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广东省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练:圆锥曲线


广东省 2017 届高三数学理一轮复习专题突破训练 圆锥曲线
一、选择、填空题 x2 y2 1、(2016 年全国 I 高考)已知方程 2 – 2 =1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4, m +n 3m –n 则 n 的取值范围是 (A)(–1,3) (B)(–1, 3) (C)(0,3) (D)(0, 3)

2、(2016 年全国 I 高考)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 D,E 两点.已知|AB|= 4 2 ,|DE|= 2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8

3、 (2016 年全国 II 高考)圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 8 y ? 13 ? 0 的圆心到直线 ax ? y ? 1 ? 0 的距离为 1,则 a=( )

(A) ?

4 3

(B) ?

3 4

(C) 3

(D)2

4、 (2016 年全国 II 高考)圆已知 F1 , F2 是双曲线 E : 与 x 轴垂直, sin ?MF2 F1 ? (A) 2

x2 y 2 ? ? 1 的左,右焦点,点 M 在 E 上, MF1 a 2 b2
) (D)2

1 ,则 E 的离心率为( 3 3 (B) (C) 3 2

5、(2015 年全国 I 卷)已知 M(x0,y0)是双曲线 C:

x2 ? y 2 ? 1上的一点,F1、F2 是 C 上 2

????? ????? 的两个焦点,若 MF 1 ? MF2 <0,则 y0 的取值范围是
(A)(-

3 3 , ) 3 3
2 2 2 2 , ) 3 3

(B)(-

3 3 , ) 6 6
2 3 2 3 , ) 3 3

(C)( ?

(D)( ?

6、(2015 年全国 I 卷)一个圆经过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 错误!未找到引用源。的三个顶点,且 16 4

圆心在 x 轴上,则该圆的标准方程为



7、(佛山市2016届高三二模)已知双曲线C 的两条渐近线为l 1 , l 2,过右焦点F 作 FB // l 1 且交l 2 于点B ,过点B 作BA⊥l 2 且交l 1于点 A .若 AF⊥x 轴,则双曲线C 的离心率为( ) ) A. 3 B.

2 3 3

C.

6 2

D.2 2

8、 (广州市 2016 届高三二模)已知点 O 为坐标原点,点 M 在双曲线 C : x 2 ? y 2 ? ?( ? 为正常数) 上,过点 M 作双曲线 C 的某一条渐近线的垂线,垂足为 N ,则 ON ? MN 的值为

(A)

? 4

(B)

?
2

(C) ?

(D) 无法确定

9、(茂名市 2016 届高三二模)若动圆的圆心在抛物线 y ? 圆恒过定点 A. (0,2) ( ) B.(0,-3) C. (0,3)

1 2 x 上,且与直线 y+3=0 相切,则此 12

D.(0,6)

10、 (茂名市 2016 届高三二模) 已知双曲线:

x2 y 2 ? ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1 , F2 , a 2 b2

焦距为 2c , 直线 y ? 3( x ? c) 与双曲线的一个交点 M 满足

?MF1F2 ? 2?MF2 F1 , 则双曲线的离心率为
A. 2 B. 3 C.2





D. 3 ? 1 )

11、(深圳市 2016 届高三二模)以直线 y ? ? 3x 为渐近线的双曲线的离心率为为( A. 2

B.

2 3 3

C. 2 或

2 3 3

D. 3

12、(珠海市 2016 届高三二模)已知以原点为中心,实轴在 x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为 y=

3 x,焦点到渐近线的距离为 6,则此双曲线的标准方程为 4
A.

x2 y 2 ? ?1 16 9 x2 y 2 ? ?1 64 36

B.

x2 y 2 ? ?1 9 16 x2 y 2 ? ?1 36 64

C.

D.

二、解答题 1、(2016 年全国 I 高考)设圆 x ? y ? 2x ?15 ? 0 的圆心为 A,直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不
2 2

重合,l 交圆 A 于 C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (I)证明 EA ? EB 为定值,并写出点 E 的轨迹方程; (II)设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1 于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围.

