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【竞赛及提前招生】2014年重点中学提前招生数学试卷


2014 年初三保送生考试数学试题
班级_____________ 姓名______________ 考号_________ ………………………密……………………………封…………………………………线…………………………………………………
一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1.(-2)2011+(-2)2010 的值是( ) 2011 2011 2010 (A)2 (B)-2 (C)2 (D)-22010 2.已知直角三角形的周长为 14,斜边上的中线长为 3,则直角三角形的面积为 ( ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 3.如图,在矩形 ABCD 中,BC=8,AB=6,经过点 B 和点 D 的两个动圆均与 AC 相切,且与 AB、 BC、AD、DC 分别交于点 G、H、E、F,则 EF+GH 的最小值是() (A)6(B)8 (C)9.6 (D)10 4. 已知 a, b, c, d 是互不相同的整数, 且 a ? b ? c ? d ? 21 , 则符合条件的整数 a, b, c, d 共有 ()
2 2 2 2

组 (A)2 组(B)4 组(C)8 组(D)16 组 5. 如图为手的示意图, 大拇指、 食指、 中指、 无名指、 小指分别标记为字母 A、 B 、 C 、 D 、 E . 请 你 按 图 中 箭 头 所 指 方 向 ( 即 A?B?C?D?E?D?C?B?A?B?C?…的方式)从 A 开始数连续的正整 数 1,2,3,4…,当数到 2011 时,对应的手指为() (A)食指(B)中指 (C)无名指(D)小指 6.从 2, 3, 4, 5 这四个数中, 任取两个数 p 和 q ( p ? q ), 构成函数 y ? px ? 2 和 y ? x ? q ,若两个函数图象的交点在直线 x =2 的左侧,则这样的有序数组( p, q )共有( A、10 组 B、6 组 C、5 组 7、给出下列命题: ①一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体不可能是三棱柱。 ②若 a>0,b>0,a+b=2,则不等式 a + b ≤ 2 对一切满足条件的 a,b 恒成立。 ③函数 y ? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 3 x ? 3 ? 4 x ? 4 的最小值是 8。 ④已知函数 f(x)=x +λ x,p、q、r 为⊿ABC 的三边,且 p﹤q﹤r,若对所有的正整数 p、q、r 都 满足 f(p)﹤f(q)﹤f(r) ,则 λ 的取值范围是 λ ﹥-3。其中真命题的个数有() (A)1 个 (B)2 个 (C) 3 个 (D)4 个 8、如图,在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中,点 A、B、E 在同一直线上, P 是线段 DF 的中点, 连结 PG, PC。 若∠ABC=∠BEF =60°, 则 () A. 2 C. B.
2

)

D、4 组

PG ? PC

3
D.

2 2

3 3

第 8 题图

9.一个三角形的边长分别为 a, a, b ,另一个三角形的边长分别为 b, b, a ,其中 a ? b ,若两个三角形
初三数学试卷共 7 页第 1 页

的最小内角相等,则

a 的值等于() b

A、

3 ?1 5 ?1 B、 C、 3 ? 2 D、 5 ? 2 2 2 2 2

10.已知△ABC 中,BC= a,AC=b,AB=c,且 2b=a+c,延长 CA 到 D,使 AD=AB 连结 BD,则 tan 1 ∠BAC ? tan 1 ∠BCA 的值为() 2 2 (A)

1 1 3 4 (B) (C) (D) 2 3 4 5

二、填空题(每小题 4 分,共 28 分) 11.从数字 1,2,3,4,5 中任取 2 个数字组成没有重复数字的两位数,则这个两位数大于 40 的概率 是__________. 12.要使关于 x 的方程 x ? 1 ? x ?
x?2 x ?1 m 的解是负数, 2 x ? x?2
B A D E F G C

则 m 的取值范围是________________. . 13.如图,平行四边形 ABCD 中,点 E 为 AB 边的中点, 点 F 为 BC 边的三等分点,连结 AF、DE 相交于点 G,则 14.直线 y=-

AG 的值是_____________. FG

4 x+8 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B,M 是 OB 上一点,若将△ABM 沿 AM 折 3

叠,点 B 恰好落在 x 轴上的点 C 处,则直线 AM 的解析式为。 15.已知:△ABC 中,∠A=2∠B,且三角形较大的两边长为 5,6,设符合条件的三角形的另一边长 为 m ,则 m 的最大值为__________________________. 16、.如图,△ABC 的面积为1,点D、G、E 和F 分别在边AB、AC、BC 上,BD<DA,DG∥BC,DE∥AC,GF∥AB.则梯形DEFG 面积的最大 可能值为. 17. 若二次函数 y ? x ? (a ? 17 ) x ? 38 ? a 与反比例函数 y ?
2

