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辽宁省沈阳铁路实验中学2015-2016学年高二上学期第二次月考数学(理)试题

沈阳铁路实验中学 2015---2016 学年度上学期第二次月考 高二数学(理) 时间:120 分钟 分数:150 分

一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1.命题“对任意的 x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 ”的否定是 A.不存在 x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 C. 存在 x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 ( )

B.存在 x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 D. 对任意的 x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 ) . D.11 )

2.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? a3 ? a5 ? 3 ,则 S5 =( A.5 3.已知方程 A.3<k<9 B.7 C. 9

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则 k 的取值范围是( 9?k k ?3
B.k>3 C.k>9 D.k<3

4.已知 ? 9, a1 , a2 ,?1 成等差数列,? 9, b1 , b2 , b3 ,?1 成等比数列 ,则 b2 ?a1 ? a2 ?等于( A.30 5.若实数 a, b 满足 (A) 2 6.下列说法错误 的是: ( ..
2



B.-30

C.±30

D. 15 ) (D)4

1 2 ? ? ab ,则 ab 的最小值为( a b
(B)2 )

(C)2 2

A.命题“若 x -4x+3=0,则 x=3”的逆否命题是: “若 x≠3,则 x -4x+3≠0” B. “x>1”是“ x >0”的充分不必要条件 C.若 p 且 q 为假命题,则 p,q 至少有一个假命题
2 2 D. 命题 p : “存在 x ? R 使得 x ? x ? 1 ? 0 , ” 则 ?p : “对于任意 x ? R , 均有 x ? x ? 1 ? 0 ”

2

2 7.在△ABC 中,已知 sin B ? sin C ? cos

A ,则三角形△ABC 的形状是( 2



A.直角三角

B.等腰三角形

C.等边三角形

D.等腰直角三角形

2 8.若关于 x 的不等式 xa ? 2 xa ? 3 ? 0 在区间 [?1,1] 上恒成立,则实数 a 的取值范围是

A. [?1,1]

B. [?1,3]

C. ( ?1,1)

D. ( ?1,3)

9.已知 P 是抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点,则点 P 到直线 l : 2 x ? y ? 3 ? 0 和 y 轴的距离之和的 最小值是( ) A. 3 B. 5 C. 2 D. 5 ? 1

10.设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点是 F,左右顶点分别为 A1, A2 ,过 F 作 A1 A2 a 2 b2


的垂线与双曲线交于 B,C 两点,若 A 1 B ? A2C ,则该双曲线渐近线的斜率为( A. ?

1 2

B. ?

2 2

C. ?1

D. ? 2

?3x ? y ? 6 ? 0 ? 11.设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最大值为 ? x ? 0, y ? 0 ?
3 2 ? 的最小值为 a b 8 25 A. B. 3 6
12 ,则

C.

11 3

D. 4

12.已知直线 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) 与抛物线 C: y 2 ? 8x 相交 A、B 两点,F 为 C 的焦点.若

FA ? 2 FB ,则 k= (
A.



1 3

B.

2 3

C.

2 3

D.

2 2 3

第 II 卷(非选择题 90 分) 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分。 13.抛物线 y ? 4 x 的准线方程为
2

14. ?ABC 中,角 A, B, C 所对边的长分别是 a, b, c ,若 a2 ? b2 ? 3bc,sin C ? 2 3sin B , 则 A=___________. 15 .已知 ? 为坐标原点,点 ? 的坐标为 ? 2,1? ,点 ? ? x, y ? 的坐标 x 、 y 满足不等式组

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ???? ? ???? ? x ? 3 y ? 3 ? 0 ????? ,则 的取值范围是 ? ?y ?1 ?



16.已知 P 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上不同于左顶点 A、右顶点 B 的任意一点,记直线 PA,PB 的斜 12 4


率分别为 k1 , k2 , 则k1 ? k2 的值为

三、计算题:本题共 6 小题,共计 70 分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17. (本题满分 10 分) (1)已知不等式 ax 一 bx+1≥0 的解集是 [? , ? ] ,求不等式一 x +bx+a>0 的解集;
2 2

1 2

1 3

(2)若不等式 ax + 4x 十 a>1—2x 对任意 x∈R 均成立,求实数 a 的取值范围.

