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大智学校资料2012东城高三(二模)数学(理)5月


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2011 2012 学年度第二学期高三综合练习( 11北京市东城区 2011-2012 学年度第二学期高三综合练习(二) 数学 (理 科)2012.05
小题, 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 题目要求的一项 一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1、下列命题中,真命题是 (A) ?x ∈ R , ? x ? 1 < 0
2

(B) ?x0 ∈ R , x0 + x0 = ?1
2

(C) ?x ∈ R , x 2 ? x +

1 >0 4

(D) ?x0 ∈ R , x0 + 2 x0 + 2 < 0
2

2、将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组,若第一组至第六组数据的频率之比为 2 : 3 : 4 : 6 : 4 :1 ,且前三组数据 的频数之和等于 27 ,则 n 的值为 (A) 70 (B) 60 (C) 50 (D) 40

3、 (2 x ? ) 的展开式中的常数项为 (B) ?6 (C) 6 (D) 24

1 4 x (A) ?24

4、若一个三棱柱的底面是正三角形,其正(主)视图如图所示,则它的体积为
1

(A) 3

(B) 2

(C) 2 3

(D) 4
1 1

5、若向量 a , b 满足 a = 1 , b = (A)

2 ,且 a ⊥ (a + b) ,则 a 与 b 的夹角为
(C)

π 2

(B)

2π 3

3π 4

(D)

5π 6

6、已知 m 和 n 是两条不同的直线,α 和 β 是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中一定能推出 m ⊥ β 的 是 (A) α ⊥ β ,且 m ? α (B) m ∥ n ,且 n ⊥ β (C) α ⊥ β ,且 m ∥ α 7、若 m 是 2 和 8 的等比中项,则圆锥曲线 x +
2

(D) m ⊥ n ,且 n ∥ β

y2 = 1 的离心率为 m
(C)

(A)

3 2

(B) 5

3 5 或 2 2

(D)

3 或 5 2

8、定义: F ( x , y ) = y x ( x > 0 , y > 0 ) ,已知数列 {an } 满足: a n =

F (n ,2 ) (n ∈ N? ) ,若对任意正整数 n ,都有 F (2 , n )

a n ≥ a k (k ∈ N? ) 成立,则 a k 的值为
(A)

1 2

(B) 2

(C)

8 9

(D)

9 8

小题, 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 填空题:

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9、设 a ∈ R ,且 (a + i) 2 i 为正实数,则 a 的值为
10、 若圆 C 的参数方程为 ?

.

? x = 3cos θ + 1, ( θ 为参数) ,则圆 C 的圆心坐标为 ,圆 C 与直线 x + y ? 3 = 0 的 ? y = 3sin θ

交点个数为

.
o

11、在平面直角坐标系 xOy 中,将点 A ( 3,1) 绕原点 O 逆时针旋转 90 到点 B ,那么点 B 的坐标为____, 若直线 OB 的倾斜角为 α ,则 sin 2α 的值为 .

12、 如图,直线 PC 与 ? O 相切于点 C ,割线 PAB 经过圆心 O , 弦 CD ⊥ AB 于点 E , PC = 4 , PB = 8 ,则 CE = . 13、已知函数 f ( x ) =

x ? sin x + 1 x +1

( x ∈ R ) 的最大值为 M ,最小值为 m ,则

M + m 的值为__.
14、 已知点 A( a , b) 与点 B (1, 0) 在直线 3 x ? 4 y + 10 = 0 的两侧,给出下列说法: ① 3a ? 4b + 10 > 0 ; ②当 a > 0 时, a + b 有最小值,无最大值; ③ a + b > 2 ; ④当 a > 0 且 a ≠ 1 , b > 0 时,
2 2

b 5 3 的取值范围为 (?∞ , ? ) U ( , + ∞) . a ?1 2 4

其中,所有正确说法的序号是 . 解答题: 小题, 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 15、 (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) = A sin(ω x + ? ) (其中 x ∈ R , A > 0 , ω > 0, ? (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)已知在函数 f ( x ) 的图象上的三点 M , N , P 的横坐标分别为 ?1, 1, 5 ,求 sin ∠MNP 的值.
y 1 ?2 ?1 0 ?1 1 2
3

π π < ? < )的部分图象如图所示. 2 2

4

5

6 x

16、 (本小题共 13 分) 某公园设有自行车租车点, 租车的收费标准是每小时 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算).甲、 乙两人各租一辆自行车,若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为 , ;一小时以上且不超过两小时还车的概

1 1 4 2

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山东省最大的中小学课外辅导 率分别为 , ;两人租车时间都不会超过三小时. (Ⅰ)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;

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1 1 2 4

(Ⅱ)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ξ ,求 ξ 的分布列与数学期望 Eξ .

