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人教版高中数学必修一知识点与典型习题——第二部分 函数(含答案)


2015-2016 高一上学期期末复习知识点与典型例题
人教数学必修一 第二部分 函数 1、函数的定义域、值域 2、判断相同函数 3、分段函数 1.定义域 1.函数 值域(最值) 4、奇偶性 5、单调性

f ? x? ?

4? x ? log3 ? x ? 3? 的定义域为____________________ x?2
) (D) (??, ?3) ? (1, ??)

2.函数 f ( x) = log2 ( x2 + 2x - 3) 的定义域是( (A) [- 3,1] (B) (- 3,1)

(C) (??, ?3] ? [1, ??)

3. f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3, x ? (?1,3] 的值域为____________________ 4.若函数 f ( x ) ?

1 2 x ? x ? a 的定义域和值域均为 [1, b](b ? 1) ,求 a 、 b 的值. 2

2.函数相等 步骤:1、看定义域是否相等; 2、看对应关系(解析式)能否化简到相同 1.下列哪组是相同函数?

(1) f ( x) ? x, g ( x) ?

x2 x

(2) f ( x) ? x,g ( x) ? x 2 (4) f x ( ?) x g , x ( ? 3)
3

(3) f ( x) ? 2lg x, g ( x) ? lg x2
3.分段函数 基本思路:分段讨论 (1)求值问题

x

?2 x 1.已知函数f ( x ) ? ? ? f ( x ? 1)

x?4 x?4

, 则f (5) ? _______________

? x2 ? 1 x ? 1 ? 2.设函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f ( f (3)) ? ______________ x ? 1 ? ?x
(2)解方程 1.已知函数f ( x) ? ?

?log 2 x, x ? 1 1 , 则f ( x) ? 的解为 _________________ 2 ? x ? 1, x ? 1
,若 f ( x) ? 10 ,则 x = .

2.已知 f ( x) ? ?

?x 2 ? 1 ( x ? 0) ? ? 2x ( x ? 0)

(3)解不等式

?1 ? ,x ?0 1.已知函数f ( x) ? ? x , 则f ( x) ? 1的解集为 __________________ ? x2 , x ? 0 ?
2.已知函数f ( x ) ? ?

?log 2 x, x ? 0 , 则f ( x) ? 0的解集为 __________________ ? 2 x ? 3, x ? 0

(4)作图、求取值范围(最值)

?4-x 2 , x ? 0 ? 1.已知函数f ( x) ? ?2, x ? 0 . (1)作 f ( x ) 的图象; (2)求 f (a 2 ? 1) , f ( f (3)) 的值; (3)当 ?4 ? x<3 ,求 ?1 ? 2 x, x ? 0 ?
f ( x) 的取值集合

(5)应用题(列式、求最值) 1.为方便旅客出行,某旅游点有 50 辆自行车供租赁使用,管理这些自行车的费用是每日 115 元.根据经验,若每辆 自行车的日租金不超过 6 元,则自行车可以全部租出;若超过 6 元,则每超过 1 元,租不出去的自行车就增加 3 辆, 为了便于结算,每辆自行车的日租金 x(元)只取整数,并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用, 用 y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得), (1)求函数 f(x)的解析式及其定义域; (2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时,才能使一日的净收入最多?

4.函数的单调性 (1)根据图像判断函数的单调性——单调递增:图像上升 1.下列函数中,在区间 (0, ??) 上为增函数的是( A. y ? ln( x ? 2) B. y ? ? x ? 1 )

单调递减:图像下降

C. y ? ( ) )

1 2

x

D. y ? x ?

1 x

2.下列函数中,在其定义域内为减函数的是( A. y ? ? x3 B. y ? x
1 2

C. y ? x2

D. y ? log 2 x

(2)证明函数的单调性步骤——取值、作差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 、变形、定号、下结论 1.已知函数 f ( x) ?

1 1 ? (a ? 0, x ? 0) . a x
1 2 1 2

(1)求证: f ( x ) 在 (0, ??) 上是单调递增函数;(2)若 f ( x ) 在 [ , 2] 上的值域是 [ , 2] ,求 a 的值.

