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集合与函数练习卷

第 12 周
班级 姓名
第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A ? ?x | ?1 ? x ? 3? , B ? ? y A. ?x | x ? ?1 或 x ? 8? B. ? x |

? 1 ? ? y ? 8? ,则 A ? B ? ? 2 ?
C. ?x | ?1 ? x ? 8? D. ?

2.已知函数 y ? f ( x ? 1) 的图象过点(3,2) ,则函数 y ? f ( x) 的图象关于 x 轴的对称图形 一定过点 A. (2,-2) B. (2,2) C. (-4,2) D. (4,-2) 3.下列根式、分数指数幂的互化中,正确的是 A. ? x ? ( ? x ) 2
1

1 ? x ? 3? 2

B. x

?

1 3

x ? y ? ?3 x C. ( ) 4 ? 4 ( ) 3 ( x, y ? 0) y x
0.2

3

D. 6 y 2 ? y 3

1

?1? 4.设 a ? log 1 3 , b ? ? ? ?3? 2
A

1

,c

? 2 3 ,则(
C

). D

a?b?c
x 2

B

c?b?a

c?a?b

b?a?c

5. 函数 y ? 2 ? x 的图像大致是

A. 6 .已知函数 f ( x) ? ? 2

B.

C.

D.

? 1 x ?( ) , x ? 4,

则f (2 ? log2 3) 的值为 ? ? f ( x ? 1), x ? 4.
B.

A.

1 3

1 6

C.

1 12

D.

1 24
D.a<1

7.设 x∈R,若 a<lg(|x-3|+|x+7|)恒成立,则 A.a≥1 B.a>1 C.0<a≤1

8. 对于函数 f ( x ) ,若在其定义域内存在两个实数 a, b ? a ? b ? ,当 x ? ? a, b? 时, f ( x ) 的 值域也是 ? a, b? , 则称函数 f ( x ) 为 “科比函数” . 若函数 f ( x) ? k ? “科比函数” , x?2 是

则实数 k 的取值范围 A. ( ?

9 , ?2] 4

B. ( ?

9 ,0 ] 4

C. [?2,0]

D. [?2,??)

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题: 本题共 7 小题,每空 4 分,共 36 分. 9. 若 f ( x) ?

a ? 2 x ? 2a ? 1 为 R 上的奇函数,则实数 a 的值为 2x ? 1



1 10.函数 y= x 的值域是__________. 2 +1 11.函数 f(x)=a
- x-2

+1 图象恒过定点__________,可以由 f(x)=a

-x

+1 的图象向

平移

2 个单位得到。

12.函数 y ? log 1 ? x ? 2 x ? 3 的定义域_______
2 4

?

?

;单调增区间是________

? ? ? 2a ? ? ? ? 1? ,若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范 13. 设集合 A ? ? x log 1 (3 ? x) ? ?2? , B ? ? x ? x?a ? ? ? 2 ? ?
围是________.

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 14.已知 f ( x) ? ? 是 ? log a x, x ? 1 ________
15.给出下列四个命题:

( ??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是

①函数 y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )与函数 y ? log a a x ( a ? 0 且 a ? 1 )的定义域相同; ②函数 y ? x3 与 y ? 3x 的值域相同;③函数 y ? 函 数 y ? ( x ? 1) 与 y ? 2
2 x ?1

1 1 (1 ? 2 x ) 2 ? x 与y? 都是奇函数;④ 2 2 ?1 x ? 2x

在 区 间 [ 0 ,?? )上 都 是 增 函 数 , 其 中 正 确 命 题 的 序 号 是

____________(把你认为正确的命题序号都填上). 三、解答题:本题共 6 小题,共 74 分.

16. (本题满分 12 分)已知:全集 U ? R , A ? x x 2 ? 4 ? 0 , B ? ?x x ? a?; ⑴若 a ? 1 ,求 A ? B , A ? B ; ⑵若 CU A ? B ,求:实数 a 的取值范围。

?

?

17. (本小题满分 12 分)计算下列各式的值
1 8 3 ⑴ (2 ) 2 ? (?9.6) 0 ? ( ) 3 ? ( ) ?2 4 27 2
1 2

;

⑵ log3

4

27 ? lg 25 ? lg 4 ? 7log7 2 . 3

18. (本小题满分 12 分) (I)求函数 f ( x) ? log3 (1 ? x) ? 3 ? 4x 的定义域; (2) 判断并证明函数 f(x)= x ? (3) 证明函数 f(x)= x ? 域。
4 的奇偶性 x

4 在 x ? [2,??) 上是增函数,并求 f ( x) 在 [4,8] 上的值 x

19. (本小题满分 12 分)函数 f ( x) ?
1 2 f( )? . 2 5

ax ? b 是定义在 (??, ??) 上的奇函数,且 x2 ? 1

(1)求实数 a , b ,并确定函数 f ( x) 的解析式; (2)用定义证明 f ( x) 在 (?1,1) 上是增函数; (3)写出 f ( x) 的单调减区间,并判断 f ( x) 有无最大值或最小值?如有,写出 最大值或最小值. (本小问不需说明理由)

20. (本题满分 12 分)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债 券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型 产品的收益与投资 额的算术平方根成正比。 已知投资 1 万元时,两类产品的收益分别为 0.125 万元 和 0.5 万元(如图) (1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系。 (2)该家庭现有 20 万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资 获得最大收益,其最大收益是多少万元?
y
0.125 0 1 0.5

y

x





x

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? 2 ?
x

1 . 2x

2 ,求 x 的值; 2x (Ⅱ)若 2 t f (2t ) ? mf (t ) ? 0 对于任意实数 t ?[ 1, 2 ] 恒成立,求实数 m 的取值范围.
(Ⅰ)若 f ( x ) ? 2 ?