56 的交点 x

是整点(横坐标和纵坐标都是整数的点) ,则正整数 a 的值是____________________. 三、解答题(第 18 题 10 分,第 19 题 9 分,第 20 题 12 分,第 21 题 14 分, 第 22 题 7 分,共 52 分) 18. (12 分)对于二次函数 y ? ax ? bx ? c ,如果当 x 取任意整数时,函数值 y 都是整数,那么我们
2

把该函数的图象叫做整点抛物线(例如: y ? x ? 2 x ? 2 ) .
2

(1)请你写出一个二次项系数的绝对值小于 1 的整点抛物线的解析式. (不必证明) (2)请探索:是否存在二次项系数的绝对值小于 解析式;若不存在,请说明理由.

1 的整点抛物线?若存在,请写出其中一条抛物线的 2

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19.点 D、E、F 分别是△ABC 的边 AB、BC、CA 的中点. (1)如图 1,以 BD、BE 为边分别作正△BMD 和正△BEN,连结 MF、FN、MN. 求证:△FMN 是等边三角形. (2)如图 2,以 BD、BE 为边分别作正方形 BPMD 和正方形 BQNE,连结 MF、NF、MN,则∠MFN 的度数是_______________. (直接写出结论,不必说明理由) (3)以 BD、BE 为边分别作正 n 边形,设两个正 n 边形与点 D、E 相邻的顶点分别是 M、N(点 M、 N 与点 B 是不同的点) , 连结 MF、 NF、 MN 得到△FMN, 则∠MFN 的度数是_________________ (直接写出结论,结果用含 n 的代数式表示,不必说明理由).
M

M
A D F C B E N

P Q

A

D F

B E C

N

20.如图,已知动圆A始终经过定点B(0,2) ,圆心A在抛物线 y ? 上截得的弦(点M在N左侧) .

1 2 x 上运动,MN为⊙A在 x 轴 4

(1)当A( 2 2 ,a)时,求a的值,并计算此时⊙A的半径与弦MN的长; (2)当⊙A的圆心A运动时,判断弦MN的长度是否发生变化.若改变,举例说明;若不变,说明 理由; (3)连结BM,BN,当⊿OBM与⊿OBN相似时,求点M的坐标.

第 20 题图

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21.如图,在 Rt?ABC 中,?C ? 90 , BC ? 2 , AC ? x ,点 F 在边 AB 上,点 G, H 在边 BC 上,
?

四边形 EFGH 是一个边长为 y 的正方形,且 AE ? AC . (1) 求 y 关于 x 的函数解析式. (2) 当 x 为何值时, y 取到最大值?并求出 y 的最大值.

A

F E C H G B

22.已知:A,B,C,a,b,c是正数,且A+a=B+b=C+c=1. 求证:aB+bC+cA<1.

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2012 初三保送生考试数学试题参考答案及评分标准
一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1.D 2.B 3.C 4.C 7.A 8.B 9.A 10.B 二、填空题(每小题 4 分,共 28 分) 11. 5.B 6.C

4 5

12. m ? ?1且m ? 3

13.

3 4

14. y ? ?

1 x?3 2

15.4

16.

1 3

17. 39

或 12 三、解答题(第 18 题 10 分,第 19 题 9 分,第 20 题 12 分,第 21 题 14 分, 第 22 题 7 分,共 52 分) 18. (1)如: y ?

1 2 1 1 1 x ? x , y ? ? x 2 ? x 等等 2 2 2 2
2分
2

(只要写出一个符合条件的函数解析式)

(2)解:假设存在符合条件的抛物线,则对于抛物线 y ? ax ? bx ? c 当 x ? 0 时 y ? c ,当 x ? 1 时 y ? a ? b ? c , 由整点抛物线定义知: c 为整数, a ? b ? c 为整数, ?a ? b 必为整数. 又当 x ? 2 时, y ? 4a ? 2b ? c ? 2a ? 2(a ? b) ? c 是整数, 4分 6分

1 ? 2a 必为整数,从而 a 应为 的整数倍, 2 1 1 ∴∣ a ∣≧ ∴不存在二次项系数的绝对值小于 的整点抛物线。 2 2
19.解: (1)连结 FD、FE,

8分 10 分

易证 DFEB 是平行四边形 ∴FE=BD=MD,DF=BE=EN,∠BDF=∠FEB ∴∠MDF=∠FEN ∴△MDF≌△FEN ∴FM=FN .----------------------------------------------------------------(3 分) 而∠MFN=180°-∠EFN-∠MFD-∠BDF =180°-∠DMF-∠MFD-∠BDF =∠MDB=60° ∴△FMN 是等边三角形. -------------------------------------------(5 分) (2)△FMN 是等腰直角三角形,且∠MFN 为 90°. ----------------(7 分) (3)∠MFN= 180? ?