2、(2016 年全国 II 高考)已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1 的焦点在 x 轴上, A 是 E 的左顶点,斜率为 t 3

k (k ? 0) 的直线交 E 于 A, M 两点,点 N 在 E 上, MA ? NA .
(Ⅰ)当 t ? 4,| AM |?| AN | 时,求 ?AMN 的面积; (Ⅱ)当 2 AM ? AN 时,求 k 的取值范围. 3、(2016 年全国 III 高考)已知抛物线 C : y 2 ? 2 x 的焦点为 F ,平行于 x 轴的两条直线 l1 , l2 分别 交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 P,Q 两点. (I)若 F 在线段 AB 上, R 是 PQ 的中点,证明 AR ? FQ ; (II)若 ?PQF 的面积是 ?ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程.

4、(2015 年全国 I 卷)在直角坐标系 xoy 中,曲线 C:y=

x2 与直线 y ? kx ? a ( a >0)交与 4

M,N 两点, (Ⅰ)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (Ⅱ)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由。
5、(佛山市2016届高三二模)已知点C 是圆F : ( x -1) 2 + y 2 = 16 上任意一点,点F ' 与点F 关于 原点对称.线段CF ' 的中垂线与

CF 交于P 点. (Ⅰ) 求动点P 的轨迹方程E ;
(Ⅱ) 设点 A ( 4,0 ) ,若直线PQ ⊥x 轴且与曲线E 交于另一点Q,直线 AQ与直线PF 交于点B . (1) 证明:点B 恒在曲线E 上; (2) 求 △PAB 面积的最大值.

6、(广州市 2016 届高三二模)已知点 F ?1,0 ? ,点 A 是直线 l1 : x ? ?1 上的动点,过 A 作直线 l2 ,

l1 ? l2 ,线段 AF 的垂直平分线与 l2 交于点 P .
(Ⅰ)求点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)若点 M , N 是直线 l1 上两个不同的点, 且△ PMN 的内切圆方程为 x ? y ? 1,直
2 2

线 PF 的斜率为 k ,求

k 的取值范围. MN

7、 (茂名市 2016 届高三二模) 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1, (0 ? b ? 3) 的左右焦点分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0) , 9 b2
8 . 3

过点 F1 且不与 x 轴重合的直线 l 与椭圆相交于 A, B 两点.当直线 l 垂直 x 轴时, AB ? (I)求椭圆的标准方程; (II)求 ?ABF2 内切圆半径的最大值.

8、(深圳市 2016 届高三二模)过抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两
2

点,且 A, B 两点的纵坐标之积为 ?4 . (1)求抛物线 C 的方程; (2)已知点 D 的坐标为 (4, 0) ,若过 D 和 B 两点的直线交抛物线 C 的准线于 P 点, 求证: 直线 AP 与 x 轴交于一定点.

9、 (潮州市 2016 届高三上期末) 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 右顶点与右焦点的距离为 3 -1, a 2 b2

短轴长为 2 2 。 (I)求椭圆的方程; (II) 过左焦点 F 的直线与椭圆分别交于 A、 B 两点, 若△OAB (O 为直角坐标原点) 的面积为 求直线 AB 的方程。

3 2 , 4

10、(佛山市 2016 届高三教学质量检测(一))已知椭圆 ? :

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的一个 a2 b2

顶点为 A( 2, 0 ) ,且焦距为 2 ,直线 l 交椭圆 ? 于 E 、 F 两点(点 E 、 F 与点 A 不重合),且满足

AE ? AF .
(1)求椭圆的标准方程; (2) O 为坐标原点,若点 P 满足 2OP ? OE ? OF ,求直线 AP 的斜率的取值范围.

参考答案 一、选择、填空题 1、【答案】A 【解析】由题意知:双曲线的焦点在 x 轴上,所以 m ? n ? 3m ? n ? 4 ,解得: m ? 1 ,因为方程
2 2 2

?n ? ?1 ?1 ? n ? 0 x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,所以 ? ,解得 ? ,所以 n 的取值范围是 ? ?1,3? ,故选 1? n 3 ? n ?n ? 3 ?3 ? n ? 0
A. 2、【答案】B 【解析】 试题分析: 如图, 设抛物线方程为 y ? 2 px , 圆的半径为 r, AB, DE 交 x 轴于 C , F 点, 则 AC ? 2 2 ,
2

即 A 点纵坐标为 2 2 ,则 A 点横坐标为

4 4 2 2 2 2 ,即 OC ? ,由勾股定理知 DF ? OF ? DO ? r , p p

p AC 2 ? OC 2 ? AO2 ? r 2 ,即 ( 5) 2 ? ( ) 2? (2 2) 2
离为 4,故选 B.

