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高中数学等比数列前n项和的求解练习 新人教A版必修5


高中数学 2.5.1 等比数列前 n 项和的求解练习 新人教 A 版必 修5
?基础梳理 1.(1)等比数列的前 n 项和公式:当 q≠1 时,________或________,当 q=1 时, __________. (2)已知数列{an}是等比数列,a1=3,公比 q=2,则其前 6 项和 S6=______. (3)已知数列{an}是等比数列,a1=3,公比 q=1,则其前 6 项和 S6=______. 2 * 2.(1)等比中项关系:对于数列 {an}(an≠0),若 anan+2=an+1 (n∈N ),则数列{an}是 ________.等比数列的第二项起每一项都是它相邻前一项与相邻后一项的________. n-1 * (2)已知数列{an}是等比数列, 其通项公式为: an=2· 3 (n∈N ), 则 anan+2=________, 2 an+1=________,所以________________. * 3.(1)若数列{an}是等比数列,Sn 是其前 n 项的和,k∈N ,那么 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k 成 ________(Sk≠0). n-1 * (2)已知数列{an}是等比数列,其通项公式为:an=2 (n∈N ),则 S2=______,S4-S2 =______,S6-S4=______,故 S2,S4-S2,S6-S4 成______数列. n 4 .(1)若数列 {an}的前 n 项和 Sn =p(1-q ),且 p≠0, q≠0, q≠1,则数列 {an}是 __________. n (2)数列{an}的前 n 项和 Sn=2(1-3 ), 则数列{an}的通项公式是__________, 故数列{an} 是________. 基础梳理 a1(1-q ) a1-anq 1.(1)Sn= Sn= Sn=na1 1-q 1-q (2)189 (3)18 2.(1)等比数列 等比中项 2n 2n 2 (2)4·3 4·3 anan+2=an+1 3.(1)等比数列 (2)3 12 48 等比 4.(1)等比数列 n-1 * (2)an=-4·3 (n∈N ) 等比数列 ?自测自评 1.设{an}是公比为正数的等比数列,若 a1=1,a5=16,则数列{an}前 7 项的和为( A.63 B.64 C.127 D.128 n-1 2.数列{2 }的前 99 项和为( ) 100-1 100 A.2 B.1-2 99 99 C.2 -1 D.1-2 2 3 n 3.等比数列 1,a,a ,a ,…a 的前 n 项和为( )
n a(1-an-1) 1-a A.1+ B. 1-a 1-a
n

)

C.

an+1-1 D.以上都错 a-1
4 7 3n+10

4.设 f(n)=2+2 +2 +…+2

(n∈N ),则 f(n)=________.

*

自测自评 1.解析:设数列{an}的公比为 q(q>0), 则有 a5=a1q =16,∴q=2,数列的前 7 项和为 S7= 答案:C 1×(1-2 ) 99 2.解析:a1=1,q=2,∴S99= =2 -1. 1-2 答案:C 3.D 4 3n+10 3 4.解析:数列 2,2 ,…,2 是首项为 a1=2,公比 q=2 =8,项数为 n+4 的等比 数列, 2(1-8 ) 2 n+4 ∴f(n)= = (8 -1). 1-8 7 2 n+4 答案: (8 -1) 7 ?基础达标 n ?1? 1.等比数列{an}的通项公式是 an=? ? ,则前 3 项和 S3 的值为( ?2? )
n+4
99 4

a1(1-q7) 1-27 = =127. 1-q 1-2

A.

3 8

B.

5 8

C.

7 8

D.

9 8

1 1 1 7 1.解析:S3=a1+a2+a3= + + = .故选 C. 2 4 8 8 答案:C 2.1 和 4 的等差中项和等比中项分别是( )

A.5,2 B.5,-2 C. ,4 D. ,±2
1+4 5 2.解析:1 和 4 的等差中项为 = ,等比中项为± 1×4=±2.故选 D. 2 2 答案:D 4 3.(2013·大纲全国卷)已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a2=- ,则{an}的前 10 项和 3 等于( ) 1 9

5 2

5 2

A. -6(1-3-10) B. (1-3-10) C.3(1-3-10) D.3(1+3-10)
3.解析:先根据等比数列的定义判断数列{an}是等比数列,得到首项与公比,再代入 等比数列前 n 项和公式计算. 由 3an+1+an=0,得

an+1 1 1 4 =- ,故数列{an}是公比 q=- 的等比数列.又 a2=- ,可 an 3 3 3

? 1?10? 4?1-? ?-3? ? ? ? ? ? -10 得 a1=4,所以 S10= =3(1-3 ). 1 ? ? 1-?- ? ? 3?
答案:C 4.(2013·新课标全国卷Ⅱ)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9, 则 a1=( )

A.