(3)利用函数的单调性求参数的范围 1. f ( x) ? x ? 2(a ?1) x ? 2在(??,上是减函数, 则 a 的范围是________ 2]
2

2.若函数 f ( x) ? ? 1 A. (??,2)

(a ? 2) x, x ? 2, ? ? 是 R 上的单调递减函数,则实数 a 的取值范围为( x ( ) ? 1 , x ? 2 ? ? 2 13 13 B. (??, ] C. (0,2) D. [ ,2) 8 8
2



3.讨论函数 f(x) ? x ? 2ax ? 3 在 (?2, 2) 内的单调性

(4)利用函数的单调性解不等式 1. f ( x ) 是定义在 (0, ??) 上的单调递增函数,且满足 f (3x ? 2) ? f (1) ,则实数 x 的取值范围是( ) A. (??,1) B. ( ,1)

2 3

C. ( , ??)

2 3

D. (1, ??)

2. 若f ( x)是定义在[?1,1]上的增函数,且f (m ?1) ? f (m2 ?1),求m的范围

(5)奇偶性、单调性的综合 1.奇函数 f(x)在[1,3]上为增函数,且有最小值 7,则它在[-3,-1]上是____函数,有最___值___. 2. 函数f ( x) ?

ax ? b 1 2 是(?11) ,上的奇函数,且f ( ) ? . 2 x ?1 2 5

(1)确定 f ( x ) 的解析式; (2)用定义法证明 f ( x ) 在 (?1,1) 上递增; (3)解不等式 f (t ? 1) ? f (t ) ? 0 .

x 3. f(x) 是定义在( 0,+∞)上的增函数,且 f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) y
(1)求 f(1)的值. (2)若 f(6)= 1,解不等式 f( x+3 )-f(

1 ) <2 . x

5.函数的奇偶性 (1)根据图像判断函数的奇偶性 奇函数:关于原点对称;偶函数:关于 y 轴对称 例:判断下列函数的奇偶性 ① y=x? ② y=|x| (2)根据定义判断函数的奇偶性 一看定义域是否关于原点对称;二看 f (? x) 与 f ( x ) 的关系 1.设函数 f ( x) 和 g ( x) 分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( A. f ( x) ? g ( x) 是偶函数 C. f ( x) ? g ( x) 是偶函数 B. f ( x) ? g ( x) 是奇函数 D. f ( x) ? g ( x) 是奇函数 )

2.已知函数 f ( x) ? loga ( x ? 1) ? loga (1 ? x)(a ? 0且a ? 1) (1)求 f ( x) 的定义域; (2)判断 f ( x) 的奇偶性并予以证明。

3. 判断并证明f ( x) ? lg

1? x 的奇偶性 1? x

(3)根据奇偶性求值、求解析式
x 1.已知f ( x)是定义在R上的奇函数,且当x ? 0时,f ( x) ? 2 ? 3, 则 f (?2) ? ________

f ( x) ? ___________________
(4)根据奇偶性补全图像并解不等式 1.奇函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增,若 f (1) ? 0 ,则不等式 x[ f ( x) ? f (? x)] ? 0 的解集是( A. (?1 , 0) ? (1 , ? ?) C. (??, ?1) ? (1, ??) B. (??, ?1) ? (0,1) D. (?1 , 0) ? (0 , 1) )

2.已知 f ( x ) 是定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) 的图象如图所示, 则不等式 ( x ? 1) f ( x) ? 0 的解集为__________________
5 3 3.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 2 x ? 8 且 f (?2) ? 10 ,那么 f (2) ? (

)

(A) ?26

(B) 26

(C) ?10

(D) 10

4. 已知函数 f ( x) ?

a ? 2x ? a ? 2 2x ?1

( x ? R) 是奇函数,则 a 的值为_________
y 3 2

5.已知 f ( x) 是定义在 ? ?2, 0 ? ? ? 0, 2? 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) 的图象如右图所示, 那么 f ( x) 的值域是 .

6 .已知分段函数 f ( x) 是奇函数,当 x ? [0,??) 时的解析式为 y ? x 2 ,则这个函数在区间

O

2

x

(??,0) 上的解析式为
7.已知函数 f ( x) ? a ?
x



1 ,若 f ? x ? 为奇函数,则 a ? ________. 2 ?1

(5)函数单调性与奇偶性综合问题

2 ,其中 a 为常数. 2 ?1 (I)当 a ? 1 时,讨论函数 f ( x) 的奇偶性; (Ⅱ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅲ)当 a ? 3 时,求函数 f ( x) 的值域.
1.已知函数 f ( x) ? a ?
x

2. (抽象函数模型)定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足:对任意实数 m, n ,总有 f ? m ? n ? ? f ? m? ? f ? n ? ,且当 x ? 0 时,

0 ? f ? x ? ? 1.
(Ⅰ)试求 f ? 0 ? 的值; (Ⅱ)判断 f ? x ? 的单调性并证明你的结论.