2

(? )

42 ,解得 p ? 4 ,即 C 的焦点到准线的距 p

3、 【答案】A

4、 【答案】A
2 2 F1 F2 F F sin M 1 2 【解析 1】 离心率 e ? ,由正弦定理得 e ? ? ? 3 ? 2. MF2 ? MF1 MF2 ? MF1 sin F1 ? sin F2 1 ? 1 3

故选 A. 【解析 2】

5、【答案】A

6、【答案】 ( x ? ) ? y ?
2 2

3 2

25 4

【解析】
3 试题分析:设圆心为( a ,0),则半径为 4? | a | ,则 (4? | a |)2 ?| a |2 ?22 ,解得 a ? ? , 2 3 25 故圆的方程为 ( x ? ) 2 ? y 2 ? . 2 4
7、B 8、B 9、C 10、 答案 D ,提示:∵直线 y= 3(x+c)过左焦点 F1,且其倾斜角为 60°, ∴∠MF1F2=60°,∠MF2F1=30°.∴∠F1MF2=90°,即 F1M⊥F2M. ∴|MF1|=

1 0 | F1 F2 |? c ,|MF2| ?| F 1F 2 | sin 60 ? 3c 2

由双曲线的定义有: |MF2|-|MF1|+= 3c ? c =2a, ∴离心率 e ?

c ? a

c ? 3 ?1 3c ? c 2

11、【答案】C 【解析】∵双曲线的渐近线方程为 y ? ? 3x ,

b a 4 ? 3 ,或 ? 3 .∴ c 2 ? 4a 2 ,或 c 2 ? a 2 . a b 3 2 3. ∴ e ? 2 ,或 e ? 3
∴ 12、C 二、解答题 1、【答案】(Ⅰ)

x2 y 2 ? ? 1 ( y ? 0 )(II) [12,8 3) 4 3

【解析】利用椭圆定义求方程;(II)把面积表示为关于斜率 k 的函数,再求最值。 试题解析:(Ⅰ)因为 | AD |?| AC | , EB // AC ,故 ?EBD ? ?ACD ? ?ADC , 所以 | EB |?| ED | ,故 | EA | ? | EB |?| EA | ? | ED |?| AD | .
2 2 又圆 A 的标准方程为 ( x ? 1) ? y ? 16 ,从而 | AD |? 4 ,所以 | EA | ? | EB |? 4 .

由题设得 A(?1,0) ,B(1,0) ,| AB |? 2 , 由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为:

x2 y 2 ? ? 1( y ? 0 ) . 4 3

2、【答案】(Ⅰ)

144 ;(Ⅱ) 49

?

3

2, 2 .
x2 y 2 ? ? 1 ,A 点坐标为 ? ?2 ,0 ? , 4 3

?

【解析】 ⑴当 t ? 4 时,椭圆 E 的方程为

则直线 AM 的方程为 y ? k ? x ? 2 ? .
? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 2 3 联立 ? 4 并整理得, 3 ? 4k x ? 16k x ? 16k ? 12 ? 0 ? y ? k ? x ? 2? ?

?

?

解得 x ? ?2 或 x ? ?

8k 2 ? 6 12 8k 2 ? 6 2 AM ? 1 ? k ? ? 2 ? 1? k2 ? ,则 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 3 ? 4k

? 1? AN ? 1 ? ? ? ? ? 因为 AM ? AN ,所以 ? k?

2

12 ? 1? 3 ? 4 ? ?1 ? ? ? k?
2

? 1? k2 ?

12 3k ? 4 k

因为 AM ? AN , k ? 0 ,

所以

1? k2 ?

12 12 ? 1? k2 ? 2 4 ,整理得 ? k ? 1? ? 4k 2 ? k ? 4 ? ? 0 , 3 ? 4k 3k ? k

4k 2 ? k ? 4 ? 0 无实根,所以 k ? 1 .

所以 △AMN 的面积为

1 AM 2

2

1? 12 ? 144 ? ? 1?1 ? . ? ? 2? 3? 4? 49

2

⑵直线 AM 的方程为 y ? k x ? t ,

?

?

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 2 2 3 联立 ? t 并整理得, ? 3 ? tk ? x ? 2t tk x ? t k ? 3t ? 0 ?y ? k x ? t ?

?

?