2

2

18. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中内角 A, B, C, 的对边分别为 a, b, c ,且 (1)求 sin B 的值; (2)如果 b=4 2 ,且 a=c,求 ?ABC 的面积. 19. (本小题满分 10 分) 设 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,已知 a4 ? 9, a3 ? a7 ? 22 . (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)求证:

cos C 3a ? c ? cos B b

1 1 1 1 3 ? ? ?? ? ? . S1 S2 S3 Sn 4

20. (本小题 12 分) 已知抛物线 y = 4 x ,焦点为 F ,顶点为 O ,点 P 在抛物线上移动, Q 是 OP 的中点。 (1)求点 Q 的轨迹方程; (2)若倾斜角为 60°且过点 F 的直线交 Q 的轨迹于 A, B 两点,求弦长 AB 。 21. (本题满分 12 分)已知各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn , an , 差数列, (1)求数列 ?an ? 的通项公式;
2

1 成等 2

? (2)若 bn ? 4 ? 2n n ? N ,设 cn ?

?

?

bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . an

22. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 中心在原点,焦点在 x 轴上,一条经过点 (3,? 5 ) 且倾斜角余弦值为 ? 交椭圆于 A,B 两点,交 x 轴于 M 点,又 AM ? 2MB .

2 的直线 l 3

(1)求直线 l 的方程;

(2)求椭圆 C 长轴的取值范围。 参考答案 1.C 【解析】 试题分析:因为命题“对任意的 x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 ”是全称命题,则利用 ?x ? M , p( x) , 则其否定为 ?x ? M , ?p( x) ,那么可知其否定是存在 x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 ,选 C. 考点:本试题考查了全称命题的否定。 点评:解决全称命题的否定问题,要对于任意改为存在,结论变为否定即可,那么可得到结 论,明确了全称命题和特称命题的关系,掌握 ?x ? M , p( x) ,则其否定为 ?x ? M , ?p( x) , 属于基础题。 2.A 【解析】 试题分析:因为 a1 ? a3 ? a5 ? 3a3 ? 3 ,所以 a3 ? 1 ,所以 S5 ? 故选 A. 考点:1、等差数列的性质;2、等差数列的前 n 项和. 3.C 【解析】 试题分析:根据双曲线方程的特点可知,方程

5 ? (a1 ? a5 ) 5? 2a3 ? ? 5, 2 2

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线, 9?k k ?3

则说明而来原式变形为 ?

?k ? 3 ? 0 x2 y2 ? ? 1? ? ? k ? 9 ,故答案选 C. ?9 ? k k ? 3 ?k ? 9 ? 0

考点:本试题考查了双曲线的方程的表示。 点评:对于双曲线的方程的特点是等式左边是平方差,右边为 1,同时分母中为正数,因此可 知要使得焦点在 x 轴上,则必须保证 y 2 的系数为正,因此可知不等式表示的范围得到结论,

? ? ? 2 2 ? 4a ? 4 ? 4 a ? 0 ? 属于基础题。 ? 1 ?a ? 0 ? 0 ? ?a
4.A 【解析】 试 题 分 析 : 根 据 题 意 , 由 于 ? 9, a1 , a2 ,?1 成 等 差 数 列 , 故 等 差 中 项 的 性 质 可 知 , 有

a1 ? a2 ? ?9 ?1 ? ?10 ? 9, b1 , b2 , b3 ,?1 成等比数列,则由等比中项性质得到, b22 ? b1b3 ? (?1) ? (?9) ? 9
由于奇数项的符号爱等比数列中相同 ,故 b2 ? ?3 ,因此 b2 ?a1 ? a2 ?=30,选 A. 考点:本试题考查了等差数列和等比数列的概念。 点评:对于等差数列和等比数列的等差中项性质与等比性质的运用是数列考试题中常考的知 识点,要熟练的掌握,同时能利用整体的思想来处理数列问题,也是很重要的一种思想,属 于基础题。 5.C 【解析】 试题分析:?

1 2 ? ? ab ? 0 且 ab ? 0 可知 a ? 0, b ? 0 . a b

? ab ?
当且仅当

1 2 1 2 2 2 2 2 即 ab ? 解得 ab ? 2 2 . ? ?2 ? ? a b a b ab ab
1 2 ? 即 b ? 2a 时取等号.故 C 正确. a b

考点:基本不等式. 6.D 【解析】

试题分析:A 中逆否命题需将条件和结论交换后分别否定;B 中“x>1”是“ x >0”的一部 分,因此“x>1”是“ x >0”的充分不必要条件;C 中 p 且 q 为假命题,则有一个假命题或 两个假命题;D 中特称命题的否定是全称命题,需将结论加以否定, x2 ? x ? 1 ? 0 的否定为

x2 ? x ? 1 ? 0
考点:四种命题与全称命题特称命题 7.B 【解析】 试题分析:根据题意有 sin B sin C ?

