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2015年高中数学3.3排序不等式学案(无答案)新人教版选修4_5

3.3《排序不等式》导学案 班级: 学习目标: 1. 了解排序不等式的基本形式,会运用排序不等式分析解决一些简单问题; 2. 体会 运用经典不等式的一般思想方法 王新敞 奎屯 新疆 组名: 姓名: 自主学习 1. 一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式 : 设 n 为 大 于 1 的 自 然 数 , ai , bi ? R ( i ? 1,2,…, n ) , 则: .当且仅 当 时, 等号成立. 2.排序不等式检验操作: 填表: 3.一般性证 明: 因为有 n! 设a1 ? a2 ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? bn c1 , c2 ,?, cn是b1 , b2 ,?, bn的任意一个排列, 个不同的排列. 所以, S ? a1c1 ? a2c2 ? ? ? ancn 的不同值也只有有限个 .其中必有最大值 和最小值.考察 S ? a1c1 ? a2c2 ? ? ? ancn , 1 .若 c1 ? b1 ,则应有某 ck ? b1 (k ? 1) ,且 0 c1 S? ? S ? 0 ? ? ? ? ck ,对换 c , c 得 S ? ? a c ? ? ? a c ? ? ? a c 1 k 1 k k 1 n n ? 0 . ? S? S . . . 说明将 S ? a1c1 ? a2c2 ? ? ? ancn 中第一项换为 a1b1 后, 和式变 如此继续下去 , 经有限步调整, 可知一切和数中, 最大和数只能是 道 , 最 小 和 数 只 能 是 2 .若 c1 ? b1 ,则转而考察 c 2 ,并进行类似讨 论.可证将式中第二项换为 a2b2 后,和式变 . 因 .且不难知 此 反序和 S2 . S1 0 3 .容易发现, 当 a1 ? a2 ? ? ? an , 或 b1 ? b2 ? ? ? bn 时, 如 果 a1, a2 ,?, an , 不 全 相 等 , 乱序和 顺序和 即 S1 S S S2 ; b1, b2 ,?, bn 也 不 全 相 等 . 则 ?i, j (1 ? i, j ? n) 和 l, k (1 ? l, k ? n) 使 ai ? a j , bl ? bk ,考察和数 S ? ? S2 ? (aibi ? a jbj ? al bl ? ak bk ) ? (aibk ? a jbl ? al bi ? ak bj ) 1 S ?? ? S2 ? (aibi ? a jbj ? al bl ? ak bk ) ? (aibl ? a jbk ? al bi ? ak bj ) ∵ S ?? ? S ? ? (ai ? a j )(bk ? bl ) ∴ 0 ? S? S ?? 定理(排序不等式, 又称排序原理): 设a1 ? a2 ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? bn 为两组数, 任 意 一 个 排 列 , c1 , c2 ,?, cn是b1 , b2 ,?, bn的 S1 ? S ? ? S ?? ? S2 . 则 a1bn ? a2bn?1 ? a3bn?2 ? ? ? anb1 ? a1c1 ? a2c2 ? ? ? ancn ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ?? anbn . 当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an , 或 b1 ? b2 ? ? ? bn 时, 等号成立. 合作探究 例 1. 若 a1,a2,…,an 为两两不等的正整数, an a2 a3 1 1 1 求证: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? a1 ? 22 ? 32 ? ? ? n 2 . 例 2. 5 个人各拿一只水桶到水龙头接水,如果水龙头注满这 5 个人的水桶需要的时间分别 是 4 分钟,8 分钟,6 分钟 ,10 分钟,5 分钟. 那么如何安排这 5 个人接水的顺序,才能使他 们等待的总时间最少? 2

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