2015-2016 高一上学期期末复习知识点与典型例题
人教数学必修一 第二部分 函数 1.定义域 1.函数 值域(最值)

f ? x? ?

4? x ? log3 ? x ? 3? 的定义域为______ (?3, 2) ? (2, 4] _____ x?2

2.函数 f ( x) = log2 ( x2 + 2x - 3) 的定义域是( D ) (A) [- 3,1] (B) (- 3,1) (C) (??, ?3] ? [1, ??) (D) (??, ?3) ? (1, ??)

3. f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3, x ? (?1,3] 的值域为_____ [2, 6] ____ 4.若函数 f ( x ) ? 解: f ( x) ?

1 2 x ? x ? a 的定义域和值域均为 [1, b](b ? 1) ,求 a 、 b 的值. 2

1 2 1 1 x ? x ? a ? ( x ? 1) 2 ? a ? , 2 2 2 1 3 当 x ? 1 时, f ( x) min ? a ? ? 1 ? a ? ; 2 2 1 2 3 当 x ? b 时, f ( x) max ? f (b) ? b ? b ? ? b ,解得 b ? 3 或 b ? 1(舍) 2 2 3 所以 a ? , b ? 3 . 2
2.函数相等 步骤:1、看定义域是否相等; 2、看对应关系(解析式)能否化简到相同 1.下列哪组是相同函数? 第(4)个

(1) f ( x) ? x, g ( x) ?

x2 x

(2) f ( x) ? x,g ( x) ? x 2 (4) f x ( ?) x g , x ( ? 3)
3

(3) f ( x) ? 2lg x, g ( x) ? lg x2
3.分段函数 基本思路:分段讨论 (1)求值问题 1.已知函数f ( x ) ? ?

x

?2 x ? f ( x ? 1)

x?4 x?4

, 则f (5) ? ____8___

? x2 ? 1 x ? 1 13 ? 2.设函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f ( f (3)) ? _____ ____ 9 x ?1 ? ?x
(2)解方程 1.已知函数f ( x) ? ?

?log 2 x, x ? 1 1 , 则f ( x) ? 的解为 _____ 2 ____ 2 ? x ? 1, x ? 1
,若 f ( x) ? 10 ,则 x =

2.已知 f ( x) ? ?

?x 2 ? 1 ( x ? 0) ? ? 2x ( x ? 0)

?3

.

(3)解不等式

?1 ? ,x ?0 1.已知函数f ( x) ? ? x , 则f ( x) ? 1的解集为 ___ (??, ?1) ? (0,1) ________ ? x2 , x ? 0 ?
2.已知函数f ( x ) ? ?

?log 2 x, x ? 0 3 , 则f ( x) ? 0的解集为 ___ (? , 0] ? (1, ??) ________ 2 ? 2 x ? 3, x ? 0

(4)作图、求取值范围(最值)

?4-x 2 , x ? 0 ? 1.已知函数f ( x) ? ?2, x ? 0 . (1)作 f ( x ) 的图象; (2)求 f (a 2 ? 1) , f ( f (3)) 的值; (3)当 ?4 ? x<3 ,求 ?1 ? 2 x, x ? 0 ?
f ( x) 的取值集合.
解: (1)

2 2 4 (2) f (a ? 1) ? 3 ? 2a ? a ; (3) f ( f (3)) ? f (?5) ? 11 ;

(3)由分段函数的图像可知: 当-4≤x<0 时,函数的解析式为 y=1-2x∈(1,9]; 当 x=0 时,y=2; 当 0<x<3 时,函数的解析式为 y=4-x?∈(-5,4) ; 故当-4≤x<3 时,求 f(x)的值域为: (-5,9]

(5)应用题(列式、求最值) 1.为方便旅客出行,某旅游点有 50 辆自行车供租赁使用,管理这些自行车的费用是每日 115 元.根据经验,若每辆 自行车的日租金不超过 6 元,则自行车可以全部租出;若超过 6 元,则每超过 1 元,租不出去的自行车就增加 3 辆, 为了便于结算,每辆自行车的日租金 x(元)只取整数,并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用, 用 y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得), (1)求函数 f(x)的解析式及其定义域; (2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时,才能使一日的净收入最多? 解:解:(1)当 x≤6 时,y=50x-115,令 50x-115>0,解得 x>2.3, ∵x∈N*,∴x≥3,∴3≤x≤6,x∈N*, 当 x>6 时,y=[50-3(x-6)]x-115,令[50-3(x-6)]x-115>0,有 3x2-68x+115<0, 上述不等式的整数解为 2≤x≤20(x∈N*),∴6<x≤20(x∈N*),

故 f ( x) ? ?