解得 x ? ? t 或 x ? ?

t tk 2 ? 3 t , 3 ? tk 2

2 所以 AM ? 1 ? k ?

t tk 2 ? 3 t 6 t ? t ? 1? k2 ? 2 3 ? tk 3 ? tk 2
6 t

所以

AN ? 1 ? k 2 ?

3k ?

t k

因为 2 AM ? AN
2 ? 1? k2 ? 6 t 6 t 6k 2 ? 3k ? 1? k2 ? 2 t ? ,整理得, . t 3 ? tk 3k ? k3 ? 2 k

所以

因为椭圆 E 的焦点在 x 轴,所以 t ? 3 ,即

6k 2 ? 3k ? k 2 ? 1? ? k ? 2 ? ? 0 ? 3 ,整理得 k3 ? 2 k3 ? 2

解得 3 2 ? k ? 2 . 3、【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) y ? x ?1 .
2

4、【答案】(Ⅰ) ax ? y ? a ? 0 或 ax ? y ? a ? 0 (Ⅱ)存在

【解析】 (Ⅰ)由题设可得 M (2 a , a) , N (?2 2, a) ,或 M (?2 2, a) , N (2 a , a) . ∵ y? ?
1 x2 x ,故 y ? 在 x = 2 2a 处的到数值为 a ,C 在 (2 2a, a) 处的切线方程为 2 4

y ? a ? a ( x ? 2 a ) ,即 ax ? y ? a ? 0 .

故y?

x2 在 x =- 2 2a 处的到数值为- a ,C 在 (?2 2a, a) 处的切线方程为 4

y ? a ? ? a ( x ? 2 a ) ,即 ax ? y ? a ? 0 .
故所求切线方程为 ax ? y ? a ? 0 或 ax ? y ? a ? 0 . (Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下: 设 P(0,b)为复合题意得点,M ( x1, y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,直线 PM,PN 的斜率分别为 k1 , k2 . 将 y ? kx ? a 代入 C 得方程整理得 x2 ? 4kx ? 4a ? 0 . ∴ x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4a . ∴ k1 ? k2 ?
y1 ? b y2 ? b 2kx1 x2 ? (a ? b)( x1 ? x2 ) k ( a ? b) = = . ? a x1 x2 x1 x2

……5 分

当 b ? ? a 时,有 k1 ? k2 =0,则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补, 故∠OPM=∠OPN,所以 P(0, ?a) 符合题意.
5、

……12 分

所以点 B 恒在椭圆 E 上.…………………………8 分

6、 (Ⅰ)解:依题意,点 P 到点 F ?1,0 ? 的距离等于它到直线 l1 的距离, ………………1 分 ∴点 P 的轨迹是以点 F 为焦点,直线 l1 : x ? ?1 为准线的抛物线. …………2 分 ∴曲线 C 的方程为 y ? 4 x .
2

………………………………………………3 分

(Ⅱ)解法 1:设点 P ? x0 , y0 ? ,点 M ? ?1, m? ,点 N ? ?1, n ? , 直线 PM 方程为: y ? m ?

y0 ? m ? x ? 1? , x0 ? 1

………………………4 分

化简得, ? y0 ? m? x ? ? x0 ?1? y ? ? y0 ? m? ? m ? x0 ? 1? ? 0 . ∵△ PMN 的内切圆方程为 x ? y ? 1,
2 2

∴圆心 ? 0, 0 ? 到直线 PM 的距离为 1 ,即
2 2 2

y0 ? m ? m ? x0 ? 1?

? y0 ? m ? ? ? x0 ? 1?
2

2

? 1 . ………5 分

故 ? y0 ? m ? ? ? x0 ? 1? ? ? y0 ? m ? ? 2m ? y0 ? m ?? x0 ? 1? ? m

2

? x0 ? 1?

2

.

易知 x0 ? 1 ,上式化简得, ? x0 ?1? m2 ? 2 y0m ? ? x0 ?1? ? 0 .………………6 分 同理,有 ? x0 ?1? n2 ? 2 y0n ? ? x0 ? 1? ? 0 . ………………………………7 分

∴ m, n 是关于 t 的方程 ? x0 ?1? t 2 ? 2 y0t ? ? x0 ?1? ? 0 的两根. ∴m?n ?