1 1 1 1 ? cos A ? ? (cos B cos C ? sin B sin C ) ,化简得 2 2 2 2

cos( B ? C ) ? 1 ,结合三角形内角的取值范围,可以确定 B ? C ,从而确定出三角形是等腰三
角形,故选 B. 考点:倍角公式,诱导公式,和差角公式,三角形形状的判断. 8.D 【解析】
2 2 2 试题分析:令 f ( x ) ? xa ? 2 xa ? 3 ? a ? 2a x ? 3 ,则关于 x 的不等式 xa ? 2 xa ? 3 ? 0

?

?

? f ( ?1) ? ? a 2 ? 2a ? ? ( ?1) ? 3 ? 0 ? 在区间 [?1,1] 上恒成立等价于 ? , 解之得 ?1 ? a ? 3 , 故选 D. 2 f (1) ? a ? 2 a ? 1 ? 3 ? 0 ? ? ? ?
考点:函数与不等式. 【方法点睛】本下周主要考查函数与不等式相关知识,解题关键是构造函数
2 2 f ( x)? ? a ? 2a ,把不等式 xa ? 2 xa ? 3 ? 0 在区间 [?1,1] 上恒成立转化为 f ( x ) ? 0 ? x? 3

在区间 [?1,1] 上恒成立,由一次函数的性质转化为 ? 9.D. 【解析】

? f ( ?1) ? 0 求解. ? f (1) ? 0

试题分析:如下图所示,设 P 是抛物线上任意一点,抛物线焦点坐标为 F (1,0) , ∴

PA ? PB ? PC ? 1 ? PB ? PF ? PB ? 1 ? FB ? 1 ? FD ? 1





FD ?

| 2 ?1 ? 0 ? 3 | 22 ? (?1)2

? 5,

∴所求最小值为 5 ? 1 ,故选 D.

考点:抛物线的标准方程及其性质. 【方法点睛】利用抛物线的定义可解决的两类问题(1)轨迹问题:用抛物线的定义可以确定 动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线; ( 2)距离问题:涉及抛物线上的点到焦 点的距离、到准线的距离问题时,注意两者之间的转化在解题中的应用. 10.C 【解析】 试题分析:由题意,

? b2 ? ? b2 ? A1 ? ?a,0 ? , A2 ? a,0 ?,B ? c, ?,C ? c,- , ? ? A1B ? A2C, a a ? ? ? ?

2 b2 ? ? b ? ? a? ? = ? 1, a ∴双曲线的渐近线的斜率为 ?1 .故选:C. ? ?? ? a ? b, c?a c?a

考点:双曲线的性质,考查斜率公式 11.D 【解析】 试题分析:在直角坐标作出可行域(如下图所示) ,由线性规划知识可知,当目标函数 此时有 4a ? 6b ? 12 即 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 经过点可行域内的点 B(4,6) 时有最大值 12 ,

2a ? 3b ? 6 ,

所以

3 2 ? 3 2? 2 a? 3 b 1 b 9 ? ?? ? ? ? (1 2 ? ? a b ? a b? 6 6 a

a 4 1 ? ) (1 ?2 b 6

b 9 a 4 当且仅当 2 ? ? ) ,4 a b

9b 4 a ? 即 3b ? 2a 时取到等号,故选 D. a b
8 6 4

B

C
2

15

10

5

O
2 4 6 8

A

5

10

15

考点:1.线性规划;2.基本不等式. 【方法点睛】本题主要考查的是线性规划与基本不等式相结合的试题,属于难题.线性规划 类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域,然后确定目标函数的几何意义, 通过数形结合确定目标函数何时取得最值.画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验 证,防止出现错误.构造基本不等式一定要注意适用条件,即保证两个数均为正数,和或积 为定值,等号能取到. 12.D 【解析】 试题分析:抛物线 y ? 8x 的准线为 x ? ?2 ,设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,
2







线











FA ? x1 ? 2, FB ? x2 ? 2

,

? FA ? 2 FB ,? x1 ? 2 ? 2 ? x2 ? 2? ,? x1 ? 2x2 ? 2 .
2 2 2 2 2 将 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) 代入 y ? 8x 消去 y 并整理可得 k x ? 4k ? 8 x ? 4k ? 0 .