17、 (本小题共 13 分) 如图,矩形 AMND 所在的平面与直角梯形 MBCN 所在的平面互相垂直, MB ∥ NC , MN ⊥ MB , 且 MC ⊥ CB , BC = 2 , MB = 4 , DN = 3 .
D

(Ⅰ)求证: AB // 平面 DNC ; (Ⅱ)求二面角 D ? BC ? N 的余弦值.

A

N

C

M

B

18、 (本小题共 14 分) 已知抛物线 C : x 2 = 4 y , M 为直线 l : y = ?1 上任意一点,过点 M 作抛物线 C 的两条切线 MA, MB , 切点分别为 A , B . (Ⅰ)当 M 的坐标为 (0, ?1) 时,求过 M , A, B 三点的圆的方程; (Ⅱ)证明:以 AB 为直径的圆恒过点 M . 19、 (本小题共 13 分)

1 1 ? x ( a > 1) . a x (Ⅰ)试讨论 f ( x ) 在区间 (0, 1) 上的单调性;
已知函数 f ( x ) = ( a + ) ln x + (Ⅱ)当 a ∈ [ 3, + ∞ ) 时,曲线 y = f ( x) 上总存在相异两点 P ( x1 , f ( x1 )) , Q ( x2 , f ( x2 )) ,使得曲线

y = f ( x) 在点 P , Q 处的切线互相平行,求证: x1 + x2 >
20、(本小题共 14 分)

6 . 5

对于数列 {an } (n = 1 , 2 , L , m) ,令 bk 为 a1 , a2 ,L , ak 中的最大值,称数列 {bn } 为 {an } 的“创新数 列”.例如数列 2 , 1 , 3 , 7 , 5 的创新数列为 2 , 2 , 3 , 7 , 7 . 定义数列 {cn } : c1 , c2 , c3 ,L , cm 是自然数 1 , 2 , 3 , L , m( m > 3) 的一个排列. (Ⅰ)当 m = 5 时,写出创新数列为 3 , 4 , 4 , 5 , 5 的所有数列 {cn } ; 提分热线:0531请系好安全带! 提分热线:0531-67810281 提分太快 请系好安全带!
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www.dz211.com (Ⅱ)是否存在数列 {cn } ,使它的创新数列为等差数列?若存在,求出所有的数列 {cn } ,若不存在,请说明理
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2011 2012 学年度高三综合练习( 11北京市东城区 2011-2012 学年度高三综合练习(二) (理科)数学 2012.05 参考答案 理科)
小题, 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 选择题( 1、A 2、B 3、D 4、A 5、C 6、B 7、D 8、C

小题, 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 填空题( 9、 ?1 ;10、 (1, 0) , 2 ; 11、 (?1, 3 ) , ?

3 12 ;12、 ; 13、 2 ;14、③④; 2 5

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 小题, 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 解答题( 15、 (共 13 分) 解: (Ⅰ)由图可知, A = 1 ,最小正周期 T = 4 × 2 = 8 .由 T = 又 f (1) = sin(



ω

= 8 ,得 ω =

π . 4

……………3 分

y π π π + ? ) = 1 ,且 ? < ? < , 1 4 2 2 π π π ?2 ?1 0 1 2 3 4 5 6 x 所以 + ? = , 即 ? = . ………………5 分 ?1 4 2 4 π π π 所以 f ( x ) = sin( x + ) = sin ( x + 1) . ………………6 分 4 4 4 π (Ⅱ)因为 f ( ?1) = 0, f (1) = 1, f (5) = sin (5 + 1) = ?1, 所以 M ( ?1, 0), N (1,1), P (5, ?1) . ………7 分 4

所以 MN =

5, PN = 20, MP = 37 .由余弦定理得 cos ∠MNP = 4 . 5

5 + 20 ? 37 3 = ? . …11 分 5 2 5 × 20

因为 ∠MNP ∈ [ 0 , π ) ,所以 sin ∠MNP = (其它解法酌情给分)

…………13 分

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山东省最大的中小学课外辅导 16、 (共 13 分) 解: (Ⅰ)甲、乙两人所付费用相同即为 2 , 4 , 6 元.

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……………2 分

1 1 1 × = ; 4 2 8 1 1 1 都付 4 元的概率为 P2 = × = ; 2 4 8 1 1 1 ; 都付 6 元的概率为 P3 = × = 4 4 16
都付 2 元的概率为 P = 1 故所付费用相同的概率为 P = P + P2 + P = 1 3

1 1 1 5 + + = . 8 8 16 16

……………6 分

(Ⅱ)依题意, ξ 的可能取值为 4 , 6 , 8 , 10 , 12 .

