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精编高考数学二轮复习 专题一 三角函数、解三角形与平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质学案

第 1 讲 三角函数的图象与性质
[考情考向分析] 1.以图象为载体,考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查 三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值,重点考查分析、处理问题的能力, 是高考的必考点.

热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式 1.三角函数:设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),则 sin α =y,cos α =x,tan α =yx(x≠0).各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.

2.同角基本关系式:sin2α

+cos2α

=1,scions

α α

=tan

α

???α

≠kπ +π2 ,k∈Z???.

3.诱导公式:在k2π +α ,k∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”.

例 1 (1)已知角 α 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 P(2,1),

则 tan???2α +π4 ???等于(

)

A.-7 B.-17 C.17 D.7

答案 A

解析 由角 α 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 P(2,1),可

得 x=2,y=1,tan

α

y1 =x=2,∴tan



=12-tatnanα2α

14 =1-14=3,

∴tan???2α

+π4

tan 2α
???=1-tan

+tanπ4 2α tanπ4

4 3+1 = 4 =-7. 1-3×1

(2)已知曲线 f(x)=x3-2x2-x 在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为 α ,则 cos2???π2 +α ???-
2cos2α -3sin(2π -α )·cos(π +α )的值为( ) A.85 B.-45 C.43 D.-23 答案 A 解析 由 f(x)=x3-2x2-x 可知 f′(x)=3x2-4x-1,

1

∴tan α =f′(1)=-2,

cos2???π2 +α ???-2cos2α -3sin(2π -α )cos(π +α )

=(-sin α )2-2cos2α -3sin α cos α

=sin2α -2cos2α -3sin α cos α

=sin2α

-2cos2α -3sin sin2α +cos2α

α

cos

α

=tan2αt-an32αta+n 1α -2

=4+56-2=85.

思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等),常常借助三角

函数的定义求解.应用定义时,注意三角函数值仅与终边位置有关,与终边上点的位置无关.

(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号;利用同角三角函数的关系化简过程

要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.

跟踪演练 1 (1)在平面直角坐标系中,若角 α 的终边经过点 P???sin5π3 ,cos5π3 ???,则 sin(π
+α )等于( )

A.-

3 2

B.-12

C.12

D.

3 2

答案 B

解析 由诱导公式可得,

sin53π =sin???2π -π3 ???=-sinπ3 =- 23,

cos53π

=cos???2π

-π3

???=cosπ3

1 =2,

即 P???- 23,21???,
由三角函数的定义可得,sin α =
则 sin(π +α )=-sin α =-12.

1

2

1

???- 23???2+???12???2=2,

(2)已知

sin(3π

+α

)=2sin???3π2

+α

???,则5ssiinn??2ππ-+αα?-?+42scions????π22π+-α α???

等于( ?

)

2

A.12 B.13 C.16 D.-16

答案 D

解析 ∵sin(3π +α )=2sin???3π2 +α ???,
∴-sin α =-2cos α ,即 sin α =2cos α ,

sin?π -α 则5sin?2π +α

?-4sin???π2 +α ???
?+2cos?2π -α

sin ?=5sin

α α

-4cos +2cos

α α

=120ccooss

α α

-4cos +2cos

α α

=-122=-16.

热点二 三角函数的图象及应用

函数 y=Asin(ω x+φ )的图象

(1)“五点法”作图:

设 z=ω x+φ ,令 z=0,π2 ,π ,32π ,2π ,求出 x 的值与相应的 y 的值,描点、连线可得.

(2)图象变换: (先平移后伸缩)y=sin x向―平―左移―?φ―|φ―>0―|?―或个―向单―右位――?长φ―度<→0?y=sin(x+φ ) 横坐――标―变―为纵――原坐―来标―的不――ω变1―?ω――>0→?倍 y=sin(ω x+φ ) 纵―坐――标―变横―为―坐―原标―来不―的―变―A?―A>―0→?倍y=Asin(ω x+φ ).

(先伸缩后平移)y=sin x横坐标――变―纵为―坐原――标来―不的―变ω―1―?ω→>0?倍

y=sin ω x向平左移―?|―φφω―>|―0个?―或单―右―位?→φ长<度0?y=sin(ω x+φ ) 纵―坐―标―变―横―为坐―原标―来―不―的变―A―?A―>→0?倍y=Asin(ω x+φ ).

