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2016年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷


2016 年湖南省普通高中学业水平考试试卷





本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分。 时量 120 分钟,满分 100 分。
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1. 图 1 是某圆柱的直观图,则其正视图是 A.三角形 C.矩形 B.梯形 D.圆

2. 函数 y ? cos x, x ? R 的最小正周期是 A. 2? C. B. ? D.

? 2

? 4

3. 函数 f ( x) ? 2 x ?1 的零点为 A.2 B.

1 2

C. ?

1 2

D. ?2

4. 执行如图 2 所示的程序框图,若输入 a, b 分别为 4, 3, 则输出的 S ? A.7 C.10 B.8 D.12

5. 已知集合 M ? {x |1 ? x ? 3}, N ? {x | 2 ? x ? 5} , 则M

N?
B. {x | 3 ? x ? 5} D. ?

A. {x |1 ? x ? 2} C. {x | 2 ? x ? 3}

? x ? y ? 4, ? 6. 已知不等式组 ? x ? 0, 表示的平面区域为 ? ,则下列坐标对应的点落在区域 ? 内 ?y ? 0 ?
的是 A. (1,1) B. (?3, ?1) C. (0,5) D. (5,1)

7. 已知向量 a ? (1, m) , b ? (3,1) , 若 a ? b ,则 m ?

1

A. ? 3

B. ? 1

C.1

D.3

8. 已知函数 y ? x( x ? a) 的图象如图 3 所示,则不等式 x( x ? a) ? 0 的解集为 A. {x | 0 ? x ? 2} B. {x | 0 ? x ? 2} C. {x | x ? 0 或 x ? 2} D. {x | x ? 0 或 x ? 2} 9. 已知两直线 x ? 2 y ? 0 和 x ? y ? 3 ? 0 的交点为 M, 则以点 M 为圆心,半径长为 1 的圆的方程是 A. ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 C. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 B. ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 D. ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1

10. 某社区有 300 户居民,为了解该社区居民的用水情况,从中随机抽取一部分住户某年每 月的用水量(单位:t)进行分析,得到这些 住户月均用水量的频率分布直方图(如图 4) , 由此可以估计该社区居民月均用水量 在 [4, 6) 的住户数为 A.50 B.80 C.120 D.150 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 2,0 分. 11. 若 sin ? ? 5cos ? ,则 tan ? ? ____________. 12. 已知直线 l1 :3x ? y ? 2 ? 0 , l2 :mx ? y ? 1 ? 0 . 若 l1 / / l2 ,则 m ? ________. 13. 已知幂函数 y ? x? ( ? 为常数)的图象经过点 A(4, 2) ,则 ?

? ________.
1 , 则c ? 4

b ? 3 ,cos C ? ? 14. 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c . 若 a ? 2 ,
_______.

15. 某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此收集若干数据,并对 数据进行分析, 得到加工时间 y (min) 与零件数 x(个) 的回归方程为 y ? 0.67 x ? 51 . 由此可以预测,当零件数为 100 个时,加工时间为__________.

2

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 40 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 6 分) 从一个装有 3 个红球 A1 , A2 , A3 和 2 个白球 B1 , B2 的盒子中,随机取出 2 个球. (1)用球的标号列出所有可能的取出结果; (2)求取出的 2 个球都是红球的概率.

17. (本小题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)2 , x ? R . (1)求 f ( ) 的值;

?

4

(2)求 f ( x ) 的最小值,并写出 f ( x ) 取最小值时自变量 x 的集合.

18. (本小题满分 8 分) 已知等差数列 {an } 的公差 d ? 2 ,且 a1 ? a2 ? 6 . (1)求 a1 及 an ; (2)若等比数列 {bn } 满足 b1 ? a1 , b2 ? a2 , 求数列 {an ? bn } 的前 n 项的和 Sn .

19. (本小题满分 8 分) 如图 5,四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 2 的菱形, PD ? 底面 ABCD . (1)求证: AC ? 平面 PBD ;

3

(2)若 PD ? 2 ,直线 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45 ,求四棱锥 P ? ABCD 的 体积.

20. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? loga x (a ? 0 ,且 a ? 1 ) ,且 f (3) ? 1 . (1) 求 a 的值,并写出函数 f ( x ) 的定义域; (2) 设 g ( x) ? f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,判断 g ( x) 的奇偶性,并说明理由; (3) 若不等式 f (t ? 4x ) ? f (2x ? t ) 对任意 x ? [1, 2] 恒成立,求实数的取值范围.

4


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