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空间中直线与直线之间的位置关系教案


课题:

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
李成龙

舟曲县第一中学 教材版本: 新课标:人教版 A 版《数学必修 2》 设计思想:

空间中直线与直线的位置关系是学生在已经学习了平面的基本概念的基础上进行学习 的。在立体几何初步的内容中,位置关系主要包括直线与直线的位置关系、直线与平面的位 置关系、 平面与平面的位置关系。 而空间中直线与直线的位置关系是以上各种位置关系中最 重要、最基本的一种,是我们研究的重点。其中,等角定理解决了角在空间中的平移问题, 在平移变换下角的大小不变, 它是两条异面直线所成角的依据, 也是以后学习研究二面角几 角有关内容的理论依据,它提供了一个研究角之间关系的重要方法。 教材分析: 直线与直线问题是高考考查的重点之一,求解的关键是根据线与面之间的互化关系, 借助创设辅助线与面, 找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。 通过对有关概念和 定理的概括、证明和应用,使学生体会“转化”的观点,提高学生的空间想象力和逻辑推理能 力。 教学目标 1、知识与技能: 掌握空间直线的位置关系,理解异面直线的概念,理解公理 4 并能应用它 证明简单的几何问题。 2、过程与方法:通过观察事物,引出两直线的三种位置关系,又由观察导出公理 4,遵循 了由特殊到一般, 由简单到复杂的认知规律。 3、情感与价值观:通过运用空间直线各具特点的丰富多彩的不同位置关系,培养学生的空 间想象能力,感悟数学。 教学难点:异面直线的定义;异面直线所成的角的定义。 教学难点:异面直线所成角的推证与求解。 教法:教学实验,启发诱导和合作探究相结合,引导学生主动观察与思考,以合作交流、共 同探索来完成本节课的教学。 学法:学生借助实例,通过观察、思考、交流、讨论等,理解定理。 关键点:异面直线的衬托画法,找异面直线的角。 教具准备:学生学案一份、多媒体、合作探究配套教学模型 (一)创设情景、导入课题 1、通过身边诸多实物,引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念:不同在任何 A 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 C 如图是一个正方体的展开图,如果将它 G B 还原为正方体, 那么 AB , CD , EF , GH 这四条线段 D 所在直线是异面直线的有 对?
H E

设计理念:通过练习让学生直观判断异面直线,既加深了对概念的理解, 又可引出异面直线的画法。 2、师:拿出准备好的长方体,在长方体中找出空间两条直线有多少种位置关系? (二)讲授新课 1、教师给出长方体模型,引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内,没有公共点;

异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 教师再次强调异面直线不共面的特点,作图时通常用一个或两个平面衬托,如下图:

2、 (1)师: 在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行。 在空间中,是否有类似的规律? 组织学生观察 : 将一张纸如右图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, … 之间有何关系? d e a b c 让学生自己总结出公理 4 的概念。 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b =>a∥c c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 (2)例 2(投影片) 如图,已知空间四边形 ABCD 中,点 E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点. 求证:四边形 EFGH 是平行四边形。 例 2 的讲解让学生掌握了公理 4 的运用 3、让学生观察、思考: (投影)
E D B F G C

A H

A

? B
A?

C

?

B?

C?
0

∠ABC 与 A’B’C’、 ∠ABC 与∠A’B’C’的两边分别对应平行, 这两组角的大小关系如何?
生:∠ABC = A’B’C’,∠ABC + ∠A’B’C’ = 180 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。

4、以教师讲授为主,师生共同交流,导出异面直线所成的角的概念。 (1)师:如图,已知异面直线 a、b,经过空间中任一点 O 作直线 a’∥a、b’∥b,我们把 a'’ 与 b’所成的锐角(或直角)叫异面直线 a 与 b 所成的角(夹角) 。

(2)强调: ① a’与 b’所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为了简便,点 O 一般取在两直线中的一条上; ? ② 两条异面直线所成的角θ ∈(0, ] 2 ; ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中, 通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所 成的角。 (3)例 3(投影) 如图表示一个正方体: (1)求直线 BA1 与 CC1 的夹角的度数. (2)哪些棱所在直线与直线 BA1 异面直线? (3)哪些棱所在的直线与直线 AA1 垂直?

例 3 的给出让学生掌握了如何求异面直线所成的角,从而巩固了所学知识。 (三)课堂练习 教材 P49 练习 1 充分调动学生动手的积极性,教师适时给予肯定。 (四)课堂小结 在师生互动中让学生了解: (1)本节课学习了哪些知识内容? (2)计算异面直线所成的角应注意什么? 投影: 异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 空间两直线的位置关系:相交直线、平行直线、异面直线 异面直线的画法:用平面来衬托 异面直线所成的角:平移,转化为相交直线所成的角 公理4(平行公理) :在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理:空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 异面直线所成角的求法: 一作(找)二证三求 (五)课后作业:P51 习题 2.1A 组:5、6 (六)课后反思:


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