例 2 (1)已知函数 f(x)=sin???ω x+π3 ???(ω >0)的最小正周期为 π ,为了得到函数 g(x)=cos ω x 的图象,只要将 y=f(x)的图象( )

A.向左平移1π2个单位长度

B.向右平移1π2个单位长度

C.向左平移51π2 个单位长度

3

D.向右平移51π2 个单位长度 答案 A 解析 由题意知,函数 f(x)的最小正周期 T=π ,
所以 ω =2,即 f(x)=sin???2x+π3 ???,g(x)=cos 2x. 把 g(x)=cos 2x 变形得 g(x)=sin???2x+π2 ???=sin???2???x+1π2???+π3 ???,所以只要将 f(x)的图象 向左平移1π2个单位长度,即可得到 g(x)=cos 2x 的图象,故选 A.
(2)函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(ω >0,|φ |<π )的部分图象如图所示,将函数 f(x)的图象向
右平移51π2 个单位长度后得到函数 g(x)的图象,若函数 g(x)在区间???-π6 ,θ ???上的值域为[-
1,2],则 θ =________.

答案

π 3

解析 函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(ω >0,|φ |<π )的部分图象如题图所示,

则 A=2,T2=1132π -71π2 =π2 ,解得 T=π ,

所以 ω =2,即 f(x)=2sin(2x+φ ),

当 x=172π ,f ???71π2 ???=2sin???2×71π2 +φ ???=2,

∴7π6 +φ =π2 +2kπ ,k∈Z,∴φ =-23π +2kπ ,k∈Z,

又|φ |<π ,解得 φ =-2π3 ,

所以 f(x)=2sin???2x-23π ???,

因为函数 f(x)的图象向右平移51π2 个单位长度后得到函数 g(x)的图象,

所以 g(x)=2sin???2???x-51π2 ???-23π ???=2cos 2x,

若函数 g(x)在区间???-π6 ,θ ???上的值域为[-1,2],

4

则 2cos 2θ =-1,则 θ =kπ +π3 ,k∈Z 或 θ =kπ +23π ,k∈Z, 所以 θ =π3 . 思维升华 (1)已知函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的图象求解析式时,常采用待定系数 法,由图中的最高点、最低点或特殊点求 A;由函数的周期确定 ω ;确定 φ 常根据“五点法” 中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的 位置. (2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变 量 x 而言的,如果 x 的系数不是 1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度数和方向. 跟踪演练 2 (1)若将函数 y=cos ω x(ω >0)的图象向右平移π3 个单位长度后与函数 y=sin ω x 的图象重合,则 ω 的最小值为( ) A.12 B.32 C.52 D.72 答案 B 解析 将函数 y=cos ω x(ω >0)的图象向右平移π3 个单位长度后得到函数的解析式为 y=cos ω ???x-π3 ???=cos???ω x-ω3π ???. ∵平移后得到的函数图象与函数 y=sin ω x 的图象重合, ∴-ω3π =2kπ -π2 (k∈Z),即 ω =-6k+32(k∈Z). ∴当 k=0 时,ω =32. (2) 函 数 f(x) = Asin(ω x + φ ) ???A>0,ω >0,|φ |<π2 ??? 的 部 分 图 象 如 图 所 示 , 则 ω = ________;函数 f(x)在区间???π3 ,π ???上的零点为________.

答案

2

7π 12

5

解析 从图中可以发现,相邻的两个最高点和最低点的横坐标分别为π3 ,-π6 ,从而求得函

数的最小正周期为 T=2???π3 -???-π6 ??????=π ,根据 T=2ωπ 可求得 ω =2.再结合题中的条件可 以求得函数的解析式为 f(x)=2sin???2x-π6 ???,令 2x-π6 =kπ (k∈Z),解得 x=k2π +π12 (k∈Z),结合所给的区间,整理得出 x=71π2 .

热点三 三角函数的性质 1.三角函数的单调区间

y = sin x 的 单 调 递 增 区 间 是 ???2kπ -π2 ,2kπ +π2 ??? (k∈Z) , 单 调 递 减 区 间 是 ???2kπ +π2 ,2kπ +32π ???(k∈Z); y=cos x 的单调递增区间是[2kπ -π ,2kπ ](k∈Z),单调递减区间是[2kπ ,2kπ + π ](k∈Z);

y=tan x 的单调递增区间是???kπ -π2 ,kπ +π2 ???(k∈Z). 2.y=Asin(ω x+φ ),当 φ =kπ (k∈Z)时为奇函数;

当 φ =kπ +π2 (k∈Z)时为偶函数;

对称轴方程可由 ω x+φ =kπ +π2 (k∈Z)求得.

y=Acos(ω x+φ ),当 φ =kπ +π2 (k∈Z)时为奇函数;

当 φ =kπ (k∈Z)时为偶函数; 对称轴方程可由 ω x+φ =kπ (k∈Z)求得. y=Atan(ω x+φ ),当 φ =kπ (k∈Z)时为奇函数. 例 3 (2017·浙江)已知函数 f(x)=sin2x-cos2x-2 3sin xcos x(x∈R).

