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2019年高考数学一轮复习讲练测(浙江版):专题4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数(讲)(原卷版)

2019 年高考数学讲练测【浙江版】 【讲】

第四章
第 01 节 【课前小测摸底细】

三角函数

任意角和弧度制及任意角的三角函数

1. 【课本典型习题,P68 复习题 B 组第 1 题改编】已知 ? 终边在第四象限,则 为 A.第一、四象限 B.第二、三象限 C.第二、四象限

? 所在的象限 2

D.第一、三象限 ) C. ?

2.【2019 宁夏模拟】已知点 (?4,3) 是角 ? 终边上的一点,则 sin(? ? ? ) ? (

3 5 4 D. 5
A.

B. ?

3 5

4 5

3. 【2019 高考上海, 文 17】 已知点 A 的坐标为 (4 3 ,1) , 将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 至 OB ,则点 B 的纵坐标为( A. ). B.

?
3

3 3 2

5 3 2

C.

11 2

D.

13 2
象限.

4.【基础经典试题】点 P(tanα,cosα)在第三象限,则角 α 的终边在第 5. 【 改 编 自 2019 年 江 西 卷 理 科 】 已 知 角

?

的 终 边 与 单 位 圆 x2 ? y 2 ? 1 交 于 点

?1 ? P ? , y0 ?,则 cos 2? 等于 ?2 ?
A. ?

1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D.1

【考点深度剖析】
高考对任意角三角函数定义的考查要求较低,均是以小题的形式实行考查,一般难度不 大,要求学生深刻理解利用坐标法定义任意角三角函数的背景和目的.纵观近几年的高考试 题,主要考查以下两个方面:一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值;二是根 据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标.

【经典例题精析】 考点 1
象限角及终边相同的角

【1-1】 已知角 α=45°, (1)在-720° ~0° 范围内找出所有与角 α 终边相同的角 β; (2)设集合 M= ? x x ? 集合的关系. 【1-2】 若 sin ? ? 0 且 sin 2? ? 0 ,则角 θ 的终边所在象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

? ?

k k ? ? ? ?180 ? 45 , k ? Z ? , N= ? x x ? ?180 ? 45 , k ? Z ? ,判断两 2 4 ? ? ?

【1-3】终边在直线 y= 3x 上的角的集合为________.
【1-4】若角 ? 是第二象限角,试确定 2? ,

?
2

的终边所在位置.

【课本回眸】
1.任意角、角的分类: ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ②按终边位置不同分为象限角和轴线角. (2)终边相同的角: 终边与角 α 相同的角可写成 α+k· 360°(k∈Z). 2.弧度制: ①1 弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. l ②规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,|α|=r,l 是 以角 α 作为圆心角时所对圆弧的长,r 为半径. l ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值r与所取的 r 的大小无关,仅与角的 大小相关. 3.弧度与角度的换算:360°=2π 弧度;180°=π 弧度.

【方法规律技巧】
1.对与角 α 终边相同的角的一般形式 α+k· 360°(k∈Z)的理解;(1)k∈Z;(2)α 任意角;(3)终边相同的 角不一定相等,但相等的角终边一定相同. 2.利用终边相同角的集合能够求适合某些条件的角, 方法是先写出与这个角的终边相同的所有 角的集合,然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需角 3.已知角 α 的终边位置,确定形如 kα,π±α 等形式的角终边的方法:先表示角 α 的范围,再

写出 kα、π±α 等形式的角范围,然后就 k 的可能取值讨论所求角的终边位置

【新题变式探究】
(2019· 江西)如图, 已知 l1⊥l2, 圆心在 l1 上、 半径为 1m 的圆 O 在 t=0 时与 l2 相切于点 A, 圆 O 沿 l1 以 1m/s 的速度匀速向上移动,圆被直线 l2 所截上方圆弧长记为 x,令 y=cosx,则 y 与时间 t(0≤x≤1,单位:s)的函数 y=f(t)的图象大致为( )

考点 2

三角函数的定义

2 【2-1】(2019· 广东佛山质检)若角 θ 的终边经过点 P(- 3,m)(m≠0)且 sinθ= 4 m,则 cosθ 的值为________. [2-2]已知角 α 的终边与单位圆的交点 P?x, A. 3 B.± 3 C.