? ? x0 ? 1? ?2 y0 , mn ? . x0 ? 1 x0 ? 1

………………………………8 分
2 4 y0

∴ MN ? m ? n ?
2

? m ? n ? ? 4mn ?
2

? x0 ? 1?

2

?

4 ? x0 ? 1? .……………9 分 x0 ? 1

∵ y0 ? 4 x0 , y0 ? 2 x0 , ∴ MN ?

? x0 ? 1?

16 x0

2

?

4 ? x0 ? 1? x 2 ? 4 x0 ? 1 ?2 0 . 2 x0 ? 1 ? x0 ? 1?

直线 PF 的斜率 k ?

2 x0 y0 y0 ? ,则 k ? . x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1



k ? MN

x0 ? x ? 4 x0 ? 1
2 0

1 . 1 x0 ? ? 4 x0

………………………………10 分

∵函数 y ? x ? ∴ x0 ?

1 在 ?1, ?? ? 上单调递增, x

1 ? 1?1 ? 0 . x0 1 ? 4 ? 4. x0
………………………………………………11 分

∴ x0 ?

∴0 ?

1 1 ? . 1 x0 ? ? 4 4 x0

∴0 ?

k MN

?

1 . 2



k ? 1? 的取值范围为 ? 0, ? . MN ? 2?

………………………………………………12 分

解法 2:设点 P ? x0 , y0 ? ,点 M ? ?1, m? ,点 N ? ?1, n ? , 直线 PM 的方程为 y ? m ? k1 ? x ? 1? ,即 k1 x ? y ? k1 ? m ? 0 ,………………4 分 ∵ 直线 PM 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切, ∴

k1 ? m k12 ? 1

? 1.

∴ k1 ?

1 ? m2 . 2m

………………………………………………5 分

1 ? m2 ? ? x ? 1? . ∴ 直线 PM 的方程为 y ? m ? 2m
∵ 点 P 在直线 PM 上, ∴ y0 ? m ?

1 ? m2 ? ? x0 ? 1? . 2m

易知 x0 ? 1 ,上式化简得, ? x0 ?1? m2 ? 2 y0m ? ? x0 ?1? ? 0 . …………………6 分 同理,有 ? x0 ?1? n2 ? 2 y0n ? ? x0 ? 1? ? 0 . ………………………………………7 分

∴ m, n 是关于 t 的方程 ? x0 ?1? t 2 ? 2 y0t ? ? x0 ?1? ? 0 的两根. ∴m?n ?

? ? x0 ? 1? ?2 y0 , mn ? . x0 ? 1 x0 ? 1

…………………………………………8 分
2 4 y0

∴ MN ? m ? n ?
2

?m ? n?

2

? 4mn ?

? x0 ? 1?

2

?

4 ? x0 ? 1? . x0 ? 1

……………9 分

∵ y0 ? 4 x0 , y0 ? 2 x0 , ∴ MN ?

? x0 ? 1?

16 x0

2

?

4 ? x0 ? 1? x 2 ? 4 x0 ? 1 ?2 0 . 2 x0 ? 1 ? x0 ? 1?

直线 PF 的斜率 k ?

2 x0 y0 y0 ? ,则 k ? . x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1



k ? MN

x0 ? x ? 4 x0 ? 1
2 0

1 . ……………………………………10 分 1 x0 ? ? 4 x0

∵函数 y ? x ? ∴ x0 ?

1 在 ?1, ?? ? 上单调递增, x

1 ? 1?1 ? 0 . x0 1 ? 4 ? 4. x0
………………………………………………11 分

∴ x0 ?

∴0 ?

1 1 ? . 1 x0 ? ? 4 4 x0

∴0 ?

k MN

?

1 . 2
………………………………………………12 分



k ? 1? 的取值范围为 ? 0, ? . MN ? 2?

? c 2 16 ?1 4 4 ? ? 7.解:(1)由已知条件可设 A( ? c, ) , B ( ?c,? ) 由 ? 9 9b 2 ……………2 分 3 3 ?b 2 ? c 2 ? 9 ?
解得 ?

?b ? 2 ?c ? 5

…………………………………………3 分

所以椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 …………………………………………4 分 9 4

(2)法 1:设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,直线 l 的方程为 x ? ty ? 5 ……………………5 分

? x ? ty ? 5 ? 2 2 联立 ? x 2 y 2 ,消去 x 并化简得 ? 4t ? 9 ? y ? 8 5ty ? 16 ? 0 ………………6 分 ?1 ? ? 4 ?9
由韦达定理得 y1 ? y2 ?