?50 x ? 115(3 ? x ? 6, x ? N )
2 ??3 x ? 68 x ? 115(6 ? x ? 20, x ? N )

,定义域为{x|3≤x≤20,x∈N*};

(2)对于 y=50x-115(3≤x≤6,x∈N*),显然当 x=6 时,ymax=185 (元), 对于 f ( x) ? ?3 x ? 68 x ? 115 ? 3( x ?
2

34 2 811 ) ? (6 ? x ? 20, x ? N ) , 3 3

当 x=11 时,ymax=270(元),∵270>185, ∴当每辆自行车的日租金定为 11 元时,才能使一日的净收入最多.

4.函数的单调性 (1)根据图像判断函数的单调性——单调递增:图像上升 1.下列函数中,在区间 (0, ??) 上为增函数的是( A ) A. y ? ln( x ? 2) B. y ? ? x ? 1 C. y ? ( )

单调递减:图像下降

1 2

x

D. y ? x ?

1 x

2.下列函数中,在其定义域内为减函数的是( A ) A. y ? ? x3 B. y ? x 2
1

C. y ? x2

D. y ? log 2 x

(2)证明函数的单调性步骤——取值、作差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 、变形、定号、下结论 1.已知函数 f ( x) ?

1 1 ? (a ? 0, x ? 0) . a x
1 2 1 2

(1)求证: f ( x ) 在 (0, ??) 上是单调递增函数;(2)若 f ( x ) 在 [ , 2] 上的值域是 [ , 2] ,求 a 的值.

证明: (1)任取 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( ?

1 a

x ?x 1 1 1 )?( ? ) ? 1 2 , x1 a x2 x1 x2

因为 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 ,所以 x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 ,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所 以 f ( x ) 在 (0, ??) 上是单调递增函数; (2)因为 f ( x ) 在 [ , 2] 上的值域是 [ , 2] , f ( x ) 在 (0, ??) 上是单调递增函数, 所以 f (2) ?

1 2

1 2

1 1 2 ? ?2?a ? . a 2 5

(3)利用函数的单调性求参数的范围 1. f ( x) ? x ? 2(a ?1) x ? 2在(??,上是减函数, 则 a 的范围是__ (??, ?1] _ 2]
2

2.若函数 f ( x) ? ? 1 A. (??,2)

(a ? 2) x, x ? 2, ? ? 是 R 上的单调递减函数,则实数 a 的取值范围为( B ) x ( ) ? 1 , x ? 2 ? ? 2 13 13 B. (??, ] C. (0,2) D. [ ,2) 8 8

3.讨论函数 f(x) ? x2 ? 2ax ? 3 在 (?2, 2) 内的单调性 解: f(x) ? x2 ? 2ax ? 3 ? ( x ? a)2 ? 3 ? a2 ,开口向上,对称轴为 x ? a ① a ? ?2 时, f(x) ? x2 ? 2ax ? 3 在 (?2, 2) 内单调递增; ② ?2 ? a ? 2 时 f(x) ? x2 ? 2ax ? 3 在 (?2, a) 内单调递减,在 ( a, 2) 内单调递增; ③ a ? 2 时, f(x) ? x2 ? 2ax ? 3 在 (?2, 2) 内单调递减. (4)利用函数的单调性解不等式 1. f ( x ) 是定义在 (0, ??) 上的单调递增函数,且满足 f (3x ? 2) ? f (1) ,则实数 x 的取值范围是(B ) A. (??,1) B. ( ,1)

2 3

C. ( , ??)

2 3

D. (1, ??)

2. 若f ( x)是定义在[?1,1]上的增函数,且f (m ?1) ? f (m2 ?1) ,求 m 的范围. 解:由题意得, ?1 ? m ? 1 ? m ? 1 ? 1 ,解得 1 ? m ?
2

2.

(5)奇偶性、单调性的综合 1.奇函数 f(x)在[1,3]上为增函数,且有最小值 7,则它在[-3,-1]上是__增__函数,有最_大__值_ ?7 __. 2. 函数f ( x) ?

ax ? b 1 2 是(?11) ,上的奇函数,且f ( ) ? . 2 x ?1 2 5

(1)确定 f ( x ) 的解析式; (2)用定义法证明 f ( x ) 在 (?1,1) 上递增; (3)解不等式 f (t ? 1) ? f (t ) ? 0 .