?

?

由韦达定理可得 x1 ? x2 ? 解?

8 ? 4, x1 x2 ? 4 . k2

? x1 x2 ? 4 8 2 2 ? x1 ? x2 ? 2 ? 4 ? 1 ? 4 ,? k ? 0 ,所以解得 k ? 得 x1 ? 4, x2 ? 1 . . 故 k 3 x ? 2 x ? 2 ? 1 2

D 正确. 考点:1 抛物线的定义;2 直线与抛物线的位置关系问题.

13. y ? ? 【解析】

1 16

1 1 1 y ? 2 p ? , p ? ,且焦点在 y 轴上,那么 4 4 8 1 p 1 利用 y 轴上的准线方程, 由于开口向上, 因此准线方程为 y ? ? ? ? ,故答案为 y ? ? 。 16 2 16
试题分析:根据已知中抛物线 y ? 4 x ? x ?
2 2

考点:本试题考查了抛物线的方程的运用。 点评:解决该试题的关键是对于抛物线性质的熟练程度,以及基本性质的准确表示,首要的 就是将方程化为标准式方程,然后得到 2P 的值,进而确定焦点,然后表示准线方程,属于基 础题。 14.

? 6
b c ? 及 sin C ? 2 3 sin B 得 c ? 2 3b . 又 sin B sin C

【解析】 试 题 分 析 : 由 正 弦 定 理

? a2 ? b2 ? 3bc ,? a ? 7b .

? cos A ?

? b2 ? c2 ? a 2 b2 ? 12b2 ? 7b2 3 ,? 在 ?ABC 中 A ? . ? ? 6 2bc 2 2b ? 2 3b

考点:1 正弦定理;2 余弦定理. 15. 【解析】 试题分析:先根据约束条件画出可行域,再利用向量的数量积表示出 z ? OM ? ON ? 2x ? y , 利用 z 的几何意义求最值即可.

???? ? ????

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? N(x,y)的坐标 x,y 满足不等式组 ? x ? 3 y ? 3 ? 0 表示的可行域如图: ?y ?1 ?

目标函数为 z ? OM ? ON ? 2x ? y 由向量的数量积的几何意义可知, 当 N 在(3,0)时, ????? 取得最大值是(3,0) ? (2,1)=6, 在(0,1)时, ????? 取得最小值为(2,1) ? (0,1)=1, 所以的取值范围是, 所以答案应填: . 考点:1、简单线性规划;2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 【方法点晴】本题主要考查了简单线性规划的应用、向量的数量积等知识,属于基础题.文 科考查线性规划问题都考查的比较浅,难度不大这与理科有所区别,本题就具备这个特点, 只是目标函数稍加变动.解线性规划问题的一般步骤:一是作出可行域;二是作出目标函数 对应的过原点的直线 l0 ;三是平移 l0 到经过平面区域时目标函数的最值. 16. ?

???? ? ????

???? ? ????

???? ? ????

1 3

【解析】

试 题 分 析 : 设 P(x, y) , A(?2 3,0), B(?2 3,0) 则

k1 ?

y x?2 3

k2 ?


y x?2 3 ,

k1k2 ?

y y y2 x2 y 2 ? ? 2 ? ?1 x ? 2 3 x ? 2 3 x ? 12 , ? ? ① 因 为 P 在 椭 圆 上 , 所 以 12 4 ,即

y2 ?

12 ? x 2 3 ??② k1k2 ? y2 1 ?? 2 x ? 12 3

把②代入①,得

考点:椭圆的标准方程及简单性质的应用

17. (1) (2, 3) (2) a ? 2 【解析】 试题分析: (1) 由一元二次方程根与一元二次不等式解集关系得: ?