8 5t 16 , y1 y2 ? ? 2 2 4t ? 9 4t ? 9

…………………………7 分

. 那么 ? y1 ? y2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2

2

? 8 5t ? 16 24 ? 24 ? t 2 ? 1 ? ? 4 y1 y2 ? ? ? ? 4 ? ? 2 ? 4t 2 ? 9 ? 4t 2 ? 9 4t 2 ? 9 ? ?

2

?

?

?

?

所以 y1 ? y2 ?

24? t 2 ? 1 4t 2 ? 9

………………………………8 分

而 S ?ABF2 ? S ?AF1F2 ? S ?BF1F2 ?

1 ? 2c ? y1 ? y2 ? 5 y1 ? y2 2

? 24 5 ?

t 2 ?1 t 2 ?1 24 5 ? 24 5 ? ? 2 2 4t ? 9 4 t ?1 ? 5 4 t 2 ?1 ? 5 t 2 ?1

?

?

…………9 分

?

24 5 2 4 t 2 ?1 ? 5 t ?1
2

?

24 5 ?6, 4 5

当且仅当 4 t ? 1 ?
2

5 t 2 ?1

,即 t ? ?

1 时等号成立 …………………………10 分 2

又因为 S?ABF2 ?

1 1 ? ? AB ? F2 A ? F2 B ? ? r ? ?12 ? r ? 6r ? 6 ……11 分 2 2

所以 ?ABF2 内切圆半径的最大值为 1. ……………………12 分 法 2: ①当直线 l 的斜率不存在时 S ?ABF2 ?

1 1 8 8 ? AB ? 2c ? ? ? 2 5 ? 5 2 2 3 3 1 1 又因为 S ?ABF2 ? ? ? AB ? F2 A ? F2 B ? ? r ? ? 12 ? r ? 6r 2 2 4 5 所以这时 r ? ………………………………………………………5 分 9

②当直线 l 的斜率存在时,设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , l : y ? k x ? 5 把 y ? k x ? 5 代入

?

?

?

?

x2 y 2 x 2 k 2 ( x ? 5 )2 ? ? 1得 ? ?1 9 4 9 4

得 9k 2 ? 4 x2 ? 18 5k 2 x ? 45k 2 ? 36 ? 0

?

?

18 5k 2 45k 2 ? 36 , x1x2 ? 由韦达定理得 x1 ? x2 ? ? 2 …………………………6 分 9k ? 4 9k 2 ? 4
AB ?

?x1 ? x2 ?2 ? ? y1 ? y2 ?2

?

?1 ? k ???x ? x ?
2 1 2

2

? 4 x1 x2

?

?

?

?? 18 5k 2 ? 2 4 ? 36 ? 4 ? 45k 2 ? ? ? ? 1 ? k ?? ? 2 9k ? 4 ? 9k 2 ? 4 ?? ? ? ? ? ?
2

?

?

4 ? 9 ? 16 ? 1 ? k 2

?9k

?

2

?4

?

?

2

2

24 ? 1 ? k 2 ……………………………7 分 ? 9k 2 ? 4
…………………………………………8 分

?

?

点 F2 到直线 l 的距离为 d ?

2 5? k k2 ?1

S ?ABF2 ?

2 1 1 24? 1 ? k 2 2 5 ? k 24 5 k ? 1 ? k ? AB ? d ? ? ? ………9 分 ? 2 2 9k 2 ? 4 9k 2 ? 4 k 2 ?1

?

?

1 1 k2 ?1 ? k ?1 ?1 2 2 2 k k k ? 24 5 ? ? 24 5 ? ? 24 5 ? 4 9k 2 ? 4 ?1 ? ? 9 4? 2 ? 1? ? 5 2 2 k k ?k ?
? 24 5 ? 1 1 4 2 ?1 ? k 5 1 ?1 k2 ? 24 5 ? 1 4 5 ?6

当且仅当 4

1 ?1 ? k2

5 即 k ? ?2 时等号成立………………………10 分 1 ?1 k2

1 1 ? ? AB ? F2 A ? F2 B ? ? r ? ? 12 ? r ? 6r 2 2 r ? 1 6 r ? 6 得 解得 ………………………………………………………11 分 4 5 所以 ?ABF2 内切圆半径的最大值为 1. …………………12 分 又因为 1 ? 9 p 8.【解析】(1)抛物线的焦点为 F ( , 0) , 2 p 故可设直线 AB 的方程为 x ? my ? , 2 p ? ? x ? my ? 由? 2 ,得 y 2 ? 2 pmx ? p2 ? 0 , ? y 2 ? 2 px ?
由 S ?ABF2 ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 y2 ? ? p ,
2
2 ∴ ? p ? ?4 ,由 p ? 0 ,可得 p ? 2 .