(1)求 f ???23π ???的值; (2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间.



(1)由

sin23π



23,cos23π

1 =-2,得

f ???23π ???=??? 23???2-???-12???2-2 3× 23×???-12???=2. (2)由 cos 2x=cos2x-sin2x 与 sin 2x=2sin xcos x 得,

6

f(x)=-cos 2x- 3sin 2x=-2sin???2x+π6 ???.

所以 f(x)的最小正周期是 π .

由正弦函数的性质得,

π 2

+2kπ

≤2x+π6

≤3π2

+2kπ

,k∈Z,

解得π6 +kπ ≤x≤23π +kπ ,k∈Z.

所以 f(x)的单调递增区间为???π6 +kπ ,2π3 +kπ ???(k∈Z). 思维升华 函数 y=Asin(ω x+φ )的性质及应用类题目的求解思路 第一步:先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成 y=Asin(ω x+φ )+B 的
形式; 第二步:把“ω x+φ ”视为一个整体,借助复合函数性质求 y=Asin(ω x+φ )+B 的单调性 及奇偶性、最值、对称性等问题. 跟踪演练 3 (2018·宁波模拟)已知函数 f(x)=2sin xcos x+1-2sin2 x. (1)求 f(x)的最小正周期;

(2)求 f(x)在区间???-π3 ,π4 ???上的最大值与最小值.

解 (1)因为 f(x)=sin 2x+cos 2x= 2sin???2x+π4 ???, 所以 f(x)的最小正周期为 π .

(2)因为-π3 ≤x≤π4 ,

所以-51π2 ≤2x+π4 ≤34π .

当 2x+π4 =π2 ,即 x=π8 时,f(x)取得最大值 2;

当 2x+π4 =-51π2 ,即 x=-π3 时,

f ???-π3 ???=sin???-2π3 ???+cos???-2π3 ???=- 32+1,

即 f(x)的最小值为- 32+1.

真题体验
7

1.(2018·全国Ⅰ)已知函数 f(x)=2sin x+sin 2x,则 f(x)的最小值是________.

答案 -3 2 3 解析 f′(x)=2cos x+2cos 2x=2cos x+2(2cos2x-1) =2(2cos2x+cos x-1)=2(2cos x-1)(cos x+1). ∵cos x+1≥0,

∴当-1≤cos x<12时,f′(x)<0,f(x)单调递减;

当12<cos x≤1 时,f′(x)>0,f(x)单调递增,

∴当 cos x=12时,f(x)有最小值.

又 f(x)=2sin x+sin 2x=2sin x(1+cos x),

∴当 sin x=- 23时,f(x)有最小值,



f(x)min=2×???-

23???×???1+12???=-3

2

3 .

2.(2018·全国Ⅱ改编 )若 f(x)=cos x-sin x 在[-a,a]上是减函数,则 a 的最大值是

________.

答案

π 4

解析 f(x)=cos x-sin x

=- 2???sin x· 22-cos x· 22???

=- 2sin???x-π4 ???, 当 x∈???-π4 ,34π ???,即 x-π4 ∈???-π2 ,π2 ???时,

y=sin???x-π4 ???单调递增,

f(x)=- 2sin???x-π4 ???单调递减. ∵函数 f(x)在[-a,a]上是减函数, ∴[-a,a]? ???-π4 ,3π4 ???,

∴0<a≤π4 ,∴a 的最大值为π4 .

8

3.(2018·天津改编)将函数 y=sin???2x+π5 ???的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应
的函数________.(填序号)

①在区间???34π ,5π4 ???上单调递增; ②在区间???34π ,π ???上单调递减; ③在区间???54π ,3π2 ???上单调递增; ④在区间???32π ,2π ???上单调递减.
答案 ①

解析

函数

y



sin

???2x+π5

???















π 10























y=

sin???2???x-1π0???+π5 ???=sin 2x,则函数 y=sin 2x 的一个单调递增区间为???34π ,5π4 ???,一个单

调递减区间为???54π ,7π4 ???.由此可判断①正确.