360? n

------------------------------------------------(9 分)

20. (1)把A( 2 2 ,a)代入 y ?

1 2 x 4

得a=2,

---------------(1 分) ,

则 AB∥x 轴,所以⊙A半径为 2 2 .

----------------(2 分) ,

过 A 作 AE⊥MN 交 MN 与 E,连结 AM,AM=AB= 2 2 ,AE=2,
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∴ME=2, 由垂经定理得 MN=2ME=4. --------------------(3 分) (2)线段 MN 长度不变. 如图 1,理由如下:设 A(m,n) ,则 AB ? m ? (n ? 2) , AE ? n ,
2 2 2

2

2

在 RT△AME 中,

ME 2 ? AM 2 ? AE 2 ? m2 ? (n ? 2)2 ? n2 ? m2 ? 4n ? 4 ,
而n ?

1 2 m ,即 m2 ? 4n ? 0 , 4

∴ME=2, MN=2ME=4 -----------------------------------(7 分) (3)连结 BM,BN,设 M(x,0),则 N(x+4,0) , 当⊿OBM与⊿OBN相似,有以下情况 ① M、N 在 y 轴同侧: OB ? OM ? ON , x( x ? 4) ? 4 ,
2

x1 ? ?2 ? 2 2 , x2 ? ?2 ? 2 2
当 M、N 在 y 轴右侧时,如图 2:M( ?2 ? 2 2 ,0), 当 M、N 在 y 轴左侧时,如图 3:M( ?2 ? 2 2 ,0), ----------(10 分) ② M、N 在 y 轴两侧时, 如图 4, OB ? OM ? ON , ? x( x ? 4) ? 4, 得 x=-2
2

此时⊿OBM与⊿OBN全等 M( ?2 ,0), ---------------------(12 分) 综上所述,M 有三种情况:M( ?2 ? 2 2 ,0), M( ?2 ? 2 2 ,0), M( ?2 ,0)

(图 1) (图 2) (图 3) (图 4)

21.解: (1)延长 FE,交 AC 于点 D,则有 DF∥BC,所以 ?ADF ∽ ?ACB

? DE ?

AE 2 ? AD 2 ? x 2 ? ( x ? y ) 2 ? 2 xy ? y 2

?

x? y ? x

2 xy ? y 2 ? y 2

(4)

2 x ? 2 y ? xy ? x 2 xy ? y 2
两边平方整理得: ( x ? 2 x ? 2) y ? ( x ? 2 x ? 4 x) y ? 2 x ? 0
2 2 3 2 2

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解得: y1 ? 所以 (2) y ?

2x , y 2 ? x (舍去) x ? 2x ? 2 2x (8) y ? 2 x ? 2x ? 2
2

2x ? x ? 2x ? 2
2

2 2 ? ? 2 ?1 2 2 2 ? 2 x? ?2 x

(12)

当且仅当 x ?

2 ,即 x ? 2 时等号成立。所以当 x ? 2 时, y 最大值= 2 ? 1 (14) x

22. (本题 7 分) 解法一:

证明:aB+bC+cA=a(1-b)+b(1-c)+c(1-a) =a-ab+b-bc+c-ac =-(ab-a-b+1)+c(ab-a-b+1)-abc+1 =-(a-1)(b-1)+c(a-1)(b-1)-abc+1 =1+(a-1)(b-1)(c-1)-abc ?(a-1)(b-1)(c-1)<0,-abc<0 ? aB+bC+cA<1.
解法二: 证明:如图,构造边长为 1 的等边△MNP,在等边△MNP 上任取点 D、E、F,
设PD ? A,DM ? a, ME ? B, EN ? b, NF ? C , FP ? c ? S ?MDE ? S ?NEF ? S ?PDF ? S ?PMN 1 1 1 1 ? ? aB sin 60? ? ? bC sin 60? ? ? cA sin 60? ? ?1?1? sin 60? 2 2 2 2 ? aB ? bC ? cA ? 1.
a A

P D MBE
c

F
b

C

N

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