∴抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x . (2)【方法 1】依题意,直线 BD 与 x 轴不垂直,∴ x2 ? 4 . ∴直线 BD 的方程可表示为 y ?

y2 ( x ? 4) ,① x2 ? 4

∵抛物线 C 的准线方程为 x ? ?1 ,② 由①,②联立方程组可求得 P 的坐标为 (?1, ? 由(1)可得 y1 y2 ? ?4 , ∴ P 的坐标可化为 (?1,

5 y2 ), x2 ? 4

5 y1 ), 1 ? y12

∴ k AP

5 y1 ? y1 1 ? y12 4y ? ? 2 1 , ?1 ? x1 y1 ? 1
4 y1 ( x ? x1 ) , 1 ? y12

∴直线 AP 的方程为 y ? y1 ?

令 y ? 0 ,可得 x ? x1 ?

y12 ? 1 1 2 y12 ? 1 1 ? y1 ? ? , 4 4 4 4
1 4

∴直线 AP 与 x 轴交于定点 ( , 0) .

【方法 2】直线 AP 与 x 轴交于定点 M ( , 0) . 证明如下: 依题意,直线 BD 与 x 轴不垂直,∴ x2 ? 4 . ∴直线 BD 的方程可表示为 y ?

1 4

y2 ( x ? 4) ,① x2 ? 4

∵抛物线 C 的准线方程为 x ? ?1 ,② 由①,②联立方程组可求得 P 的坐标为 (?1, ?

5 y2 ), x2 ? 4 5 y2 ), x2 ? 4

由①,②联立方程组可求得 P 的坐标为 (?1, ?

由(1)可得 y1 y2 ? ?4 ,∴ y2 ? ?

4 . y1

∴ P 的坐标可化为 (?1,

5 y1 ), 1 ? y12

∴ P, M 两点连线的斜率为 k PM

5 y1 ?0 1 ? y12 4y ? ? 2 1 , 1 y1 ? 1 ?1 ? 4

∴ A, M 两点连线的斜率为 k AM ?

y1 ? 0 4y ? 2 1 , 1 y1 ? 1 x1 ? 4

∴ kPM ? k AM ,∴ P 、 A 、 M 三点共线, 即直线 AP 与 x 轴交于定点 ( , 0) .

1 4

?a ? c ? 3 ? 1 ? ? 9、解:(Ⅰ)由题意得 ?b ? 2 ……………………………………………….1 分 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 解得 a ? 3 , c ? 1 . ……………………………………………………3 分 x2 y 2 ? ? 1 ………………………………………4 分 所以所求椭圆方程为 3 2
(Ⅱ)方法一: 当直线 AB 与 x 轴垂直时, | AB | ? 此时 S?AOB ?

4 3 , 3

2 3 不符合题意故舍掉;…………………………………..5 分 3 当直线 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) , ? x2 y 2 ?1 ? ? 由? 3 消去 y 得: (2 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? (3k 2 ? 6) ? 0 ………6 分 2 ? y ? k ( x ? 1) ?

? ?6 k 2 x ? x ? ? ? 1 2 2 ? 3k 2 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 ? ,………………….…..7 分 2 3 k ? 6 ?x x ? 1 2 ? 2 ? 3k 2 ?
∴ | AB | ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? [k ( x1 ? 1) ? k ( x2 ? 1)]2

? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]

? (1 ? k 2 )[
?