4.(2018·全国Ⅲ)函数 f(x)=cos???3x+π6 ???在[0,π ]上的零点个数为______.
答案 3

解析 由题意可知,当 3x+π6 =kπ +π2 (k∈Z)时,

f(x)=cos???3x+π6 ???=0. ∵x∈[0,π ], ∴3x+π6 ∈???π6 ,196π ???, ∴当 3x+π6 的取值为π2 ,32π ,52π 时,f(x)=0,

即函数 f(x)=cos???3x+π6 ???在[0,π ]上的零点个数为 3.
押题预测

1.已知函数 f(x)=sin???ω x+π5 ???(x∈R,ω >0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2 .为了 得到函数 g(x)=cos ω x 的图象,只要将 y=f(x)的图象( )
A.向左平移32π0 个单位长度

9

B.向右平移32π0 个单位长度 C.向左平移π5 个单位长度 D.向右平移π5 个单位长度 押题依据 本题结合函数图象的性质确定函数解析式,然后考查图象的平移,很有代表性, 考生应熟练掌握图象平移规则,防止出错. 答案 A 解析 由于函数 f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2 ,则其最小正周期 T=π ,
所以 ω =2Tπ =2,即 f(x)=sin???2x+π5 ???,g(x)=cos 2x. 把 g(x)=cos 2x 变形得 g(x)=sin???2x+π2 ???=sin???2???x+32π0 ???+π5 ???,所以要得到函数 g(x)的 图象,只要将 f(x)的图象向左平移32π0 个单位长度即可.故选 A. 2.如图,函数 f(x)=Asin(ω x+φ )???其中A>0,ω >0,|φ |≤π2 ??? 与坐标轴的三个交点 P,Q, R 满足 P(2,0),∠PQR=π4 ,M 为 QR 的中点,PM=2 5,则 A 的值为( )
A.83 3 B.136 3 C.8 D.16 押题依据 由三角函数的图象求解析式是高考的热点,本题结合平面几何知识求 A,考查数 形结合思想. 答案 B 解析 由题意设 Q(a,0),R(0,-a)(a>0).
则 M???a2,-a2???,由两点间距离公式,得 PM= ???2-2a???2+???a2???2=2 5, 解得 a1=8,a2=-4(舍去),
10

T 由此得2=8-2=6,即

T=12,故

ω

=π6



由 P(2,0)得 φ =-π3 ,

代入 f(x)=Asin(ω x+φ ),

得 f(x)=Asin???π6 x-π3 ???,

从而 f(0)=Asin???-π3 ???=-8, 得 A=136 3. 3.已知函数 f(x)=cos4x-2sin xcos x-sin4x.

(1)若 x 是某三角形的一个内角,且 f(x)=- 22,求角 x 的大小;

(2)当 x∈???0,π2 ???时,求 f(x)的最小值及取得最小值时 x 的值.
押题依据 三角函数解答题的第(1)问的常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程(或

对称中心)等,这些都可以由三角函数解析式直接得到,因此此类命题的基本方式是利用三角 恒等变换得到函数的解析式.第(2)问的常见形式是求解函数的值域(或最值),特别是指定区 间上的值域(或最值),是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式. 解 (1)∵f(x)=cos4x-2sin xcos x-sin4x =(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin 2x =cos 2x-sin 2x

= 2??? 22cos 2x- 22sin 2x???

= 2cos???2x+π4 ???,

∴f(x)= 2cos???2x+π4 ???=- 22, 可得 cos???2x+π4 ???=-12. 由题意可得 x∈(0,π ), ∴2x+π4 ∈???π4 ,9π4 ???, 可得 2x+π4 =23π 或4π3 ,

∴x=52π4 或132π4 .

11

(2)∵x∈???0,π2 ???,∴2x+π4 ∈???π4 ,5π4 ???, ∴cos???2x+π4 ???∈???-1, 22???, ∴f(x)= 2cos???2x+π4 ???∈[- 2,1]. ∴f(x)的最小值为- 2,此时 2x+π4 =π , 即 x=3π8 .

A 组 专题通关 1.函数 y=sin x(cos x-sin x),x∈R 的值域是( )

A.???-12,32???

B.???1-2

2 1+ ,2

2???

C.???-32,12???

D.???-1-2 2,-1+2 2???

答案 D

解析 y=sin xcos x-sin2x=12sin 2x-1-c2os 2x

=-12+ 22sin???2x+π4 ???∈???-1-2 2,-1+2 2???,
故选 D.