0?b ? f (0) ? ?0 ? ?a ? 1 x ? 0 ?1 解: (1)依题意得, ? ,解得 ? ,所以 f ( x) ? 2 ; 1 2 x ? 1 b ? 0 ? ?f( )? ? 5 ? 2
(2)证明:任取 x1、x2∈(?1,1),且 x1<x2,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

x1 x2 x1 x2 2 ? x1 ? x2 x12 ? x2 ( x1 ? x2 )(1 ? x1 x2 ) ? ? ? x12 ? 1 x22 ? 1 ( x12 ? 1)( x22 ? 1) ( x12 ? 1)( x22 ? 1)
2 2

∵ 1 ? x1 ? x2 ? 1 ,∴ x1 ? x2 ? 0 , 1 ? x1 x2 ? 0 , x1 ? 1 ? 0 , x2 ? 1 ? 0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,∴ f ( x ) 在 (?1,1) 上是增函数 (3)∵ f (t ? 1) ? f (t ) ? 0 ,∴f(t?1)<?f(t),即 f(t?1)<f(?t), 则 ?1 ? t ? 1 ? ?t ? 1 ,解得: 0 ? t ?

1 . 2

x 3. f(x) 是定义在( 0,+∞)上的增函数,且 f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) y
(1)求 f(1)的值. (2)若 f(6)= 1,解不等式 f( x+3 )-f( 解析:①在等式中 令x ? y ? 0 ,则 f(1)=0.

1 ) <2 . x

②在等式中令 x=36,y=6 则 f (

36 ) ? f (36) ? f (6), ? f (36) ? 2 f (6) ? 2. 6

故原不等式为: f ( x ? 3) ? f ( ) ? f (36), 即 f[x(x+3)]<f(36), 又 f(x)在(0,+∞)上为增函数,

1 x

?x ? 3 ? 0 ?1 153 ? 3 ? 故不等式等价于: ? ? 0 ?0? x? . x 2 ? ? ?0 ? x( x ? 3) ? 36

5.函数的奇偶性 (1)根据图像判断函数的奇偶性 奇函数:关于原点对称;偶函数:关于 y 轴对称 例:判断下列函数的奇偶性 ① y=x? ② y=|x| (2)根据定义判断函数的奇偶性 一看定义域是否关于原点对称;二看 f (? x) 与 f ( x ) 的关系 1.设函数 f ( x) 和 g ( x) 分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( C ) A. f ( x) ? g ( x) 是偶函数 C. f ( x) ? g ( x) 是偶函数 B. f ( x) ? g ( x) 是奇函数 D. f ( x) ? g ( x) 是奇函数

2.已知函数 f ( x) ? loga ( x ? 1) ? loga (1 ? x)(a ? 0且a ? 1) . (1)求 f ( x ) 的定义域; (2)判断 f ( x ) 的奇偶性并予以证明.

解: (1)依题意, ?

?x ?1 ? 0 ? ?1 ? x ? 1 ,所以函数 f ( x) 的定义域为 {x | ?1 ? x ? 1} . ?1 ? x ? 0

(2) f (? x) ? loga (? x ? 1) ? loga (1 ? x) ? ? f ( x) ,所以 f ( x ) 为奇函数. 3. 判断并证明f ( x) ? lg

1? x 的奇偶性 1? x

?1 ? x ?0 ? 解:由 ?1 ? x 求得 ? 1 ? x ? 1 ? ?1 ? x ? 0 故f ( x)的定义域为{x | ?1 ? x ? 1} 1? x 1 ? x ?1 1? x ? lg( ) ? ? lg ? ? f ( x) 1? x 1? x 1? x 所以f ( x)是奇函数 而f (? x) ? lg
(3)根据奇偶性求值、求解析式
x 1.已知f ( x)是定义在R上的奇函数,且当x ? 0时,f ( x) ? 2 ? 3, 则 f (?2) ? __ ?1 __

?2 x ? 3 x?0 ? ?x f ( x) ? ___ ??2 ? 3 x ? 0 __ ?0 x?0 ?
(4)根据奇偶性补全图像并解不等式 1.奇函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增,若 f (1) ? 0 ,则不等式 x[ f ( x) ? f (? x)] ? 0 的解集是( D A. (?1 , 0) ? (1 , ? ?) C. (??, ?1) ? (1, ??) B. (??, ?1) ? (0,1) D. (?1 , 0) ? (0 , 1) 图象如图所示, )