数学试题(答案)
一、选择题: 1.B 2.D 3. 3.C 4.A 5.A 6.D 7.D 8.A

二、填空题: 9.

1 . 10. (0,1) 3

11.(-2,2) ,左

12. (-1,3) 、 ?1,3?

13. ______(-1,0)∪(0,3)_.

1 1 [ , ) 14、 7 3

15. _①_③_________

三、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。

16 解: A ? x x ? 2或x ? ?2

?

?
?

?????????3 分

⑴若 a ? 1 时, B ? x x ? 1 ,所以 A ? B ? x x ? ?2 ;??????5 分

?

?

?

A ? B ? ?x x ? 2或x ? 1? 。?????????7 分


a ? 2 ???????????12 分

17. (1)

1 2
1 15 ?2?2 ? 4 4
1

(2)原式= ?

9 2 2 3? 2 3 ?2 【解析】解(1)原式= ( ) ? 1 ? ( ) 3 ? ( ) 4 3 2 3 2? 2 2 2 2 2 ( ) ? 1 ? ( ) ? ( ) = 2 3 3
=
1

3 ?1 2

=

1 2

------7 分
3 4

(2)原式= log3
? 1 4

3 ? lg(25 ? 4) ? 2 3

= log3 3

? lg102 ? 2

=?

1 15 ?2?2 ? 4 4
x∣-1<x≤
3 4

-------7 分 } -----3 分
4 的 奇偶性-- -------4 分 x

18. (1){

(2)判断并证明 函数 f(x)= x ? (3)证明:⑴、设 2 ? x1 ? x2 , 4 4 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x1 ? ? x 2 ? x1 x2

? x1 ? x 2 ?

4( x 2 ? x1 ) x1 x 2 4 ) ?? 4分 x1 x 2

??2 分

? ( x1 ? x 2 )(1 ?
? 2 ? x1 ? x 2

? x1 ? x 2 ? 0, x1 x 2 ? 4即0 ? ?1 ? 4 ?0 x1 x 2

4 ?1 x1 x 2

? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0即f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x)是增函数 由⑴知 f ( x) 在[4,8]上是增函数??6 分 17 f ( x) max ? f (8) ? ∴ 2 f ( x) min ? f (4) ? 5 17 ∴ f ( x)的值域为 [5, ] ??7 分 2 19 .解: (1)∵f(x)是奇函数

∴f(-x)=f(x),既 ∴b=0

? ax ? b ? ax ? b ?? 2 2 x ?1 x ?1

??2 分

1 2 ∵ f ( ) ? ∴a=1 2 5

∴ f ?x ? ?

x ??5 分 x ?1
2

(2)任取 x1 , x2 ? ?? 1,1?, 且x1 ? x2

f ( x x ) ? f ?x2 ? ?
∵ ? 1 ? x1 ? x2 ? 1

x1 x
2 1?1

?

?x ? x ??1 ? x x ? x2 ? 1 2 2 2 1 2 x ?1 x1 ? 1 x2 ? 1
2 2

?

??

?

??7 分

∴ x1 ? x2 ? 0,1 ? x1 x2 ? 0 ∴ f ( x x ) ? f ? x 2 ? ? 0 , f ( x x ) ? f ? x2 ? ∴f(x)在(-1,1)上是增函数 ??10 分 (3)单调减区间 ? ?. ? 1 ? , ?1,??? , ??12 分 当 x =-1 时有最小值 ?
1 2

当 x=1 时有最大值
f ?x ? ?

1 ??14 分 2
g ?x ? ? 1 x ?x ? 0? 2

20.(1)

1 x?x ? 0 ? 8

(2)当 t ? 2 ,即 x ? 16 万元时,收益最大, ymax ? 3 万元 【解析】解(1)设 f ?x ? ? k1 x , g ?x? ? k2 x 所以 f ?1? ? ??2 分

1 1 ? k1 , g ?1? ? ? k 2 8 2 1 1 x ?x ? 0? 即 f ?x ? ? x?x ? 0 ? g ?x ? ? ??5 分 8 2 (2)设投资债券类产品 x 万元,则股票类投资为( 20 ? x )万元 x 1 20 ? x ?0 ? x ? 20 ? 依题意得: y ? f ?x ? ? g ?20 ? x ? ? ? ??10 分 8 2

令 t ? 20 ? x 0 ? t ? 2 5 则y?

?

?

20 ? t 2 1 1 2 ? t ? ? ?t ? 2? ? 3 8 2 8

所以当 t ? 2 ,即 x ? 16 万元时,收益最大, ymax ? 3 万元
21.解: (Ⅰ)有条件可知 2 ?
x

??14 分

1 2 ? 2? x x 2 2

? (2 x ? 3)( 2 x ? 1) ? 0,
x

? ????????? 3分

? 2 ? 3, ? x ? log 2 3 ???????? 5分

1 ? 1 ? ? ? (Ⅱ)当 t ?[ 1, 2 ] 时, 2 t ? 2 2t ? 2t ? ? m? 2 t ? t ? ? 0 , ? 1 ? t ? 2, 2 ? 2 ? ? ?

2t ?

1 ? 0. 2t

1 ? ? ? 2 t ? 2 t ? t ? ? m ? 0, m ? ?(4 t ? 1) . 2 ? ?
? t ?[1, 2 ], ? ? 1 ? 2 2 t ?[ ? 17, ? 5 ] ,

??????..10 分

?

?

? m ? ?5 ??..12 分


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