2.(2018·浙江金华十校联考)已知函数 f(x)=sin???ω x+π3 ???(x∈R,ω >0)与 g(x)=cos(2x +φ )的对称轴完全相同.为了得到 h(x)=cos???ω x+π3 ???的图象,只需将 y=f(x)的图象
()

A.向左平移π4 个单位长度

B.向右平移π4 个单位长度

C.向左平移π2 个单位长度

D.向右平移π2 个单位长度

12

答案 A

解析



ω

x+π3

=π2

+k1π

,k1∈Z

得函数

f(x)的对称轴为

x=6πω

+k1π ω

,k1∈Z,由

2x+

φ =k2π ,k2∈Z 得函数 g(x)的对称轴为 x=-φ2 +k22π ,k2∈Z.因为两函数的对称轴完全相

??6πω =-φ2 ,









???ω1

1 =2,

??ω =2,





? ??φ

=-π6



则 f(x) = sin ???2x+π3 ??? , h(x) =

cos???2x+π3 ???,将函数 f(x)=sin???2x+π3 ???的图象向左平移π4 个单位长度后得到的函数解析式 为 y=sin???2???x+π4 ???+π3 ???=sin???2x+π2 +π3 ???=cos???2x+π3 ???,故选 A. 3.(2018·浙江省金丽衢十二校联考)函数 f(x)=Asin(ω x+φ )???A>0,ω >0,|φ |<π2 ???的图
象如图所示,则 φ 等于( )

A.-π3

B.-π6

C.π6

D.π3

答案 B

解析 由题图易得函数 f(x)的最小正周期为2ωπ =2???π3 -???-π6 ??????,解得 ω =2,则 f(x)= Asin(2x+φ ),又因为当 x=π3 时,f(x)取得最大值,所以 2×π3 +φ =π2 +2kπ ,k∈Z,

解得 φ =-π6 +2kπ ,k∈Z,又因为|φ |<π2 ,所以 φ =-π6 ,故选 B.

4.(2018·浙江教育绿色评价联盟适应性考试)设函数 f(x)=sin2x+acos x+b 在???0,π2 ???上 的最大值是 M,最小值是 m,则 M-m( ) A.与 a 有关,且与 b 有关 B.与 a 有关,且与 b 无关 C.与 a 无关,且与 b 无关

13

D.与 a 无关,且与 b 有关 答案 B 解析 令 t=cos x,则 g(t)=-t2+at+b+1(0≤t≤1),由题意得,①当a2<0,即 a<0 时,

g(0)为最大值,g(1)为最小值,此时 M-m=1-a;②当a2>1,即 a>2 时,g(0)为最小值,g(1)

为最大值,此时 M-m=a-1; ③当12≤a2≤1,即 1≤a≤2 时,M 取 g???a2???,m 取 g(0),此时 M -m=a42;④当 0≤a2<12,即 0≤a<1 时,M 取 g???a2???,m 取 g(1),此时 M-m=a42+1-a.综上所述, M-m 与 a 有关,但与 b 无关,故选 B.

5.函数 f(x)= 3sin ω x+cos ω x(ω >0)图象的相邻对称轴之间的距离为π2 ,则下列结论

正确的是( ) A.f(x)的最大值为 1

B.f(x)的图象关于直线 x=51π2 对称

C.f ???x+π2 ???的一个零点为 x=-π3

D.f(x)在区间???π3 ,π2 ???上单调递减
答案 D

解析 因为 f(x)= 3sin ω x+cos ω x=2sin???ω x+π6 ???的相邻的对称轴之间的距离为π2 ,

所以2π ω

=π

,得

ω

=2,即

f(x)=2sin???2x+π6

???,

所以 f(x)的最大值为 2,所以 A 错误;

当 x=51π2 时,2x+π6 =π ,所以 f ???51π2 ???=0, 所以 x=51π2 不是函数图象的对称轴,所以 B 错误;

由 f ???x+π2 ???=2sin???2???x+π2 ???+π6 ??? =-2sin???2x+π6 ???,

当 x=-π3 时,f ???x+π2 ???=2≠0,

14

所以 x=-π3 不是函数的一个零点,所以 C 错误;

当 x∈???π3 ,π2 ???时,2x+π6 ∈???56π ,7π6 ???,f(x)单调递减,所以 D 正确.
6.(2018·浙江省金华十校模拟)在平面直角坐标系中,角 α 的顶点与坐标原点重合,始边
与 x 轴的非负半轴重合,终边过点 P(- 3,-1),则 tan α =________,cos α +sin???α -π2 ???
=________.

答案

3 3

0

解析 ∵角 α 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边过点 P(- 3,- 1),

∴x=- 3,y=-1,

∴tan

α

y =x=

33,

cos α +sin???α -π2 ???=cos α -cos α =0.
7.已知 tan α =2,则sin22αsi-n 24αcos22α =________.