36k 4 12k 2 ? 24 48(k 2 ? 1)2 ? ] ? (2 ? 3k 2 )2 2 ? 3k 2 (2 ? 3k 2 ) 2

4 3(k 2 ? 1) ………………………………………….…………9 分 2 ? 3k 2 |k| 原点 O 到直线的 AB 距离 d ? ,…………………………..…10 分 1? k 2 1 1 |k| 4 3(k 2 ? 1) ∴三角形的面积 S?AOB ? | AB | d ? . ? 2 2 1? k 2 2 ? 3k 2
3 2 得 k 2 ? 2 ,故 k ? ? 2 .………………………………..11 分 4 ∴直线 AB 的方程为 y ? 2( x ? 1) ,或 y ? ? 2( x ? 1) .
由 S?AOB ? 即 2x ? y ? 2 ? 0 , 或 2x ? y ? 2 ? 0 …………………………….12 分

方法二: 由题意知直线 AB 的斜率不为 O ,可设其方程为 ny ? x ? 1 .………….5 分

? ny ? x ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y 2 消去 x 得 (2n ? 3) y ? 4ny ? 4 ? 0 .…………………….6 分 ?1 ? ? 2 ?3 4n ?4 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? , y1 y2 ? .…….7 分 2 2n ? 3 2n 2 ? 3 1 1 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 .…………….….8 分 ∴ S?AOB ? | OF | ? | y1 ? y2 | ? 2 2 9 3 2 2 又 S?AOB ? ,所以 ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ? .…………………….……..9 分 2 4 4n 2 16 9 2 ) ? 2 ? .解得 n ? ? ∴( 2 .………………..…….….11 分 2n ? 3 2n ? 3 2 2 2 2 ∴直线 AB 的方程为 y ? x ? 1 ,或 ? y ? x ?1, 2 2 即: 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,或 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 .………………………..12 分
10、【解析】(Ⅰ)依题意, a ? 2 , 2c ? 2 ,则 c ? 1 …………………1 分

x2 y 2 ? ? 1 .…………………3 分 解得 b ? 3 ,所以椭圆 ? 的标准方程为 4 3
2

(Ⅱ)当直线 l 垂直于 x 轴时,由 ? 解得 x ?

? y ? ?x ? 2 ?3x ? 4 y ? 12
2 2

消去 y 整理得 7 x ? 16 x ? 4 ? 0 ,
2

2 ?2 ? 或 2 ,此时 P ? , 0 ? ,直线 AP 的斜率为 0 ;………………5 分. 7 ?7 ?

当直线 l 不垂直于 x 轴时,设 E ? x1, y1 ? , F ? x2 , y2 ? ,直线 l : y ? kx ? t ( t ? ?2k ),

由?

? y ? kx ? t ?3x ? 4 y ? 12
2 2

2 2 2 ,消去 y 整理得 3 ? 4k x ? 8ktx ? 4t ? 12 ? 0 ,………………6 分

?

?

2 2 2 依题意 ? ? 64k t ? 4 3 ? 4k

?

?? 4t

2

? 12 ? ? 0 ,即 4k 2 ? t 2 ? 3 ? 0 (*),

且 x1 ? x2 ? ?

8kt 4t 2 ? 12 x x ? , ,…………………7 分 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

又 AE ? AF , 所以

??? ? ??? ? 7t 2 ? 4k 2 ? 16kt AE ? AF ? ? x1 ? 2 ?? x2 ? 2 ? ? y1 y2 ? ? x1 ? 2 ?? x2 ? 2 ? ? ? kx1 ? t ?? kx2 ? t ? ? ?0, 3 ? 4k 2
2 2 所以 7t ? 4k ? 16kt ? 0 ,即 ? 7t ? 2k ??t ? 2k ? ? 0 ,解得 t ? ?

2k 满足(*),………………8 分 7

所以 2OP ? OE ? OF ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ? ? ?

??? ?

??? ? ??? ?

8kt 6t ? ? ,故 , 2 2 ? ? 3 ? 4k 3 ? 4k ?

4kt 3t ? ? ,…9 分 P?? , 2 2 ? ? 3 ? 4k 3 ? 4k ?
故直线 AP 的斜率 k AP

3t 2 3t k 1 ,…………10 分 ? 3 ? 4k ?? 2 ? 2 ? 4kt 7 8 k ? 4 kt ? 6 8 k ? 7 ? ?2 8k ? 3 ? 4k 2 k

当 k ? 0 时, 8k ? 当 k ? 0 时, 8k ?

7 14 ? ?4 14 ,此时 ? ? k AP ? 0 ; k 56 7 14 ? 4 14 ,此时 0 ? k AP ? ; k 56

综上,直线 AP 的斜率的取值范围为 ? ?

? ?

14 14 ? , ? .………………………………………12 分 56 56 ?


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