……………8 分

1 P (ξ = 4) = ; 8 1 1 1 1 1 1 5 P (ξ = 8) = × + × + × = ; 4 4 2 4 2 4 16 1 1 1 P (ξ = 12) = × = . 4 4 16
故 ξ 的分布列为

1 1 1 1 5 P (ξ = 6) = × + × = ; 4 4 2 2 16 1 1 1 1 3 P (ξ = 10) = × + × = ; 4 4 2 4 16

ξ
P

4 1 8

6 5 16

8 5 16

10 3 16

12 1 16
……………11 分

所求数学期望 E ξ = 4 × 17、 (共 13 分)

1 5 5 3 1 15 + 6 × + 8 × + 10 × + 12 × = . 8 16 16 16 16 2

……………13 分

(Ⅰ)证明:因为 MB // NC , MB ? 平面 DNC , NC ? 平面 DNC , 所以 MB //平面 DNC .
z

……………2 分
A

D

因为 AMND 为矩形, 所以 MA // DN . 又 MA ? 平面 DNC , DN ? 平面 DNC , 所以 MA //平面 DNC . ……………4 分

N M x

C y B

又 MA I MB = M ,且 MA , MB ? 平面 AMB ,

所以平面 AMB //平面 DNC . ……………5 分 又 AB ? 平面 AMB , 所以 AB // 平面 DNC . ……………6 分 (Ⅱ)解:由已知平面 AMND ⊥ 平面 MBCN ,且平面 AMND I 平面 MBCN = MN , DN ⊥ MN ,

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所以 DN ⊥ 平面 MBCN ,又 MN ⊥ NC ,故以点 N 为坐标原点,建立空间直角坐标系 N ? xyz . ……………7 分 由已知得 MC = 2 3, ∠MCN = 30 ,易得 MN =
o

3 , NC = 3 .
uuu r

则 D (0, 0,3) , C (0,3, 0) , B ( 3, 4, 0) . DC = (0,3, ?3) , CB = ( 3,1, 0) .…………8 分

uuur

uuur ?n1 ? DC = 0, ? 设平面 DBC 的法向量 n1 = ( x, y, z ) ,则 ? uuu r ? n1 ? CB = 0. ?
令 x = ?1 ,则 y = 3 , z =

即?

? 3 y ? 3 z = 0, ? ? 3 x + y = 0. ?

3 .所以 n1 = (?1, 3, 3) ……10 分

又 n2 = (0, 0,1) 是平面 NBC 的一个法向量, 所以 cos n1 , n2 =

n1 ? n2 3 21 = = . n1 n2 7 7

故所求二面角 D ? BC ? N 的余弦值为 18、 (共 14 分)

21 . 7

……………13 分

(Ⅰ)解:当 M 的坐标为 (0, ?1) 时,设过 M 点的切线方程为 y = kx ? 1 ,

由?

? x 2 = 4 y, 2 消 y 得 x ? 4kx + 4 = 0 . ? y = kx ? 1,

(1) 代入方程(1),解得 A(2,1), B ( ?2,1) .……………3 分

令 ? = (4k ) 2 ? 4 × 4 = 0 ,解得 k = ±1 .

设圆心 P 的坐标为 (0, a ) ,由 PM = PB ,得 a + 1 = 2 ,解得 a = 1 . 故过 M , A, B 三点的圆的方程为 x 2 + ( y ? 1) 2 = 4 . (Ⅱ)证明:设 M ( x0 , ? 1) ,由已知得 y = ……………5 分

x2 1 x2 x2 , y′ = x ,设切点分别为 A( x1 , 1 ) , B ( x2 , 2 ) , 4 2 4 4

所以 k MA =

x1 x x2 x 1 1 2 , k MB = 2 ,切线 MA 的方程为 y ? 1 = 1 ( x ? x1 ) 即 y = x1 x ? x1 , 2 2 4 2 2 4 x2 2 x2 1 1 = ( x ? x2 ) 即 y = x2 x ? x2 2 . 4 2 2 4

切线 MB 的方程为 y ?

……………7 分

1 1 x0 x1 ? x12 . ① 2 4 1 1 2 ② 又因为切线 MB 也过点 M ( x0 , ? 1) ,所以得 ?1 = x0 x2 ? x2 . 2 4
又因为切线 MA 过点 M ( x0 , ? 1) ,所以得 ?1 = 提分热线:0531请系好安全带! 提分热线:0531-67810281 提分太快 请系好安全带!
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山东省最大的中小学课外辅导 所以 x1 , x2 是方程 ?1 =