答案

1 12

解析

∵tan



=12-tatnanα2α

4 =-3,

∴sin22αsi- n 24αcos22α =s2isni22nα2- α 2ccooss222αα

16
=t2atna22nα2-α 2=2×9???--243???=112.

8.(2017·全国Ⅱ)函数 f(x)=sin2x+ 3cos x-34???x∈???0,π2 ??????的最大值是________.

答案 1

解析 f(x)=1-cos2x+ 3cos x-34

=-???cos x- 23???2+1. ∵x∈???0,π2 ???,∴cos x∈[0,1],

15

∴当 cos x= 23时,f(x)取得最大值,最大值为 1.

9.设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x-π )=f(x)-sin x,当-π <x≤0 时,f(x)=0,则

f

???2

018π 3

???=________.

答案

3 2

解析 ∵f(x-π )=f(x)-sin x,

∴f(x)=f(x-π )+sin x,

则 f(x+π )=f(x)+sin(x+π )=f(x)-sin x.

∴f(x+π )=f(x-π ),即 f(x+2π )=f(x).

∴函数 f(x)的周期为 2π ,

∴f

???2

018π 3

???=f

???672π +23π ???=f

???2π3 ???

=f ???-π3 ???+sin23π .

∵当-π <x≤0 时,f(x)=0,

∴f

???2

018π 3

???=0+sin23π



23.

10.已知向量 m=( 3sin ω x,1),n=(cos ω x,cos2ω x+1),设函数 f(x)=m·n+b.

(1)若函数 f(x)的图象关于直线 x=π6 对称,且当 ω ∈[0,3]时,求函数 f(x)的单调递增区间;

(2)在(1)的条件下,当 x∈???0,71π2 ???时,函数 f(x)有且只有一个零点,求实数 b 的取值范围. 解 m=( 3sin ω x,1),n=(cos ω x,cos2ω x+1), f(x)=m·n+b= 3sin ω xcos ω x+cos2ω x+1+b



3 2 sin

2ω x+12cos

2ω x+32+b

=sin???2ω x+π6 ???+32+b.

(1)∵函数 f(x)的图象关于直线 x=π6 对称,

∴2ω ·π6 +π6 =kπ +π2 (k∈Z),

解得 ω =3k+1(k∈Z), ∵ω ∈[0,3],∴ω =1,

16

∴f(x)=sin???2x+π6 ???+32+b,

由 2kπ -π2 ≤2x+π6 ≤2kπ +π2 (k∈Z),

解得 kπ -π3 ≤x≤kπ +π6 (k∈Z),

∴函数 f(x)的单调递增区间为???kπ -π3 ,kπ +π6 ???(k∈Z). (2)由(1)知 f(x)=sin???2x+π6 ???+32+b, ∵x∈???0,71π2 ???,∴2x+π6 ∈???π6 ,43π ???,

∴当 2x+π6 ∈???π6 ,π2 ???,即 x∈???0,π6 ???时,函数 f(x)单调递增; 当 2x+π6 ∈???π2 ,43π ???,即 x∈???π6 ,71π2 ???时,函数 f(x)单调递减.

又 f(0)=f ???π3 ???, ∴当 f ???π3 ???>0≥f ???71π2 ???或 f ???π6 ???=0 时,函数 f(x)有且只有一个零点, 即 sin4π3 ≤-b-32<sin56π 或 1+32+b=0,

∴b 的取值范围为???-2, 32-3???∪???-52???.
B 组 能力提高 11.如图,单位圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A,点 C,B 在圆 O 上,且点 C 位于第一象限,

点 B 的坐标为???45,-35???,∠AOC=α ,若 BC=1,则

3cos2α2 -sin

α 2

cos

α 2



3 2 的值为(

)

A.45 B.35 C.-45 D.-35 答案 B
解析 ∵点 B 的坐标为???45,-35???,设∠AOB=θ ,
17

∴sin(2π -θ )=-35,cos(2π -θ )=45,

即 sin θ =35,cos θ =45,

∵∠AOC=α ,BC=1,∴θ +α =π3 ,

则 α =π3 -θ ,



3cos2α2 -sin

α 2

cos

α 2



23=

23cos

α

-12sin

α

=cos???α +π6 ???=cos???π2 -θ ???=sin θ =35.

12.已知函数 f(x)=2sin(ω x+φ )+1???ω >0,|φ |≤π2 ???,其图象与直线 y=3 相邻两个交

点的距离为 π ,若 f(x)>2 对任意 x∈???π24,π3 ???恒成立,则 φ 的取值范围是(

)

A.???π6 ,π2 ???

B.???π6 ,π3 ???

C.???π12,π3 ???