1 1 ,? 是方程 2 3 1 1 b 1 1 1 ax2 ? bx ? 1 ? 0 的根,由韦达定理列等量关系: ? ? (? ) ? , ? ? (? ) ? ? ,解得解 2 3 a 2 3 a

得 a ? ?6, b ? 5 代入不等式 ? x 2 ? bx ? a ? 0 可得 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 解得 2 ? x ? 3 (2)不等式 恒成立问题一般转化为对应函数最值问题:结合二次函数图像知,二次函数最值可由开口方 向及判别式确定,即 a ? 2 ? 0 且 ? ? 0 ,解得 a ? 2

1 1 , ? 是方程 ax2 ? bx ? 1 ? 0 的根, 2 3 1 1 b 1 1 1 由根与系数的关系,得 ? ? (? ) ? , ? ? (? ) ? ? 2 3 a 2 3 a
试题解析:解(1)由题意知: ?
2 2 解得 a ? ?6, b ? 5 代入不等式 ? x ? bx ? a ? 0 可得 x ? 5 x ? 6 ? 0 解得 2 ? x ? 3

所以不等式解集为 (2, 3) ??6 分 原不等式可化为 (a+2)x2 ? 4 x ? a ?1 ? 0 显然 a ? ?2 时不合题意,所以要使不等式对于任意的 x 恒成立,必须有 a ? 2 ? 0 且 ? ? 0 即?

a?2?0 ? 解得 a ? 2 ,实数 a 的取值范围为 a ? 2 ?16 ? 4(a ? 2)(a ? 1) ? 0

考点:二次函数、二次不等式、二次方程相互关系,不等式恒成立问题 18.(1) sin B ? 【解析】 试题分析:解: (1)由已知 b cos C ? 3a cos B ? c cos B , 由正弦定理得 sin B cos C ? 3 sin A cos B ? sin C cos B

2 2 (2) 8 2 3

?

3 sin A cos B ? sin B cosC ? sin C cos B ? sin ?B ? C ? ? sin A
1 3

? 0 ? A ? ? ? 3 cos B ? 1? cos B ?

? 0 ? B ? ? ? sin B ?

2 2 3

⑵ b ? a ? c ? 2ac cos B
2 2 2

? a 2 ? 24 S? ? 1 1 2 2 ac sin B ? ? 24 ? ?8 2 2 2 3

考点:本试题考查了解三角形的运用。 点评:解决该试题的管家式对于已知中的边角关系的互化,结合正弦定理和余弦定理阿丽表 示得到第一问的角和第二问中边长的值,主要是考查了同学们对于两个定理的熟练程度的运 用,属于基础题。 19. (1) an ? 2n ? 1; (2)详见解析. 【解析】 试题分析: (1)将条件中的式子转化为只与 a1 , d 有关的方程,解出 a1 与 d ,即可得到通项 公式; (2) 利用等差数列的前 n 项和公式首先求出 的前 n 项和,即可得证不等式. 试题解析:(1)∵等差数列 {an } , a4 ? 9 , a3 ? a7 ? 22 , ∴ ?

1 , 再利用裂项相消法即可求得新数列 {an } Sn

?a1 ? 3d ? 9 ?a ? 3 ?? 1 ? an ? 2n ? 1(n ? N * ) ; ( 2 ) 由 ( 1 ) 可 知 , ?2a1 ? 8d ? 22 ?d ? 2
(a1 ? an ) ? n (3 ? 2n ? 1) ? n 1 1 1 1 1 ? ? n(n ? 2) ,∴ ? ? ( ? ), 2 2 Sn n(n ? 2) 2 n n ? 2

Sn ?



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ? ? ??? ? (1 ? ? ? ? ??? ? ) ? (1 ? ? ? )? . S1 S2 S3 Sn 2 3 2 4 n n+2 2 2 n ?1 n ? 2 4

考点:1.等差数列的通项公式及其前 n 项和;2.裂项相消法求数列的和. 20.解:(1) (6 分)设 Q ( x, y ) ,∵Q 是 OP 中点,∴ P(2 x,2 y) 又∵点 P 在抛物线 y ? 4 x 上
2

∴ ?2 y ? ? 4 ? 2 x
2

即 y ? 2 x 为点 Q 的轨迹方程
2

(2) (6 分)F(1,0) k AB ? 3 ∴直线 AB 的方程为: y ? 3?x ? 1?

设点 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? 联立

y ? 3?x ? 1?

y 2 ? 2x
消去 y 得

3x 2 ? 8 x ? 3 ? 0

8 x1 ? x 2 ? , x1 x 2 ? 1 3

AB ? 1 ? k 2

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2

?

