当前位置:首页 >> 数学 >> 【志鸿优化设计 赢在课堂】2015秋高中数学 2.2.3向量数乘运算及其几何意义学案设计 新人教A版必修4

【志鸿优化设计 赢在课堂】2015秋高中数学 2.2.3向量数乘运算及其几何意义学案设计 新人教A版必修4


第二章 2.2 2.2.3

平面向量

平面向量的线性运算 向量数乘运算及其几何意义
学习目标

1.通过实例,掌握向量数乘运算,理解其几何意义及向量共线定理.熟练运用定义、运算 律进行有关计算,能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题. 2.理解、 掌握向量共线定理及其证明过程;会根据向量共线定理判断两个向量是否共线. 3.通过由实例到概念、由具体到抽象,培养学生自主探究知识形成的过程的能力、合作 释疑过程中合作交流的能力.激发学生学习数学的兴趣和积极性,陶冶学生的情感,培养学生 实事求是的科学态度、勇于创新的精神. 合作学习 一、设计问题,创设情境 问题 1:向量加法的运算法则?

问题 2:向量减法的几何意义?

问题 3:一质点从点 O 出发做匀速直线运动,若经过 1s 的位移对应的向量用 a 表示,那么 在同方向上经过 3s 的位移所对应的向量可用 来表示.这是何种运算的结果?

二、学生探索,尝试解决 问题 1:向量的加法: 问题 2:向量的减法: 问题 3:3a. 三、信息交流,揭示规律 问题 4:已知非零向量 a,作出 a+a+a 和(-a)+(-a),你能说出它们的几何意义吗? (1)相加后,和的长度和方向有什么变化? (2)这些变化与哪些因素有关?

1.数乘的定义: . (1) ; (2)当 λ >0 时, ; 当 λ <0 时, . 由(1)可知,当 λ =0 或 a=0 时, .
1

问题 5:求作向量 3(2a)和 6a(a 为非零向量),并进行比较.

问题 6:已知向量 a,b,求作向量 2(a+b)和 2a+2b,并进行比较.

2.向量数乘的运算律 设 a,b 为任意向量,λ ,μ 为任意实数,则有: 结合律: . 第一分配律: . 第二分配律: . 问题 7:引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗?

问题 8:如果 b=λ a(a≠0),那么,向量 a 与 b 是否共线? 问题 9:b 与非零向量 a 共线,那么,b=λ a?

3.向量共线定理

四、运用规律,解决问题 【例 1】计算 (1)(-3)×4a; (2)3(a+b)-2(a-b)-a; (3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c).

【例 2】已知任意两非零向量 a,b,试作=a+b,=a+2b,=a+3b.你能判断 A,B,C 三点之间的 位置关系吗?为什么?

五、变式演练,深化提高 练习 1:若 a,b 是两个不共线的非零向量,t∈R,若 a,b 起点相同,t 为何值时,a,tb,(a+b) 三向量的终点在一条直线上?

练习 2:设 a,b 是不共线的两个非零向量, (1)若=2a-b,=3a+b,=a-3b,求证:A,B,C 三点共线;

2

(2)若 8a+kb 与 ka+2b 共线,求实数 k 的值.

让学生每人各编一个关于平面向量运算的题目,然后由同位算出答案.(若课上时间不够, 可转为课后作业)

六、反思小结,观点提炼 请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收 获?(经过学生短暂梳理,小组发言)

布置作业 课本 P90 练习第 3,4,5,6 题.

参考答案
二、学生探索,尝试解决 问题 1:三角形法则(首尾相连)和平行四边形法则(共起点). 问题 2:=a,=b,则=a-b. 问题 3:a+a+a. 三、信息交流,揭示规律 问题 4:

3a 与 a 方向相同且=3; -2a 与 a 方向相反且=2. 1.数乘的定义:一般地,我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的 数乘,记作:λ a,它的长度和方向规定如下: (1); (2)当 λ >0 时,λ a 的方向与 a 的方向相同;当 λ <0 时,λ a 的方向与 a 的方向相反. 由(1)可知,当 λ =0 或 a=0 时,λ a=0. 问题 5:

问题 6:

2.结合律:λ (μ a)=(λ μ )a 第一分配律:(λ +μ )a=λ a+μ a 第二分配律:λ (a+b)=λ a+λ b 问题 7:数乘向量与原向量共线. 问题 8:共线.

3

问题 9:不成立. 3.向量共线定理:向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当有唯一一个实数 λ ,使得 b=λ a. 四、运用规律,解决问题 【例 1】解:(1)原式=-12a. (2)原式=(3-2-1)a+(3+2)b=5b. (3)原式=(2-3)a+(3+2)b-(1+1)c=-a+5b-2c. 【例 2】解:作图如下(过程略)

依图观察,知 A,B,C 三点共线. 证明如下: ∵=(a+3b)-(a+b)=2b, 又=(a+2b)-(a+b)=b, ∴=2,又有公共点 A, ∴A,B,C 三点共线. 五、变式演练,深化提高 练习 1 解:设存在实数 m,使得 a-tb=m[a-(a+b)], 化简得(m-1)a=(-t)b, ∵a 与 b 不共线,∴ ∴t=时,a,tb,(a+b)的终点在一条直线上. 练习 2:解:(1)证明:∵=(3a+b)-(2a-b)=a+2b. 而=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2, ∴共线,且有公共端点 B,∴A,B,C 三点共线. (2)∵8a+kb 与 ka+2b 共线, ∴存在实数 λ 使得 8a+kb=λ (ka+2b)? (8-λ k)a+(k-2λ )b=0, ∵a 与 b 是不共线的两个非零向量, 2 ∴消去 λ 得 8-k =0,∴k=±4.

4


赞助商链接
更多相关文档:
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com