D.???1π2,π6 ???

答案 D

解析 因为函数 f(x)=2sin(ω x+φ )+1???ω >0,|φ |≤π2 ???,其图象与直线 y=3 相邻两个 交点的距离为 π ,所以函数的周期为 T=π ,ω =2, 当 x∈???π24,π3 ???时,2x+φ ∈???π12+φ ,2π3 +φ ???,
且|φ |≤π2 ,

由 f(x)>2 知,sin(2x+φ )>12,

?? π 6

≤1π2+φ



所以???2π3 +φ ≤56π ,

解得π12≤φ ≤π6 .

13.已知 2sin α tan α =3,且 0<α <π . (1)求 α 的值;
(2)求函数 f(x)=4cos xcos(x-α )在???0,π4 ???的值域.

18

解 (1)由已知得 2sin2α =3cos α , 则 2cos2α +3cos α -2=0, 所以 cos α =12或 cos α =-2(舍), 又因为 0<α <π ,所以 α =π3 .
(2)由(1)得 f(x)=4cos xcos???x-π3 ??? =4cos x???12cos x+ 23sin x??? =2cos2x+2 3sin xcos x =1+cos 2x+ 3sin 2x =1+2sin???2x+π6 ???, 由 0≤x≤π4 ,得π6 ≤2x+π6 ≤23π , 所以当 x=0 时,f(x)取得最小值 f(0)=2, 当 x=π6 时,f(x)取得最大值 f???π6 ???=3, 所以函数 f(x)在???0,π4 ???上的值域为[2,3]. 14.已知 a>0,函数 f(x)=-2asin???2x+π6 ???+2a+b,当 x∈???0,π2 ???时,-5≤f(x)≤1. (1)求常数 a,b 的值; (2)设 g(x)=f ???x+π2 ???且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. 解 (1)∵x∈???0,π2 ???, ∴2x+π6 ∈???π6 ,7π6 ???. ∴sin???2x+π6 ???∈???-12,1???, ∴-2asin???2x+π6 ???∈[-2a,a]. ∴f(x)∈[b,3a+b], 又∵-5≤f(x)≤1, ∴b=-5,3a+b=1, 因此 a=2,b=-5.
19

(2)由(1)得 f(x)=-4sin???2x+π6 ???-1, ∴g(x)=f ???x+π2 ???=-4sin???2x+76π ???-1 =4sin???2x+π6 ???-1. 又由 lg g(x)>0,得 g(x)>1, ∴4sin???2x+π6 ???-1>1, ∴sin???2x+π6 ???>12, ∴2kπ +π6 <2x+π6 <2kπ +56π ,k∈Z, 其中当 2kπ +π6 <2x+π6 ≤2kπ +π2 ,k∈Z, 即 kπ <x≤kπ +π6 ,k∈Z 时,g(x)单调递增; 当 2kπ +π2 <2x+π6 <2kπ +56π ,k∈Z, 即 kπ +π6 <x<kπ +π3 ,k∈Z 时,g(x)单调递减. ∴g(x)的单调递增区间为???kπ ,kπ +π6 ???,k∈Z, 单调递减区间为??kπ +π6 ,kπ +π3 ??,k∈Z.

世纪的一代新人,学校教育必须面向全体生特别是面向那些残疾学生,并使每个生都得到充分和谐的发展,随班就读工作小结。

为深入贯彻执行《中华人民共和国义务教育法》和《中华人民共国残疾保障法》,在我校开展随班就读工作它既有利于普通儿童少年理解、帮助残疾儿童少年,有利于残年在普通学校环境中受到应有的发展,使特殊教育和普通有机结合,互相渗透共同提高。使特殊学生在德、智体美劳等方面得到发展,为今后自立、平等地参与社会生活打下基础。

一、教师是搞好随班就读的主要力量。我校“随班就读”工作,是让轻度残疾和学习困难儿童在普通班中与同龄儿童一起接受义务教育,并提供必要的个别帮助。担任“随班就读”工作的老师,工责任心强热爱学生,对这些学付出了更多的爱心。制定个别化教案,在课堂学过程中对学生多启发鼓励,进行个别辅导,经常与家长取得联系……

二、领导高度重视,成立了“随班就读”领导小组,配备了专门的特教老师积极、稳妥地开展随班就读工作,并将该工作列入议事日程,逐步健全和完善工作规范,总结《随班就读小结》。

我在银行的工作时出纳员,说白了就是做好每一笔经济业务的收付工作,保证合理、法正确性。编制现金和银行存款日报表。这些工作我一直以来做的都很好,我负责账目从来没有出现过任何一点死账、坏。