1 1 1 1 B.- C. D.- 3 3 9 9

4.解析:先设出公比 q,然后根据已知条件列出方程组,求出 a1. 设公比为 q,∵S3=a2+10a1,a5=9, ∴?
?a1+a2+a3=a2+10a1, ? ? ?a1q =9,
4

∴?

?a1q =9a1, ? ? ?a1q =9,
4

2

1 解得 a1= ,故选 C. 9 答案:C 2 2 n-1 5.数列 1,1+2,1+2+2 ,…,1+2+2 +…+2 的前 n 项和等于( ) n+1 n+1 A.2 -n B.2 -n-2 C.2n-n D.2n 2 n-1 n n+1 5.解析:设此数列为{an},则 an=1+2+2 +…+2 =2 -1,∴前 n 项和 Sn=2 -n -2.故选 B. 答案:B ?巩固提高 n 2 2 2 6. 等比数列{an}中, 已知对任意正整数 n, a1+a2+a3+…+an=2 -1, 则 a1+a2+a3+… 2 +an等于( )

A.(2n-1)2 B. (2n-1) C.4n-1 D. (4n-1)
6.解析:令 n=1 得 a1=1;当 n≥2 时,由 a1+a2+…+an=2 -1,得 a1+a2+…+an n-1 -1, -1=2 n n-1 n-1 两式相减得 an=2 -2 =2 . n-1 2 n-1 ∴an=2 ,an=4 . 1-4 1 n 2 2 2 ∴a1+a2+…+an= = (4 -1).故选 D. 1-4 3 答案:D 2 3 n-1 7.数列 1,x,x ,x ,…,x ,…的前 n 项和是( )
n n

1 3

1 3

A. C.

1-x 1-x

n

B.

1-x 1-x

n-1

1-x 1-x

n+1

D.以上均不正确

n,x=1, ? ? 7.解析:1+x+x +…+x =?1-xn 故选 D. ,x≠1. ? ? 1-x
2

n-1

答案:D 8.(2014·北京西城区期末)已知{an}是公比为 2 的等比数列,若 a3-a1=6,则 a1= 1 1 1 ________; 2+ 2+…+ 2=________. a1 a2 an 8.2 1? 1? ?1-4n? 3? ?

9.已知数列{an}:a1,a2,a3,…,a4,构造一个新数列 a1,a2-a1,a3-a2,…,an- 1 an-1,此数列是首项为 1,公比为 的等比数列. 3 (1)求数列{an}的通项; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 9.分析:(1)观察新数列的各项发现其前 n 项和为 an,将问题转化为等比数列的前 n 项和.(2)根据(1)中求出的通项公式求出 Sn. 1 1 1 解析: (1)当 n≥2 时, an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+ + 2+…+ n-1 3 3 3

n ?1? 1-? ? ?3? 3? ?1?n? = = ?1-? ? ?. 1 2? ?3? ? 1- 3
当 n=1 时,a1=1,也适合. 3? 1?n? * ∴an= ?1-? ?(n∈N ). ? 2? ?3? ? ? (2)Sn=a1+a2+a3+…+an 1 ? 3? 1? 1? 3? 1? 3? 3? = ?1- ?+ ?1- 2?+ ?1- 3?+…+ ?1- n? 3? 2? 3 ? 2? 3 ? 2? 2? 3 ? 1 ?? 3? ?1 1 1 = ?n-? + 2+ 3+…+ n?? 3 ?? 2? ?3 3 3 1? 1? ?1-3n? 3? ? 3 = n- 1 2 1- 3

? ? ?

? ? ?

3 1?1?n-1 = (2n-1)+ ? ? . 4 4?3? 10.已知等差数列{an}及等比数列{bn},其中 b1=1,公比 q<0,且数列{an+bn}的前三 项分别为 2、1、4. (1)求 an 及 q; (2)求数列{an+bn}的前 n 项和 Pn. 10.解析:(1)设{an}的首项为 a1,公差为 d,∵a1+b1=2,a2+b2=1,a3+b3=4,∴

a1+1=2,a1+d+q=1,a1+2d+q2=4.解得:a1=1,q=-1 或 3,∵q<0,∴q=-1,d
=1. * ∴an=a1+(n-1)d=1+(n-1)=n(n∈N ). (2)记数列{an}及{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn, 则 Sn=na1+

n(n-1) 1 d= n(n+1),
2 2
n

b1(1-q ) 1-(-1)n 1-(-1)n Tn= = = . 1-q 1-(-1) 2
1 1 2 当 n 为偶数时,Tn=0;当 n 为奇数时,Tn=1,故当 n 为偶数时,Pn=Sn= n(n+1)= n 2 2 1 + n; 2 1 1 2 1 当 n 为奇数时,Pn=Sn+1= n(n+1)+1= n + n+1. 2 2 2


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