2.已知 f ( x ) 是定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) 的 则不等式 ( x ? 1) f ( x) ? 0 的解集为______ (?3,0) ? (1,3) ____ 3.已知函数 f ( x) ? ax5 ? bx3 ? 2 x ? 8 且 f (?2) ? 10 ,那么 f (2) ? ( A ) (A) ?26 (B) 26 (C) ?10 (D) 10
y 3 2

4. 已知函数 f ( x) ?

a?2 ? a ?2 2x ?1
x

( x ? R) 是奇函数,则 a 的值为___1______

5.已知 f ( x) 是定义在 ? ?2, 0 ? ? ? 0, 2? 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) 的图象 示,那么 f ( x) 的值域是

O

2

x

如右图所

[?3, ?2) ? (2,3]

.

2 6 .已知分段函数 f ( x) 是奇函数,当 x ? [0,??) 时的解析式为 y ? x ,则这个函数在区间 (??,0) 上的解析式为

y ? ? x2



7.已知函数 f ( x) ? a ?

1 1 ,若 f ? x ? 为奇函数,则 a ? ____ ____. 2 2 ?1
x

(5)函数单调性与奇偶性综合问题

2 ,其中 a 为常数. 2 ?1 (I)当 a ? 1 时,讨论函数 f ( x) 的奇偶性; (Ⅱ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅲ)当 a ? 3 时,求函数 f ( x) 的值域.
1.已知函数 f ( x) ? a ?
x

解: (I) a ? 1 时, f ( x) ? 1 ?

2 ,函数的定义域为 R . 2 ?1
x

f (? x) ? f ( x) ? (1 ?

2?2 x 2 2 2 2(2 x ? 1) 2 ? ? = = =0 ) ? (1 ? ) 2 ? (2? x ? 1)?2 x 2 x ? 1 2? x ? 1 2x ? 1 2x ? 1

∴ a ? 1 时,函数 f ( x) 为奇函数. (Ⅱ)设 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (a ?

2(2 x1 ? 2 x2 ) 2 2 = , ) ? ( a ? ) 2x1 ? 1 2x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

? x1 ? x2 , ?2x1 ? 2x2 ? 0, (2x1 ? 1)(2x2 ? 1) ? 0 ,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .
所以不论 a 为何实数 f ( x) 总为增函数.
x (Ⅲ) a ? 3 时, ? 2 ? 1 ? 1 ,?0 ?

2 ? 2, 2 ?1
x

??2 ? ?

2 2 ? 0 ,?1 ? 3 ? x ?3. 2 ?1 2 ?1
x

∴ a ? 3 时,函数 f ( x) 的值域为 (1,3) . 2. (抽象函数模型)定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足:对任意实数 m, n ,总有 f ? m ? n ? ? f ? m? ? f ? n ? ,且当 x ? 0 时,

0 ? f ? x ? ? 1.
(Ⅰ)试求 f ? 0 ? 的值; (Ⅱ)判断 f ? x ? 的单调性并证明你的结论. 解: (1)在 f ? m ? n ? ? f ? m? ? f ? n ? 中,令 m ? 1, n ? 0 .得: f ?1? ? f ?1? ? f ? 0? . 因为 f ?1? ? 0 ,所以, f ? 0? ? 1. (2)要判断 f ? x ? 的单调性,可任取 x1 , x2 ? R ,且设 x1 ? x2 . 在 已 知 条 件 f ? m ? n ? ? f ? m? ? f ? n ? 中 , 若 取 m ? n ? x2 , m ? x1 , 则 已 知 条 件 可 化 为 :

f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ?

.

由于 x2 ? x1 ? 0 ,所以 1 ? f ? x2 ? x1 ? ? 0 . 为比较 f ? x2 ?、f ? x1 ? 的大小,只需考虑 f ? x1 ? 的正负即可. 在 f ? m ? n ? ? f ? m? ? f ? n ? 中,令 m ? x , n ? ?x ,则得 f ? x ? ? f ? ?x ? ? 1 . ∵ x ? 0 时, 0 ? f ? x ? ? 1, ∴ 当 x ? 0 时, f ? x ? ?

1 ?1? 0 . f ? ?x?

又 f ? 0? ? 1,所以,综上,可知,对于任意 x1 ? R ,均有 f ? x1 ? ? 0 . ∴ f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x1 ? ? ? f ? x2 ? x1 ? ? 1? ? ?0. ∴ 函数 f ? x ? 在 R 上单调递减.


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