自年初工作以来,在信用社领导的关心及全体同志的帮助下,我认真学习业务知识和业务技能,积极主动的履行工作职责,较好的完成了本年度工作任务,在思想觉悟、业素质操作技能、优质服务等方面都有了一定的提高。现讲本年度工作总结

1、精诚团结,为提高经营效益尽心力。一年来,我与同事们能搞好团结服从领导的安排,积极主动做好其他工作,为全社经营目标的顺利完成而同心德,尽力。

(1)勤恳的完成领导交办其他任务,除做好本职工作外,我还按照领导的安排做好其他工作,如每天提前30分钟上班打扫卫生,把营业室的物品摆放整齐,使环境干净舒适为客户创造一流的服务场所。从而确保各项任务的顺利完成。

(2)千方百计拉存款,我经常利用业余时间走亲串朋动

二、努力组织财政收入,确保完成任务。在抓税收入中,本人认真贯彻落实区委、政府对财工作的精神,紧围绕以“财税增收为中心”,深入村屯征收耕地税、特产等,同时积极配合税务部门组织收入,在全体财税干部及本人共同努力下,我乡完满成了上级下达的收入任务。

三、积极深入开展税费改革。今年是我市全面实施农村税费改革的第一年,费改革是我市今年财政工作的一项重点工作,它直接关系到广大农民群众的切身利益。党中央对此项工作都非常重视。在税费改革工作中,本人能按照上级部门要求,认真开展工作:在税改开始阶段,大力宣传农村税费改革政策,使民群众了解到农村税费改革的根本目和意义,为税费改革顺利开展打下群众基础;在税改实施阶段,本人认真核实二轮土地承包面积、计税申报核减面积,依据有关政策计算出农户新的业税任务,对有关数据进行公示,取得农户签字认可并对有关资料进行归档保存。在本人及乡全体税改成员的努力下,我改工作取得了很好成绩。

四、执行农业税新政策,全力投入夏征工作。今年是我市按照税费改革后新的农业税政策征收农业的第一年,夏工作任务较艰巨,本人能深入村屯利用宣传车等方式,结合税改政策大力宣传,发动群众涌跃交纳农业税,经过一个月的努力我乡农业税入库率达到了以上。顺利完成夏征任务。

五、优化支出结构,加强预算外资金管理。在财力紧张的情况下,本人根据乡实际情况,合理安排各项支出量入为出,做到压缩一般保证重点确保了全乡职工资的足额发放和机关正常运转,同时对各单位的预算外资金纳入财政专户管理,进行有效监督,杜绝乱开支现象。

在今年的工作中,虽然取得了一些成绩但还存在一些不足之处,今后的工作中,需要进一改:工作上应更积极主动,进一步提高效率;对财务集中核算应进一步加强管理,提高业务水平。

三、学校尽可能地提供适合于他们发展的教育环境,让特殊学生愉快地接受符合自身发展需求的教育,学到一定科学文化知识和基本劳动技能,为他们今后能真正自立、平等地参与社会生活,成为社会主义事业的建设者和接班人奠定基础。

四、学校设立了专门的特教老师,指导本校随班就读工作的开展,特教老师不定期到有随班就读学生的级听课,直接与学生谈话,班主任、课老师探讨随班就读的课堂策略、读的教育补偿等问题。

五、对教师进行培训,要求教师适应新的。随着教育的发展,对特殊师的培养、提出了新需求,也要普通教师具备必要的特殊育知识,为此,学校挑选出一些教师进行特殊教育的培训,使师思想政治、职业道德教育学能力科研能力在原有的基础上了进一步的提高。并在学校中开展特殊儿童和残疾人的全纳性教育。





























六、在学校教育中,要求师热情关心学生爱护学生,尤其对特殊更要关心、爱护,不能歧视特殊学生要善于发现学生的优点和长处,鼓励克服困难,取得进步。

































七、加强了“随班就读”工作的管理。由校长主管,德育主任专年级组长监,具体落实到特教专管员、班主任、任课老师的管理形式,加强了心咨询室、资源教的管理和运用,每周安排两次对随班生进行







X

X





















































高 一 顺 利 结 束 , 现 在 面 对 着 班 上 5 6 张 熟 悉 的 面 孔 , 心 中 坦 然 而 踏 实 , 我 实 现 了 自 己 对 高 一 年 级 的 基 本 预 期 。 不 过 , 因 为 是 第 一 次 当 高 中 的 班 主 任 , 在 工 作 中 也 因 为 缺 乏 经 验 , 少 了 一 些 从 容

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