? ?

3? ?,则 tan α=( ) 2? 3 3 D.± 3 3

【2-3】已知角 α 的终边上有一点 P(t,t2+1)(t>0),则 tan α 的最小值为( ) A.1 B.2 1 C. 2 D. 2

2π? ? 2π 【2-4】 已知角 α 的终边上一点 P 的坐标为 sin 3 ,cos 3 ,则角 α 的最小正值为( ) ? ? 5π 2π 5π 11π A. B. C. D. 6 3 3 6

【课本回眸】
1.任意角的三角函数定义: 设 α 是一个任意角,角 α 的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么角 α 的正弦、余弦、正切 y 分别是:sin α=y,cosα=x,tan α=x,它们都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标 的比值为函数值的函数. 2.三角函数在各象限内的符号口诀是:一全正、二正弦、三正切、四余弦 3.三角函数线 设角 α 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点 P,过 P 作 PM 垂直于 x 轴于 M.由三角函数的定义知,点 P 的坐标为(cos_α,sin_α),即 P(cos_α,sin_α), 其中 cos α=OM,sin α=MP,单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A,单位圆在 A 点的切线与 α 的 终边或其反向延长线相交于点 T, 则 tan α=AT.我们把有向线段 OM、 MP、 AT 叫做 α 的余弦线、 正弦线、正切线.

三角函数线 有向线段 MP 为正弦 线 有向线段 OM 为余弦 线 有向线段 AT 为正切 线

【方法规律技巧】
1.已知角 α 终边上一点 P 的坐标,则可先求出点 P 到原点的距离 r,然后利用三角函数 的定义求解.

2.已知角 α 的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的 距离,然后利用三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出 角 α 的三角函数值.

【新题变式探究】
1 【变式一】(2019· 青岛模拟)已知角 α 的终边与单位圆的交点 P(- ,y),则 sinα· tanα= ( ) 2 A. - 3 3 B. ± 3 3 3 C. - 2 3 D. ± 2

3 【变式二】已知角 α 的终边在直线 y=-3x 上,求 10sin α+ 的值. cos α

考点 3
( ) A. 2 C.

扇形的弧长及面积公式

【3-1】(2019· 青岛模拟)已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2,那么这个圆心角所对的弧长是 B. sin2 D. 2sin1

2 sin1

【3-2】(1)已知两角的和是 1 弧度,两角的差是 1° ,试求这两个角的大小(用弧度表示). (2)已知扇形周长为 10,面积是 4,求扇形的圆心角; (3)已知扇形周长为 40,当它的半径和圆心角分别取何值时,扇形的面积最大?

【课本回眸】
1 1 弧长公式:l=|α|r,扇形面积公式:S 扇形=2lr=2|α|r2.

【方法规律技巧】
1 nπr nπr2 (1)弧度制下 l=|α|· r,S= lr,此时 α 为弧度.在角度制下,弧长 l= ,扇形面积 S= , 2 180 360 此时 n 为角度,它们之间有着必然的联系. (2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形.

【新题变式探究】
1.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为( ) π A. 3 2π B. 3 C. 3 D. 2

2.一扇形的圆心角为 120° ,则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________.

三、易错试题常警惕
易错典例:已知角 ? 的终边过点 (m, 2m) , m ? 0 ,求角 ? 的的正弦值、余弦值. 易错分析:学生在做题时容易遗忘 m ? 0 的情况.

温馨提醒:本题主要考察了三角函数的定义以及分类讨论思想方法,这也是高考考察的一个 重点.

四、数学素养提升之思想方法篇-数形结合思想的应用
【典例】求函数 f(x)=lg(3-4sin2x)+ 1+2cosx的定义域. [方法提炼] 遇到三角不等式的问题可考虑使用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象数 形结合求解.


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