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1 1 x0 x ? x 2 的两实根,由韦达定理得 x1 + x2 = 2 x0 , x1 x2 = ?4 .…………9 分 2 4

uuur uuur x12 x2 2 因为 MA = ( x1 ? x0 , + 1) , MB = ( x2 ? x0 , + 1) , 4 4
所以 MA ? MB = ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) + (

uuur uuur

x12 x2 x 2x 2 1 + 1)( 2 + 1) = x1 x2 ? x0 ( x1 + x2 ) + x0 2 + 1 2 + ( x12 + x2 2 ) + 1 4 4 16 4 x12 x2 2 1 + ?( x1 + x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ? + 1 . ? 16 4?
……………13 分 ……………14 分

= x1 x2 ? x0 ( x1 + x2 ) + x0 2 +

将 x1 + x2 = 2 x0 , x1 x2 = ?4 代入,得 MA ? MB = 0 . 所以以 AB 为直径的圆恒过点 M . 19、 (共 13 分)

uuur uuur

(Ⅰ)解:由已知 x > 0 , f ′( x) = 由 f ′( x ) = 0 ,得 x1 =

a+

1 1 1 x 2 ? (a + ) x + 1 ( x ? a)( x ? ) 1 a ? ?1 = ? a a . ………2 分 =? x x2 x2 x2

1 , x2 = a . ………4 分 a 1 1 1 1 因为 a > 1 ,所以 0 < < 1 ,且 a > .所以在区间 (0, ) 上, f ′( x ) < 0 ;在区间 ( , 1) 上, f ′( x ) > 0 . a a a a 1 1 故 f ( x ) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , 1) 上单调递增. ……………6 分 a a
(Ⅱ)证明:由题意可得,当 a ∈ [3, +∞ ) 时, f ′( x1 ) = f ′( x2 ) ( x1 , x2 > 0 ,且 x1 ≠ x2 ).

a+


1 1 a+ 1 a? a ? 1 ? 1 ,所以 a + 1 = 1 + 1 = x1 + x2 , a ∈ [3, +∞ ) .……8 分 ?1 = 2 x1 x1 x2 x2 2 a x1 x2 x1 x2

因为 x1 , x2 > 0 ,且 x1 ≠ x2 ,所以 x1 x2 < (

x1 + x2 2 ) 恒成立, 2

所以

1 4 > ,又 x1 + x2 > 0 , x1 x2 ( x1 + x2 ) 2

1 x1 + x2 4 4 = > ,整理得 x1 + x2 > . …………11 分 1 a x1 x2 x1 + x2 a+ a 4 令 g (a) = ,因为 a ∈ [3, +∞ ) ,所以 g ( a ) 在 [3, +∞ ) 上单调递减, 1 a+ a
所以 a + 提分热线:0531请系好安全带! 提分热线:0531-67810281 提分太快 请系好安全带!
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山东省最大的中小学课外辅导 所以 g ( a ) =

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……………13 分

4 a+ 1 a

在 [3, + ∞ ) 上的最大值为 g (3) =

6 6 ,所以 x1 + x2 > . 5 5

20、 (共 14 分) 解: (Ⅰ)由题意,创新数列为 3 , 4 , 4 , 5 , 5 的所有数列 {cn } 有两个,即数列 3 , 4 , 1 , 5 , 2 ; 数列 3 , 4 , 2 , 5 , 1 . (Ⅱ)存在数列 {cn } ,使它的创新数列为等差数列. 数列 {cn } 的创新数列为 {en } ( n = 1, 2, 3,L , m) , 因为 em 是 c1 , c2 ,L , cm 中的最大值,所以 em = m . 由题意知, ek 为 c1 , c2 ,L , ck 中最大值, ek +1 为 c1 , c2 ,L , ck , ck +1 中的最大值, 所以 ek ≤ ek +1 ,且 ek ∈ {1, 2,L , m} . 若 {en } 为等差数列,设其公差为 d , 则 d = ek +1 ? ek ≥ 0 且 d ∈ N , ……………4 分

当 d = 0 时, {en } 为常数列,又 em = m , 所以数列 {en } 为 m , m , L , m . 此时数列 {cn } 是首项为 m 的任意一个符合条件的数列; 当 d = 1 时,因为 em = m ,所以数列 {en } 为 1 , 2 , 3 , L , m . 此时数列 {cn } 为 1 , 2 , 3 , L , m ; 当 d ≥ 2 时,因为 em = e1 + (m ? 1) d ≥ e1 + ( m ? 1) × 2 = 2m ? 2 + e1 , 又 m > 3 , e1 > 0 ,所以 em > m ,这与 em = m 矛盾,所以此时 {en } 不存在,即不存在 {cn } 使得它 的创新数列为公差 d ≥ 2 的等差数列. ……………13 分 ……………10 分 ……………8 分

综上,当数列 {cn } 为以 m 为首项的任意一个符合条件的数列或 {cn } 为数列 1 , 2 , 3 , L , m 时, 它的创新数列为等差数列. ……………14 分

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