4 7 3

【解析】略 21. (1) an ? 2 【解析】 试题分析: (1)首先通过 S n ? 2 an ? 进而证明 ?an ?为以 (2)通过 an ? 2
n?2

?1? ; (2) Tn ? 4n ? ? ? ?2?

n ?1

1 a 求出 a1 ,再利用 an ? Sn ? Sn?1 得到 n ? 2 ?n ? 2? , 2 an ?1

1 为首项,以 2 为公比的等比数列,从而得到其通项公式 an ? 2n?2 . 2

n?2

?1? 和 bn ? 4 ? 2n 的到 Cn ? ?4 ? 2n ?? ? ? ?2?
n ?1

n?2

,从而得到前 n 项和 Tn 的形式,

?1? 然后利用错位相减法化简得到 Tn ? 4n ? ? ? ?2?
试题解析: (1) S n ? 2 an ?



1 1 ,当 n ? 1 时, a1 ? , a2 ? 1 2 2

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1

an ? 2an?1 ,

an ?2 an ?1
1 为首项,以 2 为公比的等比数列, 2

∴数列 ?an ?是以 ∴ an ?

1 n ?1 ? 2 ? 2n?2 n ? N * 2

?

?

解:由题意可得: Cn ? ?4 ? 2n ?? ? ?
?1

?1? ?2?

n?2

?1? ?1? ?1? ?1? ?1? Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 2 ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ?? 2?? ? ? ? ?? 4?? ? ? ? ? ? ?4 ? 2n?? ? ? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ?2?

0

1

2

n?2

1 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? Tn ? 2 ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ?? 2?? ? ? ? ?? 4?? ? ? ? ? ? ?4 ? 2n?? ? ? 2 ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2?
错位相减得

0

1

2

3

n ?1

1 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? Tn ? 2 ? ? ? ? ? ?2? ? ? ? ? ? ?2? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ?? ? ?2? ? ? ? 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2?

?1

0

1

2

n?2

?1? ? ? 4 ? 2n ? ? ? ? ? 2?

n ?1

?1? 1? ? ? 2 ? 4 ? ?? 2?? ? ? 1 1? 2

n ?1

?1? ? ?4 ? 2n ?? ? ? ?2?

n ?1

?1? ? 2n ? ? ? ?2?

n ?1

?1? Tn ? 4n ? ? ? ?2?

n ?1

考点:1.等比数列的定义,通项公式及其前 n 项和公式;2.错位相减法; 22.(1) y ? ? 【解析】 试题分析:解: (1)? 直线 l 经过点 (3,? 5 ) 且倾斜角余弦值为 ?

5 2 41 ( x ? 1) (2) (2, ). 2 3

2 3

? 直线 l 的方程为 y ? ?

5 ( x ? 1) . 2

(2) 设y??

x2 y2 5 ( x ? 1) 与椭圆 2 ? 2 ? 1 交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 与 x 轴交于 M (1, 0) , 2 a b

由 AM ? 2MB 知: y1 ? ?2 y 2 . 将x ? ?

2 5

y ? 1 代入 b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 得

4 4 2 ( b2 ? a2 ) y 2 ? b y ? b 2 (1 ? a 2 ) ? 0 5 5

4 2 ? b ? 5 ? y1 ? y 2 ? ? ? y2 4 2 2 ? ? b ?a ?? 5 ? b 2 (1 ? a 2 ) 2 ? ?2 y 2 ? y1 y 2 ? 4 2 ? b ? a2 ? 5 ?
?? ? ( 4



4 b 2 ) 2 ? 4( b 2 ? a 2 )b 2 (1 ? a 2 ) ? 0 5 5


? 5a 2 ? 4b 2 ? 5
由①消去 y 2 得

32b 2 ? (4b 2 ? 5a 2 )(a 2 ? 1) ? 4b 2 ?

5a 2 (a 2 ? 1) ? 0 ,③ 9 ? a2

5a 2 (a 2 ? 1) ? 5,?1 ? a 2 ? 9 ③代入②得 5a ? 2 9?a
2

又 a 2 ? b 2 ,? 4b ?
2

41 5a 2 (a 2 ? 1) 41 ? 4a 2 ,综合解得 1 ? a 2 ? ,? 1 ? a ? , 2 9 3 9?a

? 椭圆 C 长轴的取值范围为 (2,

2 41 ). 3

考点:本试题考查了直线方程与椭圆的知识。 点评:解决该试题的关键是能利用已知中的点和斜率来借助于点斜式方程表示出直线的方程, 同时能结合直线与椭圆的相交,联立方程组,进而结合韦达定理和判别式来求解表示出长轴 长,借助于参数 a 的范围得到所求,属于中档题。


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