( x) ? 2 x2 ? mx ? 2m ? 3 (1)若函数在区间 (??, 0) 与 (1, ? ?) 内各有一个零点,求实数 m 的取值范围; (2)若不等式 f ( x) ? (3m+1) x ? 3m ? 11 在 x ? ( , ? ?) 上恒成立,求实数 m 的取值范围.

1 2

21、 (本题 14 分)已知函数 f ( x) =

x

x+ 2 (1)请你判断函数 f ( x ) 在区间 (0, + ) 上的单调性,并证明;
(2)若函数 g ( x) = f ( x) - kx (k
2



R) 有四个不同的零点,求实数 k 的取值范围.

预祝同学们新年快乐,咱们羊年见!

高一数学期终考试参考答案
选择题答案:CDCBA 填空题答案: ? ABCAD BD

2 ; 3

?2 ;
5? 3 = , ?5? 5
2

x?

k? ? ? (k ? Z ) ; 2 3

3 . 4
????3 分 ????5 分

17、解: (1)cos 2α=1-2sin2α =1-2×?

(2) 方法一:因为 α∈?

π 5 ,π ?,sin α= 5 ,∴cos α < 0 ?2 ? 5 5 . ????7 分 ????9 分

2 所以 cos α=- 1-sin2α=- Sin 2α=2sin α cos α=2× 所以 cos?

5 ? 2 5? 4 × =- , 5 ?- 5 ? 5

5π 5π 5π ? ? 6 -2α?=cos 6 cos 2α+sin 6 sin 2α =?-

?

4+3 3 3? 3 1 ? 4? × + × - =- . 10 2 ? 5 2 ? 5?

??12 分

方法二:由 ? ? (

?
2

, ? ) , 2? ? (? , 2? ) ,∴ sin 2? < 0
????9 分

3 4 sin 2? ? ? 1 ? cos2 2? ? ? 1 ? ( )2 ? ? 5 5
所以 cos? 5π 5π 5π ? ? 6 -2α?=cos 6 cos 2α+sin 6 sin 2α =?-

?

4+3 3 3? 3 1 ? 4? × + × - =- . 10 2 ? 5 2 ? 5?

??12 分

1 18.解:(1) 在△ADC 中,因为 cos ∠ADC= ,∠ADC ? (0, 7

? ) ,sin ∠ADC >0
????3 分

1 2 4 3 所以 sin ∠ADC ? 1 ? cos2 ?ADC ? 1 ? ( ) = 7 7
所以 sin ∠BAD=sin(∠ADC-∠B) =sin ∠ADCcos B-cos ∠ADCsin B = 4 7 3 1 1 3 3 3 × - × = . 2 7 2 14

????5 分

(2)在△ABD 中,由正弦定理得 3 3 8× 14 AB·sin ∠BAD BD= = =3. sin ∠ADB 4 3 7 故 BD=BC+ CD=3+2=5

????8 分

在△ABC 中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cos B 1 =82+52-2×8×5× =49, 2 所以 AC=7. 19、解: (I) f ( x) ? m ? n ? sin ????11 分 ????12 分

x x x cos ? 3 cos 2 ----------------1 分 4 4 4 1 x 3 x 3 = sin ? cos + 2 2 2 2 2 x ? 3 = sin( ? )+ ----------------4 分 2 3 2 x ? 3 ∵ f ( x) ? 0 ∴ sin( ? )= ? 2 3 2 ? 2? x ? 3 1 ∴ sin( ? x) ? ? cos( x ? ) ? 2sin 2 ( ? ) ? 1 ? 2 ? (? ) 2 ? 1 ? -------6 分 6 3 2 3 2 2 (2 a ? c ) cos B ? b cos C (II)∵ ,
由正弦定理得 (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C ∴ 2sin AcosB ? sin C cos B ? sin B cos C ∴ 2sin A cos B ? sin( B ? C ) ∵ A ? B ? C ? ? ∴ sin( B ? C ) ? sin A ,且 sin A ? 0 -----------------8 分

1 ? ,∵0 ? B ? ? ∴ B ? ----------------10 分 2 3 2? ∴0 ? A ? ----------------11 分 3 ? A ? 2? 3 A ? ∴ ? ? ? , ? sin( ? ) ? 1 3 2 3 3 2 2 3 A ? 3 3 ∴ 3 ? sin( ? ) ? -----------------13 分 ? ?1 2 3 2 2 ? A ? 3 当 A ? 时, sin( ? ) ? 1 , f ( A) 取得最大值 ? 1 .-----------------14 分 3 2 3 2
∴ cos B ? 20、解: (1)由 f ( x) ? 2 x ? mx ? 2m ? 3图像开口向上,且在区间 (??, 0) 与 (1, ? ?) 内 各有一零点,
2

? f (0) ? 0 , ----------------3 分 ? f (1) ? 0 ??2m ? 3 ? 0 即? , ----------------4 分 ??m ? 1 ? 0 解得 m ? ?1 ,即实数的取值范围为 (?1, ? ?) ; ----------------6 分 1 (2)方法一:不等式 f ( x) ? (3m ? 1) x ? 3m ? 11 在 x ? ( , ? ?) 上恒成立 2
故?

? 2 x 2 ? mx ? 2m ? 3 ? (3m ? 1) x ? 3m ? 11 ----------------7 分 ? 2 x2 ? (2m ? 1) x ? m ? 8 ? 0
取 g ( x) ? 2 x ? (2m ? 1) x ? m ? 8 ( x ?
2

2m ? 1 1 ? m? 2 2 1 1 当 m ? 0 时,对称轴 x ? m ? ? 2 2 1 ∴ g ( x) 在 ( , ? ?) 上单调递增, g ( x) ? g (2) ? 8 ? 0 , 2 故 m ? 0 满足题意 ----------------9 分 1 1 当 m ? 0 时,对称轴 x ? m ? ? 2 2 1 又 g ( x) ? 0 在 ( , ? ?) 上恒成立, 2 2 故 ? ? (2m ? 1) ? 8(m ? 8) ? 4m2 ? 4m ? 63 ? (2m ? 7)(2m ? 9) ? 0 7 9 解得: ? ? m ? , ----------------12 分 2 2 9 故0 ? m ? ----------------13 分 2 9 ]. 综上所述,实数的取值范围为 ( ?? , ----------------14 分 2 1 方法二:不等式 f ( x) ? (3m ? 1) x ? 3m ? 11 在 x ? ( , ? ?) 上恒成立 2 2 ? 2 x ? mx ? 2m ? 3 ? (3m ? 1) x ? 3m ? 11
对称轴 x ?

1 ) 2

2x2 ? x ? 8 8 ? x? ----------------9 分 2x ?1 2x ?1 8 1 (x ? ) 取 g ( x) ? x ? 2x ?1 2 a (a ? 0) ,当且仅当 x ? a 时 h( x) 取得最 由结论:定义在 (0, ? ?) 上的函数 h( x) ? x ? x 小值 2 a . 1 9 1 4 1 故 g ( x) ? x ? ? ----------------12 分 ? ?2 4? ? 2 2 2 x?1 2 2 1 5 9 当且仅当 x ? ? 2 ,即 x ? 时函数 g ( x) 取得最小值 . ----------------13 分 2 2 2 9 9 ]. 故 m ? ,即实数的取值范围为 ( ?? , ----------------14 分 2 2

?m?

21、 (本小题满分 14 分)


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